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文檔簡(jiǎn)介
2021上教師資格證數(shù)學(xué)科目三
基礎(chǔ)知識(shí)2
一、函數(shù)的概念
二、基本初等函數(shù)
三、分段函數(shù)與反函數(shù)第二節(jié)函數(shù)
四、函數(shù)的三大性質(zhì)
五、三角函數(shù)
(P9
認(rèn)識(shí)
函數(shù)的概念
(一)映射
集合X
原像(X)
【注意】一對(duì)一、多對(duì)一是映射
一、函數(shù)的概念
(一)映射
【例】下列圖象中,表示的是X到y(tǒng)的一個(gè)映射的有().
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【注意】映射是一對(duì)一、多對(duì)一的關(guān)系。
認(rèn)識(shí)
一、函數(shù)的概念
(一)映射
設(shè)X、y是兩個(gè)非空集合,如果存在一個(gè)法則f,使得對(duì)X中每個(gè)元素X,按法則了,在丫中有
唯一確定的元素》與之對(duì)應(yīng),那么稱/為從x到y(tǒng)的映射。
記作fix-Y
y稱為元素x(在映射/T)的像,并記作/(%),即y-f(x)
x稱為元素y(在映射./T)的一個(gè)原像,集合X稱為映射型定義域,記作Df,即D尸X、
X中所有元素的像所組成的集合稱為映射順值域,記作4或/(X),
即Rf=f(X)={/(x)|㈤。
①或
考點(diǎn)1:映射類型判定
、函數(shù)的概念
I選+簡(jiǎn)+解I
(一)映射
1.設(shè)/是從集合X到集合y的映射,若R尸K即丫中任一元素y都是X中某元素的像,則稱
然x到y(tǒng)上的映射或滿射;
2.若對(duì)x中任意兩個(gè)不同元素1。2,它們的像(1)。(2),則稱/為x到y(tǒng)的單」
3.若映射/既是單射,又是滿射,則稱為一一映射(或雙射)。
:滿射:值域都有源:
[單射:源不同則像不同;
、一二說
舉個(gè)栗子方法總結(jié):
①證明單射:令1w2,證明(1)w
I可截圖I;(2)I
[②證明滿射:集合丫中取任意(1),證明得
'、在_鼻屬于%----------------------------'
例1:函數(shù)g:RTR定義為g(x)=2
例2:函數(shù)g:RTR定義為g(x)=x
(P10
舉個(gè)栗子
【例】R是實(shí)數(shù)集合,+是正實(shí)數(shù)集合,規(guī)定/:XT10(Ve),
證明逐氏到+的一個(gè)雙射。
「方法總結(jié):1?
;①證明單射:令1W2,證明(l)Hi
>鼠崇明滿射:集合y中取任意(1),證明得
i在1屬于X。:
、----------------------------
舉個(gè)栗子=,則=log
log_
【例】火是實(shí)數(shù)集合,+是正實(shí)數(shù)集合,規(guī)定XTIO(ve),
證明逐E到+的一個(gè)雙射。
證明:
v1,2e并且1h2(1)=io1wio2(2)
由于=
治汐是獸射°+,3=巳使A)=10=,即四滿射。
綜上所述/是雙射。
!教
一、函數(shù)的概念
(二)函數(shù)的概念
A設(shè)/、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/;使對(duì)于集合力中的任
意一個(gè)數(shù)X,在集合8中都有唯一確定的如(X)和它對(duì)應(yīng),
那么就稱尸:4-5為從集合/到集合8的一個(gè)函數(shù)。
記作:y=/(x),x^Ao
(其中,x叫做自變量,x的取值范圍4叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的M直叫
做函數(shù)值,函數(shù)值的集合&)|6}叫做函數(shù)的值域。)
A構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域
(P10
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)鳥瞰考點(diǎn)2:指對(duì)塞函數(shù)定義、
圖象性質(zhì)及計(jì)算公式
應(yīng)用(初+高)
1.定義
常見函數(shù)案+教(高)
2.函數(shù)的三要素
(一)指數(shù)函數(shù)(1)定義域
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)(2)值域
(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系
(三)幕函數(shù)
3.三大性質(zhì):
(四)分段函數(shù)與反函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性
(P10
二、基本初等函數(shù)
應(yīng)用(初+高)
(一)指數(shù)函數(shù)案+教(高)
1.定義
一般地.函數(shù)y=d(Q>0.且awl)叫做指數(shù)函數(shù).其中x是自變量,函數(shù)的定義
域?yàn)镽o
2.指數(shù)函數(shù)(。>0,且awl)的圖象與性質(zhì)
1匠1]0<?1
卜
卜i
y
y/V
圖象/
3X3X
①x£R;②y£(0,+s);③過定點(diǎn)(0,1)
性質(zhì)
④當(dāng)x>0時(shí)j>1,xVO時(shí),0VyV1④當(dāng)王>0時(shí),0V.V1,xVO時(shí),y>l
⑤在R上是增函數(shù).⑤在R上是減函數(shù).
