簡單線性規(guī)劃教學案例

簡單線性規(guī)劃教學案例

本節(jié)課先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出簡單線性規(guī)劃問題的一些基本

概念，由二元一次不等式組的解集可以表示為直角坐標平面上的區(qū)域引出問題：在直角坐標

系內，如何用二元一次不等式（組）的解集來解決直角坐標平面上的區(qū)域求解問題？再從一

個具體的二元一次不等式（組）入手，來研究一元二次不等式表示的區(qū)域及確定的方法，作

出其平面區(qū)域，并通過直線方程的知識得出最值.通過具體例題的分析和求解，在這些例題

中設置思考項，讓學生探究，層層鋪設，以便讓學生更深刻地理解一元二次不等式表示的區(qū)

域的概念，有利于二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的知識的鞏固.

“簡單的線性規(guī)劃''是在學生學習了直線方程的基礎上，介紹直線方程的一個簡單應用，

這是《新大綱》對數(shù)學知識應用的重視.線性規(guī)劃是利用數(shù)學為工具，來研究一定的人、財、

物、時、空等資源在一定條件下，如何精打細算巧,安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟

效益.它是數(shù)學規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，并能解決科學研

究、工程設計、經(jīng)營管理等許多方面的實際問題.中學所學的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中的極小

一部分，但這部分內容體現(xiàn)了數(shù)學的工具性、應用性，同時也滲透了化歸、數(shù)形結合的數(shù)學

思想，為學生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法——數(shù)學建模法.通過這部分內

容的學習，可使學生進一步了解數(shù)學在解決實際問題中的應用，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和

應用數(shù)學的意識和解決實際問題的能力.

依據(jù)課程標準及教材分析，二元一次不等式表示平面區(qū)域以及線性規(guī)劃的有關概念比較

抽象，按學生現(xiàn)有的知識和認知水平難以透徹理解，再加上學生對代數(shù)問題等價轉化為幾何

問題以及數(shù)學建模方法解決實際問題有一個學習消化的過程，故本節(jié)知識內容定為了解層

次.

本節(jié)內容滲透了多種數(shù)學思想，.是向學生進行數(shù)學思想方法教學的好教材，也是培養(yǎng)

學生觀察、作圖等能力的好教材.

本節(jié)內容與實際問題聯(lián)系緊密，有利于培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和“用數(shù)學”的意識以及

解決實際問題的能力.

教學重點重點是二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域.

教學難點難點是把實際問題轉化為線性規(guī)劃問題，并給出解答.解決難點的關鍵是根據(jù)實際

問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解.為突出重點，本節(jié)

教學應指導學生緊緊抓住化歸、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法將實際問題數(shù)學化、代數(shù)問題幾何

化.

課時安排3課時

三維目標

~■、知識與技能

1.掌握線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；

2.運用線性規(guī)劃問題.的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題.

二、過程與方法

1.培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結合的數(shù)學思想，提高

學生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力；

2.結合教學內容，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和“用數(shù)學”的意識，激勵學生創(chuàng)新.

三、情感態(tài)度與價值觀

1.通過本節(jié)教學著重培養(yǎng)學生掌握“數(shù)形結合”的數(shù)學思想，盡管側重于用“數(shù)”研究“形”,

但同時也用“形”去研究"數(shù)”，培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、猜測、歸納等數(shù)學能力；

2.結合教學內容，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和“用數(shù)學”的意識，激勵學生勇于創(chuàng)新.

教學過程

第1課時

導入新課

師前面我們學習了二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標系中的平面區(qū)域的確定方

法，請同學們回憶一下.

（生回答）

推進新課

［合作探究］

師在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常會遇到資源利用、人力調配、生產(chǎn)安排等問題.

例如，某工廠用A、8兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A產(chǎn)品耗

時1小時，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B產(chǎn)品耗時2小時，該廠每天最多可從配件廠獲得

16個A配件和12個8配件，按每天工作8小時計算，該廠所有可.能的日生產(chǎn)安排是什么？

設甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，應如何列式？

x+2y<8,

4x<16,

生由已知條件可得二元一次不等式組：<4y<12,

x>0,

”0.

師如何將上述不等式組表示成平面上的區(qū)域？

生（板演）

師對照課本98頁圖3.39,圖中陰影部分中的整點（坐標為整數(shù)的點）就代表所有可能的日

生產(chǎn)安排，即當點P（x,y）在上述平面區(qū)域中時，所安排的生產(chǎn)任務x、y才有意義.

進一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利

潤最大？

設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件時，工廠獲得利潤為z,則如何表示它們的關系？

生則z=2x+3y.

