初中數(shù)學(xué)常用幾何模型

第1頁(yè)目錄1.8字模型與飛鏢模型2.手拉手全等模型3.三垂直全等模型4.角平分線平行線模型5.角平分線＋兩垂線段模型6.等腰三角形的存在性問(wèn)題7.A型、8型相似模型8.一線三等角相似模型8字模型與飛鏢模型資料編號(hào):202109012143關(guān)鍵詞8字模型飛鏢模型8字模型如圖所示,AC、BD相交于點(diǎn)O,連結(jié)AD、BC,則有.因?yàn)檫@個(gè)圖形像數(shù)字8,所以我們把這個(gè)模型稱為8字模型.8字模型的證明:證法一:∵∴.（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和）證法二:∵∴∵∴.點(diǎn)評(píng)8字模型的結(jié)論常被用來(lái)求角度或證明兩個(gè)角相等,多出現(xiàn)在幾何綜合題中.有些復(fù)雜的幾何問(wèn)題,應(yīng)用8字模型的結(jié)論,往往會(huì)出奇制勝,達(dá)到意想不到的效果（見(jiàn)后面的例題）.飛鏢模型如圖所示,有結(jié)論:.因?yàn)檫@個(gè)圖形像飛鏢,所以我們把這個(gè)模型稱為飛鏢模型.飛鏢模型常被用來(lái)推導(dǎo)幾何圖形中角之間的等量關(guān)系.飛鏢模型的證明:證法一:延長(zhǎng)BC,交AD于點(diǎn)E,如下圖所示.∵∴.證法二:作射線AC,如下圖所示.∵∴∴.模型舉例例1.如圖所示,求證:.證法一:（飛鏢模型）設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)F,如圖所示.∵∴∵∴.證法二:（8字模型）連結(jié)CD,如圖所示,則有∵∴∴.證法三:（利用三角形內(nèi)角和定理與外角和定理）∵∴.例2.如圖所示,_________.解法一:（利用8字模型）∵∴∵∴.解法二:（利用三角形內(nèi)角和定理與外角和定理）∵∴∵∴.例3.如圖所示,_________.解:（利用飛鏢模型）設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)F,如圖所示.∵∴∵∴.例4.如圖,△ABC和△DCE均是等腰三角形,,.（1）求證:;（2）若,求的度數(shù).（1）證明:∵∴∴在△BCD和△ACE中∵∴△BCD≌△ACE（SAS）∴;（2）解:方法一:∵△BCD≌△ACE∴∵∴∵∴方法二:∵∴∵∴∵△BCD≌△ACE∴∵∴∵∴.點(diǎn)評(píng)方法二用到了“8”字模型的結(jié)論,如下圖所示.例5.如圖所示,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,BD與CE相交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N.求證:（1）;（2）.第27頁(yè)證明:（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）∴;（2）∵△ABD≌△ACE∴∵（8字模型）∴∴.例6.（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,△ABC和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,連結(jié)BE.填空:=1\*GB3①的度數(shù)為_(kāi)________;=2\*GB3②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________;（2）拓展探究如圖2,△ABC和△DCE均為等腰直角三角形,,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,CM為△DCE的高,連結(jié)BE,請(qǐng)寫出的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.解:（1）=1\*GB3①;=2\*GB3②;提示:∵△ABC和△DCE均為等邊三角形∴∴∴在△ACD和△BCE中∵∴△ACD≌△BCE（SAS）（屬于“手拉手”全等模型）∴∵（屬于“8”字模型）∴.（2）解:,;理由如下:∵∴∴∵△ABC和△DCE均為等腰直角三角形∴在△ACD和△BCE中∵∴△ACD≌△BCE（SAS）……7分∴∵∴……8分∵∴CM平分∴∴∴∵∴.