8.2 函數(shù)與數(shù)學模型（六大題型）-蘇教版高一《數(shù)學》同步學與練（解析版）

第第頁8．2函數(shù)與數(shù)學模型課程標準學習目標（1）通過本節(jié)內容的學習，讓學生結合實例，選擇合適的函數(shù)模型，運用函數(shù)模型解決實際問題，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).（2）通過數(shù)據(jù)分析對應的函數(shù)模型，提升邏輯推理素養(yǎng).（3）將實際問題轉化為數(shù)學問題，由函數(shù)解析式求值和有關函數(shù)解析式的計算，提升直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).（1）了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異.（2）會根據(jù)函數(shù)的增長差異選擇函數(shù)模型．（3）能自建確定性函數(shù)模型解決實際問題.（4）了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗和調整的必要性．知識點01幾種常見的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：【即學即練1】（2023·浙江金華·高一階段練習）今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】選代入四個選項的解析式中選取所得的最接近的解析式即可.對于選項A：當時，，與相差較多，故選項A不正確；對于選項B：當時，，與相差較多，故選項B不正確；對于選項C：當時，，故選項C正確；對于選項D：當時，，與相差較多，故選項D不正確；故選：C.知識點02解答應用問題的基本思想和步驟1、解應用題的基本思想2、解答函數(shù)應用題的基本步驟求解函數(shù)應用題時一般按以下幾步進行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型．第二步：建模在細心閱讀與深入理解題意的基礎上，引進數(shù)學符號，將問題的非數(shù)學語言合理轉化為數(shù)學語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關系，建立函數(shù)模型．這時，要注意函數(shù)的定義域應符合實際問題的要求．第三步：求模運用數(shù)學方法及函數(shù)知識進行推理、運算，求解數(shù)學模型，得出結果．第四步：還原把數(shù)學結果轉譯成實際問題作出解答，對于解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，使其符合實際背景．上述四步可概括為以下流程：實際問題（文字語言）數(shù)學問題（數(shù)量關系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學語言）求模（求解數(shù)學問題）反饋（還原成實際問題的解答）．3、解答函數(shù)應用題應注意的問題首先，要認真閱讀理解材料．應用題所用的數(shù)學語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往往篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感．閱讀理解材料要達到的目標是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領悟其中的數(shù)學本質，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關系、數(shù)量關系，確立解體思路和下一步的努力方向，對于有些數(shù)量關系較復雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它．其次，建立函數(shù)關系．根據(jù)前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關系符號”表達出來，建立函數(shù)關系．其中，認真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關鍵．在閱讀這一過程中應像解答語文和外語中的閱讀問題一樣，有“泛讀”與“精讀”之分．這是因為一般的應用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)量關系的語言來敘述，而我們解決問題所關心的東西是數(shù)量關系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即可．反過來，對那些刻畫數(shù)量關系、位置關系、對應關系等與數(shù)學有關的問題的部分，則應“精讀”，一遍不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率．【即學即練2】（2023·安徽阜陽·高二校考期中）某化學試劑廠以千克/小時的速度勻速生產某種產品（生產條件要求），每小時可獲得的利潤是萬元.(1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于30萬元，求的取值范圍；(2)要使生產120千克該產品獲得的利潤最大，則該工廠應該選取何種生產速度？并求出最大利潤.【解析】（1）根據(jù)題意，有，得，得或，又，得．（2）生產120千克該產品獲得的利潤為，，記，，則，當且僅當時取得最大值，則獲得的最大利潤為（萬元），題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應用例1．（2023·全國·高二專題練習）為了保護環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵下進行技術改進：把二氧化碳轉化為某種化工產品，經測算，處理成本(單位：萬元)與處理量(單位：噸)之間的函數(shù)關系可近似表示為，，已知每處理一噸二氧化碳可獲得價值20萬元的某種化工產品．(1)判斷該技術改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補貼多少萬元該工廠才不會虧損？(2)當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？【解析】（1）當時，設該工廠獲利為，則，所以當時，，因此該工廠不會獲利，國家至少需要補貼萬元，該工廠才不會虧損．