材料力學(xué)作業(yè)參考解答

2-1試?yán)L出下列各桿的軸力圖。

2-2(b)答:

F

1NA8_8kN

aAB=lOCMPa

80cm2

F

1NBC_19kN

aBC：95CMPa

A6c20cm2

(b)

FNCD.2kN

aCD=16.7MPa

ACQ12cbm之

.?.bmax=950MPa

2-3答：以8點為研究對象，由平面匯交力系的平衡條件

%=97.14kN

心c=T2.12kN

crAB=137.5MPa

aBC=-12.1MPa

2-2求下列結(jié)構(gòu)中指定桿內(nèi)的應(yīng)力。已知（a）圖中桿的橫截面面積4=A2=1150mm2；

解：（1）分析整體，作示力圖

￡也（月）=0：

(a)

FAX8-8X10X4=0

工=40kN

（2）取部分分析，示力圖見（b）

工加防=0：

FN2X2.2-/^x4+4qx2=0

%=（40x4_40x%2=36.36kN

“%uS^xlO^Oxio-i&MPa

（3）分析銃E,示力圖見（c）

ZE、=。：

尸N2-FNIsin0=0

%=「2x6+/=40.65kN

2%=37.96x]%50x*35.3MPa

2-3求下列各桿內(nèi)的最大正應(yīng)力。

(3)圖(c)為變截面拉桿，上段A8的橫截面積為40mm\下段BC的橫截面積為30mm\

桿材料的pg=78kN/m3o

解：1.作軸力圖，8C段最大軸力在8處

12+0.5x30x10^x78=12.0kN

AB段最大軸力在A處

R.=12+12+(0.5x30+0.5x40)x10^x78=12.0kNcFN（kN）

【尸=12kN

^^^,OxlO^^^^OOMPa

%

mm2=12,0X1°/40xl0-=300MPa

桿件最大正應(yīng)力為400Mpa,發(fā)生在8截面。

2-4一直徑為15mm,標(biāo)距為200mm的合金鋼桿，比例極限內(nèi)進行拉伸試驗，當(dāng)軸向荷載

從零緩慢地增加58.4kN時，桿伸長了0.9mm,直徑縮小了0.022mm,確定材料的彈性模量

E、泊松比V。

解：加載至58.4kN時，桿件橫截面中心正應(yīng)力為

線應(yīng)變：￡=%=°.9xl0%00x]03=4.5乂10-3

彈性模量:E=%=330.48MPa/§*m=73.4x1()3MPa

側(cè)向線應(yīng)變：f=°O2%5=1.467x10-3

泊松比：%=0.326

2-6圖示短柱，上段為鋼制，長200mm,截面尺寸為lOOxlOOmnf；下段為鋁制，長300mm,

截面尺寸為200x200mm2。當(dāng)柱頂受產(chǎn)力作用時，柱子總長度減少了0.4mm,試求b值。已

知E鋼=200GPa,E鈿=70GPa。

解：柱中的軸力都為凡總的變形（縮短）為:

0.3

70x10^02x02

2-7圖示等直桿AC,材料的容重為Og,彈性模量為E,橫截面積為Ao

求直桿8截面的位移Zb。

解：A8段內(nèi)軸力=-F-pgAx

段內(nèi)軸力Fm=-2F-pSAx

8點位移為桿的伸長量：

.21_(2F+pgA^dx2*/力.52g

4=(--=---------ir~

2-8圖示結(jié)構(gòu)中，A3可視為剛性桿，AO為鋼桿，面積4=500mm2,彈性模量昂=200GPa；

CG為銅桿，面積A2=1500mm2,彈性模量%=100GPa；BE為木桿，面積A3=3000mm2,彈

性模量E3=10GPa。當(dāng)G點處作用有尸=60kN時，求該點的豎直位移』G。

解：(1)求①、②桿軸力

由平衡方程可以求出:

%=-2%=-40kN

%=-%=-20kN

FN2=F=60kN

（2）求桿的變形

-40xl03xl

△4=-4x104m（壓縮）

■"MT200xl09x500x10^

F4CC60X1（）3X0.5c,0-4/+xM,\

A/=N2CG=-------------------------—=2X10'm（拉伸）

29

￡24100xl0x1500x10^

FI-20xl03xl

△/rN31E=—6.67x101（壓縮）

10X109X3000X10^

?1

（3）由幾何關(guān)系：4=A/2-1-1A/r6.89x10-4m（下降）

2-9答：任一截面上軸力為尸，由

x_2b

l八—d?

