求不定積分的幾種方法

求不定積分的幾種方法摘要:求不定積分的方法有很多種,針對不同類型的函數(shù)采用最適合的方法往往會起到事半功倍的效果,本文就不定積分的求解方法進行了歸類,結(jié)合實例討論了這些方法在不定積分求解中的可行性,對快速正確求解不定積分有一定意義。關鍵詞:不定積分直接積分法分部積分法方程法Abstract:Therearemanykindsofmethodstosolvetheindefiniteintegral.Fordifferenttypesoffunctionusingthemostsuitablemethodoftencanplayamultipliereffect.Inthispaper,indefiniteintegralsolutionsaredividedintoseveraldifferenttypesandthefeasibilityofthemethodofindefiniteintegralisdiscussedbyintegratingthepracticalexamples,whichisofcertainsignificancetorapidly,correctlysolvingindefiniteintegral.Keywords:indefiniteintegral;directintegrationmethod;integrationbyparts;equationmethod不定積分是一元微積分中非常重要的內(nèi)容之一,是積分學中最基本的問題之一,又是求定積分的基礎,牢固掌握不定積分的理論和運算方法,不僅能使學生進一步鞏固所學的導數(shù)和微分概念,而且也將為學習定積分,微分方程和多元函數(shù)的積分學以及其他課程打好基礎,因此切實掌握求不定積分的方法非常重要。求不定積分的方法有很多,可用基本方法,如直接積分法求解、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分部積分法；也可用特殊解法,如方程法、方程組法等方法求解。下面將介紹幾種常見的基本方法和特殊解法。一、基本方法1直接積分法直接積分法是求不定積分的基本方法,是基本途徑,也是其他積分方法的基礎,這一方法是直接利用積分法則和公式得出結(jié)果,或?qū)⒈环e函數(shù)做恒等變形,使之符合基本法與公式,然后再利用積分法則與公式做出結(jié)果。求不定積分解:把該式分子相乘得到分項后得到-+dx-dx然后,利用基本公式求得結(jié)果為x-ln|x|+-2注：在分項積分后,每個不定積分的結(jié)果都含有任意常數(shù)。由于任意常數(shù)的代數(shù)和仍為任意常數(shù),故只需在最后一個積分符號消失的同時,加上一個積分常數(shù)就可以了。求不定積分解:因為此不定積分的被積函數(shù)是,由于分母是而=1,所以被積函數(shù)+sec2x+csc2x從而=+=tanxcotx+c注：此類題目的解題思路：盡量使分母簡單,為此分子或分母乘以某個因子,把分母化為sinkx（或coskx）的單項式,或?qū)⒎帜刚麄€看成一項。一般通用方法為將“1”化為某個特定的等式。求不定積分,解:在分子上加上cosx,再減去cosx得到再利用上例中的解法可得=2=2ln||ln|sinx|+C②在分子上減去1,再加上1得到==+=x+arctanx+c注:此類題目的解題技巧是將被積函數(shù)加（減）項,把積分變成幾個比較簡單的積分進行計算。從上面的幾個典型例子來看,直接積分法往往需要對被積函數(shù)進行適當?shù)暮愕茸冃?或化簡,或拆項,使被積函數(shù)變成可積函數(shù)代數(shù)和形式,此種方法求不定積分比較常見。2第一換元積分法（湊微分法）求一個函數(shù)的不定積分是積分學的一個基本問題,解決這類問題的方法多種多樣,其中有一種方法就是第一換元法,換元法是求不定積分的基本方法。第一類換元積分法主要適用于復合函數(shù),將被積變量湊成復合函數(shù)的中間變量的形式,再利用直接積分法求出積分。