（2）二氧化碳的平均處理成本，當時，，當且僅當，即時等號成立，故取得最小值為，所以當處理量為噸時，每噸的平均處理成本最少．例2．（1982·全國·高考真題）以墻為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，并用平行于一邊的籬笆隔開（如圖）．已知籬笆的總長為定值L，這塊場地的長和寬各為多少時場地的面積最大？最大面積是多少？【解析】設長方形場地的寬為，則長為，它的面積，當寬時，這塊長方形場地的面積最大，這時，最大面積為.答：這塊場地的長為，寬為時，面積最大，最大為.例3．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）某企業(yè)為了增加工作崗位和增加員工收入，投入90萬元安裝了一套新的生產設備，預計使用該設備后前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入95萬元．設使用該設備前年的總盈利額為萬元．(1)寫出關于的函數(shù)關系式，并估計該設備從第幾年開始盈利；(2)使用若干年后對該設備處理的方案有兩種：方案一：當總盈利額達到最大值時，該設備以20萬元的價格處理；方案二：當年平均盈利額達到最大值時，該設備以60萬元的價格處理；問哪種方案較為合理？并說明理由．【解析】（1）由題意可得，由得，又，所以該設備從第2年開始實現(xiàn)總盈利．（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，總盈利額，當時，取得最大值160，此時處理掉設備，則總利潤為萬元；方案二：由（1）可得，平均盈利額為，當且僅當，即時等號成立；即時，平均盈利額最大，此時，此時處理掉設備，總利潤為萬元．綜上，兩種方案獲利都是180萬元，但方案二僅需要三年即可，故方案二更合適．變式1．（2023·高二課時練習）幾名大學畢業(yè)生合作開設3D打印店，生產并銷售某種3D產品.已知該店每月生產的產品當月都能銷售完，每件產品的生產成本為34元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產品的生產成本，第二部分是其他固定支出20000元.假設該產品的月銷售量t（件）與銷售價格x（元/件）（）之間滿足如下關系：①當時，；②當時，.記該店月利潤為M（元），月利潤=月銷售總額-月總成本.(1)求M關于銷售價格x的函數(shù)關系式；(2)求該打印店的最大月利潤及此時產品的銷售價格.【解析】（1）當時，，解得.∴即（2）當，時，設，則.令，解得（舍去），，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.∵，，，的最大值為44226.當時，單調遞減，故此時的最大值為.綜上所述，當時，有最大值44226.∴該打印店的最大月利潤為44226元，此時產品的銷售價格為51元/件.變式2．（2023·高二課時練習）已知某養(yǎng)豬場的固定成本是20000元，每年最大規(guī)模的養(yǎng)殖量為600頭，且每養(yǎng)1頭豬，成本增加100元，養(yǎng)x頭豬的收益函數(shù)為，記，分別為養(yǎng)x頭豬的成本函數(shù)和利潤函數(shù)．(1)分別求，的表達式；(2)當x取何值時，最大？【解析】（1）由題意得：，，；（2）由（1）知：，，當時，最大.【方法技巧與總結】1、一次函數(shù)模型的應用利用一次函數(shù)求最值，常轉化為求解不等式（或）．解答時，注意系數(shù)a的正負，也可以結合函數(shù)圖象或其單調性來求最值．2、二次函數(shù)模型的應用構建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調性等方法求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應區(qū)間之間的位置關系討論求解，但一定要注意自變量的取值范圍．題型二：分段與分式函數(shù)模型的應用例4．（2023·江蘇無錫·高一江陰市青陽中學?？茧A段練習）為響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小王同學大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為2萬元，每生產萬件，需另投入流動成本為萬元．在年產量不足8萬件時，（萬元）；在年產量不小于8萬件時，．每件產品售價為6元．假設小王生產的商品當年全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量x（萬件）的函數(shù)解析式（注：年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本）；(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？【解析】（1）因為每件產品售價為6元，則x（萬件）商品銷售收入為萬元，依題：當時，當時，，所以；（2）當時，，此時，當時，取得最大值（萬元）；當時，，當且僅當，即時，等號成立，即當時，取得最大值15（萬元），因為，所以當產量為10（萬件）時，利潤最大，為15萬元.例5．（2023·江西南昌·高二校聯(lián)考期末）民族要復興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產業(yè)振興，農民專業(yè)合作社已成為新型農業(yè)經營主體和現(xiàn)代農業(yè)建設的中堅力量，為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻.某農民專業(yè)合作社為某品牌服裝進行代加工，已知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬元，每代加工萬件該品牌服裝，需另投入萬元，且根據(jù)市場行情，該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝每代加工一件服裝，可獲得12元的代加工費.(1)求該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費的年利潤y（單位：萬元）關于年代加工量x（單位：萬件）的函數(shù)解析式.(2)當年代加工量為多少萬件時，該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費的年利潤最大?并求出年利潤的最大值.【解析】（1）當時，；

