專題01 數(shù)與式的運(yùn)算（教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題01數(shù)與式的運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即：絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．知識(shí)點(diǎn)2：乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式；(2)立方差公式；(3)三數(shù)和平方公式；(4)兩數(shù)和立方公式；(5)兩數(shù)差立方公式．知識(shí)點(diǎn)3：二次根式一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如，等是無理式，而，，等是有理式．(1)分母(子)有理化把分母(子)中的根號(hào)化去，叫做分母(子)有理化．為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等．一般地，與，與，與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式．(2)二次根式的意義知識(shí)點(diǎn)4：分式(1)分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．(2)繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【題型歸納目錄】題型一：絕對(duì)值題型二：乘法公式題型三：二次根式題型四：分式【典例例題】題型一：絕對(duì)值例1．(2023·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市中實(shí)學(xué)校校考期中)如果，那么_______【答案】【解析】∵∴，，解得:，，∴，故答案為:．例2．(2023·福建龍巖·八年級(jí)統(tǒng)考期中)若，則___________．【答案】【解析】∵∴，∴，∴．故答案為：．例3．(2023·上海靜安·六年級(jí)上海市回民中學(xué)校考期中)比較大?。篲__________．【答案】【解析】，，，，故答案為：．變式1．(2023·天津東麗·八年級(jí)校聯(lián)考期中)已知實(shí)數(shù)、滿足，則的值為______．【答案】【解析】∵有理數(shù)x、y滿足，∴，，解得，，∴．故答案為：．變式2．(2023·四川南充·七年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知：實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：_____．【答案】/【解析】由題意得，，∴，，∴．故答案為：．變式3．(2023·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥?已知在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別表示的數(shù)是a和b，，，，點(diǎn)Р在數(shù)軸上且與點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，則點(diǎn)Р表示的數(shù)是_________．【答案】或【解析】∵，，∴，．又∵，∴，∴．∴，或，．當(dāng)，時(shí)，∵點(diǎn)Р在數(shù)軸上且與點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為；當(dāng)，時(shí)，∵點(diǎn)Р在數(shù)軸上且與點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為；∴點(diǎn)P表示的數(shù)為或．故答案為：或．題型二：乘法公式例4．(2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模)下列運(yùn)算正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】A、，故A不正確，不符合題意；B、，故B不正確，不符合題意；C、，故C正確，符合題意；D、，故D不正確，不符合題意．故選：C．例5．(2023·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試)多項(xiàng)式A與的乘積含有項(xiàng)，那么A可能是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】A．∵，∴多項(xiàng)式與的乘積不含項(xiàng)，故A不符合題意；B．∵，∴多項(xiàng)式與的乘積不含項(xiàng)，故B不符合題意；C．∵，∴多項(xiàng)式與的乘積含有項(xiàng)，故C符合題意；D．∵，∴多項(xiàng)式與的乘積不含有項(xiàng)，故D不符合題意．故選：C．例6．(2023·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)下列因式分解結(jié)果正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】A、，故本選項(xiàng)因式分解結(jié)果正確；B、，故本選項(xiàng)因式分解結(jié)果錯(cuò)誤；C、，故本選項(xiàng)因式分解結(jié)果錯(cuò)誤；D、不能分解因式，故本選項(xiàng)結(jié)果錯(cuò)誤；故選：A.變式4．(2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模)、為正整數(shù)，，則的值為(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵∴∵，，又、為正整數(shù)，∴，或，，∴或，∴，故選：B．變式5．(2023·四川內(nèi)江·威遠(yuǎn)中學(xué)校校考二模)下列運(yùn)算正確的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】A.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C.，故此選項(xiàng)正確，符合題意；D.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．變式6．(2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模)下列運(yùn)算正確的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】A、，計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．變式7．(2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考二模)下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】．不能合并了，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B．，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C．，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；D．，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：．題型三：二次根式例7．(2023·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中)計(jì)算：(1)；(2)．【解析】(1)(2)例8．(2023·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【解析】，把代入得：原式．例9．(2023·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試)計(jì)算：【解析】．變式8．(2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí))先化簡(jiǎn)，再求值：，其中【解析】原式，當(dāng)時(shí)，原式．變式9．(2023·北京·八年級(jí)統(tǒng)考期中)計(jì)算：．【解析】原式．變式10．(2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))先化簡(jiǎn)，再求值，其中【解析】原式，∵，∴，∴原式．變式11．(2023·福建龍巖·八年級(jí)統(tǒng)考期中)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，．(1)求它的周長(zhǎng)(用含的式子表示)；(2)請(qǐng)你給一個(gè)適當(dāng)?shù)闹?，使該三角形的周長(zhǎng)為整數(shù)，并利用海倫公式求出此三角形的面積．(海倫公式：，其中，，分別是三角形的三邊長(zhǎng)，記)【解析】(1)∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，∴它的周長(zhǎng)；(2)由題意得要是整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，符合題意，∴此時(shí)三邊長(zhǎng)分別為，，，∴，∴．題型四：分式例10．(2023·廣東佛山·八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)校考期中)分式與的最簡(jiǎn)公分母是______．【答案】【解析】∵，∴分式與的最簡(jiǎn)公分母是．故答案是．例11．(2023·內(nèi)蒙古包頭·二模)化簡(jiǎn)：________．【答案】/【解析】，，，，，故答案為：．例12．(2023·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期中)在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是_________________．【答案】且【解析】由題意得，，解得，且故答案為：且．變式12．(2023·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥?已知，則______．【答案】47【解析】，，，，，，，即，故答案為：47．變式13．(2023·廣東佛山·校聯(lián)考二模)若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是________．【答案】【解析】由題意，得，∴．故答案為：．變式14．(2023·河北滄州·統(tǒng)考二模)已知，求下列各式的值．(1)_____________；(2)___________．【答案】13【解析】(1)，∵，∴；(2)；故答案為：1；3．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模)數(shù)1，0，，中最小的是(

