《數(shù)字信號處理》課件1第1章

第1章離散時間信號與系統(tǒng)1.1信號的分類

1.2離散時間信號

1.3離散時間系統(tǒng)

1.4離散時間系統(tǒng)的時域描述

1.5模擬信號的離散化和重構

習題

1.1信號的分類

信號是信息的物理表現(xiàn)形式，它以某種函數(shù)的形式傳遞信息。例如，交通紅綠燈是信號，它傳遞的信息是：紅—停止，綠—通行。根據(jù)載體的不同，信號可以是電的、磁的、聲的、機械的、熱的等各種形式。

不同類型的信號，其處理方法會有所不同，因此，有必要對信號進行分類。信號的變量可以是時間，也可以是頻率、空間或其它物理量。信號的分類方法很多，同一種信號，可以從不同角度進行分類。下面介紹常見的幾種分類方法。

1.連續(xù)時間信號、離散時間信號和數(shù)字信號

按信號變量的取值方式有連續(xù)與離散兩種。若變量是連續(xù)的，則稱為連續(xù)時間信號；若變量是離散數(shù)值，則稱為離散時間信號。同樣，信號幅值的取值也可分為連續(xù)與離散兩種方式，因此，組合起來有以下四種情況：

(1)連續(xù)時間信號：時間是連續(xù)的，幅值可以是連續(xù)的也可以是離散(量化)的。

(2)模擬信號：時間是連續(xù)的，幅值也是連續(xù)的，這是上一種信號的特例。大多數(shù)實際信號屬于此類信號。

(3)離散時間信號(或稱序列)：時間是離散的，幅值是連續(xù)的。離散時間信號可由模擬信號采樣得到，在采樣時刻，離散信號的值嚴格等于原模擬信號的值，但也有一些離散信號是固有的，如每天計算一次利息等。

(4)數(shù)字信號：時間和幅值都是離散的。由于是量化的，故數(shù)字信號可用一數(shù)字序列來表示，而每個數(shù)又可表示為二進制的形式。數(shù)字信號可由采樣信號進行量化和編碼得到，同樣也可從實際應用中得到，例如每日股票的市場價格、人口的統(tǒng)計數(shù)和倉庫的存量等。

本書主要討論離散時間信號(序列)的分析與處理。

2.周期信號和非周期信號

若信號滿足x(t)=x(t+kT)，k為整數(shù)，或x(n)=x(n+kN)，N為正整數(shù)，則x(t)和x(n)都是周期信號，周期分別為T和N，否則就是非周期信號。

3.確定信號和隨機信號

若信號在任意時刻的取值能精確確定，則稱它為確定信號；若信號在任意時刻的取值不能精確確定，或者取值是隨機的，則稱它為隨機信號。例如，設φ是在(π，－π)之間服從均勻分布的隨機信號，那么，信號x(t)=sin(2πft+φ)就是一個隨機信號，稱為隨機相位正弦波。對x(t)的每次觀測，它的相位是不同的，可得到不同的正弦曲線。這些正弦信號的集合構成了隨機信號。

4.能量信號和功率信號

信號x(t)和x(n)的能量分別定義為

若E有限，則稱x(t)或x(n)為能量有限信號，簡稱為能量信號；若E無限，則稱x(t)或x(n)為能量無限信號。當x(t)或x(n)的能量E無限時，我們往往研究它們的功率。信號x(t)和x(n)的功率分別定義為

若P有限，則稱x(t)或x(n)為有限功率信號，簡稱為功率信號。周期信號及隨機信號一定是功率信號，而非周期的絕對可積(和)信號一定是能量信號。

1.2離散時間信號

1.2.1序列的定義

表示離散信號的時間函數(shù)，只是在某些離散瞬間給出函數(shù)值，因此它是時間上不連續(xù)的序列。通常，給出函數(shù)值的離散時刻間隔是均勻的，若此間隔為T，則以x(nT)表示此離散時間信號，這里n取整數(shù)(n=0，±1，±2，…)。在離散信號傳輸與處理中，有時將信號寄存在存儲器中，以便隨時取用。離散時間信號的處理也可能是先記錄后分析，即所謂“非實時的”。考慮到這些因素，對于離散時間信號來說，人們主要關心的是該信號隨n變化的情況，所以往往不必以nT為變量，而直接以n為變量。這里，n表示各函數(shù)值出現(xiàn)的序號。可以說，一個離散時間信號就是一組序列值的集合，這也是將離散時間信號稱為序列的原因所在。

