等比數(shù)列的概念高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)+

4.3.1等比數(shù)列的概念復(fù)習(xí)湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校如果能將一張厚度為0.05mm的報(bào)紙對(duì)折，再對(duì)折，再對(duì)折‥‥‥依次對(duì)折50次，你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋？折紙問題情境:湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)?！?..對(duì)折次對(duì)折紙的次數(shù)紙的層數(shù)

…...…...引入1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥板上記錄了下面的數(shù)列:9,92,93,...,910;①100,1002,1003,...,10010;②5,52,...,510③2.《莊子·天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭.”如果把一尺之錘的長(zhǎng)度看成單位“1”，那么從第一天開始，各天得到的“錘”的長(zhǎng)度依次是④3.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是2,4,8,16,32,64,……引入4.某人存入銀行a元,存期為五年,年利率為r,那么按照復(fù)利,他五年內(nèi)每年末得到的本利和分別是a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5復(fù)利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息探究（1）9,92,93,...,910;（2）100,1002,1003,...,10010;（3）5,52,...,510（4）（5）2,4,8,16,32,64,……（6）a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5思考1：類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律如果用{an}表示數(shù)列①，那么有表明,數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于9思考2：類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？

等比數(shù)列一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，

這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)

。符號(hào)表述：新知注：（1）“從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)”與“它的前一項(xiàng)”之比為常數(shù)q

（2）

任意一項(xiàng)an≠0且q≠0

（3）

q=1時(shí)，｛an｝為非零常數(shù)列

等比數(shù)列一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，

這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)

。符號(hào)表述：新知說出下列等比數(shù)列的公比（1）9,92,93,...,910;（2）100,1002,1003,...,10010;（3）5,52,...,510（4）（5）2,4,8,16,32,64,……（6）a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5是，q＝2是，q=－2是，q＝1不是不是是，q＝－1練習(xí)是，

觀察如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后者三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等比數(shù)列：（1）1，

，9（2）-1，

，-4

±3±2練習(xí)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

即G2=ab新知探究你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？問題：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式解：根據(jù)等比數(shù)列的定義有an+1=anq則

a2=a1q

a3=a2q=a1q2

a4=a3q=a1q3...

an=a1qn-1(n≥2)又a1=a1q0=a1q1-1，這就是說，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1qn-1（n∈N﹡,q≠0）新知求下列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)2，4，8，16，32，64.(2)1，3，9，27，81，243，…在等比數(shù)列{an}中，a1＝3，a3＝27，求an；練習(xí)解：設(shè)公比為q∵a3＝a1·q2∴27＝3·q2，∴q＝±3.∴an＝3·3n－1或an＝3·(－3)n－1解：設(shè)公比為q的等比數(shù)列，由已知條件，有解得因此例1.若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12,求{an}的第5項(xiàng)例題解法二：∵a5是a4與a6的等比中項(xiàng)∴=a4×a6=48×12=576∴a5==±24故{an}的第5項(xiàng)是24或－24變式.若等比數(shù)列{an}的第2項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為4和16,求{an}的第4項(xiàng)例1.若等比數(shù)列{an}的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12,求{an}的第5項(xiàng)例題解：∵a4是a2與a6的等比中項(xiàng)∴=a2×a6=4×16=64∴a3=±8∵a4=a2×q2=4q2＞0故{an}的第4項(xiàng)是8變式.若等比數(shù)列{an}的第2項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為4和16,求{an}的第4項(xiàng)在等比數(shù)列中，應(yīng)用等比中項(xiàng)解決問題，要注意下標(biāo)都是奇數(shù)或者都是偶數(shù)的情況練習(xí)解：由已知條件，有a1＋a2=1，a3＋a4=4練習(xí)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，求a1和公比q等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問題便迎刃而解．關(guān)于a1和q的求法通常有以下兩種方法：1.根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法．2.充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系，直接求出q后，再求a