當時，.

故（2）當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，且對稱軸為直線所以在上單調遞增，

故（萬元）；

當時，，

當且僅當，即時，等號成立.

即當時，（萬元）.

因為，所以當年代加工量為15萬件時，該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費的年利潤最大，最大值為25萬元.例6．（2023·全國·高三專題練習）已知某公司生產某款產品的年固定成本為40萬元，每生產1件產品還需另外投入16元，設該公司一年內共生產萬件產品并全部銷售完，每萬件產品的銷售收入為萬元，且已知(1)求利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數(shù)解析式：(2)當年產量為多少萬件時？公司在該款產品的生產中所獲得的利潤最大，并求出最大利潤.【解析】（1）由題得利潤等于收入減去成本.當時，；當時，.（2）當時，時，；當時，，當且僅當，即時，，時，的最大值為6104萬元，即當年產量為32萬件時，公司在該款產品的生產中所獲得的利潤最大，最大利潤為6104萬元.變式3．（2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為2萬元，每生產萬件，需另投入流動成本為萬元，在年產量不足8萬件時，（萬元），在年產量不小于8萬件時，（萬元），每件產品售價為5元．通過市場分析，小王生產的商品能當年全部售完．(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤=年銷售收入－固定成本－流動成本）(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？【解析】（1）因為每件產品售價為5元，則（萬件）商品銷售收入為萬元，依題意當時，；當時，．所以.（2）當時，，此時，當時，取得最大值10；當時，，此時，當且僅當，即時，取得最大值16．因為，所以年產量為10萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大，最大利潤是16萬元．變式4．（2023·廣東·高二統(tǒng)考期末）“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網”養(yǎng)魚時，某種魚在一定條件下，每尾魚的平均生長速度（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度（單位：尾/立方米）的函數(shù).當不超過4尾/立方米時，的值為2千克/年；當時，是的一次函數(shù)；當達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，的值為0千克/年.(1)當時，求函數(shù)關于的函數(shù)表達式；(2)當養(yǎng)殖密度為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值.【解析】（1）依題意，當時，；當時，是關于x的一次函數(shù)，假設，則，解得，所以.（2）當時，；當時，，當時，取得最大值.因為，所以當x＝10時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5.變式5．（2023·天津寧河·高一天津市寧河區(qū)蘆臺第一中學校考階段練習）2023年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產設備，經過市場分析，全年投入固定成本2500萬元，每生產百輛新能源汽車需另投入成本萬元，且，由市場調研知，每一百輛車的售價為500萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完.（注：利潤＝銷售額－成本）(1)求2023年的利潤（萬元）關于年產量（百輛）的函數(shù)關系式.(2)當2023年的年產量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【解析】（1）當時，；當時，，所以；（2）當時，，所以；當時，，當且僅當，即時等號成立.故，所以當2023年的年產量為100百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1800萬元.變式6．（2023·四川成都·高一四川省成都市玉林中學?？计谥校┠晨萍计髽I(yè)生產一種電子設備的年固定成本為600萬元，除此之外每臺機器的額外生產成本與產量滿足一定的關系式．設年產量為臺，若年產量不足70臺，則每臺設備的額外成本為萬元；若年產量大于等于70臺不超過200臺，則每臺設備的額外成本為萬元．每臺設備售價為100萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產的電子設備能全部售完．(1)寫出年利潤W（萬元）關于年產量x（臺）的關系式；(2)當年產量為多少臺時，年利潤最大，最大值為多少？【解析】（1）當，時，；當，時，．所以；（2）①當，時，，所以當時，y取得最大值，最大值為1200萬；②當，時，，當且僅當，即時，y取得最大值1320，所以，所以當年產量為80臺時，年利潤最大，最大值為1320萬元．【方法技巧與總結】1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．2、分段函數(shù)的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集．3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結論．題型三：指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型的應用例7．（2023·高二課時練習）某城市2007年底人口為500萬，人均住房面積為，到2017年底該市的人均住房面積翻了一番．假定該市人口的年平均增長率為1％，求這10年中該市每年新增住房的平均面積（精確到）．【解析】2007年住房總面積為：萬平方米，2017年該市的人口為：萬，2017年住房總面積為：萬平方米，則10年中該市每年新增住房的平均面積：萬平方米.例8．（2023·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）研究發(fā)現(xiàn)，放射性元素在一定時間內會通過核衰變過程轉換成其他元素，放射性水平隨著時間的推移而呈指數(shù)級下降，已知放射性元素在t時刻的放射性水平滿足關系式，其中是初始水平，k為常數(shù)．(1)若放射性元素X在時的放射性水平是時的，求k的值；(2)設表示放射性元素的放射速率，當放射速率低于時，該元素的放射性水平趨于“絕零”，求使得（1）中放射性元素X的放射性水平趨于“絕零”的最小整數(shù)t．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題可知，，．