第一類換元積分法:若且u=(x)有連續(xù)的導數(shù),則有:(x)dx=第一類換元積分法的關鍵是:將被積表達式湊成兩部分,(x)dx,從而形成一部分是u=(x)的函數(shù),將另一部分(x)dx湊成微分du,這樣就可以從積分公式中求出積分,再回代,就完成了積分。求不定積分解:將dx湊為dx=d(1+2x),則=（湊微分）==+C（令1+2x=u）=+C（還原u=1+2x）注:湊微分時經(jīng)常對被積表達式的系數(shù)進行調(diào)整,但要注意它必須是等值變換。求不定積分解:設u=2x,du=2dx,dx=du,則==sinu+C=sin2x+C求不定積分解:因為被積函數(shù)可分解為和所以可見,湊微分法就是把被積式子中某一部分看成一個整體,而把被積式子湊成關于這個整體的積分公式[1]。3第二換元積分法第二類換元積分法是通過適當選擇置換式,使代換后的積分易于積出,它主要用來解決幾種簡單的無理函數(shù)的積分問題。第二類換元積分法:設函數(shù)x=(t)單調(diào)可導,且(t)0,如果其中t=是x=(t)的反函數(shù)。第二類換元積分法是恰當選取積分變量x作為新積分變量t的一個函數(shù)：x=(t),并要(t)具有反函數(shù)。也就是使原積分變?yōu)榛痉e分表中已有的形式或便于求解的積分,從而求出結(jié)果。根據(jù)被積函數(shù)表達式的不同,第二類換元法又分為去根號法和倒代換法。3.1去根號法（1）簡單的根式變換,可令；例如:求,可令,（2）三角代換,令xasint或xacost；；令xasect或xacsct；；令xatant或xacott（3）雙曲代換xasht或xacht例如:,可設xasht；,可設xacht比用三角代換簡便（4）,一般采用萬能代換,設。當然,對具體的問題也要采用靈活的方法處理。求不定積分解:分析:因被積函數(shù)分母中含有根式,常用第二類換元積分法,但因分子上含有變量x,因此也可用第一類換元積分法解法1應用第一類換元積分法解法2第二類換元積分法令解法3用三角代換令解法4用根式代換令解法5用雙曲代換令注:在使用換元積分法時,必須將結(jié)果中的新變量t換回原來的變量x,尤其在使用三角代換時,可利用直角三角形三邊的關系換回原來的變量。3.2倒代換法對于某些被積函數(shù),若分母中含有因子時,可作倒代法,即令:,從而可積出積分。求不定積分（）解:因為被積函數(shù)中分母含有,可設,則,從而=,由于,故注:第二換元積分法的換元表達式中,新變量t處于自變量的地位,而在第一換元積分法的換元表達式中,新變量則處于因變量的地位[2]。此外,在使用第二換元積分法時,為保證的反函數(shù)確實存在及原來的積分有意義,通常要求是單調(diào)函數(shù)、有連續(xù)導數(shù)且。4分部積分法分部積分法是乘積的微分公式的逆運算,其運算公式是這個公式說明,積分不易求,而積分較容易求出時,可考慮此公式,使用分部積分時,必須把被積表達式化為u與dv的乘積,u與dv的選擇顯然沒有一般的準則可以遵循,但是在某些情況下,也可歸納出一些規(guī)律來,一般被積函數(shù)是兩種類型函數(shù)乘積的積分時可考慮分部積分法。下面將適用于分部積分法的積分進行一些歸類:取u=,dv=取u=,dv=取u=,dv=取u=,dv=dx取u=arcsin(ax+b),dv=dx取u=arcos(ax+b),dv=dx取u=arctan(ax+b),dv=dx,u,v可任??；,u,v可任?。簧鲜街袨閚多項式。k,a,b均為常數(shù)另外,如果被積函數(shù)中只有一個因子（例如lnx,arcsinx,arccos等）,而又不能用別的方法求出積分時,不放用分部積分法,此時可設被積函數(shù)為u,dv=dx求不定積分;=2\*GB3②解:設u=lnx,dv=dx,有dv=dx,v=xdx=xlnx+C②設u=lnx,dv=,有du=dx,v=-=-+=-+C=-注:計算熟練以后,就可以省略“設”的步驟,把所設的式子當作一個整體,在心里面想著它是一個變數(shù),就可以使書寫簡化。