師這樣，上述問題就轉化為：當x、y滿足上述不等式組并且為非負整數(shù)時，z的最大值是

多少？

［教師精講］

2121

師把z=2x+3y變形為y=--x+—z,這是斜率為-一，在y軸上的截距為一z的直線.當z

3333

變化時可以得到什么樣的圖形？在上圖中表示出來.

生當z變化時可以得到一組互相平行的直線.（板演）

師由于這些直線的斜率是確定的，因此只要給定一個點（例如（1,2））,就能確定一條直

21

線）=――x+-z,這說明，截距zf］3可以由平面內的一個點的坐標唯一確定.可以看到直

33

21z

線〉=一七*+上2與表示不等式組的區(qū)域的交點坐標滿足不等式組，而且當截距上最大時，

333

z取最大值，因此，問題轉化為當直線y=-（2x+：1z與不等式組確定的區(qū)域有公共點時，

可以在區(qū)域內找一個點P,使直線經(jīng)過P時截距47最大.

3

21

由圖可以看出，當直線y=-+經(jīng)過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點M（4,2）時,

截距!z■最大，最大值為14.此時2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工

廠可獲得最大利潤14萬元.

[知識拓展]

再看下面的問題：分別作出x=l,x-4y+3=0,3x+5y-25=0三條直線，先找出不等式組所表示

的平面區(qū)域（即三直線所圍成的封閉區(qū)域），再作直線lo：2x+y=O.

然后，作一組與直線lo平行的直線：J:2x+y=t,tGR（或平行移動直線lo）,從而觀察L值的變

化:t=2x+y6[3,12].

x-4y<-3,

若設t=2x+y,式中變量x、y滿足下列條件3x+5yW25,求t的最大值和最小值.

x>1.

分析：從變量x、y所滿足的條件來看，變量x、y所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域,

不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域ABC.

作一組與直線lo平行的直線：l:2x+y=t,tGR（或平行移動直線lo）,從而觀察t值的變化：

t=2x+y￡[3,12].

從圖上可看出，點（0,0）不在以上公共區(qū)域內，當x=0,y=0時，t=2x+y=0點（0,0）在

直線Io：2x,+y=0上.作一組與直線lo平行的直線（或平行移動直線lo）l：2x+y=t,t《R.

可知，當1在lo的右上方時，直線1上的點（x,y）滿足2x+y>0,即t>0.

而且，直線1往右平移時，t隨之增大（引導學生一起觀察此規(guī)律）.

在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內的點且平行于1的直線中，以經(jīng)過點8（5,2）的直線

L所對應的I最大，以經(jīng)過點A（1,1）的直線1,所對應的t最小.所以

tnwx=2x5+2=l2,tmin=2x1+3=3.

⑵

［合作探究］

師諸如上述問題中，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關于

x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.t=2x+y是欲達到最大值或最小值所涉及

的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標函數(shù).由于t=2x+y又是關于x、y的一次解析式，

所以又可叫做線性目標函數(shù).

另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

例如：我們剛才研究的就是求線性目標函數(shù)z=2x+y在線性約束條件下的最大值和最小值的

問題，即為線性規(guī)劃問題.

那么，滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上

述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域.其中可行解（5,2）和（1,1）分別使

目標函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解.

課堂小結

用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：

1.首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）.

2.設t=0,畫出直線h

3.觀察、分析，平移直線lo,從而找到最優(yōu)解.

4.最后求得目標函數(shù)的最大值及最小值.

布置作業(yè)

1.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1000元，運費500

元，可得產(chǎn)品90千克；若采用乙種原料，每噸成本為1500元，運費400元，可得產(chǎn)品100

千克，如果每月原料的總成本不超過6000元，運費不超過2000元，那么此工廠每月最多

可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？

分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表：

甲原料（噸）乙原料（噸）費用限額

成本100015006000

運費5004002000

產(chǎn)品90100

解：設此工廠每月甲、乙兩種原料各x噸、y噸，生產(chǎn)z千克產(chǎn)品，則

JC>0,

y>0,

'1000x+1500y<6000,

500x+400y<2000,

z=90x+1OOy.

作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如右圖:

12

2x+3y=127'

由《得〈M

5x+4y=20.20

i'y=—.

令90x+100y=t,作直線:90x+100y=0,即9x+10y=0的平行線90x+100y=t,當90x+100y=t過

1220

點M()時，直線90x+100y=t中的截距最大.

1220

由此得出t的值也最大，Zm?x=90x--i-l00x—=440.

77

答：工廠每月生產(chǎn)440千克產(chǎn)品.

2.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一

張4、B型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時和1

小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠造一張A、B型桌子

分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤最

大？

解：設每天生產(chǎn)A型桌子x張，8型桌子y張，

x+2y48,

則<3x+y<9,

x>0,y>0.