--------------------------e10
二、初等函數(shù)應(yīng)用(初+高)
(一)指數(shù)函數(shù)案+教(高)
3.公式
(1),o=1(。。)
ru
(2)a(f=。+5(r,s£R,a>0)o
(3)—=ar~5(r,sGR,a>0)
ao
rrr
(4)(ab)=ab(^>0,/J>0,rER)o
(5)(。),=(〃,sER,〃>0)o
(6)4?=下(rGR,。>0)o
77
(7)a=Va(Q>0,r,5EN*,S>1)O
①11
二、基本初等函數(shù)應(yīng)用(初+高)
案+教(高)
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)
1.定義
函數(shù)
;y=log,X(Q>。,且"1):
X?
叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中X是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+8)。
注意:對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如:片21ogj,
都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)。
兩個(gè)重要對(duì)數(shù):①常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù),卜己作lgN;|
②自然對(duì)數(shù):以無理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)J記作方底。|
①11
應(yīng)用(初+高)
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)案+教(高)
應(yīng)用(初+高)
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)案+教(高)
3.公式
★(1)特殊:log/=0,logj2=1,log—=-1(6f>0,且QW1)。
"a
★(2)和式:log“(,N)=log*f+log戶(Q〉0且owl,M>0,N〉0)。
★(3)差式:log”*=b&M-log“N(a>0且QW1,M>0,N>0)0
①12
例:
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)
3.公式
★換底:(〉且(且
(4)log6J”也40,1,c>0,cwl,b>0)o
"log/
n
★(5)指系:logmb=—\og(b(a>0,且“wl,b>0,m,nER,m^O)o
am
(6)還原:J°g“x=k)gaQX(Q>0且QWl,X>0)o
(7)倒數(shù):logb=—!—(Q>0且qwl,力〉0且bwl)o
log/
Pl2
二、基本初等函數(shù)應(yīng)用(初+高)
(三)幕函數(shù)案+教(高)
1.定義
一般地,形如
Z一_—.、
;y=xa(xER);
、?
的函數(shù)稱為幕函數(shù),其中a為常數(shù)。
注意:①幕函數(shù)的解析式必須是/=犬的形式,前面的系數(shù)必須是1,沒有其他項(xiàng)。
②定義域與a的值有關(guān)。
一
(P13
二、基本初等函數(shù)應(yīng)用(初+高)
案+教(高)
(三)累函數(shù)
2.幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=xa(aGR)
1_
y=xy=3y=攵y=3y=x-\
性£\
定義域RRR0,+)CX火且X
值域R0,+)R0,+)c火且%0
奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)
x0,+)時(shí),增X0,+)時(shí),減
單調(diào)性增增增
x(-,0時(shí),減X,0)時(shí),減
①13
與〃集合〃的友誼小白船翻了嗎?
【例1】(2015年上半年-初級(jí)中學(xué)-選擇題)已知集合屈=上4=~1]},
N={y[y=e-x,x《。},則集合A/CN=()。
A.(-00,1]1]
C.0D.{1}
'(P13
換湯不換“藥〃呀~
[例2](2015年上半年-高級(jí)中學(xué)-選擇題)已知集合“=9卜=/,xe[-Ll]k
、>
N=[y]y=3。x>o},則集合A/nN=()。
A.(-oo,1]B.{1}
C.0D.(-1,1]
(P14
“特殊值法〃很簡(jiǎn)單
【例3】(2013年下半年-高級(jí)中學(xué)-選擇題)若1,0<x<y<\,則下列關(guān)系式正
確的是()o
A./>VB.xa>ya
C.logva>logvaD.logflx>log。y
(P14
〃特殊值法〃很簡(jiǎn)單
【例3】(2013年下半年-高級(jí)中學(xué)-選擇題)若1,0<X<^<1,則下列關(guān)系式正
確的是()o
A./"'B.xa>ya'
C.logYa>logvaD.logflx>logfly
(P14
論。函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵。對(duì)于選擇題,還可以選擇特值法。A項(xiàng):因?yàn)閍>1,
所以y—,遞增,因?yàn)?cxvy<1,所以/<ay,錯(cuò)誤。B項(xiàng):因?yàn)閍>1,所以y=xa
遞增,因?yàn)?<x<y<l,所以rvy。,錯(cuò)誤。C項(xiàng):因?yàn)閘ogra<0,logi<0,底數(shù)
大于0小于1時(shí),真數(shù)相同,底數(shù)不同,底數(shù)越小,對(duì)數(shù)越大,所以bgxQAlog/,正確。D
項(xiàng):因?yàn)椤?gt;1,所以y=logqX遞增,因?yàn)?<x<y<l,所以log“x<logj,錯(cuò)誤。
法2:特值法,令。=2,x=-,v=~
4-2
力項(xiàng):V2<V2,錯(cuò)誤。3項(xiàng):一<—錯(cuò)誤。.