因為，所以，所以即．（2）由（1）可知，，由，得，即．因為，所以，所以所求的最小整數(shù)．例9．（2023·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）近年來，得益于我國先進的運載火箭技術，我國在航天領域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五號載人飛船搭載航天員費俊龍、鄧清明、張陸飛往中國空間站，與神舟十四航天員“會師”太空，12月4日晚神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲安全順利出艙，圓滿完成飛行任務.據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可用公式計算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，是火箭(除推進劑外)的質量，是推進劑與火箭質量的總和，稱為“總質比”，已知型火箭的噴流相對速度為.(1)當總質比為時，利用給出的參考數(shù)據(jù)求型火箭的最大速度；(2)經過材料更新和技術改進后，型火箭的噴流相對速度提高到了原來的倍，總質比變?yōu)樵瓉淼模粢够鸺淖畲笏俣戎辽僭黾?，求在材料更新和技術改進前總質比的最小整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù):，，）【解析】（1）由已知可得.（2）設在材料更新和技術改進前總質比為，且，，若要使火箭的最大速度至少增加，所以，即，，所以，解得，因為，所以，所以材料更新和技術改進前總質比的最小整數(shù)值為.【方法技巧與總結】1、涉及平均增長率的問題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸椋ㄆ渲蠳為原來的基礎數(shù)，p為增長率，x為時間）的形式．2、在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型．題型四：擬合函數(shù)模型的應用問題例10．（2023·四川成都·高一校聯(lián)考期末）科學實驗中，實驗員將某種染料倒入裝有水的透明水桶，想測試染料的擴散效果，染料在水桶中擴散的速度是先快后慢，1秒后染料擴散的體積是，2秒后染料擴散的體積是，染料擴散的體積y與時間x（單位：秒）的關系有兩種函數(shù)模型可供選擇：①，②，其中m，b均為常數(shù)．(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)若染料擴散的體積達到，至少需要多少秒．【解析】（1）因為函數(shù)中，隨的增長而增長，且增長的速度也越來越快，二函數(shù)中，隨的增長而增長，且增長的速度也越來越慢，根據(jù)染料擴散的速度是先快后慢，所以選第二個模型更合適，即，由題意可得：，解得：，所以該模型的解析式為：，（2）由（1）知：，由題意知：，也即，則有，∴，∴，∴至少需要4秒．例11．（2023·廣東中山·高一統(tǒng)考期中）某家庭進行網上理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產品的年收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的年收益與投資額的算術平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產品的年收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）.(1)分別寫出兩種產品的年收益與投資的函數(shù)關系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？【解析】（1）由題意設投入萬元，穩(wěn)健型產品的年收益，風險型產品的年收益，由圖知，函數(shù)和的圖象分別過點和，代入解析式可得，所以（2）設用于投資穩(wěn)健型產品的資金為x，用于投資風險型產品的資金為，年收益為y，則，令，則，當，即時，，所以當投資穩(wěn)健型產品的資金為16萬元，風險型產品的資金為4萬元時年收益最大，最大值為3萬元.例12．（2023·山西太原·高一?？茧A段練習）某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開展植樹造林，假設一片森林原來的面積為畝，計劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長率相同，當面積是原來的2倍時，所用時間是10年．（1）求森林面積的年增長率；（2）為使森林面積達到畝至少需要植樹造林多少年？（結果精確到1年）（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1）設年增長率為，則，，，.（2）設至少需要植樹年，則，，即，，，故至少需要植樹造林年.變式7．（2023·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習）某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系如下表所示：時間月1234浮萍的面積35917現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型可供選擇：①，②，③，其中均為常數(shù)，且.(1)直接選出你認為最符合題意的函數(shù)模型，并求出關于的函數(shù)解析式；(2)若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到所經過的時間分別為，寫出一種滿足的等量關系式，并說明理由.【解析】（1）應選擇函數(shù)模型②.依題意，得，解得，所以關于的函數(shù)解析式為.（2）.理由：依題意，得，，，所以，，，所以，所以，所以.變式8．（2023·四川綿陽·高二期末）為了改善湖泊的水質，某市環(huán)保部門于2021年年終在該湖泊中投入一些浮萍，這些浮萍在水中的繁殖速度越來越快，2022年2月底測得浮萍覆蓋面積為，2022年3月底測得浮萍覆蓋面積為，浮萍覆蓋面積（單位：）與2022年的月份（單位：月）的關系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．(1)分別求出兩個函數(shù)模型的解析式；(2)若2021年年終測得浮萍覆蓋面積為，從上述兩個函數(shù)模型中選擇更合適的一個模型，試估算至少到哪一年的幾月底浮萍覆蓋面積能超過？（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為，若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為．（2）把代入可得，，把代入可得，，∵，∴選擇函數(shù)模型更合適，

