專題17 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（學(xué)生版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題17二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【知識點梳理】知識點一：一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．知識點二：二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點.知識點三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集．知識點四：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)()的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點詮釋：(1)一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標(biāo)；(2)表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；(3)解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集.知識點五：利用不等式解決實際問題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結(jié)合題目的實際意義確定答案．知識點六：一元二次不等式恒成立問題(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.知識點七：簡單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【題型歸納目錄】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法題型四：一次分式不等式的解法題型五：實際問題中的一元二次不等式問題題型六：不等式的恒成立與有解問題題型七：一元二次方程根的分布問題【典例例題】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式例1．(2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考開學(xué)考試)解不等式：(1)；(2).例2．(2023·全國·高一專題練習(xí))求解下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).例3．(2023·高一課時練習(xí))不等式的解集是___________________.變式1．(2023·高一課時練習(xí))的解集為___________________.變式2．(2023·高一課時練習(xí))不等式的解集為___________________.變式3．(2023·高一課時練習(xí))不等式2x2＋x－15<0的解集為________．題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯例4．(2023·高一課時練習(xí))已知不等式的解集為，則不等式的解集為______．例5．(2023·上海虹口·高一上外附中?？茧A段練習(xí))已知關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集為___．例6．(2023·青海海東·高一?？计谥?已知是關(guān)于的二次方程的兩根，則的大小關(guān)系是___________.變式4．(2023·高一課時練習(xí))已知不等式的解集是，，則不等式的解集是____________.變式5．(2023·高一單元測試)若方程有唯一的實數(shù)根3，則不等式的解集為______．變式6．(2023·高一課時練習(xí))若一元二次不等式的解集是，則的值是_____.變式7．(2023·高一課時練習(xí))若不等式的解集為或，則的值為________．變式8．(2023·安徽滁州·高一校考開學(xué)考試)已知不等式的解集為，則不等式的解集為______．題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法例7．(2023·高一單元測試)解關(guān)于x的不等式.例8．(2023·高一課時練習(xí))已知.(1)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式.例9．(2023·高一課時練習(xí))解關(guān)于x的不等式.變式9．(2023·全國·高一專題練習(xí))解下列關(guān)于的不等式．變式10．(2023·全國·高一專題練習(xí))解下列關(guān)于的不等式．變式11．(2023·全國·高一專題練習(xí))解下列關(guān)于的不等式：．題型四：一次分式不等式的解法例10．(2023·全國·高三專題練習(xí))不等式的解集為________.例11．(2023·全國·高一專題練習(xí))不等式的解集為_________．例12．(2023·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí))不等式的解集是___________.變式12．(2023·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？奸_學(xué)考試)不等式的解集是________．變式13．(2023·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考階段練習(xí))不等式的解集是________．題型五：實際問題中的一元二次不等式問題例13．(2023·高一課時練習(xí))某商品在最近天內(nèi)的價格與時間(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是；銷售量與時間的函數(shù)關(guān)系是，則使這種商品日銷售金額不小于元的的范圍為(

)A． B．C． D．例14．(2023·高一課時練習(xí))某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x(件)與單價P(元)之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C(元)，其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是(

)A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45例15．(2023·浙江溫州·高一校考階段練習(xí))某種汽車在水泥路面上的剎車距離(單位：)和汽車剎車前的車速(單位：)之間有如下關(guān)系：，在一次交通事故中，測得這種車剎車距離大于40，則這輛汽車剎車前的車速至少為(

)(精確到1)A．76 B．77 C．78 D．80變式14．(2023·天津濱海新·高一校考期中)某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價x(單位：元)的取值范圍是(