C項(xiàng):log2>log12,正確。
xD項(xiàng):log2—<log2—,錯(cuò)誤。
4.
(P14
認(rèn)識(shí)
三、分段函數(shù)與反函數(shù)
(一)分段函數(shù)
1.定義:在定義域的不同部分用不同的解析式表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。
2.兒種常見的分段函數(shù)
x,x>0,
(1)絕對(duì)值函數(shù):y=x=<0,x=0,
-X,X<0o
Lx>0,
(2)符號(hào)函數(shù):y=sgnx=<0,x=0,
—1,X<0o
Lx為有理數(shù),
(3)狄利克雷函數(shù):D(x)=4
0,x為無理數(shù)。①15
考點(diǎn)3:求反函數(shù)
三、分段函數(shù)與反函數(shù)
(二)反函數(shù)
1.定義:原函數(shù)=()=反函數(shù)(),記作(1)
(P15
>三、分段函數(shù)與反函數(shù)
(二)反函數(shù)
2.性質(zhì)
(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱。
(2)函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是函數(shù)的定義域與值域一一對(duì)應(yīng)。
(3)一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致。
(P15
?三、分段函數(shù)與反函數(shù)
(二)反函數(shù)
2.性質(zhì)
(4)反函數(shù)是相互的。
(5)定義域、值域相反,對(duì)應(yīng)法則互逆。
(6)原函數(shù)一旦確定,反函數(shù)即確定(“三定”(在有反函數(shù)的情況下,
即滿足性質(zhì)(2))。
(P16
考點(diǎn)3:求反函數(shù)
L>三、分段函數(shù)與反函數(shù)’、..............7二
同
(二)反函數(shù)
3.求反函數(shù)步驟:
(1)反解:把"寸'(X)看作是X的方程,解出X寸(y);
(2)互換:將x,>互換得歹寸(x),注明其定義鍍(即原函數(shù)的值域).
例:已知函數(shù)=2-3,求其反函數(shù)-1。
就是一個(gè)算術(shù)題……
【例】(2013年下半年-高級(jí)中學(xué)-簡(jiǎn)答題)設(shè)/(x)=ge1求―(x)J(x)與廣(x)
的圖象關(guān)于哪條直線對(duì)稱?
4
(P16
就是一個(gè)算術(shù)題……
【例】(2013年下半年-高級(jí)中學(xué)-簡(jiǎn)答題)設(shè)/(x)=;e、。求廣(x)J(x)與廣(x)
的圖象關(guān)于哪條直線對(duì)稱?
(1)解:令y二/(戈)二;e',則x=ln2y
故/T(x)=ln2x(x>0),關(guān)于歹=x對(duì)稱。
一
①16
考點(diǎn)4:函數(shù)單調(diào)性、奇偶性
知識(shí)點(diǎn)鳥瞰
的定義及判定方法
1.定義應(yīng)用(初+高)
常見函數(shù)
2.函數(shù)的三要素案+教(高)
(一)指數(shù)函數(shù)(1)定義域
(2)值域
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系
.三大性質(zhì):
(三)幕函數(shù)3
單調(diào)性、奇偶性、周期性
(四)分段函數(shù)與反函數(shù)
(P16
四、函數(shù)的三大性質(zhì)應(yīng)用
(一)單調(diào)性
增函數(shù)減函數(shù)
一般地,設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)椋?
/X,X2
如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量?