令，可得，兩邊取對數(shù)可得，，∴，故浮萍至少要到2023年2月底覆蓋面積能超過8100m2．變式9．（2023·廣東河源·高一階段練習）某企業(yè)生產A，B兩種產品，根據(jù)市場調查與預測，A產品的利潤y與投資x成正比，其關系如圖（1）所示；B產品的利潤y與投資x的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示（注：利潤y和投資x的單位均為萬元）(1)分別求A，B兩種產品的利潤y關于投資x的函數(shù)解析式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產品的生產．①若平均投入兩種產品的生產，可獲得多少利潤？②怎樣分配這18萬元投資才能使該企業(yè)獲得最大利潤？最大利潤為多少萬元？【解析】（1）設A產品的利潤關于投資x的函數(shù)解析式為，B產品的利潤關于投資x的函數(shù)解析式為，由題意可得：過點，過點，則，解得，故A產品的利潤關于投資x的函數(shù)解析式為，B產品的利潤關于投資x的函數(shù)解析式為.（2）設B產品投資萬元，則A產品投資萬元，由（1）可得：獲得總利潤.①令，則獲得總利潤萬元；②令，則，可得，開口向下，對稱軸，當時，取到最大值，故A產品投資萬元，B產品投資萬元，才能使該企業(yè)獲得最大利潤.變式10．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）為進一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀念章，并決定近期投放市場.根據(jù)市場調研情況，預計每枚紀念章的市場價（單位：元）與上市時間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表.上市時間/天2632市場價/元1486073(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①，②，③中選取一個恰當?shù)暮瘮?shù)描述每枚紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系（無需說明理由），并求出該函數(shù)的解析式；(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀念章市場價最低時的上市天數(shù)及每枚紀念章的最低市場價.【解析】（1）每枚紀念章的最低市場價不是關于上市時間的單調函數(shù)，故選.分別把，代入，得解得，，∴，.此時該函數(shù)的圖象恰經過點，∴，.（2）由（1）知，當且僅當，即時，有最小值，且.故當該紀念章上市12天時，市場價最低，最低市場價為每枚48元.變式11．（2023·福建福州·高一福建省連江第一中學校考期中）疫情后全國各地紛紛布局“夜經濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進而提升區(qū)域經濟發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數(shù)據(jù)如表所示：（天11418222630122135139143139135(1)給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數(shù)的解析式；(2)已知第1天的日銷售收入為244元．設該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【解析】（1）該工藝品在過去的一個月內（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關系近似滿足為常數(shù)，且，日銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數(shù)據(jù)如表所示：（天11418222630122135139143139135由表格中的數(shù)據(jù)知，當時間變長時，先增后減，①③④函數(shù)模型都描述的是單調函數(shù)，不符合該數(shù)據(jù)模型，所以選擇模型②：，由函數(shù)圖象對稱性可知，又由表格可知，，代入，得，解得，，所以日銷售量與時間的變化的關系式為，.（2）因為第1天的日銷售收入為244元，則，解得，則，由（1），知，由，當，時，，當且僅當時，即時等號成立，當，時，為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，綜上可得，當時，函數(shù)取得最小值139.5元．變式12．（2023·吉林通化·高一梅河口市第五中學?？计谥校┠硨W習小組在暑期社會實踐活動中，通過對某商店一種商品銷售情況的調查發(fā)現(xiàn)：該商品在過去的一個月內（以30天計）的日銷售價（元）與時間（元）的函數(shù)關系近似滿足（為正實數(shù)）．該商品的日銷售量（個）與時間（天）部分數(shù)據(jù)如下表所示：第天10202530個110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元.(1)求的值；(2)給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量與時間的關系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)在（2）的情況下，求該商品的日銷售收入（元）的最小值．【解析】（1）由題意得：第10天該商品的日銷售收入為，解得：，（2）由題意，當時間變化時，該商品的日銷售量有增有減并不單調，故選②，∵，，，∴，解得：，∴，；（3）由（2）可知：，所以當時，由對勾函數(shù)知在上遞減，在上遞增，所以當時，取最小值，，當時，在上遞減，所以當時，取最小值，，綜上：所以當時，取最小值，.【方法技巧與總結】在沒有給出具體模型的問題中，首先要由已知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過檢測所求函數(shù)模型與實際誤差的大小，探求相近的數(shù)學關系，預測函數(shù)的可能模型．題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型例13．（2023·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學統(tǒng)考期中）某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠面積增加值分別為0.2萬公頃0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠面積增加數(shù)（萬公頃）關于年數(shù)（年）的函數(shù)關系較為接近的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，最近三年測得沙漠面積增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，即，，，對于A中，函數(shù)，當時，和0.76相差較大；對于B中，函數(shù)，當時，和0.4相差較大；對于C中，函數(shù)，當時，和0.4相差較大；對于D中，函數(shù)，當時，，當時，，當時，和0.76相差0.04，綜合可得，選用函數(shù)關系較為近似．故選：D.例14．（2023·安徽宿州·高一校聯(lián)考期末）有一組實驗數(shù)據(jù)如下現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最佳的一個是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于選項A：當時，，與相差較多，當時，，與相差較多，故選項A不正確；對于選項B：當時，，與相差較多，當時，，與相差較多，故選項B不正確；對于選項C：當時，，當時，，故選項C正確；對于選項D：當時，，與相差較多，當時，，與相差較多，故選項D不正確；故選：C.例15．（2023·河南許昌·高三階段練習）某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在直角坐標系中畫出這幾對數(shù)據(jù)的散點圖，觀察圖形的變化趨勢，這幾個點在變化趨勢上是在第一象限單調遞增，遞增的速度比較快，排除B、C兩個選項，當時，不符合A選項．故選：D.變式13．（2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）一組關于的觀測數(shù)據(jù)通過的轉換數(shù)據(jù)對應關系如表所示：1234513.14.97.18.8則y與t近似滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意求得和的對應數(shù)據(jù)，113.14.97.18.8對A，當時，和相差較遠，故排除A，對C，當時，和相差較遠，故排除C，對D，當時，，和7.1相差較遠，故排除D，對B，各個數(shù)據(jù)代入基本符合，故選：B變式14．（2023·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）對于下表格中的數(shù)據(jù)進行回歸分析時，下列四個函數(shù)模型擬合效果最優(yōu)的是（