離散時間信號有以下幾種表示方法。

1.圖形表示

圖形表示比較直觀，以x(n)=sin(πn/4)為例，如圖1.2.1所示。其中橫軸只在n為整數(shù)時才有意義，縱軸線段的長短表示各序列值的大小。圖1.2.1

x(n)的圖形表示

2.集合符號表示

離散時間信號是一組有序的數(shù)的集合，用集合符號{·}表示，圖1.2.1示例的集合表示是：

x(n)={…，－1，－0.707，0，0.707，1，…；n=…，－2，－1，0，1，2，…}

3.公式表示

以圖1.2.1為例，其公式表示為1.2.2典型離散時間信號

1.單位脈沖序列δ(n)

單位脈沖序列也稱為單位采樣序列，其定義是

1，n=0

0，n≠0

單位脈沖序列的特點是僅在n=0時取值為1，其它均為零。單位脈沖序列在離散信號與離散系統(tǒng)的分析與綜合中有著重要的作用，其地位類似于模擬信號和系統(tǒng)中的單位沖激信號δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時取值無窮大，t≠0時取值為零，對時間t的積分為1。單位脈沖序列和單位沖激信號如圖1.2.2所示。(1.2.1)δ(n)=圖1.2.2單位脈沖序列和單位沖激信號

2.單位階躍序列u(n)

單位階躍序列定義為

1，n≥0

0，n<0

其波形如圖1.2.3所示。單位階躍序列和單位脈沖序列的關系為

δ(n)=u(n)－u(n－1)(1.2.4)

(1.2.2)u(n)=(1.2.3)圖1.2.3單位階躍序列

3.矩形序列RN(n)

長度為N的矩形序列定義為

1，0≤n≤N－1

0，其它

當N=4時，矩形序列的波形如圖1.2.4所示。圖1.2.4矩形序列

RN(n)=(1.2.5)

4.實指數(shù)序列

實指數(shù)序列定義為

x(n)=anu(n)，a為實數(shù) (1.2.6)

a的大小直接影響著序列變化的規(guī)律，如果0<a<1，那么x(n)的幅度隨n的增大而減小，此時的x(n)稱為收斂序列；如果a>1，那么x(n)的幅度隨n的增大而增大，此時的x(n)稱為發(fā)散序列。兩種情況的波形如圖1.2.5所示。圖1.2.5實指數(shù)序列

5.正弦型序列

正弦型序列是包絡為正弦、余弦變化的序列，其定義為

x(n)=sin(ωn+θ)

(1.2.7)

式中，ω是稱為正弦型序列的數(shù)字頻率；θ是初始相位。

初始相位為零的正弦序列如圖1.2.6所示。正弦序列可以通過對模擬正弦信號采樣得到。例如，連續(xù)正弦信號為

xa(t)=sin(Ωt)

它的采樣值為圖1.2.6正弦序列因為在數(shù)值上，序列值與采樣信號值相等，即

，所以得到數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關系為

ω=ΩT

(1.2.8)

式(1.2.8)具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率與序列的數(shù)字頻率成線性關系。由于采樣頻率fs與采樣周期T互為倒數(shù)，所以數(shù)字頻率相當于模擬域對采樣頻率的歸一化值。例如，當f=fs/2，即Ω=2πf=π/T時，對應的數(shù)字頻率ω=π。式(1.2.8)的關系很重要，以后的章節(jié)將會陸續(xù)用到。

6.周期序列

如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使得下面等式成立

x(n)=x(n+N)，－∞<n<∞

(1.2.9)

則稱序列x(n)為周期序列，其中N為周期。

圖1.2.7中的是一個周期序列，滿足式(1.2.9)的N有7，14，21，28等，其周期是7。圖1.2.7周期序列

7.復指數(shù)序列

復指數(shù)序列的定義為

x(n)=e(α+jω)n

(1.2.10)

式中ω為數(shù)字頻率。

當α=0時，有

x(n)=ejωn=cos(ωn)+jsin(ωn)

(1.2.11)

其中x(n)也稱為復正弦序列。

復正弦序列在數(shù)字信號處理中有著重要的應用，它不但是離散信號作傅立葉變換時的基函數(shù)，同時可作為離散系統(tǒng)的特征函數(shù)，在以后的討論中，會經(jīng)常用到它。1.2.3序列的基本運算

在數(shù)字信號處理中，對序列所作的基本運算包括乘法、加法、移位、翻轉及尺度變換等，將這些基本運算組合起來，可使系統(tǒng)處理信號的能力更強。下面分別加以介紹。