手拉手全等模型資料編號(hào):202108292312關(guān)鍵詞手拉手全等模型三角形全等手拉手全等模型介紹手拉手全等模型常見(jiàn)的有三種圖形形式:兩個(gè)等腰直角三角形組成的手拉手全等模型、兩個(gè)等邊三角形組成的手拉手全等模型以及兩個(gè)普通等腰三角形組成的手拉手全等模型.必須說(shuō)明的是,組成手拉手全等模型的兩個(gè)等腰三角形,共用頂角的頂點(diǎn)（即兩個(gè)頂角的頂點(diǎn)重合）,且兩個(gè)等腰三角形的頂角相等.如圖1、圖2、圖3所示,如果把大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手,小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作小手,兩個(gè)等腰三角形共用頂角的頂點(diǎn),類似大手拉著小手,所以把這種模型稱為手拉手模型（手拉手模型還有手拉手相似模型）.圖中兩個(gè)等腰三角形的相對(duì)位置發(fā)生變化時(shí),始終存在一對(duì)全等三角形.手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合,作為幾何綜合題出現(xiàn).在圖1、圖2、圖3中,△ABC和△ADE均為等腰三角形,,且,連結(jié)BD、CE,則△ABD≌△ACE.結(jié)論證明:（以圖1為例）∵∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）.結(jié)論證明:（以圖2為例）∵∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）.點(diǎn)評(píng)手拉手全等模型的依據(jù)都是SAS.重要推論推論1如圖所示,△ABC和△ADE均為等腰直角三角形,,連結(jié)BD、CE,則有:（1）△ABD≌△ACE;（2）.推論1證明:（1）∵∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）;（2）∵△ABD≌△ACE∴延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F,如圖所示.∵∴∴.推論2如圖所示,△ABD和△BCE均為等邊三角形,點(diǎn)A、B、C在同一直線上,連結(jié)AE、CD,則有:（1）△ABE≌△DBC;（2）;（3）;（4）△ABG≌△DBF;（5）△BEG≌△BCF;（6）連結(jié)GF,則;（7）連結(jié)HB,則HB平分.推論2證明:（1）∵△ABD和△BCE均為等邊三角形∴,∵點(diǎn)A、B、C在同一直線上∴在△ABE和△DBC中∵∴△ABE≌△DBC;（2）由（1）可知:△ABE≌△DBC∴;（3）∵△ABE≌△DBC∴∵∴;（“8”字模型）（4）∵∴∴在△ABG和△DBF中∵∴△ABG≌△DBF（ASA）;（5）∵△ABG≌△DBF∴由前面可知:在△BEG和△BCF中∵∴△BEG≌△BCF（SAS）;（6）連結(jié)GF,如圖所示.∵,∴△BFG為等邊三角形∴∴;（7）連結(jié)HB,如圖所示,作.∵△ABE≌△DBC∴,∴∴∵,∴點(diǎn)B在的平分線上∴HB平分.點(diǎn)評(píng)要求學(xué)生能從復(fù)雜的幾何圖形中辨識(shí)出手拉手全等模型,并能用SAS證明兩個(gè)三角形全等.模型舉例例1.如圖,在△ABC和△ADE中,,點(diǎn)C、D、E在同一條直線上,連結(jié)BD.求證:（1）△ABD≌△ACE;（2）試猜想BD、CE有何關(guān)系,并證明.分析:由條件可知△ABC和△ADE均為等腰直角三角形,所以該圖形中存在手拉手全等模型,手拉手全等模型的依據(jù)都是SAS.證明:（1）∵∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）;（2）.理由如下:∵△ABD≌△ACE∴∵∴∴∴∴.例2.如圖,△OAB和△OCD都是等邊三角形,連結(jié)AC、BD相交于點(diǎn)E.（1）求證:=1\*GB3①△OAC≌△OBD;=2\*GB3②;（2）連結(jié)OE,OE是否平分?請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明:=1\*GB3①∵△OAB和△OCD都是等邊三角形∴∴∴在△OAC和△OBD中∵∴△OAC≌△OBD（SAS）;=2\*GB3②∵△OAC≌△OBD∴∵∴∴∴∴∴（2）OE平分.理由如下:作∵△OAC≌△OBD∴,∴∴∵,∴OE平分.（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）例3.