2021上資格證數(shù)學(xué)科目三理論精講基礎(chǔ)知識(shí)2-1

2021上教師資格證數(shù)學(xué)科目三

基礎(chǔ)知識(shí)2

一、函數(shù)的概念

二、基本初等函數(shù)

三、分段函數(shù)與反函數(shù)第二節(jié)函數(shù)

四、函數(shù)的三大性質(zhì)

五、三角函數(shù)

(P9

認(rèn)識(shí)

函數(shù)的概念

（一）映射

集合X

原像（X）

【注意】一對(duì)一、多對(duì)一是映射

一、函數(shù)的概念

（一）映射

【例】下列圖象中，表示的是X到y(tǒng)的一個(gè)映射的有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【注意】映射是一對(duì)一、多對(duì)一的關(guān)系。

認(rèn)識(shí)

一、函數(shù)的概念

(一)映射

設(shè)X、y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f,使得對(duì)X中每個(gè)元素X,按法則了,在丫中有

唯一確定的元素》與之對(duì)應(yīng)，那么稱/為從x到y(tǒng)的映射。

記作fix-Y

y稱為元素x(在映射/T)的像，并記作/(%),即y-f(x)

x稱為元素y(在映射./T)的一個(gè)原像，集合X稱為映射型定義域，記作Df,即D尸X、

X中所有元素的像所組成的集合稱為映射順值域，記作4或/(X),

即Rf=f(X)={/(x)|㈤。

①或

考點(diǎn)1:映射類型判定

、函數(shù)的概念

I選+簡(jiǎn)+解I

（一）映射

1.設(shè)/是從集合X到集合y的映射，若R尸K即丫中任一元素y都是X中某元素的像，則稱

然x到y(tǒng)上的映射或滿射；

2.若對(duì)x中任意兩個(gè)不同元素1。2,它們的像（1）。（2）,則稱/為x到y(tǒng)的單」

3.若映射/既是單射，又是滿射，則稱為一一映射（或雙射）。

:滿射：值域都有源：

［單射：源不同則像不同；

、一二說

舉個(gè)栗子方法總結(jié)：

①證明單射：令1w2,證明(1)w

I可截圖I；(2)I

[②證明滿射：集合丫中取任意(1),證明得

'、在_鼻屬于%----------------------------'

例1：函數(shù)g：RTR定義為g(x)=2

例2：函數(shù)g：RTR定義為g(x)=x

(P10

舉個(gè)栗子

【例】R是實(shí)數(shù)集合，+是正實(shí)數(shù)集合，規(guī)定/：XT10（Ve）,

證明逐氏到+的一個(gè)雙射。

「方法總結(jié)：1?

；①證明單射：令1W2,證明（l）Hi

＞鼠崇明滿射：集合y中取任意（1）,證明得

i在1屬于X。：

、----------------------------

舉個(gè)栗子=，則=log

log_

【例】火是實(shí)數(shù)集合，+是正實(shí)數(shù)集合，規(guī)定XTIO(ve),

證明逐E到+的一個(gè)雙射。

證明：

v1,2e并且1h2(1)=io1wio2(2)

由于=

治汐是獸射°+,3=巳使A)=10=,即四滿射。

綜上所述/是雙射。

!教

一、函數(shù)的概念

（二）函數(shù)的概念

A設(shè)/、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/；使對(duì)于集合力中的任

意一個(gè)數(shù)X,在集合8中都有唯一確定的如（X）和它對(duì)應(yīng)，

那么就稱尸：4-5為從集合/到集合8的一個(gè)函數(shù)。

記作：y=/（x），x^Ao

（其中，x叫做自變量，x的取值范圍4叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的M直叫

做函數(shù)值，函數(shù)值的集合&）|6｝叫做函數(shù)的值域。）

A構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

（P10

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)鳥瞰考點(diǎn)2：指對(duì)塞函數(shù)定義、

圖象性質(zhì)及計(jì)算公式

應(yīng)用（初+高）

1.定義

常見函數(shù)案+教（高）

2.函數(shù)的三要素

（一）指數(shù)函數(shù)（1）定義域

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)（2）值域

（3）對(duì)應(yīng)關(guān)系

（三）幕函數(shù)

3.三大性質(zhì)：

（四）分段函數(shù)與反函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性

(P10

二、基本初等函數(shù)

應(yīng)用（初+高）

（一）指數(shù)函數(shù)案+教（高）

1.定義

一般地.函數(shù)y=d（Q>0.且awl）叫做指數(shù)函數(shù).其中x是自變量，函數(shù)的定義

域?yàn)镽o

2.指數(shù)函數(shù)（。>0,且awl）的圖象與性質(zhì)

1匠1]0<?1

卜

卜i

y

y/V

圖象/

3X3X

①x￡R；②y￡(0,+s);③過定點(diǎn)(0,1)

性質(zhì)

④當(dāng)x>0時(shí)j>1,xVO時(shí),0VyV1④當(dāng)王>0時(shí),0V.V1,xVO時(shí),y>l

⑤在R上是增函數(shù).⑤在R上是減函數(shù).

