十多元函數(shù)積分學(xué)市公開課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

第十三章多元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第二節(jié)二重積分計(jì)算方法（1）第二節(jié)二重積分計(jì)算方法（2）高等數(shù)學(xué)電子教案西電第1頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第五節(jié)利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分高等數(shù)學(xué)電子教案西電教師：任春麗第2頁第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)一、二重積分概念1、引例（1）計(jì)算曲頂柱體體積（如圖）設(shè)曲面且在D上連續(xù)第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第3頁解:

step1

分割：任意劃分D為n個(gè)小區(qū)域step2近似：step3求和:定義域第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第4頁V=step4取極限（2）計(jì)算平面薄板質(zhì)量第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第5頁設(shè)有一平面薄板占有xoy面上閉區(qū)域D,在點(diǎn)P(x,y)面密度為且在D上連續(xù)解：step1分割：DXYO第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第6頁step2近似：step3求和：step4取極限：上面引例能夠看到：兩個(gè)引例實(shí)際意義第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第7頁不一樣，但都?xì)w結(jié)為同一形式和式極限。我們把這種和式極限抽象為二元函數(shù)在平面閉區(qū)域D上二重積分定義。2、定義：設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上有界

函數(shù)。假如和式極限從在，則稱此極限值為f(x,y）在區(qū)域D上二重積分，記作，即第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第8頁積分區(qū)域被積函數(shù)積分變量面積元素積分符號(hào)因而，引例（1）體積被積表示式第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第9頁引例（2）質(zhì)量注(1）極限存在指：任意分割、任意取點(diǎn)、

和式極限值相等在直角坐標(biāo)系下，若用平行與x軸，y軸直線族劃分D,則XYO第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第10頁從而（3）二重積分為數(shù)，與變量符號(hào)無關(guān)即故記第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第11頁3、二重積分存在充要條件假如f(x,y)在閉區(qū)

域D上連續(xù)，則4、二重積分幾何意義（以D為底，f(x,y)未定曲頂柱體體積）（曲頂柱體體積負(fù)值）第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第12頁普通曲頂柱體體積代數(shù)和例1、計(jì)算解：由幾何意義（上半球體體積）第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第13頁二、二重積分性質(zhì)假設(shè)以下各積分存在性質(zhì)1k為常數(shù)性質(zhì)2性質(zhì)3（可加性）第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第14頁（除分界限）性質(zhì)4假如性質(zhì)5(不等式性)假如在D上第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第15頁尤其:性質(zhì)6(估值性)設(shè)第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第16頁性質(zhì)7(積分中值定理)設(shè)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),則最少存在一點(diǎn)證實(shí)：第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第17頁由閉區(qū)域連續(xù)函數(shù)介值定理,最少存在一點(diǎn)第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第18頁三、舉例例2、設(shè)區(qū)域D:是變量y奇函數(shù)XYO解：第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第19頁是變量x偶函數(shù)注：上述性質(zhì)，稱為二重積分奇偶對(duì)稱性對(duì)于普通函數(shù)也成立例3、預(yù)計(jì)以下積分值第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第20頁（2）求D上最大最小值XYoD解：第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第21頁Ep4:第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第22頁其中D由x=0,y=0及x+y=1圍成解：Ep5：解：第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第23頁第一節(jié)二重積分概念及性質(zhì)第24頁第二節(jié)二重積分計(jì)算方法（1）一、區(qū)域類型及表示1、X-型區(qū)域：穿過區(qū)域D內(nèi)部且平行于D邊界相交至多兩點(diǎn)aaaxxxbbbxxxyyyooo第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第25頁2、Y-型區(qū)域：穿過區(qū)域D內(nèi)部且平行于x軸直線與D邊界相交至多兩點(diǎn)3、其它類型如圖非X-型，非Y-型區(qū)域xyycdooxy第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第26頁例1、閉區(qū)域D由所圍成，使用聯(lián)立不等式表示區(qū)域D解：法一、D是X型區(qū)域則法二、D是Y-型區(qū)域且第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第27頁二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分解：首先：——曲頂柱體體積其次：利用平行截面為已知立體體積計(jì)算設(shè)：區(qū)域D為X-型得截面面積第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第28頁普通綜上：第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第29頁類似，若D為Y-型區(qū)域——稱為先x后y二次積分情形仍成立關(guān)鍵，步驟以下：第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第30頁第一步：畫區(qū)域D圖形第二步：確定類型，求投影曲間，穿入、穿出線方程，并用聯(lián)立不等式表示區(qū)域第三步：將二重積分寫成二次積分例2、計(jì)算其中區(qū)域D是由解：畫圖求出交點(diǎn)（-1，1）及（4，2）(4,2)(-1,1)第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第31頁法一D是X-型區(qū)域，且法二D是Y-型區(qū)域，且(4,2)(-1,1)第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第32頁例3、計(jì)算，其中D由所圍成解：D是X-型區(qū)域第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第33頁又D是Y-型區(qū)域無法積分這說明此積分先x后y次序方法失效注：上述兩例說明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，需要恰當(dāng)選擇二次積分次序。這時(shí)，既要考慮積分區(qū)域D形狀，又要考慮被積函數(shù)f(x,y)特征。第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第34頁例4、改變二次積分積分次序均為X-型，畫出區(qū)域D如圖視為Y-型區(qū)域解：第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第35頁則原式=例5、計(jì)算由曲面所圍立體體積解：立體如圖，且在xoy面上投影區(qū)域第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第36頁第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第37頁第二節(jié)二重積分計(jì)算方法（2）三、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分對(duì)于一些二重積分，利用直角坐標(biāo)計(jì)算往往是很困難，而在極坐標(biāo)系下計(jì)算則比較簡(jiǎn)單。如：積分區(qū)域?yàn)閳A形，被積函數(shù)為時(shí)，可考慮極坐標(biāo)系下計(jì)算。方法以下1、化為極坐標(biāo)系下二重積分，由定義且將區(qū)域D第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第38頁放在極坐標(biāo)系中第一步分割:用兩族曲線r=常數(shù)——同心圓=常數(shù)——射線任意分割區(qū)域D為n個(gè)小區(qū)域除含邊界小區(qū)域外，其它小閉區(qū)域面積第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第39頁第二步取且對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系為則從而其中為極坐標(biāo)系下面積元素