如圖所示,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,BD與CE相交于點(diǎn)M,BD與AC交于點(diǎn)N.求證:（1）;（2）.證明:（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴∴∴在△ABD和△ACE中∵∴△ABD≌△ACE（SAS）∴;（2）∵△ABD≌△ACE∴∵∴∴.例4.如圖,在線段AE的同側(cè)作等邊△ABC和等邊△CDE（）,點(diǎn)P與點(diǎn)M分別是線段BE和AD的中點(diǎn).求證:△CPM是等邊三角形.分析:本題圖形中包含手拉手全等模型,我們可以證明△ACD和△BCE全等.另外,關(guān)于等邊三角形的判定,可先證明三角形是等腰三角形,再證明三角形有一個(gè)角等于.證明:∵△ABC和△CDE都是等邊三角形∴,∴∴在△ACD和△BCE中∵∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∵點(diǎn)P與點(diǎn)M分別是線段BE和AD的中點(diǎn)∴在△ACM和△BCP中∵∴△ACM≌△BCP（SAS）∴,∴∵,∴△CPM是等邊三角形.三垂直全等模型資料編號(hào):202108282255關(guān)鍵詞三垂直全等模型一線三等角全等模型三角形全等三垂直全等模型介紹如圖1、圖2、圖3所示,為三種常見(jiàn)的三垂直全等模型.如圖1所示,.結(jié)論:△BCD≌△CAE.結(jié)論的證明:∵∴,∵∴∴在△BCD和△CAE中∵∴△BCD≌△CAE（AAS）.重要推論推論1如圖1所示,,則有:;證明:由前面可知:△BCD≌△CAE∴∵∴.推論2如圖2所示,,則有:.證明:∵∴,∵∴∴在△BCD和△CAE中∵∴△BCD≌△CAE（AAS）∴∵∴.說(shuō)明三垂直全等模型是一種常見(jiàn)的幾何模型,同學(xué)們要記住這種幾何模型的圖形特征和題目特點(diǎn),以后遇到這種模型常常要證明兩個(gè)三角形全等.模型舉例例1.如圖,直線上有三個(gè)正方形,若的面積分別是5和11,則的面積是_________.分析三垂直全等模型作為一種重要且常見(jiàn)的幾何模型,要求同學(xué)們能從復(fù)雜的幾何圖形中辨識(shí)出這種模型,若能找出這種模型,往往要證明兩個(gè)三角形全等,從而解決相關(guān)的問(wèn)題.解析:根據(jù)“三垂直全等模型”,本題易證:△BCG≌△GJF.∴由題意可得:∴在Rt△BCG中,由勾股定理得:.∴的面積是16.例2.如圖1所示,已知在△ABC中,,,點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)（）,分別過(guò)點(diǎn)B、C作于點(diǎn)E,于點(diǎn)F.（1）求證:;（2）如圖2,若點(diǎn)P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),其他條件不變,則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系?畫圖并直接寫出你的結(jié)論.（1）證明:∵,∴,∵∴∴在△ABE和△CAF中∵∴△ABE≌△CAF（AAS）∴∵∴;（2）如圖3所示..提示:關(guān)鍵在于證明△ABE≌△CAF.例3.如圖,在△ABC中,,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且于D,于E.（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),求證:=1\*GB3①△ADC≌△CEB;=2\*GB3②;（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),求證:;（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),請(qǐng)直接寫出DE、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系.（1）證明:=1\*GB3①∵,∴∵∴∵∴在△ADC和△CEB中∵∴△ADC≌△CEB（AAS）;=2\*GB3②∵△ADC≌△CEB∴∵∴;（2）∵,∴∵∴∵∴在△ADC和△CEB中∵∴△ADC≌△CEB（AAS）∴∵∴;（3）.提示:仍然是證明△ADC≌△CEB.例4.