--------------------------e10

二、初等函數(shù)應(yīng)用（初+高）

(一)指數(shù)函數(shù)案+教（高）

3.公式

(1),o=1(。。)

ru

(2)a(f=。+5(r，s￡R,a>0)o

(3)—=ar~5(r,sGR,a>0)

ao

rrr

(4)(ab)=ab(^>0,/J>0,rER)o

(5)(。)，=(〃，sER,〃>0)o

(6)4?=下(rGR,。>0)o

77

(7)a=Va(Q>0,r,5EN*,S>1)O

①11

二、基本初等函數(shù)應(yīng)用（初+高）

案+教（高）

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)

1.定義

函數(shù)

;y=log,X（Q＞。，且"1）：

X?

叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+8）。

注意：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：片21ogj,

都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)。

兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：①常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)，卜己作lgN；|

②自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)J記作方底。|

①11

應(yīng)用（初+高）

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)案+教（高）

應(yīng)用（初+高）

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)案+教（高）

3.公式

★(1)特殊：log/=0,logj2=1,log—=-1(6f>0,且QW1)。

"a

★(2)和式：log“(,N)=log*f+log戶(Q〉0且owl,M>0,N〉0)。

★(3)差式：log”*=b&M-log“N(a>0且QW1,M>0,N>0)0

①12

例:

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)

3.公式

★換底：(〉且(且

(4)log6J”也40,1,c>0,cwl,b>0)o

"log/

n

★(5)指系：logmb=—\og(b(a>0,且“wl,b>0,m,nER,m^O)o

am

(6)還原：J°g“x=k)gaQX(Q>0且QWl,X>0)o

(7)倒數(shù)：logb=—!—(Q>0且qwl,力〉0且bwl)o

log/

Pl2

二、基本初等函數(shù)應(yīng)用（初+高）

（三）幕函數(shù)案+教（高）

1.定義

一般地，形如

Z一_—.、

；y=xa（xER）；

、?

的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中a為常數(shù)。

注意：①幕函數(shù)的解析式必須是/=犬的形式，前面的系數(shù)必須是1,沒有其他項(xiàng)。

②定義域與a的值有關(guān)。

一

（P13

二、基本初等函數(shù)應(yīng)用（初+高）

案+教（高）

（三）累函數(shù)

2.幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=xa（aGR）

1_

y=xy=3y=攵y=3y=x-\

性￡\

定義域RRR0,+)CX火且X

值域R0,+)R0,+)c火且％0

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

x0,+）時(shí)，增X0,+）時(shí)，減

單調(diào)性增增增

x（-,0時(shí)，減X，0）時(shí)，減

①13

與〃集合〃的友誼小白船翻了嗎?

【例1】(2015年上半年-初級(jí)中學(xué)-選擇題)已知集合屈=上4=~1]},

N={y[y=e-x,x《。},則集合A/CN=()。

A.(-00,1]1]

C.0D.{1}

'(P13

換湯不換“藥〃呀~

[例2](2015年上半年-高級(jí)中學(xué)-選擇題)已知集合“=9卜=/，xe[-Ll]k

、>

N=[y]y=3。x>o},則集合A/nN=()。

A.(-oo,1]B.{1}

C.0D.(-1,1]

(P14

“特殊值法〃很簡(jiǎn)單

【例3】（2013年下半年-高級(jí)中學(xué)-選擇題）若1,0<x<y<\,則下列關(guān)系式正

確的是（）o

A./>VB.xa>ya

C.logva>logvaD.logflx>log。y

(P14

〃特殊值法〃很簡(jiǎn)單

【例3】（2013年下半年-高級(jí)中學(xué)-選擇題）若1,0<X<^<1,則下列關(guān)系式正

確的是（）o

A./"'B.xa>ya'

C.logYa>logvaD.logflx>logfly

(P14

論。函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵。對(duì)于選擇題，還可以選擇特值法。A項(xiàng)：因?yàn)閍>1,