1.乘法和加法

序列之間的乘法和加法，是指它們的同序號的序列值逐項對應相乘和相加，如圖1.2.8所示。圖1.2.8序列的加法和乘法

2.移位

設k為正整數(shù)，則x(n－k)表示序列右移(延時)，x(n+k)表示序列左移，如圖1.2.9所示。在數(shù)字信號處理的硬件設備中，移位(延時)實際上是由一系列的移位寄存器來實現(xiàn)的。

序列x(n)在某一時刻k時的值x(k)可用δ(n)的延遲來表示，即

x(k)=x(n)δ(n－k)

顯然，x(n)在n的所有時刻的值可表示為(1.2.12)圖1.2.9序列的移位

3.信號時間尺度的變化

給定離散時間信號x(n)，令y(n)=x(Mn)，M為正整數(shù)，我們稱y(n)是由x(n)作M倍的抽取所產(chǎn)生的。若x(n)的抽樣頻率為fs，y(n)表示序列每隔M點取一點，其抽樣頻率將降至原抽樣頻率的1/M，即為fs/M。若令y(n)=x(n/L)，L為正整數(shù)，我們稱y(n)是由x(n)作L倍的插值所產(chǎn)生的。此時，y(n)表示在原序列兩相鄰點之間插入L－1個零值。抽取和插值是數(shù)字信號處理中的常用算法，我們將在第8章詳細討論。當M=2、L=2時，序列的抽取和插值如圖1.2.10所示。圖1.2.10序列的時間尺度變換當y(n)=x(－n)時，此運算稱為“時間翻轉”，即y(n)是由x(n)在時間為0的位置依縱軸作左、右翻轉而得到的。圖1.2.11給出了對應圖1.2.9中x(n)的翻轉圖。圖1.2.11序列的翻轉

1.3離散時間系統(tǒng)

一個離散時間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。若以T［·］表示這種運算，則一個離散時間系統(tǒng)可用圖1.3.1表示，記為

y(n)=T［x(n)］ (1.3.1)

對變換加上種種約束條件就可以定義出各類離散時間系統(tǒng)，本書主要討論線性時不變系統(tǒng)。圖1.3.1時間離散系統(tǒng)1.3.1線性系統(tǒng)

滿足線性疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設x1(n)和x2(n)分別表示系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即

y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］

可加性和齊次性是線性疊加原理的具體描述。

1.可加性

y1(n)+y2(n)=T［x1(n)］+T［x2(n)］=T［x1(n)+x2(n)］

2.齊次性

a1y1(n)=a1T［x1(n)］=T［a1x1(n)］

a2y2(n)=a2T［x2(n)］=T［a2x2(n)］

對于線性系統(tǒng)，若寫成N個輸入的一般表達式，則為

式(1.3.2)是線性疊加原理的一般表達式。(1.3.2)在證明一個系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng)時，必須證明此系統(tǒng)同時滿足可加性和齊次性，且信號包括復序列的任何序列，比例常數(shù)包括復數(shù)的任意數(shù)；而要說明系統(tǒng)是非線性，則只需說明它不滿足兩者之一即可。下面我們舉例加以說明。

例1.3.1試判別y(n)=T［x(n)］=5x(n)+3是否是線性系統(tǒng)。

解因為

y1(n)=T［x1(n)］=5x1(n)+3

y2(n)=T［x2(n)］=5x2(n)+3

ay1(n)+by2(n)=5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)而

T［ax1(n)+bx2(n)］=5ax1(n)+5bx2(n)+3

可見

T［ax1(n)+bx2(n)］≠ay1(n)+by2(n)

故此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。

y(n)=5x(n)+3是線性方程，但所表征的系統(tǒng)卻不是線性系統(tǒng)，其原因在于輸出中的常數(shù)項與輸入無關。1.3.2時不變系統(tǒng)

如果系統(tǒng)對輸入信號的運算關系在整個運算過程中不隨時間變化，或者說系統(tǒng)對于輸入信號的響應與信號加于系統(tǒng)的時刻無關，則這種系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。

對于時不變系統(tǒng)，若y(n)=T［x(n)］，則

y(n－k)=T［x(n－k)］ (1.3.3)

式(1.3.3)說明，若一個離散時間系統(tǒng)對x(n)的響應是y(n)，則將x(n)延遲k個單元，輸出也將相應延遲k個單元，則稱該系統(tǒng)具有移不變性。所以時不變系統(tǒng)又稱為移不變系統(tǒng)。

例1.3.2試證明是時不變系統(tǒng)。

解因為

可見

y(n－k)=T［x(n－k)］

因此該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。

例1.3.3試判別y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時不變系統(tǒng)。

解因為

y(n－k)=(n－k)x(n－k)