（1）如圖1所示,已知在△ABC中,,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,于點(diǎn)D,于點(diǎn)E,求證:;（2）如圖2,將（1）中的條件改為:在△ABC中,,D、A、E三點(diǎn)都在直線上,且有,其中為任意銳角或鈍角,請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.第33頁(yè)（1）證明:∵,∴∴∵∴∴在△ABD和△CAE中∵∴△ABD≌△CAE（AAS）∴∵∴;（2）成立.理由如下:∵∴∵∴∴在△ABD和△CAE中∵∴△ABD≌△CAE（AAS）∴∵∴.點(diǎn)評(píng)第二問(wèn)所涉及到的幾何模型為“一線三等角全等模型”,而我們?cè)谇懊婊ù笃榻B的“三垂直全等模型”屬于“一線三等角全等模型”的特殊情況.角平分線平行線模型資料編號(hào):202108310011關(guān)鍵詞角平分線平行線等腰三角形角平分線平行線模型介紹如圖所示,OM平分,點(diǎn)P是OM上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作,交OA于點(diǎn)C,則△POC是等腰三角形.下圖就是角平分線平行線模型.模型證明:∵OM平分∴∵∴∴∴∴△POC是等腰三角形.點(diǎn)評(píng)在角平分線的條件下,常過(guò)角平分線上一點(diǎn)作一邊的平行線,構(gòu)造等腰三角形.重要推論推論1如圖所示,在△ABC中,、的平分線交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,則有:（1）;（2）;（3）.推論1證明:（1）∵BD平分∴∵∴∴∴同理可證:;（2）∵∴;（3）∵∴.推論2如圖所示,四邊形ABCD為平行四邊形,把△BCD沿對(duì)角線BD折疊,得到△,交AD于點(diǎn)E,則△BDE為等腰三角形.說(shuō)明:由折疊可知:,即BD平分,所以上圖中包含角平分線平行線模型.推論2證明:由折疊可知:∵四邊形ABCD為平行四邊形∴∴∴∴∴△BDE為等腰三角形.模型舉例例1.如圖,把一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD沿BD對(duì)折,使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,BE與AD相交于點(diǎn)O.（1）由折疊可知△BCD≌△BED,除此之外,圖中還存在其他的全等三角形,請(qǐng)寫出一組全等三角形:________________;（2）圖中有等腰三角形嗎?請(qǐng)你找出來(lái):__________;（3）若,求OB的長(zhǎng)度.解:（1）△ABD≌△EDB;（或△ABD≌△CDB或△AOB≌△EOD）（2）△BOD;提示:如圖上所示,由折疊可知:∵（為什么?）∴∴∴,即△BOD為等腰三角形.（3）由（2）可知:.設(shè),則∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形∴在Rt△AOB中,由勾股定理得:∴解之得:∴.例2.如圖,點(diǎn)O是△ABC的邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線.直線MN交的平分線于點(diǎn)E,交的外角平分線于點(diǎn)F.（1）求證:;（2）若,求OC的長(zhǎng).第55頁(yè)（1）證明:∵CE平分∴∵∴∴∴同理可證:∴;（2）解:∵CF平分∴∵∴在Rt△ECF中,由勾股定理得:由（1）可知:.例3.如圖,在△ABC中,AD平分,點(diǎn)E、F分別在BD、AD上,,且.求證:.證明:作交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.∴∵AD平分∴∴∴∵∴∴在△EDF和△CDG中∵∴△EDF≌△CDG（AAS）∴∴.例4.解答下列問(wèn)題:（1）如圖1所示,在△ABC中,,點(diǎn)D在EF上,BD、CD分別平分,寫出線段EF與BE、CF的數(shù)量關(guān)系;（2）如圖2所示,BD平分,CD平分外角,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,寫出線段EF與BE、CF的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;（3）如圖3所示,BD、CD為外角的平分線,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,直接寫出線段EF與BE、CF的數(shù)量關(guān)系.