求不定積分分析:可以用兩種方法湊微分,但用哪一種行得通？要試試看。解；==2雖然還不能得到結(jié)果,但次數(shù)降低了,越變越簡單。再進行一次分部積分得到：=2+=2+C求不定積分=1\*GB3①；=2\*GB3②解:①=-=-+==-ln()+C=2\*GB3②因為=-+C所以=--]arctanxarctanxarctanxxC注:有些積分,用一次分部積分不行的話,可進行兩次、三次或更多次的分部積分。直到能用基本公式求出或是能轉(zhuǎn)化成所求式子即可[3]。不過,在進行這種涉及繁復的代數(shù)計算時,一定要注意掌握一個原則,就是動手之前仔細觀察,根據(jù)經(jīng)驗判斷是否存在更為簡單的方法,只有在確實找不到簡單方法之后,再開始根據(jù)這種確定的計算程式來進行計算。從以上解法可以看出求解積分時,不論采用什么思路、選用什么積分方法,最終還是歸結(jié)應用基本積分公式求出結(jié)果。因此在學習積分內(nèi)容時,首先要熟悉基本積分公式和常見的積分法,更為重要的是要根據(jù)已給積分的被積函數(shù)形式,善于應用相關變形方法轉(zhuǎn)化為基本積分公式類型處理。所以我們在今后的學習中,要靈活運用上述方法。二、特殊解法不定積分的基本計算方法有直接積分發(fā)、換元積分法、分布積分法、部分積分法,只要能夠準確合理的運用以上方法,總可計算不定積分。但對部分不定積分的計算,使用基本方法計算量很大或很難計算出結(jié)果。如果利用方程或方程組,會使不定積分的計算簡潔清晰。下面分別介紹這兩種方法方程法在不定積分計算中,會遇到部分積分很難直接計算出結(jié)果,或者利用分部積分后還原為被積分項。如果得到系數(shù)不是1的所求積分項,這時將等式看作關于所求積分的方程,通過解此方程可間接得到其結(jié)果,這種方法稱為方程法。下面舉例說明這種方法的作用[4]。求不定積分解法1:利用換元積分法,設,則因為則有故又因則有故即解法2:利用方程法計算,由于,則由分部積分法,得即得到關于的方程解此方程,得:注：比較以上兩種方法,前者用基本計算方法,計算量大,計算過程復雜。而后者是得到關于所求積分的方程,解此方程就很容易得到所求積分。特別對被積函數(shù)中含有指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積時,往往可以采用這樣方法進行積分[5]。求不定積分解:利用分部積分法,得解關于的方程,得方程組法為了計算不定積分,可以先找到另一個不定積分以及實數(shù)使和的計算比較容易,這樣可先計算和,然后再用代數(shù)方法解關于和的二元一次方程組,從而得到,這種方法稱為方程組法。下面舉例說明這種方法在不定積分計算中的作用。求不定積分解法1:本題是形如的三角函數(shù)有理式的不定積分,可采用基本方法計算。令,則得到有理函數(shù)積分利用部分分式法,得則將代入,得到解法2：利用方程組法計算,先考慮容易計算的積分和,令則（1）（2）由（1）,（2）得到關于和的方程組解此方程組,得注：比較上述兩種方法,前者使用基本方法,雖然每一位初學者都容易想到此方法,但是該方法過程復雜,計算量很大。而后者只借助兩個非常簡單的積分和一個二元一次方程組就很容易得到結(jié)果[6]。計算不定積分分析:本題是有利函數(shù)積分,而且分母可以進行標準分解,可利用部分分式法計算,這是一種基本計算方法,很容易想到,但是計算過程復雜。如果考慮到積分和就很容易計算了,可設,得到關于和的方程組。解：令,則有得到方程組解此方程組,得總之,在求不定積分時,以上幾種方法都可以用,但針對不同的被積函數(shù)要選擇適當?shù)姆椒?有些不定積分需要綜合運用換元積分法和分部積分法求解,有些不定積分則需要巧妙的應用方程和方程組法才能更簡捷的求出結(jié)果。在我們遇到具體問題時要仔細分析,選擇一個合適而簡便的方法來解答,這就需要熟練地掌握這幾種方法,才能便于解決求不定的積分的問題[7]。參考文獻[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學