jr

2

A(x)=-(d2+2b)

得面積為

A(x)=((4+2b丫"尸啊

伸長量為

.,pFdxp4Fl2dx

J。EA(x)J。E^[(d{-d2)x+d2l]~

4F1

E7idld2

2-11圖示一擋水墻示意圖，其中A8桿支承著擋水墻，各部分尺寸均已示于圖中。若45

桿為圓截面，材料為松木，其容許應(yīng)力[<T]=1IMPa,試求AB桿所需的直徑。

解：（1）求水壓力的合力：

P=^y/z2Z?=40kN

（2）作示力圖（a）由平衡方程求軸力

￡必嗇）=0：

FNxO.6xO.4-Pxf=0

/=ll.llkN

（3）由強度條件，設(shè)計截面尺寸:

(y=Fty^<[a]

J>4xll.llxl03/U-llxl06)=1.286xl0-3m2

>3.58cm

2-10答：對水塔

Z〃A=0,100x1+400x1+^x2=0

F3=—25柒N

3/=0，100+f；xV2/2=0

瑪=-10(x/2=-141.4ylN

W耳、=0,耳+KxV^/2+罵+400=()

耳=—54kN

FNX/A,<[crc]，A>50chz病

FN2!A2<[crr],Aj>1414/2/7/

FN3/A3<[ac],A322500〃/

2-12圖示結(jié)構(gòu)中的CO桿為剛性桿，AB桿為鋼桿，直徑d=30mm,容許應(yīng)力[c]=160MPa,

5

彈性模量E=2.0X10MPao試求結(jié)構(gòu)的容許荷載F。

解：（1）求桿的軸力FN

函）=（）：

"sin30x2-Fx2.5=0

/=2.5b

(2)由強度條件求[川

o-=%<[a]=>2.5F<A[a]

7rx9xl0^xl60xl06/

[F]=4N5=45.2kN

2-14圖示AB為剛性桿，長為3或A端較接于墻壁上，在C、B兩處分別用同材料、同

面積的①、②兩桿拉住，使A3桿保持水平。在。點作用荷載F后，求兩桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)

力。設(shè)彈性模量為E,橫截面面積為A。

解：

1.本題為超靜定問題，

見圖(a),設(shè)AB桿產(chǎn)生角位移△小則

A/j=必0，M=3ax(p,

2.由"ooh定律：

題2-14圖

_EAA7LAA

F=—AZ]=EAA(p

Nya

FA

F=——A/=l.5EAA(p

N22a?

3.由平衡方程：

￡MA(F,)=O：

aFNX4-3CLFN2-2aF=0

aEA^cp+4.5aEA^(p=2aF

△9=2%,5EA

4.由定律：

Fm=EW(p=2%$=0.3636F

FN2=1.5E/1A9=L5X2%§=0.545477

=0.3636^

o-@=^2//=0.5454^/

2-15兩端固定，長度為/,橫截面面積為A,彈性模量為E的正方形桿，在8、C截面處

各受一產(chǎn)力作用。求B、C截面間的相對位移。

解:

1.本題為超靜定問題

解除A截面處約束，代之約束力/肥,見圖（a）

A截面的位移為桿件的總變形量

AA=klAB+klBC+△/(?￡)

_FNA〃3(FN.-F)//3(F-2F)l/3

一"riNA

EAEAEA

旦

EAEA

2.由約束條件M=0得:

Fl

----------u

EAEA

FNA=F

3.見圖（b）,求BC段軸力

由平衡條件可知:

所以B,C截面相對位移為

△L小

FN

(b)

3-1試作下列各桿的扭矩圖。

3-2一直徑d=60mm的圓桿，其兩端受外力偶矩產(chǎn)2kN?m的作用而發(fā)生扭轉(zhuǎn)。試求橫截面

上1,2,3點處的切應(yīng)力和最大切應(yīng)變，并在此三點處畫出切應(yīng)力的方向。（G=80GPa）。

解：橫截面上切應(yīng)力大小沿半徑線性分布，方向垂直半徑

T2000

=47.2MPa

「33.14x0.063/16

r2=0.0

r,=2r3/3=31.4MPa

73=73/6=5.9*10%￡1

3-3從直徑為300mm的實心軸中鍵出一個直徑為150mm的通孔而成為空心軸，問最大切

應(yīng)力增大了百分之幾？

加…、+占M,16M,

解：頭心軸r=--=---

mamxlaxl3

WPi7rd

M_16M

空心軸4皿2xV

露一乃"(JOS)

16M16M.