（1）∵BD平分∴∵∴∴∴同理可證:;∵∴;（2）.理由如下:∵BD平分∴∵∴∴∴同理可證:;∵∴;（3）.例5.如圖,在梯形ABCD中,,點(diǎn)E在CD上,且AE平分,BE平分.求證:.證明:延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵AE平分∴∵∴∴∴∵,BE平分∴在△ADE和△FCE中∵∴△ADE≌△FCE（ASA）∴∵∴.點(diǎn)評(píng)利用右圖所示的輔助線也能證明問(wèn)題.角平分線＋兩垂線段模型資料編號(hào):202112022157關(guān)鍵詞角平分線性質(zhì)定理等腰三角形三角形全等輔助線垂線段模型介紹角平分線＋兩垂線段模型如圖1,點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作,由角平分線的性質(zhì)定理則有.這就是角平分線＋兩垂線模型.這種模型蘊(yùn)含了邊相等、角相等和三角形全等,還可以構(gòu)造出等腰三角形.在圖1中,若連結(jié)DE,則得到等腰三角形PDE和等腰三角形DOE.模型推論（1）;（2）Rt△POD≌Rt△POE;（3）.證明:（1）∵OP平分,∴∴;（2）∵∴△POD和△POE都是直角三角形在Rt△POD和Rt△POE中∵∴Rt△POD≌Rt△POE（HL）;（3）由（2）可知:Rt△POD≌Rt△POE∴.模型應(yīng)用例1.如圖2所示,在△ABC中,,AD平分,若,那么點(diǎn)D到直線AB的距離是__________.分析本題條件中有角平分線,有角平分線上一點(diǎn)到一邊的垂線段（距離）,唯獨(dú)缺少該點(diǎn)到另一邊的垂線段（距離）,若作出該垂線段,則可構(gòu)造出角平分線＋兩垂線段模型.解:作,則線段DE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)D到直線AB的距離.∵AD平分,∴∵∴∴∴點(diǎn)D到直線AB的距離是2.例2.如圖4所示,在△ABC中,,AD是△ABC的角平分線,于點(diǎn)E.（1）求的度數(shù);（2）若,求.分析對(duì)于（1）,可根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余解決問(wèn)題;對(duì)于（2）,可構(gòu)造角平分線＋兩垂線段模型求出AC邊上的高DF,從而求出△ACD的面積,繼而求出△ABC的面積.解:（1）∵∴∵AD平分∴∵∴∴;（2）作.∵AD平分,,∴∴.例3.如圖6所示,在△ABC中,,AD是的平分線,,,求證:（1）;（2）.分析根據(jù)條件知圖6中存在角平分線＋兩垂線段模型,故有,這就為Rt△DCF和Rt△DEB全等提供了條件.證明:（1）∵AD平分,,（）∴在Rt△DCF和Rt△DEB中∵∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）∴;（2）在Rt△ACD和Rt△AED中∵∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∵∴.例4.如圖8所示,在四邊形ABCD中,平分.求證:.分析本題難度較高,要證明,可證明等于的鄰補(bǔ)角,而證明兩個(gè)角相等,可通過(guò)證明兩個(gè)角所在的三角形全等完成,必要時(shí)需要添加輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形.題中已有角平分線的條件,過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線段,即作出角平分線＋兩垂線段模型,即可構(gòu)造出全等三角形.證明:過(guò)點(diǎn)D作,,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵平分,,∴在Rt△DCE和Rt△DAF中∵∴Rt△DCE≌Rt△DAF（HL）∴,即∵∴.例5.如圖10所示,AD平分,DE所在直線是BC的垂直平分線,E為垂足,過(guò)點(diǎn)D作.求證:（1）;（2）.分析對(duì)于（1）,我們能想到的最直接的方法是全等法,那就是證明BM和CN所在的三角形全等即可,圖中只需連結(jié)DB、DC,就可以構(gòu)造出全等三角形;對(duì)于（2）,直接下手證明會(huì)比較困難,于是我們把等式轉(zhuǎn)化為,證明這個(gè)等式成立即可,當(dāng)然,第（1）問(wèn)的結(jié)論會(huì)為我們提供重要的條件.