)A． B．C． D．變式15．(2023·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí))某地每年銷售木材約20萬立方米，每立方米價格為2400元，為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬立方米.為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．題型六：不等式的恒成立與有解問題例16．(2023·全國·高一期末)已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范圍.例17．(2023·浙江杭州·高一杭師大附中?？计谀?(1)，求實數(shù)a的取值范圍;(2)，求實數(shù)a的取值范圍.例18．(2023·云南楚雄·高一?？茧A段練習(xí))設(shè).(1)若，求的解集；(2)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)解關(guān)于x的不等式.變式16．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知函數(shù)．(1)若，解關(guān)于x的不等式(結(jié)果用含m式子表示)；(2)若存在實數(shù)m，使得當(dāng)時，不等式恒成立，求負數(shù)n的最小值．變式17．(2023·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知不等式：①，②，③．(1)分別求出不等式①與②的解集；(2)若同時滿足①②的值也滿足③，求實數(shù)的取值范圍．變式18．(2023·四川·高一?？茧A段練習(xí))已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若對任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.則t的取值范圍是______.變式19．(2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谥?設(shè)，若關(guān)于x的不等式對任意的恒成立，則的最大值為_________．變式20．(2023·黑龍江大慶·高一大慶市東風(fēng)中學(xué)校考階段練習(xí))已知當(dāng)時,不等式恒成立.求a的取值范圍_______(集合形式作答).題型七：一元二次方程根的分布問題例19．(2023·高一課時練習(xí))關(guān)于的方程的兩根均大于，則實數(shù)的取值集合為__________.例20．(2023·內(nèi)蒙古·高一包鋼一中校考階段練習(xí))關(guān)于的方程有一個正根和一個負根的充要條件是__________.例21．(2023·高一課時練習(xí))已知函數(shù)的圖像如圖所示，求不等式的解集．變式21．(2023·湖北武漢·高一校考期中)已知一元二次方程．(1)寫出“方程有一個正根和一個負根”的充要條件；(2)寫出“方程有一個正根和一個負根”的一個必要而不充分條件，并給予證明．變式22．(2023·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？计谥?已知關(guān)于的一元二次方程，(1)若，求證：；(2)若時方程有兩個不相等的正實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·高一課時練習(xí))關(guān)于x的方程至少有一個負根的充要條件是(

)A． B． C．或 D．2．(2023·高一課時練習(xí))關(guān)于x的方程的解集不可能是(

)A． B． C． D．3．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)已知，則是成立的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．(2023·高一課時練習(xí))若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象與x軸的交點為()A．和 B．C． D．和5．(2023·高一單元測試)若集合，，則(

)A．B．C．RD．或6．(2023·高一課時練習(xí))已知不等式和不等式的解集相同，則實數(shù)的值分別為(

)A． B．C． D．7．(2023·高一課時練習(xí))若，則等于(

)A． B．或 C． D．或8．(2023·湖南·高一校聯(lián)考期中)若“”是“”的一個充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是(

)A．或 B．或C．或 D．或二、多選題9．(2023·高一課時練習(xí))有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水加滿，然后又倒出4升后再用水加滿，此時桶中所含的純農(nóng)藥藥液不超過桶的容積的，則桶的容積可能為(

)A．7 B．9 C．11 D．1310．(2023·江西·高一統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)，則函數(shù)的圖象可能是(

)A． B．C． D．11．(2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學(xué)校考期中)已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是(

)A． B．的解集為C． D．的解集為12．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·高一校考階段練習(xí))下列命題不正確的是(

)A．集合，若集合A有且僅有2個子集，則a的值為B．若一元二次方程的解集為R，則k的取值范圍為C．設(shè)集合，，則“”是“”的充分不必要條件D．正實數(shù)滿足，則三、填空題13．(2023·高一課時練習(xí))當(dāng)時，關(guān)于x的不等式的解集是__________．14．(2023·陜西渭南·高一?？茧A段練習(xí))如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，圖象過點，對稱軸為．給出下面四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是__________．15．(2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí))若集合，，則______．16．(2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末)若關(guān)于的不等式的解集中只有一個元素，則實數(shù)的取值集合為__.四、解答題17．(2023·高一課時練習(xí))已知等式對任意實數(shù)m恒成立，求所有滿足條件的實數(shù)對的集合.18．(2023·湖北宜昌·高一?？茧A段練習(xí))求解下列問題：(1)已知都是正數(shù)．若，求的最小值．(2)已知不等式的解集為或．求實數(shù)的值．19．(2023·高一課時練習(xí))已知，不等式的解集為A，且滿足，求實數(shù)a的取值范圍.20．(2023·高一課時練習(xí))某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為元/個，出廠價為元/個，日銷售量為個，為適應(yīng)市場需求，計劃提高蛋糕檔次，適度增