所以

T［x(n－k)］=nx(n－k)

可見

y(n－k)≠T［x(n－k)］

因此該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。

同樣可以判斷前面討論的抽取系統(tǒng)y(n)=x(Mn)，因為在任何輸入的延遲都會有一個因子M的壓縮，導致該系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。1.3.3線性時不變離散系統(tǒng)

同時滿足線性和時不變的離散系統(tǒng)稱為線性時不變(LinearShiftInvariant，LSI)離散系統(tǒng)。這種系統(tǒng)是應用最為廣泛的系統(tǒng)，可用其單位脈沖響應來表征，這樣系統(tǒng)的處理過程可統(tǒng)一用卷積運算表示。除非特別說明，本書討論的都是LSI系統(tǒng)。

單位脈沖響應是指輸入為單位脈沖序列時的系統(tǒng)輸出，一般記為h(n)，即

h(n)=T［δ(n)］ (1.3.4)由此可以確定任意輸入時的系統(tǒng)輸出，進而推出線性時不變離散時間系統(tǒng)一個非常重要的輸入輸出關系式。設系統(tǒng)的輸入序列為x(n)，輸出序列為y(n)，則從式(1.2.12)得知，任一序列x(n)可以寫成δ(n)的移位加權和，即

相應地，系統(tǒng)的輸出為由于系統(tǒng)是線性的，所以

又由于系統(tǒng)是時不變的，所以有T［δ(n－m)］=h(n－m)。因此可得下式：(1.3.5)這就是線性時不變離散系統(tǒng)的卷積和表達式。該式表明，線性時不變系統(tǒng)的輸出序列等于輸入序列和系統(tǒng)單位脈沖響應的線性卷積，用圖表示如圖1.3.2所示。圖1.3.2線性時不變系統(tǒng)1.3.4線性卷積的計算

線性卷積是一種非常重要的計算，它在數(shù)字信號處理過程中起著十分重要的作用，常在已知系統(tǒng)的單位脈沖響應時，用它來計算相應輸入序列下的輸出序列。

卷積的計算過程包括折疊(翻轉)、移位、相乘、相加四個步驟。

按照式(1.3.5)具體為：

(1)將x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并將h(m)進行翻轉，形成h(－m)。

(2)將h(－m)移位n，得到h(n－m)。當n>0時，序列右移；n<0時，序列左移。

(3)將x(m)和h(n－m)相同的序列值相乘。

(4)將相乘結果再相加。

按以上步驟即可得到卷積結果。

線性卷積的計算方法有圖解法、列表法和解析法，下面結合例題分別予以介紹。

例1.3.4設x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解采用圖解法。

由式(1.3.5)得按照線性卷積的四個步驟，首先分別畫出長度為4的矩形序列x(m)和h(m)，如圖1.3.3(a)、(b)所示；隨后將h(m)翻轉180°，得到h(－m)的波形(n=0)，如圖1.3.3(c)所示；接著將h(－m)和x(m)對應項相乘，再相加，得到y(tǒng)(0)=1。將h(－m)右移1位，得到h(1－m)的波形(n=1)，如圖1.3.3(d)所示；再將h(1－m)和x(m)對應項相乘，再相加，得到y(tǒng)(1)=2。依此類推，得到y(tǒng)(n)的波形，如圖1.3.3(f)所示。圖1.3.3例1.3.4線性卷積的圖解法過程

例1.3.5設x(n)=2δ(n)+δ(n－1)－2δ(n－2)，h(n)=

δ(n)+2δ(n－1)－δ(n－2)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解采用列表法。

如表1.3.1所示，x(m)和h(m)用第二和第三行表示。令n=0，h(n－m)=h(－m)，將h(m)以m=0為中心翻轉180°，得到h(－m)，即表中的第四行；將第四行和第二行對應值相乘再相加，得到y(tǒng)(0)=2；將第四行右移1位，得到第五行，即h(1－m)。將第五行和第二行上下對應值相乘再相加，得到y(tǒng)(1)=5。下面依此類推，得到全部的y(n)。