證明:（1）連結(jié)DB、DC,如圖11所示.∵DE垂直平分BC∴∵AD平分,∴在Rt△DBM和Rt△DCN中∵∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）∴;（2）在Rt△ADM和Rt△ADN中∵∴Rt△ADM≌Rt△AND（HL）∴∵∴∴.等腰三角形的存在性問(wèn)題資料編號(hào):202111182021關(guān)鍵詞等腰三角形分類討論尺規(guī)作圖垂直平分線在八年級(jí)數(shù)學(xué)中,學(xué)完了等腰三角形的性質(zhì)和判定后,我們會(huì)遇到等腰三角形的存在性問(wèn)題,這類問(wèn)題往往需要學(xué)生根據(jù)情況分類討論,確定等腰三角形的各種存在形態(tài),然后根據(jù)每種形態(tài)解決相關(guān)問(wèn)題.然而我看到的是,學(xué)生不能考慮到每一種可能的形態(tài),從而造成漏解.究其原因,我想是學(xué)生分類討論思想方法欠缺,不會(huì)借助于圓和線段垂直平分線的性質(zhì)輔助解決問(wèn)題造成的.下面,我將教會(huì)大家如何借助于圓的知識(shí)和線段垂直平分線的性質(zhì),將等腰三角形的各種存在性（形態(tài)）“一網(wǎng)打盡”.如圖1所示,已知線段AB,現(xiàn)確定一點(diǎn)C,使△ABC為等腰三角形.由于沒(méi)有指明線段AB是腰長(zhǎng)還是底邊長(zhǎng),所以我們需要分為兩種情況進(jìn)行討論:（1）當(dāng)AB為等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí):=1\*GB3①以點(diǎn)A為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑畫圓,則圓上任一異于直線AB與圓的交點(diǎn)的點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C,如圖2所示;=2\*GB3②以點(diǎn)B為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑畫圓,則圓上任一異于直線AB與圓的交點(diǎn)的點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C,如圖3所示;（2）當(dāng)AB為等腰三角形的底邊長(zhǎng)時(shí),根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,利用尺規(guī)作圖作出線段AB的垂直平分線,垂足為點(diǎn)D,則垂直平分線上任一異于點(diǎn)D的點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C,如圖4所示.下面討論已知線段AB和直線,在直線上確定一點(diǎn)C,使△ABC為等腰三角形.由于沒(méi)有指明線段AB是腰長(zhǎng)還是底邊長(zhǎng),所以我們需要分為兩種情況進(jìn)行討論:（1）當(dāng)AB為等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí):=1\*GB3①以點(diǎn)A為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑畫圓（或圓弧）,則圓（或圓?。┡c直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)C,注意交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能不唯一,不要漏掉其中任何一個(gè)交點(diǎn),造成漏解,如圖6所示;=2\*GB3②以點(diǎn)B為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑畫圓（或圓?。?則圓（或圓弧）與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)C,注意交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能不唯一,不要漏掉其中任何一個(gè)交點(diǎn),造成漏解,如圖7所示;（2）當(dāng)AB為等腰三角形的底邊長(zhǎng)時(shí),根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,利用尺規(guī)作圖作出線段AB的垂直平分線,直線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)C,如圖8所示.