目標函數(shù)為z=2x+3y.

作.出可行域：

把直線1：2x+3y=0向右上方平移至V的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M,且與原點距離

最大，此時z=2x+3y取得最大值.

解方程4得M的坐標為(2,3).

3x+y=9,

答.：每天應生產(chǎn)4型桌子2張，3型桌子3張才能獲得最大利潤.

3.課本106頁習題3.3A組2.

第2課時

導入新課

師前面我們學習了目標函數(shù)、線性目標函數(shù)、線性規(guī)劃問題、可行解、可行域、最優(yōu)解等

概念.

師同學們回憶一下用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟.

生(1)首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域(即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域)；

(2)設t=0,畫出直線lo；

(3)觀察、分析，平移直線lo,從而找到最優(yōu)解；

(4)最后求得目標函數(shù)的最大值及最小值.

推進新課

2x+j<300,

x+2y<250,

師【例1】已知x、y滿足不等式組《"試求z=300x+900y的最大值時的整點

x>0,

y>0,

的坐標及相應的z的最大值.

師分析：先畫出平面區(qū)域，然后在平面區(qū)域內尋找使z=300x+900y取最大值時的整點.

解：如圖所示平面區(qū)域40BC,點A(0,125),點B(150,0),點C的坐標由方程組

/：x+3y=0

350

2x+y=300I3

[x+2y=250=<_200

”丁

得C（空磔）,

33

令t=300x+900y,

欲求z=300x+900y的最大值，即轉化為求截距5900的最大值，從而可求t的最大值，因直

線y=—與直線y=—‘X平行，故作y=—‘X的平行線，當過點4(0,125)時，

■390033

對應的直線的截距最大，所以此時整點A使z取最大值，znwx=300x0+900x125=112500.

師【例2】求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件3x+yW300,x+2yW250,

x>0,y>0的整數(shù)值.

師分析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域即可行域再解.

解：可行域如圖所示.

「252

2rty=0

四邊形AO8C,易求點A(0,126),B(100,0)，由方程組

x=69|,

3x+y=300

x+2y=252

y=91-.

-5

31

得點C的坐標為(69/9弓).

因題設條件要求整點(x,y)使z=600x+300y取最大值，將點(69,91),(70,90)代入

z=600x+300y,可知當x=70,y=90時，z取最大值為22=600x70+300x900=69000.

x+2y>2,

師【例3】已知x、y滿足不等式<2x+y21,求z=3x+y的最小值.

JC>0,>0,

師分析：可先找出可行域，平行移動直線lo：3x+y=O找出可行解，進而求出目標函數(shù)的最小

值.

解：不等式x+2y>2表示直線x+2y=2上及其右上方的點的集合：

不等式2x+y*表示直線2x+y=l上及其右上方的點的集合.

可行域如右圖所示.

作直線lo：3x+y=O,作一組與直線lo平行的直線l:3x+y=t(tCR).

???x、y是上面不等式組表示的區(qū)域內的點的坐標.

由圖可知：

當直線l：3x+y=t通過P(0,1)時，t取到最小值1,即Zmin=l.

師評述：簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題

目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：

(1)尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；

(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；

(3)在可行域內求目標函數(shù)的最優(yōu)解.

師課堂練習：請同學們通過完成練習來掌握圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題.

yWx,

（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件<x+y<1,

y>-1.

5x+3y<15,

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件<y<犬+1,

x-5y>3.

［教師精講］

y〈羽

師（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y滿足約束條件<x+y?1,

y>-1.

解：不等式組表示的平面區(qū)域如右圖所示：

當x=O,y=O時，z=2x+y=0,

點（0,0）在直線l（）:2x+y=0上.

作一組與直線lo平行的直線l:2x+y=t,teR.

可知在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內的點且平行于1的直線中，以經(jīng)過點4（2,-1）的

直線所對應的t最大.

所以z”x=2x2-1=3.

5x+3y<15,

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件｛yW%+1,

x-5y>3.

解：不等式組所表示的平面區(qū)域如右圖所示.

從圖示可知直線3x+5y=t在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內的點時，以經(jīng)過點（?2,?1）

917

的直線所對應的t最小，以經(jīng)過點的直線所對應的t最大.

88

917

所以zmin=3X（-2）+5X（-1）=-11,Znwx=3x—+5x——=14.