注:相當(dāng)于二重積分作了變量代換,因而換元就要換限第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第40頁2、化為二次積分情形（1）極點(diǎn)在D外部情形（2）極點(diǎn)在D邊界上D第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第41頁

情形（3）極點(diǎn)在D內(nèi)D第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第42頁例1：計(jì)算D是由曲線解：第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第43頁例2、將化為極坐標(biāo)系下二次積分解：在極坐標(biāo)系下第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第44頁例3、求球體被圓柱面所截得（含在圓柱面內(nèi)部）立體體積。解：由對(duì)稱性體積在極坐標(biāo)系下故第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第45頁第二節(jié)二重積分計(jì)算方法第46頁一、幾何應(yīng)用1、立體體積:2、平面圖形面積:3、曲面面積:第三節(jié)二重積分應(yīng)用第三節(jié)二重積分應(yīng)用第47頁解:（方法:小元素法,即微分法）第三節(jié)二重積分應(yīng)用第48頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第49頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第50頁例1:求半徑為a球面面積。解:第三節(jié)二重積分應(yīng)用第51頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第52頁例2:解:

第三節(jié)二重積分應(yīng)用第53頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第54頁1、平面薄片重心二、物理應(yīng)用第三節(jié)二重積分應(yīng)用第55頁質(zhì)點(diǎn)系對(duì)y軸靜力矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸靜力矩質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量第三節(jié)二重積分應(yīng)用第56頁設(shè)有一平面薄片，區(qū)域?yàn)镈，面密度P(x,y)(在D上連續(xù))求:解:第三節(jié)二重積分應(yīng)用第57頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第58頁例3:解:第三節(jié)二重積分應(yīng)用第59頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第60頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第61頁2、平面薄片轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第三節(jié)二重積分應(yīng)用第62頁解:第三節(jié)二重積分應(yīng)用第63頁例4:解:第三節(jié)二重積分應(yīng)用第64頁3、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力例5:解:面積微元第三節(jié)二重積分應(yīng)用第65頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第66頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第67頁例6:解:第三節(jié)二重積分應(yīng)用第68頁第三節(jié)二重積分應(yīng)用第69頁一、概念引例:解:第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第70頁抽去其物理意義,引入三重積分定義。定義:記作:第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第71頁注:第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第72頁1、先一后二法:二、直角坐標(biāo)系下,計(jì)算方法第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第73頁先一后二積分法為z-x-y積分次序三次積分類似,有其它五種幾分次序第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第74頁例1:解:第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第75頁第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第76頁例2:解:第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第77頁2、先二后一法先二后一法第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第78頁第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第79頁例3:解:

方法一:先一后二法第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第80頁方法二:先二后一法第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第81頁例4:解:第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第82頁練習(xí):解:

先一后二法第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第83頁第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第84頁解:第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第85頁先二后一法:第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第86頁第四節(jié)三重積分概念及計(jì)算方法第87頁一、柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分1、柱面坐標(biāo):第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第88頁柱面坐標(biāo)系下三組坐標(biāo)面:第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第89頁第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第90頁第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第91頁例1:解:第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第92頁第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第93頁例2:解:第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第94頁第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第95頁二、球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分1、球面坐標(biāo)第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第96頁球面坐標(biāo)系下三組坐標(biāo)面:以o為心球面以o為頂點(diǎn)圓錐面過z軸半平面第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第97頁第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第98頁3、化為三次積分第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第99頁如:第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第100頁例3:解:第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第101頁第五節(jié)利用柱面和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分第102頁例4:解:利用球面坐標(biāo)計(jì)算第五節(jié)利用柱面和球面