我們知道,角平分線和平行線組合在一起,即構(gòu)成角平分線+平行線模型,這種模型中就存在等腰三角形,如圖9所示.若要在OB邊上確定一點(diǎn)D,使得△COD為等腰三角形,根據(jù)角平分線+平行線模型的特征,我們過(guò)點(diǎn)C作OA邊的平行線,該平行線與OB邊的交點(diǎn),即為其中一個(gè)點(diǎn)D的位置,如圖10所示,該點(diǎn)D也是線段OC的垂直平分線與OB邊的交點(diǎn),只不過(guò)作平行線更容易找出該點(diǎn).其余各點(diǎn)D的確定如圖（11）、（12）所示,你是否知道這些點(diǎn)是怎樣確定出來(lái)的嗎?以上共有3個(gè)點(diǎn)D,使得△COD為等腰三角形.解決等腰三角形的存在性問(wèn)題,一般分為三步:分類、畫圖、計(jì)算.當(dāng)然,隨著學(xué)習(xí)的深入,以后我們還會(huì)遇到因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題,讓我們拭目以待.應(yīng)用例1.如圖所示,在正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、B是兩個(gè)格點(diǎn),若點(diǎn)C也是圖中的格點(diǎn),且使得△ABC為等腰三角形,則符合條件的點(diǎn)C有__________個(gè).答案8解析本題考查等腰三角形的存在性問(wèn)題.分別以點(diǎn)A、B為圓心,以AB的長(zhǎng)為半徑作圓,如圖1所示,則可以找到這樣的點(diǎn)C有4個(gè).這兩種情況下,△ABC是以AB為腰長(zhǎng)的等腰三角形.若AB為底邊長(zhǎng),則作出AB的垂直平分線,如圖2所示,可以找到這樣的點(diǎn)C有4個(gè).綜上所述,符合條件的點(diǎn)C有8個(gè).例2.如圖所示,,OC平分,如果射線OA上的點(diǎn)E滿足△OCE是等腰三角形,那么的度數(shù)為_(kāi)_________.解:∵OC平分,∴分為三種情況:=1\*GB3①當(dāng)時(shí),如圖1所示,∴;=2\*GB3②當(dāng)時(shí),如圖2所示.∵∴∴;=3\*GB3③當(dāng)時(shí),如圖3所示.（說(shuō)明:此時(shí),點(diǎn)E在線段OC的垂直平分線上或）∵∴∴.綜上所述,的度數(shù)為或或.點(diǎn)評(píng)在討論一個(gè)三角形為等腰三角形時(shí),常常需要分為三種情況進(jìn)行討論.A型、8型相似模型資料編號(hào):202208102243關(guān)鍵詞平行相似相似三角形的判定定理1平行相似平行于三角形一邊的直線,和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.相似三角形的判定定理1兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.A型相似模型介紹如圖1、圖2所示,已知,則有△ADE∽△ABC.圖1所示情形為A型平行相似,圖2所示情形為A型非平行相似（反A型）,統(tǒng)稱為A型相似.模型證明A型平行相似模型的證明（如圖1）:證明一:∵∴△ADE∽△ABC.證明二:∵∴∴△ADE∽△ABC.A型非平行相似模型的證明（如圖2）:證明:∵∴△ADE∽△ABC.8型相似模型介紹如圖1、圖2所示,已知,則有△ADE∽△ABC.圖1所示情形為8型平行相似,圖2所示情形為8型非平行相似（反8型）,統(tǒng)稱為8型相似.模型證明8型平行相似模型的證明（如圖1）:證明一:∵,∴△ADE∽△ABC.證明二:∵∴∴△ADE∽△ABC.8型非平行相似模型的證明（如圖2）:證明:∵,∴△ADE∽△ABC.模型說(shuō)明（1）對(duì)于A型、8型平行相似,我們可以直接由平行的條件得到兩個(gè)三角形相似的結(jié)論;（2）必要時(shí)我們可以作平行線來(lái)構(gòu)造A型或8型平行相似模型;（3）面對(duì)比較復(fù)雜的幾何圖形,從中找到A型或8型相似模型往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.模型舉例例1.