88

［知識拓展］

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品It,需耗A種礦石10t、8種礦石5t、煤4t；

生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4t、8利?礦石43煤9t.每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每It

乙種產(chǎn)品的利潤是1000元.工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗A種礦石不超過360t、

B種礦石不超過200t、煤不超過3003甲、乙兩種產(chǎn)品應各生產(chǎn)多少，（精確到0.1t）,能

使利潤總額達到最大？

師分析：將己知數(shù)據(jù)列成下表:

甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品（11）資源限額（t）

資源——

A種礦石（t）104300

B種礦石⑴54200

煤⑴利潤（元）49360

6001000

解：設生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt,利潤總額為z元,

10x+4y<300,

5x+4y<200,

那么《4x+9_y<360,

x>0,

y?0；

目標函數(shù)為z=600x+1OOOy.

作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.

作直線l:600x+l000y=0,

即直線:3x+5y=0,

把直線1向右上方平移至h的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M,且與原點距離最大，此時

z=600x+lOOOy取最大值.

5x+4y=200,

解方程組

4x+9^=360,

得M的坐標為X--——-12.4,y=-------=34.4.

2929

答：應生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4t,乙產(chǎn)品34.4t,能使利潤總額達到最大.

課堂小結

用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：

（1）首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）.

(2)設t=0,畫出直線lo.

(3)觀察、分析，平移直線1°,從而找到最優(yōu)解.

(4)最后求得目標函數(shù)的最大值及最小值.

以實際問題為背景的線性規(guī)劃問題其求解的格式與步驟：

(1)尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；

(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；

(3)在可行域內求目標函數(shù)的最優(yōu)解.

當然也要注意問題的實際意義

布置作業(yè)

課本第105頁習題3.3A組3、4.

第3課時

導入新課

師前面我們已經(jīng)學習了

用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟以及以實際問題為背景的線性規(guī)劃問題其求

解的格式與步驟.這節(jié)課我們繼續(xù)來看它們的實際應用問題.

推進新課

師【例5】營養(yǎng)學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06

kg的蛋白質,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白質,0.14kg

脂肪，花費28元；而1kg食物8含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質，0.07kg脂肪，

花費21元.為了滿足營養(yǎng)學家指出的日常飲食要求，同時使花費最低需要同時食用食物A

和食物B各多少克？

師分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表：

食物/kg碳水化合物/kg蛋白質/kg脂肪/kg

A0.1050.070.14

B0.1050.140.07

若設每天食用xkg食物A,ykg食物B,總成本為z,如何列式？

0.105x+0.105y>0.075,

0.07x+0.14y>0.06,

生由題設條件列出約束條件<0.14x+0.07yN0.06,①

x>0,

、y",

其目標函數(shù)z=28x+21y.

7x+7y>5,

7x+14y>6,

二元一次不等式組①等價于<14x+7y>6,(2)

x>0,

y>0.

師作出二元一次不等式組②所表示的平面區(qū)域，即可行域.請同學們在草稿紙上完成，再與

課本上的對照.

4z4

生考慮z=28x+21y,將它變形為y=--x+—,這是斜率為一一、隨z變化的一族平行直

3283

線.二7是直線在y軸上的截距，當7三取得最小值時，z的值最小.當然直線與可行域相交,

2828

即在滿足約束條件時目標函數(shù)z=28x+21y取得最小值.

由圖可見，當直線z=28x+21y經(jīng)過可行域上的點M時，截距z[]28最小，即z最小.

、

解方程組《f7x+7y'=5,得點M（—14因此，當％=—1,y=—4時，z=28x+21y取最小值,

14x+7y=67777

最小值為16.

由此可知每天食用食物A約143克，食物B約571克，能夠滿足日常飲食要求，又使花費

最低，最低成本為16元.

師【例6】在上一節(jié)課本的例題（課本95頁例3）中，若根據(jù)有關部門的規(guī)定，初中每人

每年可收取學費1600元，高中每人每年可收取學費2700元.那么開設初中班和高中班各多

少個，每年收取的學費總額最多？

學段班級學生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設/萬元教師年薪/萬元

初中45226/班2/人

高中40354/班2/人

師由前面內容知若設開設初中班x個，高中班y個，收取的學費總額為z萬元,

此時，目標函數(shù)z=0.16x45x+0.27x40y,可行域如下圖

把z=7.2x+10.8y變形為y=—2+五5z，得到斜率為-一2§,在y軸上截距為5白z，隨z變化

的一組平行直線.

由圖可以看出，當直線z=7.2x+10.8y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大.

x+v-30

解方程組＜+；］40得點M（20,10）,因此，當x=20,y=10時，z=7.2x+108y取最大值，

最大值為252.

由此可知開設20個初中班和10個高中班時?，每年收取的學費總額最多，為252萬元.

師【例7】在上一節(jié)例4.中（課本96頁例4）,若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為10

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