所以y—，遞增，因?yàn)?cxvy<1,所以/<ay,錯(cuò)誤。B項(xiàng)：因?yàn)閍>1,所以y=xa

遞增，因?yàn)?<x<y<l,所以rvy。，錯(cuò)誤。C項(xiàng)：因?yàn)閘ogra<0,logi<0,底數(shù)

大于0小于1時(shí)，真數(shù)相同，底數(shù)不同，底數(shù)越小，對(duì)數(shù)越大，所以bgxQAlog/,正確。D

項(xiàng)：因?yàn)椤?gt;1,所以y=logqX遞增，因?yàn)?<x<y<l,所以log“x<logj,錯(cuò)誤。

法2：特值法，令。=2,x=-,v=~

4-2

力項(xiàng)：V2<V2,錯(cuò)誤。3項(xiàng)：一<—錯(cuò)誤。.

C項(xiàng):log2>log12,正確。

xD項(xiàng)：log2—<log2—,錯(cuò)誤。

4.

(P14

認(rèn)識(shí)

三、分段函數(shù)與反函數(shù)

(一)分段函數(shù)

1.定義：在定義域的不同部分用不同的解析式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。

2.兒種常見的分段函數(shù)

x,x>0,

(1)絕對(duì)值函數(shù)：y=x=<0,x=0,

-X,X<0o

Lx>0,

(2)符號(hào)函數(shù)：y=sgnx=<0,x=0,

—1,X<0o

Lx為有理數(shù),

(3)狄利克雷函數(shù)：D(x)=4

0,x為無理數(shù)。①15

考點(diǎn)3：求反函數(shù)

三、分段函數(shù)與反函數(shù)

(二)反函數(shù)

1.定義：原函數(shù)=()=反函數(shù)()，記作(1)

(P15

＞三、分段函數(shù)與反函數(shù)

(二)反函數(shù)

2.性質(zhì)

(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

(2)函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)的定義域與值域一一對(duì)應(yīng)。

(3)一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致。

(P15

?三、分段函數(shù)與反函數(shù)

（二）反函數(shù)

2.性質(zhì)

（4）反函數(shù)是相互的。

（5）定義域、值域相反，對(duì)應(yīng)法則互逆。

（6）原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定（“三定”（在有反函數(shù)的情況下,

即滿足性質(zhì)（2））。

(P16

考點(diǎn)3：求反函數(shù)

L＞三、分段函數(shù)與反函數(shù)’、..............7二

同

（二）反函數(shù)

3.求反函數(shù)步驟：

（1）反解：把"寸'（X）看作是X的方程，解出X寸（y）；

（2）互換：將x,＞互換得歹寸（x）,注明其定義鍍（即原函數(shù)的值域）.

例：已知函數(shù)=2-3,求其反函數(shù)-1。

就是一個(gè)算術(shù)題……

【例】（2013年下半年-高級(jí)中學(xué)-簡(jiǎn)答題）設(shè)/（x）=ge1求―（x）J（x）與廣（x）

的圖象關(guān)于哪條直線對(duì)稱？

4

(P16

就是一個(gè)算術(shù)題……

【例】(2013年下半年-高級(jí)中學(xué)-簡(jiǎn)答題)設(shè)/(x)=；e、。求廣(x)J(x)與廣(x)

的圖象關(guān)于哪條直線對(duì)稱？

(1)解：令y二/(戈)二;e',則x=ln2y

故/T(x)=ln2x(x>0),關(guān)于歹=x對(duì)稱。

一

①16

考點(diǎn)4：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性

知識(shí)點(diǎn)鳥瞰

的定義及判定方法

1.定義應(yīng)用（初+高）

常見函數(shù)

2.函數(shù)的三要素案+教（高）

（一）指數(shù)函數(shù)（1）定義域

（2）值域

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)（3）對(duì)應(yīng)關(guān)系

.三大性質(zhì)：

（三）幕函數(shù)3

單調(diào)性、奇偶性、周期性

（四）分段函數(shù)與反函數(shù)

(P16

四、函數(shù)的三大性質(zhì)應(yīng)用

(一)單調(diào)性

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)椋?

/X,X2

如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量?