定義
當(dāng)X1VX2時(shí),都有f]》</(2X那么就說函()(),那么就說
當(dāng)X1VX2時(shí),“都有fx>fX
數(shù)/(%)在區(qū)間。上是增函數(shù)函數(shù)/(%)在區(qū)間£注是減函數(shù)
y=f(x)
圖象
:/(Xi):f(x2)
描述0X~X
Opi~%.X.2
自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的
(P16
四、函數(shù)的三大性質(zhì)
應(yīng)用
(一)單調(diào)性
【注】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子
2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法:1
!區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間合在一起寫
(1)定義法
1成并集。
①任取1,2&D,且K
2;:例:判斷函數(shù)=,的單調(diào)性。
④定號(hào)(即判斷差(1)-(2)的正負(fù));
⑤下結(jié)論(指出函數(shù)()在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).
P16
四、函數(shù)的三大性質(zhì)
應(yīng)用
(一)單調(diào)性
2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法:
(1)定義法:作差判正負(fù)
(2)圖象法(從圖象上看升降)
(3)導(dǎo)數(shù)法
設(shè)函數(shù)廠/(x)在區(qū)間(*6)內(nèi)可導(dǎo),如果恒有/(x)>0,則函數(shù)產(chǎn)/(x)在
區(qū)間(。,6)上是增函數(shù);如果恒有/(x)<0,則函數(shù)產(chǎn)/(工)在區(qū)間(*6)上是
減函數(shù);如果恒有廣(x)=0,則函數(shù)片/(x)在區(qū)間(。,6)上為常數(shù)函數(shù)。
(P17
誰說數(shù)學(xué)不用背
【例】(2016年下半年-初級(jí)、高級(jí)中學(xué)-論述題)函數(shù)單調(diào)性是刻畫函數(shù)變化規(guī)律的重
要概念,也是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。
(1)請(qǐng)敘述函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增的定義,并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義,說明中學(xué)數(shù)學(xué)課程中函
數(shù)單調(diào)性與哪些內(nèi)容有關(guān)(至少列舉出兩項(xiàng)內(nèi)容);
(2)請(qǐng)列舉至少兩種研究函數(shù)單調(diào)性的方法,并分別簡(jiǎn)要說明其特點(diǎn)。
(P17
【參考答案】
函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù),在研究函數(shù)的性質(zhì)方面,如函數(shù)的定義域、值域、
最大值、最小值中有重要應(yīng)用;在解不等式、證明不等式的過程中也有重要應(yīng)用,同時(shí)在研究數(shù)列的
性質(zhì)等其它數(shù)學(xué)內(nèi)容的方面也有重要的應(yīng)用。
(2)方法一:定義法。定義域中任意XI,X2,若Xl>%2,有f(xi)>f(%2),則稱函數(shù)危)在定義域上單調(diào)
遞增;有益1)〈心2),則稱函數(shù)/。)在定義域上單調(diào)遞減。定義法判斷函數(shù)單調(diào)性比較適應(yīng)于容易得出
加⑴與外。大小關(guān)系的函數(shù)。定義法思路清晰,是解決定義域問題的最直接的方式,但是對(duì)一些不太容
易判斷出八XI)與/(X2)大小關(guān)系的函數(shù),定義法研究函數(shù)的單調(diào)性比較麻頻。
方法二:導(dǎo)數(shù)法。先確定函數(shù)的定義域,求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/J),若導(dǎo)數(shù)/口)>0,則函數(shù)在定義域內(nèi)
單調(diào)遞增;若導(dǎo)數(shù)/?<0,則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)法適用于函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)且能判
斷/口)與0的大小關(guān)系的情況,多用于定義法解決不了和用定義法解題相對(duì)比較繁瑣的題型。
4
(P17
(P7
第一節(jié)結(jié)束了,會(huì)了嗎?
【例】(2015年上半年-高級(jí)中學(xué)-選擇題)Vm6ER,"。<6’是ua3\a/b”成立
的()o
A.充分條件但不是必要條件
B.充分必要條件
C.必要條件但不是充分條件
D.以上都不是
映射簡(jiǎn)+應(yīng)用(初+高)
函數(shù)的概念O/-----!案例+教(高)
--------------函數(shù)的概念
總結(jié)
指數(shù)函數(shù)
e基本初等函數(shù)/對(duì)數(shù)函數(shù)
鬲函數(shù)
第二節(jié)]4分段函數(shù)與反函數(shù)
單調(diào)性
卜函數(shù)的三大性質(zhì)q奇偶性
預(yù)習(xí):
周期性
函數(shù)余下內(nèi)容
'三角函數(shù)
不等式、復(fù)數(shù)
應(yīng)用
>四、函數(shù)的三大性質(zhì)案+教(高)
(二)奇偶性
奇函數(shù)
對(duì)定義域內(nèi)任意,有對(duì)定義域內(nèi)任意,有
定義XX
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