該例題也可用圖解法進行求解，請讀者自己練習。表1.3.1例1.3.5列表法

例1.3.6設x(n)=anu(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解采用解析法。

在已知兩個信號的閉式表達式時，可采用解析法直接計算卷積，即

要計算上式關鍵是根據(jù)求和號內(nèi)的兩個信號的非零區(qū)間，確定求和的上、下限。根據(jù)u(n－m)，得到n≥m才能取非零值；根據(jù)R4(m)，得到0≤m≤3才能取非零值。這樣m要同時滿足下面兩式：

m≤n，0≤m≤3

才能取非零值?？梢?，m的取值范圍和n有關，必須將其進行分段然后計算。

(1)n<0，y(n)=0。

(2)0≤n≤3，非零值區(qū)間為0≤m≤n，所以

(3)n≥4，非零值區(qū)間為0≤m≤3，所以寫成統(tǒng)一的表達式為線性卷積服從交換律、結合律和分配律，下面分別介紹。

1)交換律

由于卷積與兩卷積序列的次序無關，所以

y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)

(1.3.6)

也就是說，如果把單位脈沖響應改作輸入，而把輸入改作系統(tǒng)的單位脈沖響應，則輸出不變。

2)結合律

卷積運算服從結合律，即

x(n)*h1(n)*h2(n)=［x(n)*h1(n)］*h2(n)=x(n)*［h1(n)*h2(n)］

(1.3.7)

也就是說，兩個線性時不變系統(tǒng)級聯(lián)后仍構成一個線性時不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應為兩個系統(tǒng)單位脈沖響應的卷積和。

3)分配律

卷積運算服從分配律，即

x(n)*［h1(n)+h2(n)］=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)

(1.3.8)

也就是說，兩個線性時不變系統(tǒng)的并聯(lián)等效于一個系統(tǒng)，此系統(tǒng)的單位脈沖響應為兩個系統(tǒng)各自單位脈沖響應之和。

線性卷積的結合律和分配律分別如圖1.3.4(a)和(b)所示。圖1.3.4線性卷積的結合律和分配律此外，線性卷積還具有以下兩個重要性質：

(1)與δ(n)卷積的不變性：x(n)*δ(n)=x(n)，其物理意義為輸入信號通過一個零相位的全通系統(tǒng)。

(2)與δ(n－m)卷積的移位性：x(n)*δ(n－m)=x(n－m)，其物理意義為輸入信號通過一個線性相位的全通系統(tǒng)。1.3.5系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

1.系統(tǒng)的因果性

系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)物理上的可實現(xiàn)性。如果系統(tǒng)n時刻的輸出只取決于n時刻及n時刻以前的輸入信號，而和n時刻以后的輸入信號無關，則該系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，稱為因果系統(tǒng)；如果系統(tǒng)n時刻的輸出還和n時刻以后的輸入信號有關，則該系統(tǒng)在時間上違背了因果關系，無法物理實現(xiàn)，稱為非因果系統(tǒng)。

線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是

h(n)=0，n<0

(1.3.9)下面予以證明。

證明

(1)充分條件。

若n<0時，h(n)=0，則

所以

所以y(n0)只和m≤n0時的x(m)值有關，因此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。

(2)必要條件。

利用反證法來證明。已知為因果系統(tǒng)，如果假設n<0時h(n)≠0，則

在所設條件下，第二個∑式中至少有一項不為零，y(n)將至少和m>n時的一個x(m)值有關，這不符合因果性條件，所以假設不成立。因而n<0時，h(n)=0是必要條件?？梢?，式(1.3.9)是判定線性時不變系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)的充要判據(jù)。事實上，單位脈沖響應是系統(tǒng)輸入為δ(n)時的系統(tǒng)零狀態(tài)輸出響應。δ(n)只有在n=0時，才取非零值1；當n<0時，δ(n)=0。因此在n<0時，系統(tǒng)沒有非零輸出，這必然是因果系統(tǒng)。我們一般將滿足式(1.3.9)的序列稱為因果序列，因果系統(tǒng)的單位脈沖響應必然是因果序列。理想低通濾波器、理想微分器以及理想的90°移相器等，都是非因果的不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。但是，如果不是實時處理，或雖實時但允許有很大的延遲，則可把“將來”的輸入值存儲起來以備調(diào)用。那么可用具有很大延遲的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)，這個概念在后續(xù)講解有限長單位脈沖響應濾波器設計時要用到，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的特點之一。

2.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

所謂系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)對任意有界的輸入都能得到有界的輸出。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，盡管輸入很小，系統(tǒng)的輸出會無限制地增長，使系統(tǒng)發(fā)生飽和、溢出。因此，設計系統(tǒng)輸入時一定要避免系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應絕對可和，用公式表示為(1.3.10)