如圖,AD是△ABC的角平分線,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使.（1）求證:△ABD∽△ECD;（2）若,求BC的長(zhǎng).分析:（1）由條件可知,圖中存在8型平行相似.在證明AB//CE后,可以直接說(shuō)明△ABD∽△ECD;（2）先利用相似三角形的性質(zhì)求出邊CD的長(zhǎng),再求出BC的長(zhǎng).（1）證明:∵AD平分∴∵∴∴∴∴△ABD∽△ECD;（2）解:∵∴由（1）可知:△ABD∽△ECD∴∴∴∴.例2.如圖所示,在△ABC中,D為邊AC上一點(diǎn),P為邊AB上一點(diǎn),,當(dāng)AP的長(zhǎng)度為_(kāi)_________時(shí),△ADP與△ABC相似.分析:本題為易錯(cuò)題,學(xué)生多為考慮問(wèn)題不全面導(dǎo)致出錯(cuò):只考慮了A型平行相似的情形,而忽視了A型非平行相似.解:分為兩種情況:=1\*GB3①如圖所示,當(dāng)時(shí),△APD∽△ABC.∴∴;=2\*GB3②如圖所示,當(dāng)時(shí),△APD∽△ACB.∴∴.綜上所述,當(dāng)AP的長(zhǎng)度為或2時(shí),△ADP與△ABC相似.例3.如圖所示,已知O是△ABC中BC邊的中點(diǎn),且,求的值.分析:不難想到,本題問(wèn)題的解決要么用到平行線分線段成比例定理及其推論,要么用到相似三角形的知識(shí),且都需要平行線的條件.結(jié)合題目條件可知,我們需要添加輔助線——平行線.解:作,交DE于點(diǎn)F.∴,△BDF∽△ADE.∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)∴在△BOF和△COE中∵∴△BOF≌△COE（ASA）∴∵∴∵△BDF∽△ADE∴∴∴∴.點(diǎn)評(píng)本題通過(guò)添加平行線的輔助線,既構(gòu)造了一對(duì)全等三角形,又構(gòu)造了A型平行相似模型,難度較高.例4.如圖,在△ABC中,,高,矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上,E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上,AD交EF于點(diǎn)H.（1）求證:;（2）設(shè),當(dāng)為何值時(shí),矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值;（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí),該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與的函數(shù)關(guān)系式.第64頁(yè)（1）證明:∵四邊形EFPQ是矩形∴∴∴△AEF∽△ABC.∵∴∴;（上面的結(jié)論是解決此類問(wèn)題的重要一步,上面的書寫為此類問(wèn)題的規(guī)范書寫）（2）由（1）可得:∴∴∴配方得:∴當(dāng)時(shí),矩形EFPQ的面積最大,其最大值為20;（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí),由（2）可知:∵∴△PCF是等腰直角三角形∴∴分為三種情況:=1\*GB3①如圖1,當(dāng)≤＜4時(shí),設(shè)EF、PF分別交AC于點(diǎn)M、N,則△FMN是等腰直角三角形∴,∴;=2\*GB3②當(dāng)4≤＜5時(shí),如圖2所示,∴;=3\*GB3③當(dāng)5≤＜9時(shí),如圖3所示,設(shè)EQ交AC于點(diǎn)K,則.∴綜上所述,S與的函數(shù)關(guān)系式為:說(shuō)明:在第（3）問(wèn)題中,矩形EFPQ與△ABC重疊部分與運(yùn)動(dòng)時(shí)間有關(guān),運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同,重疊部分的形狀也不相同,因此要對(duì)時(shí)間進(jìn)行分類討論,根據(jù)不同時(shí)間段求面積S.注意:當(dāng)時(shí),如圖4所示;當(dāng)時(shí),如圖5所示;當(dāng)時(shí),面積S=0,故在這里不再給出圖形.一線三等角相似模型資料編號(hào):202208101558關(guān)鍵詞一線三垂直一線三等角一線三等角相似模型介紹如圖