定義

當(dāng)X1VX2時(shí)，都有f］》</(2X那么就說函()(),那么就說

當(dāng)X1VX2時(shí),“都有fx>fX

數(shù)/(%)在區(qū)間。上是增函數(shù)函數(shù)/(%)在區(qū)間￡注是減函數(shù)

y=f(x)

圖象

：/(Xi)：f(x2)

描述0X~X

Opi~%.X.2

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(P16

四、函數(shù)的三大性質(zhì)

應(yīng)用

（一）單調(diào)性

【注】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法:1

!區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間合在一起寫

（1）定義法

1成并集。

①任取1,2&D,且K

2；：例：判斷函數(shù)=，的單調(diào)性。

④定號(hào)（即判斷差（1）-（2）的正負(fù)）；

⑤下結(jié)論（指出函數(shù)（）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.

P16

四、函數(shù)的三大性質(zhì)

應(yīng)用

（一）單調(diào)性

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法:

（1）定義法：作差判正負(fù)

（2）圖象法（從圖象上看升降）

（3）導(dǎo)數(shù)法

設(shè)函數(shù)廠/（x）在區(qū)間（*6）內(nèi)可導(dǎo)，如果恒有/（x）>0,則函數(shù)產(chǎn)/（x）在

區(qū)間（。，6）上是增函數(shù)；如果恒有/（x）<0,則函數(shù)產(chǎn)/（工）在區(qū)間（*6）上是

減函數(shù)；如果恒有廣（x）=0,則函數(shù)片/（x）在區(qū)間（。，6）上為常數(shù)函數(shù)。

(P17

誰說數(shù)學(xué)不用背

【例】(2016年下半年-初級(jí)、高級(jí)中學(xué)-論述題)函數(shù)單調(diào)性是刻畫函數(shù)變化規(guī)律的重

要概念，也是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。

(1)請(qǐng)敘述函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增的定義，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，說明中學(xué)數(shù)學(xué)課程中函

數(shù)單調(diào)性與哪些內(nèi)容有關(guān)(至少列舉出兩項(xiàng)內(nèi)容)；

(2)請(qǐng)列舉至少兩種研究函數(shù)單調(diào)性的方法，并分別簡(jiǎn)要說明其特點(diǎn)。

(P17

【參考答案】

函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，在研究函數(shù)的性質(zhì)方面，如函數(shù)的定義域、值域、

最大值、最小值中有重要應(yīng)用；在解不等式、證明不等式的過程中也有重要應(yīng)用，同時(shí)在研究數(shù)列的

性質(zhì)等其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的方面也有重要的應(yīng)用。

（2）方法一：定義法。定義域中任意XI,X2,若Xl>%2,有f（xi）>f（%2）,則稱函數(shù)危）在定義域上單調(diào)

遞增；有益1）〈心2）,則稱函數(shù)/。）在定義域上單調(diào)遞減。定義法判斷函數(shù)單調(diào)性比較適應(yīng)于容易得出

加⑴與外。大小關(guān)系的函數(shù)。定義法思路清晰，是解決定義域問題的最直接的方式，但是對(duì)一些不太容

易判斷出八XI）與/（X2）大小關(guān)系的函數(shù)，定義法研究函數(shù)的單調(diào)性比較麻頻。

方法二：導(dǎo)數(shù)法。先確定函數(shù)的定義域，求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/J）,若導(dǎo)數(shù)/口）>0,則函數(shù)在定義域內(nèi)

單調(diào)遞增；若導(dǎo)數(shù)/?<0,則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)法適用于函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)且能判

斷/口）與0的大小關(guān)系的情況，多用于定義法解決不了和用定義法解題相對(duì)比較繁瑣的題型。

4

（P17

(P7

第一節(jié)結(jié)束了，會(huì)了嗎？

【例】（2015年上半年-高級(jí)中學(xué)-選擇題）Vm6ER,"。＜6’是ua3\a/b”成立

的（）o

A.充分條件但不是必要條件

B.充分必要條件

C.必要條件但不是充分條件

D.以上都不是

映射簡(jiǎn)+應(yīng)用（初+高）

函數(shù)的概念O/-----!案例+教（高）

--------------函數(shù)的概念

總結(jié)

指數(shù)函數(shù)

e基本初等函數(shù)/對(duì)數(shù)函數(shù)

鬲函數(shù)

第二節(jié)］4分段函數(shù)與反函數(shù)

單調(diào)性

卜函數(shù)的三大性質(zhì)q奇偶性

預(yù)習(xí)：

周期性

函數(shù)余下內(nèi)容

'三角函數(shù)

不等式、復(fù)數(shù)

應(yīng)用

＞四、函數(shù)的三大性質(zhì)案+教(高)

(二)奇偶性

奇函數(shù)

對(duì)定義域內(nèi)任意,有對(duì)定義域內(nèi)任意,有

定義XX