證明

(1)充分條件。

利用卷積公式有

因為輸入序列x(n)有界，即

|x(n)|<B，－∞<n<∞，B為任意常數(shù)可見，如果系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)滿足式(1.3.10)，那么輸出y(n)一定也是有界的，即

|y(n)|≤∞

(2)必要條件。

利用反證法來證明。如果系統(tǒng)單位脈沖響應不服從絕對可和的條件，將證明系統(tǒng)不穩(wěn)定。假定我們可以找到一個有界的輸入為

1，h(－m)≥0

－1，h(－m)<0

則

即在n=0輸出無界，這不符合穩(wěn)定的條件，因而假定不成立，必要條件得證。

x(m)=

例1.3.7設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=anu(n)，式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

解由于n<0時，h(0)=0，所以該系統(tǒng)是因果的。

只有當|a|<1時，有

因此，該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是|a|<1；否則，|a|≥1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例1.3.8試判斷y(n)=T［x(n)］=x(n)cos(ωn+φ)系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

解因為y(n)只是與y(n)的當前值有關，而與x(n+1)，x(n+2)…等未來值無關，故系統(tǒng)是因果的。

當|x(n)|<M時，有

|T［x(n)］|=|x(n)cos(ωn+φ)|≤|x(n)||cos(ωn+φ)|<

M|cos(ωn+φ)|

由于|cos(ωn+φ)|≤1是有界的，所以y(n)也是有界的，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

1.4離散時間系統(tǒng)的時域描述

連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入輸出關系常用微分方程描述，而在離散時間系統(tǒng)中，由于它的變量n是離散的整型變量，則用差分方程來描述。對于線性時不變系統(tǒng)，常用的是常系數(shù)線性差分方程，因此我們主要討論這類差分方程及解法。

1.4.1常系數(shù)線性差分方程的一般表達式

一個N階常系數(shù)線性差分方程，其一般形式為(1.4.1)或

式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ak和bk均為常數(shù)，y(n－k)項和x(n－k)項只有一次冪，也沒有交叉項，故稱為線性常系數(shù)差分方程。

差分方程的階數(shù)等于方程中y(n－k)變量序號k的最大值與最小值之差。例如，式(1.4.2)中，變量k的最大值為N，最小值為0，故為N階差分方程。(1.4.2)差分方程具有以下特點：

(1)采用差分方程描述系統(tǒng)簡便、直觀、易于計算機實現(xiàn)；

(2)容易得到系統(tǒng)的運算結構；

(3)便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應。但差分方程不能直接反映系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性，實際上用來描述系統(tǒng)的多數(shù)還是采用系統(tǒng)函數(shù)。1.4.2常系數(shù)線性差分方程的求解

常系數(shù)差分方程的求解方法有遞推法、時域經(jīng)典法、卷積法和變換域法。遞推法比較簡單，但不能直接給出一個完整的解析式作為解答(也稱做閉式解)。時域經(jīng)典法類似解微分方程，過程繁瑣，應用很少。卷積法適用于系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時(即所謂松弛系統(tǒng))的求解。變換域法類似于連續(xù)時間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里采用Z變換法來求解差分方程，這在實際使用上是最簡單有效的方法。Z變換法將在第2章討論，本章僅介紹遞推法。觀察式(1.4.1)，如果已知輸入信號，求n時刻的輸出，需要知道輸入信號x(n)，以及n時刻以前的N個輸出信號值：y(n－1)，y(n－2)，y(n－3)，…，y(n－N)。這N個輸出信號值稱為初始條件，說明解N階方程需要N個初始條件。

式(1.4.1)是一個遞推方程，如果已知輸入信號和N個初始條件，可以先求出n時刻的輸出，再將該式中的n用n+1代替，求出n+1時刻的輸出，依此類推，求出各時刻的輸出。這就是遞推法解差分方程的原理。

例1.4.1已知系統(tǒng)的差分方程用下式描述：

y(n)=ay(n－1)+x(n)

式中，x(n)=δ(n)，初始條件y(－1)=1，用遞推法求系統(tǒng)n≥0的輸出。

解由y(n)=ay(n－1)+x(n)，可得

n=0y(0)=ay(－1)+δ(0)=1+a

n=1y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a

n=2y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2

n=k

y(k)=(1+a)aku(k)如果已知系統(tǒng)的差分方程，用遞推法求解系統(tǒng)的脈沖響應，應該設初始條件為0，輸入信號為x(n)=δ(n)，此時系統(tǒng)的單位脈沖響應等于輸出，即h(n)=y(n)。例1.4.1中，令y(－1)=0，得到h(n)=y(n)=anu(n)。