）12335.9912.01A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，這3組數(shù)據(jù)可近似為，，；得到增長速度越來越快，排除，對于選項，三組數(shù)據(jù)都不滿足，對于選項，三組數(shù)據(jù)代入后近似滿足，則模擬效果最好的函數(shù)是．故選：．變式15．（2023·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┙鼛讉€月某地區(qū)的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增長率為，第2月的口罩月消耗量增長率為，這兩個月口罩月消耗量的月平均增長率為，則以下關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，時，，，時，，，，因此，綜上，．故選：D．題型六：指對冪函數(shù)的增長差異例16．（2023·全國·高一課時練習）甲、乙、丙三個物體同時從同一點出發(fā)向同一個方向運動，其路程關于時間的函數(shù)關系式分別為，，，有以下結論：①當時，乙總走在最前面；②當時，丙走在最前面；當時，丙走在最后面；③如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲.其中所有正確結論的序號是___________．【答案】②③【解析】已知甲、乙、丙三個物體的路程關于時間的函數(shù)關系式，分別為，，，可知它們相對應的函數(shù)模型分別為指數(shù)型函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)，當時，，當時，，可知當時，乙不總是走在最前面，故①不正確；根據(jù)三種函數(shù)的變化特點，畫出三個函數(shù)時的圖象，當時，，則甲、乙、丙三個物體的路程相等，由圖象可知當時，丙走在最前面；當時，丙走在最后面；故②正確；由于指數(shù)函數(shù)的增長速度先慢后快，當運動的時間足夠長，最前面的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)運動的物體，所以如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲，故③正確.故答案為：②③.例17．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上增長速度較快的一個是__________.【答案】【解析】，比較與的增長速度只需比較與增長速度即可，由圖象可知：的增長速度快于，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上增長速度較快的是.故答案為：.例18．（2023·湖南·高一課時練習）下列選項是四種生意預期的收益y關于時間x的函數(shù)，從足夠長遠的角度看，更為有前途的生意是________.①；②；③；④【答案】①【解析】由于指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，其增長速度隨著時間的推移是越來越快，更為有前途的生意，故答案為：①.變式16．（2023·湖南·高一課時練習）在同一直角坐標系內分別作出下列各組函數(shù)的草圖，比較它們在范圍內增長的快慢．(1)和；(2)和；(3)和；(4)和．【答案】(1)圖象見解析，增長較快；(2)圖象見解析，增長較快；(3)圖象見解析，增長較快；(4)圖象見解析，增長較快；【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象特征，畫出函數(shù)圖象，結合函數(shù)圖象判斷即可；(1)函數(shù)圖形如下圖所示：由圖可知在范圍內增長得較快；(2)函數(shù)圖形如下圖所示：由圖可知在范圍內增長得較快；(3)函數(shù)圖象如下所示：由圖可知在范圍內增長得較快；(4)函數(shù)圖形如下所示：由圖可知在范圍內增長得較快；變式17．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝的反函數(shù)．(1)求y＝f(x)的解析式；(2)若x∈(0，＋∞)，試分別寫出使不等式：①；②成立的自變量x的取值范圍．【解析】(1)∵函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝log2x的反函數(shù)，∴f(x)＝2x.(2)作出函數(shù)y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐標系中的圖象，可得：22＝4，24＝42＝16，①因為，所以2<x<4，解集為(2，4)；②因為，所以0<x<2或x>4，解集為(0，2)∪(4，＋∞)．變式18．（2023·江蘇·高一課時練習）利用計算器，分別計算當，2，3，…，10時，函數(shù)，及的值，并分析判斷：當x無限增大時，這3個函數(shù)中哪個函數(shù)的增長更快些.【解析】當，2，3，…，10時，函數(shù)，及的值如下表：12012414381.58496250194162165322.321928095256642.5849625013671282.80735492249825636495123.169925001811010243.321928095100從表格可知，當x無限增大時，這3個函數(shù)中指數(shù)函數(shù)的增長更快些．一、單選題1．（2023·江蘇南京·高一南京市第十三中學校考期中）一種藥在病人血液中的量保持在以上時才有療效，而低于時病人就有危險．現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時的比例衰減，以保證療效，那么下次給病人注射這種藥的時間最遲大約是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．5小時后 B．7小時后C．9小時后 D．11小時后【答案】B【解析】設小時后減少到，則，則，即，則，則，則注射時間需小于小時.故選：B．2．（2023·北京·高一北京市陳經綸中學?？计谥校┠硻C構對一種病毒在特定環(huán)境下進行觀測，每隔單位時間T進行一次記錄，用表示經過的單位時間數(shù)，用表示病毒感染人數(shù)，得到的觀測數(shù)據(jù)如下：123456…（人數(shù)）…6…36…216…若與的關系有兩個函數(shù)模型可供選擇：①；②.若經過個單位時間，該病毒的感染人數(shù)不少于1萬人，則的最小值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】若選，將和代入得，解得，所以，代入有，不合題意．若選，將和代入得，解得，所以．代入有，符合題意．依題意可得，即，則，又，，所以，∵，∴的最小值為.故選：C3．（2023·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）某家醫(yī)院成為病毒檢測定點醫(yī)院，在開展檢測工作的第天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時（單位：小時）大致服從的關系為（，為常數(shù)）.已知第16天檢測過程平均耗時為10小時，第65天和第68天檢測過程平均耗時均為5小時，那么可得到第36天檢測過程平均耗時約為（