)A． B．0 C． D．1【答案】A【解析】∵∴∴在1，0，，中最小的數(shù)是，故選：A．2．(2023·北京海淀·七年級(jí)101中學(xué)?？奸_學(xué)考試)下列代數(shù)式中中，單項(xiàng)式()A．1個(gè) B．2 C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】中，是單項(xiàng)式，共4個(gè)，故選：D．3．(2023·八年級(jí)單元測(cè)試)直線l：(m、n為常數(shù))的圖象如圖，化簡(jiǎn)：得()

A． B．5 C．-1 D．【答案】D【解析】由直線(m，n為常數(shù))的圖象可知，，，∴，，．故選：D．4．(2023·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中)下列計(jì)算正確的有(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹筒皇峭惗胃?，不能合并，所以A不正確；因?yàn)?，所以B不正確；因?yàn)?，所以C不正確；因?yàn)?，所以D正確．故選：D．5．(2023·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中)下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】A、的被開方數(shù)12中含有能開得盡方的因數(shù)4，則不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、的被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，則不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；D、的被開方數(shù)是小數(shù)，不是整數(shù)，則不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．6．(2023·陜西西安·?？既?在下列計(jì)算中，正確的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】A、原式，不符合題意；B、原式，符合題意；C、原式，不符合題意；D、原式，不符合題意．故選：B．7．(2023·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市中實(shí)學(xué)校校考期中)有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的位置如圖，則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)有(

)①；②；③；④；⑤

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)軸可得且，∴，，即①正確，②錯(cuò)誤；∵，∴，∴，即③正確；∵且，∴∴，即④正確；∵∴，即⑤正確；∴①③④⑤正確，正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選：D．8．(2023·內(nèi)蒙古包頭·二模)已知，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，故選：B．9．(2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是(

)

A． B． C． D．【答案】B【解析】A、∵，∴，錯(cuò)誤，不符合題意；B、∵，，正確，符合題意；C、∵，∴，錯(cuò)誤，不符合題意；D、∵，∴錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．10．(2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))同學(xué)們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進(jìn)變成“幻圓”游戲．將，2，，，，，，分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，則的值為(

)

A．1或 B．或 C．或 D．1或【答案】C【解析】設(shè)小圈上的數(shù)為c，大圈上的數(shù)為d，又，∵橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相等，∴兩個(gè)圈的和是2，橫、豎的和也是2，

則，得，，得，，∵當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故選：C．二、填空題11．(2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模)分解因式：_________________．【答案】【解析】故答案為：．12．(2023·廣西南寧·?？级?若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍________．【答案】【解析】∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，，，故答案為：．13．(2023·廣東佛山·八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)校考期中)化簡(jiǎn)：______．【答案】【解析】，故答案是．14．(2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模)分解因式：_____________．【答案】【解析】．故答案為．15．(2023·陜西榆林·七年級(jí)綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí))課堂上老師布置了四道運(yùn)算題目，小剛做的結(jié)果為：①；②；③；④，他做對(duì)的有______．(填序號(hào))【答案】①④/④①【解析】，故①正確；，故②錯(cuò)誤；，故③錯(cuò)誤；，故④正確，故答案為：①④．三、解答題16．(2023·浙江溫州·?？级?(1)計(jì)算：．(2)解不等式組，并把解表示在數(shù)軸上．

【解析】(1)；(2)解不等式①得，；解不等式②得，；所以，不等式組的解集為：，在數(shù)軸上表示為：

17．(2023·浙江·校聯(lián)考三模)化簡(jiǎn)與計(jì)算：(1)化簡(jiǎn)：；(2)計(jì)算：．【解析】(1)；(2)．18．(2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模)計(jì)算：．【解析】．19．(2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè))如圖，數(shù)軸上點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)分別是，，．

(1)______(用含m的代數(shù)式表示)；(2)求當(dāng)與的差不小于時(shí)m的最小值．【解析】(1)．(2)∵與的差不小于，∴，∵，，∴，∴，m最小?。?0．(2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模)化簡(jiǎn)求值：，其中x是不等式組的整數(shù)解．【解析】．解，①可化簡(jiǎn)為：，，∴；②可化簡(jiǎn)為，∴，∴不等式的解集為，∴不等式的整數(shù)解是，又∵，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式．21．(2023·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足．【解析】，，，，；∵，∴．22．(2023·上海靜安·六年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥?若方程的解是關(guān)于的方程的解，求的值．【解析】，，解得，，即，解得，將代入得．23．(2023·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥?如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)m倍，點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)B到點(diǎn)C距離的n倍，且．(1)求m和n的值；(2)若點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，若