1.5模擬信號的離散化和重構

前面指出了離散時間信號與連續(xù)時間信號在一些重要理論概念上的相似性，但回避了它們之間的聯(lián)系。然而離散時間信號是從連續(xù)時間信號通過等間隔采樣得到的，因此，弄清采樣得到的信號與原始信號有何關系是必要的。模擬信號的數(shù)字處理分為三個階段：

(1)模擬信號數(shù)字化，換句話說，信號被采樣，然后量化成有限位，這個過程稱為A/D轉換。

(2)采用數(shù)字信號處理的方法處理數(shù)字化的樣本。

(3)用模擬重構器(D/A轉換)把處理結果轉換回模擬形式。1.5.1時域采樣定理

將模擬信號xa(t)變成離散時間信號

有許多采樣方法，其中最常用的是等間隔采樣，即每隔一個固定時間T取一個信號值。T稱為采樣周期，T的倒數(shù)稱為采樣頻率fs，而其對應的角頻率為Ωs=2πfs。采樣器一般由電子開關S組成，假設讓模擬信號xa(t)通過S，S每隔時間T合上一次，合上時間為τ，則S的輸出如圖1.5.1(a)所示，它相當于用模擬信號對一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖串pτ(t)調(diào)

幅，這樣，=xa(t)pτ(t)。如果讓τ→0，則形成理想采樣，此時上面的脈沖串用單位沖激串pδ(t)代替，輸出為=xa(t)pδ(t)，其中稱為理想采樣信號，它是離散時間信號。xa(t)、pδ(t)和的波形如圖1.5.1(b)所示。圖1.5.1對模擬信號進行采樣的示意圖下面分析理想采樣信號的頻譜與模擬信號頻譜的關系。

單位沖激串pδ(t)和理想采樣信號的表達式分別為

pδ(t)的傅里葉級數(shù)展開式為(1.5.1)(1.5.2)(1.5.3)

其中

將式(1.5.3)代入式(1.5.2)得對上式作傅里葉變換得

式中，是采樣信號的頻譜；Xa(jΩ)是原信號xa(t)的頻譜。(1.5.4)式(1.5.4)表明，理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸每隔Ωs出現(xiàn)一次，或者說理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以Ωs為周期，進行周期性延拓形成的。

假設xa(t)是帶限信號，即它的頻譜集中在0～Ωs之間，最高角頻率為Ωc，以Ωs對它進行理想采樣。理想采樣以后得到的理想采樣信號的頻譜用表示，按式(1.5.4)，是以采樣角頻率為周期，將模擬信號的頻譜進行周期延拓形成的。若Ωs≥2Ωc，則Xa(jΩ)、Pδ(jΩ)和的示意圖如圖1.5.2所示。圖1.5.2采樣信號的頻譜一般稱Ωs/2為折疊角頻率，它的意義是信號的最高頻率不能超過該頻率，否則超過該頻率的頻譜部分會以Ωs/2為中心折疊回去，造成頻譜混疊現(xiàn)象，如圖1.5.3所示。值得注意的是，頻譜混疊應是復量疊加(圖中未考慮，僅是示意圖)。

一般稱式(1.5.4)中n=0時的頻譜為基帶譜，它和原模擬信號的頻譜是一樣的。此時用一個低通濾波器對理想采樣信號進行低通濾波，如果該低通濾波器的傳輸函數(shù)如下式：(1.5.5)便可無失真地把模擬信號恢復出來，如圖1.5.4所示。因此條件Ωs≥2Ωc是選擇采樣頻率的重要依據(jù)。

可見，為使采樣后能不失真地還原出原信號，采樣頻率必須大于信號最高頻率的2倍，即fs≥2fc，這就是時域采樣定理，也稱為奈奎斯特采樣定理，對應的最低采樣頻率稱為奈奎斯特采樣頻率。工程上的采樣頻率一般為奈奎斯特采樣頻率的3～5倍。圖1.5.3采樣信號頻譜中的頻譜混疊現(xiàn)象圖1.5.4理想采樣信號的恢復1.5.2采樣信號的重構

下面討論如何從理想采樣信號中重構出模擬信號xa(t)。由式(1.5.5)得理想低通濾波器的沖激響應為(1.5.6)根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為(1.5.7)因為滿足采樣定理，所以得到