）A．6小時 B．7小時 C．9小時 D．5小時【答案】B【解析】因為第65天和第68天檢測過程平均耗時均為5小時，所以，所以，即，所以，解得，所以所以第36天檢測過程平均耗時小時，故選：B.4．（2023·江蘇徐州·高三?？茧A段練習）據(jù)國家航天局表明，神舟十六號載人飛船將在今年11月左右返回地球．在返程過程中飛船與大氣摩擦產生摩擦力f，經研究發(fā)現(xiàn)摩擦力f與飛船速度v有關，且滿足，其中G為飛船重力，為飛船初速度．已知當時，飛船將達到平衡狀態(tài)，開始勻速運動，則飛船達到平衡狀態(tài)時，（

）（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，即，即，兩邊同取自然對數(shù)得，，所以，故選：B.5．（2023·山東菏澤·高一菏澤一中校考期中）核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段.某醫(yī)院在成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時（單位：小時）大致服從的關系為（、為常數(shù)）.已知第16天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢測過程平均耗時大致為（

）A．16小時 B．11小時 C．9小時 D．7小時【答案】C【解析】因為第16天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時，所以，因為第16天檢測過程平均耗時為16小時，所以，得，因為第64天檢測過程平均耗時為8小時，所以，解得，所以，所以當時，，故選：C6．（2023·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習）為了給地球減負，提高資源利用率，2020年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經成為新時尚，假設某市2020年全年用于垃圾分類的資金為5000萬元，在此基礎上，每年投入的資金比上一年增長20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年【答案】C【解析】設2020后第x年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元，則，即，解得，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1.28億元的年份是2026．故選：C．7．（2023·福建泉州·高一?？计谥校榱吮Ｗo水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過的部分元超過但不超過的部分元超過的部分元若某戶居民本月交納的水費為元，則此戶居民本月用水量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設居民每月用水量為立方米，水費為元，當時，，此時，當時，，此時，當時，，此時，因為，此戶居民本月用水量超過但不超過，當時，有，解得，即此戶居民本月用水量為，故選：A．8．（2023·高一單元測試）今有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關系的最佳函數(shù)模型是（

）1.993.04.05.16.121.54.047.51218.01A． B．C． D．【答案】C【解析】綜上，最近似.故選：C.二、多選題9．（2023·浙江寧波·高一浙江省寧波市鄞州中學校聯(lián)考期中）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關系（，k，b為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，則（

）A．且B．在10℃的保鮮時間是60小時C．要使得保鮮時間不少于15小時，則儲存溫度不低于30℃D．在零下2℃的保鮮時間將超過150小時【答案】AB【解析】因為該食品在0℃的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，易得是減函數(shù)，結合復合函數(shù)的單調性可知，又，可知，所以正確；又，即，故，，則，故正確；若，則，結合，不等式化為，即，又，所以，故錯誤；當時，，故錯誤；故選：10．（2023·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期中）某商家為了提高一等品M的銷售額，對一等品M進行分類銷售．據(jù)統(tǒng)計，該商家有200件一等品M，產品單價為元．現(xiàn)計劃將這200件一等品分為兩類：精品和優(yōu)品．其中優(yōu)品x件（，），分類后精品的單價在原來的基礎上增加2x%，優(yōu)品的單價調整為元（），因市場需求旺盛，假設分類后精品與優(yōu)品可以全部售完．若優(yōu)品的單價不低于分類前一等品M的單價，且精品的總銷售額不低于優(yōu)品的總銷售額，則n的值可能為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】BC【解析】依題意，則，由知：，且，由知：在上恒成立，因為在上遞增，所以，即，綜上，，.故選：BC11．（2023·貴州·高一校聯(lián)考階段練習）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)與的圖象關于軸對稱.B．函數(shù)與的圖象關于對稱.C．，當時，恒有.D．用二分法求方程在內的近似解的過程中得到，，，則方程的根落在區(qū)間上.【答案】BCD【解析】對于A項，顯然函數(shù)與的定義域均為，圖象不會關于軸對稱，其圖象關于軸對稱，故A錯誤；對于B項，函數(shù)與互為反函數(shù)，故圖象關于對稱，故B正確；對于C項，易知，由指數(shù)函數(shù)的增長速度可知，當時，恒有，即C正確；對于D項，由于函數(shù)連續(xù)，又，，由零點存在性定理可知函數(shù)零點落在區(qū)間上，即D正確.故選：BCD.12．（2023·吉林長春·高一東北師大附中校考階段練習）設矩形的周長為，將沿向折疊，折過去后交于點.設，則下列結論正確的是（

）A．的取值范圍為B．設，則與的關系是C．的面積與的關系是D．當?shù)拿娣e最大時，矩形的面積為【答案】BCD【解析】如圖所示：因為矩形的周長為，所以，解得，故A錯誤；由題意得，，所以，則，又，則，化簡得，故B正確；，故C正確；令，由對勾函數(shù)的性質得，當時，取得最小值，此時取得最大值，，故D正確；故選：BCD三、填空題13．（2023·北京大興·高一?？计谥校┠成藤Q公司售賣某種水果，經過市場調研可知：未來20天內，這種水果每箱的銷售利潤r（單位：元）與時間t（，單位：天）之間的函數(shù)關系式為，且日銷售量y（單位：箱）與時間t之間的函數(shù)關系式為.在未來這20天中，公司決定每銷售1箱該水果就捐贈元給“精準扶貧”對象.為保證銷售積極性，要求捐贈之后每天都能盈利，且獲得的利潤隨時間t的增大而增大，則m的取值范圍是.【答案】【解析】記捐贈后的利潤為，由題意，，化簡得，，記，則其開口向下，且對稱軸為，由該公司每天都能盈利，且獲得的利潤隨時間t的增大而增大，所以，解得且.所以m的取值范圍是故答案為：.14．（2023·全國·高一階段練習）如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：m2）與時間（單位：月）的關系為．關于下列說法正確的是．①浮萍的面積每月的增長率為；②浮萍每月增加的面積都相等；③第4個月時，浮萍面積不超過80m2；④若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所經過的時間分別是，則．

【答案】①④【解析】將點的坐標代入函數(shù)的解析式，解得，于是解析式是對于①，浮萍的每月增長率為：，則浮萍每月的增長率為，故①正確，對于②，浮萍第個月增加的面積為，第個月增加的面積為，故②錯誤，對于③，第4個月時，浮萍的面積為，故③錯誤，對于④，由題意可得，，，，于是所以，故④正確，故答案為：①④．15．（2023·高一課時練習）有關數(shù)據(jù)顯示中國快遞行業(yè)產生的包裝垃圾在2020年約為400萬噸，2021年的年增長率為50%.有專家預測，如果不采取措施，未來包裝垃圾還將以此增長率增長，從年開始，快遞行業(yè)產生的包裝垃圾超過萬噸．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771).【答案】2026【解析】設快遞行業(yè)產生的包裝垃圾為y萬噸，n表示從2020年開始增加的年份的數(shù)量，由題意可得，由于第n年快遞行業(yè)產生的包裝垃圾超過萬噸，所以，所以，兩邊取對數(shù)可得，所以，即，解得，又，故的最小值為，所以從年開始，快遞行業(yè)產生的包裝垃圾超過萬噸．故答案為：202616．（2023·高一課時練習）某報刊亭從報社買進報紙的價格是每份0.24元，賣出的價格是每份0.40元，賣不掉的報紙可以以每份0.08元的價格退回報社.在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的報紙份數(shù)必須相同，則報刊亭攤主應該每天從報社買進份報紙，才能使每月所獲利潤最大.【答案】400【解析】設每天從報社買進份報紙，每月所獲利潤是y元，則每月售出報紙共份，每月退回報社報紙共份.依題意得，.即，化簡得，其中，因為此一次函數(shù)的，所以該函數(shù)為增函數(shù)，再由知，當時，y取得最大值，此時(元).所以每天買進400份報紙可使每月所獲利潤最大，最大利潤為1440元.故答案為：400.四、解答題17．（2023·四川內江·高一四川省內江市第二中學校考期中）2023年10月18日，內江高新區(qū)舉行鄉(xiāng)村振興產業(yè)推介會暨項目集中簽約儀式，現(xiàn)場簽約農業(yè)產業(yè)項目14個，涵蓋種苗繁育、糧油加工、中藥材種植、特色水產