我們稱式(1.5.8)為時域內(nèi)插公式， 為時域內(nèi)插函數(shù)。(1.5.8)由式(1.5.8)可見，當n變化時，xa(nT)是一串離散的采樣值，而xa(t)是t取連續(xù)值的模擬信號，它是xa(nT)乘上對應的時域內(nèi)插函數(shù)的總和。時域內(nèi)插函數(shù)的波形如圖1.5.5所示，其特點是在采樣點nT上函數(shù)值為1，其余采樣點上，函數(shù)值都為0。內(nèi)插結果使得被恢復的信號在采樣點的值就等于xa(nT)，采樣點之間的信號則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成的，這種采用內(nèi)插恢復的過程如圖1.5.6所示。這也正是在連續(xù)低通濾波器G(jΩ)中的響應過程。圖1.5.5時域內(nèi)插函數(shù)圖1.5.6采樣內(nèi)插恢復采樣內(nèi)插公式表明，只要采樣頻率高于信號最高頻率的2倍，則整個連續(xù)信號就可以完全用它的采樣值代表，而不會失去任何信息。這就是奈奎斯特采樣定理的物理意義。值得注意的是，這里的采樣信號未經(jīng)過量化，幅值大小是連續(xù)的。

1.5.3模擬信號的數(shù)字化

模擬信號的數(shù)字化是通過A/D轉換器完成的，A/D轉換器的原理框圖如圖1.5.7所示。圖中模擬信號首先被等間隔采樣，得到采樣信號，然后對采樣信號進行量化編碼。設A/D轉換器有b位，則A/D轉換器的輸出就是b位的二進制數(shù)字信號。圖1.5.7

A/D轉換器原理框圖假設模擬信號xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz，選采樣頻率fs=200Hz，將t=nT=n/fs代入xa(t)中，得到

當n=…，0，1，2，3，…時，得到采樣序列(保持小數(shù)點后6位)為

x(n)={…，0.382683，0.923879，－0.382683，

－0.923879，…}如果A/D轉換器按6位進行量化編碼，即上面的采樣序列均用6位二進制碼表示，其中第1位表示符號，那么形成的數(shù)字信號為

如果將上面的數(shù)字信號再用十進制數(shù)表示，則

可見，量化編碼后的采樣序列和原序列不同，它們之間的誤差稱為量化誤差。A/D轉換器中因量化編碼產(chǎn)生的量化誤差及其量化效應的內(nèi)容請參考相關文獻。1.5.4數(shù)字信號的模擬化

當需要將數(shù)字信號轉換成模擬信號時，首先需要將編碼的數(shù)字信號轉換成采樣信號，然后再經(jīng)過插值與平滑濾波器。具體是用D/A轉換器和一個低通濾波器完成的。

D/A轉換器具體完成解碼和將采樣序列轉換成時域連續(xù)信號，其中解碼是將二進制編碼變成具體的信號值。

習題

1.1用單位脈沖序列及其加權和寫出如題1.1圖所示的序列。題1.1圖

1.2給定信號

(1)畫出x(n)的波形，標出各序列值；

(2)試用延遲的單位脈沖序列及其加權和表示x(n)序列；

(3)令x1(n)=2x(n－2)，畫出x1(n)的波形；

(4)令x2(n)=x(2－n)，畫出x2(n)的波形。

1.3判斷下列序列是否是周期信號，若是周期的，則確定其周期。

(1)sin(1.2n) (2)sin(9.7πn)

(3)ej1.6πn (4)

(5) (6)

1.4對圖P1.1給出的x(n)，要求：

(1)畫出x(－n)的波形；

(2)計算 ，并畫出xe(n)的波形；

(3)計算 ，并畫出xo(n)的波形；

(4)令x1(n)=［xe(n)+xo(n)］，將x1(n)和x(n)進行比較，你能得出何結論？

1.5以下序列是系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)，試說明系統(tǒng)是否是因果的或是穩(wěn)定的。

(1) (2)

(3)3nu(n) (4)3nu(－n)

(5)0.3nu(n) (6)0.3nu(－n－1)

(7)δ(n+4)

1.6假設系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關系分別如下式所示，試分析系統(tǒng)是否是線性時不變系統(tǒng)。

(1)y(n)=3x(n)+8 (2)y(n)=x(n－1)+1

(3)y(n)=x(n)+0.5x(n－1) (4)y(n)=nx(n)

1.7如題1.7圖所示，

(1)根據(jù)串、并聯(lián)系統(tǒng)的原理直接寫出總的系統(tǒng)單位脈沖響應h(n)；

(2)設

h1(n)=4×0.5n［u(n)－u(n－3)］，h2(n)=h3(n)=(n+1)u(n)

h4(n)=δ(n－1)，h5(n)=δ(n)－4δ(n－3)

試求總的系統(tǒng)單位脈沖響應h(n)，并推出y(n)和輸入x(n