乃比3(1_0.54)-4d3054

最大切應(yīng)力增大了乙2遼二餐■xlOO%x100%="x100%=6.67%

16%1-0.54

兀d，

3-4一端固定、一端自由的鋼圓軸，其幾何尺寸及受力情況如圖所示(空心處有兩段，內(nèi)

徑10mm,外徑30mm)，試求:

(1)軸的最大切應(yīng)力。

⑵兩端截面的相對扭轉(zhuǎn)角(G=8OGPa)。

解：(1)作扭矩圖，

A3段中最大切應(yīng)力

16x40

xlO-6=24MPa

270-3+)

所以軸中，rmax=35.56MPa

(2)相對扭轉(zhuǎn)角分四段計算

404*0.230^-x0.1304x0.160^x0.15

△9=&PDC+b<PcE+kpEB+A08A=-------------1------------------1------------------1--------------

GIpiG/p]G%2GIpz

=0.011426rad

7

3-2一變截面實心圓軸，受圖示外力偶矩作用，求軸的最大切應(yīng)力。

500N

電

500

可見最大切應(yīng)力發(fā)生在AB段

%=50%

WP/-7TX2.53xlO-6=16297M

/16

3-5一圓軸AC如圖所示。A8段為實心，直徑為50mm；8C段為空心，外徑為50mm,內(nèi)

徑為35mm。要使桿的總扭轉(zhuǎn)角為0.12°,試確定段的長度a。設(shè)G=8OGPa。

解：(1)作扭矩圖

=100N

(2)桿件A、C截面相對扭轉(zhuǎn)角分兩段計算

2PAC=2PB在&PBA

MxaMv(O-9-a)

=4+

G/p(l-?)~~西

100N-m

華二號+0.其中A3%°R.7

AA

0.31596a=°3%c-0.9

3-8傳動軸的轉(zhuǎn)速為〃=500轉(zhuǎn)/分，主動輪輸入功率P|=500kW,從動輪2、3分別輸出功

4

率P2=200kW,P3=300kWo已知［r］=70MPa,［，］=1°/m,G=8X10MPa。

⑴確定AB段的直徑di和BC段的直徑必。

(2)若A8和兩段選用同一直徑，試確定直徑d。

解：(1)由輸入和輸出功率求等效力偶，作扭矩圖

4=9.55&=9.55kNm

1500

T,=9.55迎=3.82kN?m

2500

7；=9.55期=5.73kNm

3500

由強度條件：7="皿

nmmax%力］

16x9.55x1()3

4=0.089m

70xl()67'

16x5.73x1()3

dl>d=0.075m

70x10$萬'2

由剛度條件：盤穌=誓也:

4網(wǎng)

GIp

4〉32x9.55x1()3

4=0.091m

1-8X1O1OX^/18O,

>32x5.37x1()3

d2=0.080m

-8X1O,OX^718O,

為滿足強度和剛度條件，A3段的直徑d取91mm；3C段的直徑d取80mm。

(2)若A3和8c兩段選用同一直徑，直徑。取91mm。

3-7圖示傳動軸的轉(zhuǎn)速為200轉(zhuǎn)/分，從主動輪3上輸入的功率是80kW,由1、2、4、5

輪分別輸出的功率為25、15、30和10KW。設(shè)[T]=20Mpa

⑴試按強度條件選定軸的直徑。

(2)若軸改用變截面，試分別定出每一段軸的直徑。

1.75m.卜1.5ni2.5m.卜—1.5m—

1.193751.91

1)9I0.4775

解：1.由輸入和輸出功率計算等效力偶

4=9.55X2%00=1.1937%N〃

T2=9.55xl%00=O.7162IN”

T4=9.55X3%00=I.4321Nm

T5=9.55xl%00=O.4775tN〃？

T3=9.55X8%00=3.82ANW

2.作扭轉(zhuǎn)圖

(1)%=L9女而，r=^x<[r]

W^L91X1%X1O^O-955X1()"

11

d>16x0.955x10V3=0.078677

/加

d取79mm,適用于全軸。

/c\,316x1.19375x1()3-Hna-r,c+人'r-i

(2)</,3>--------z----,d,=67mm適用于1,2輪之間

20x1()6萬

,16x0.4775x1()3_....

d：3N-------------,d.=50/72/77適用于4,5輪之間

220x10%3

3-14工字形薄壁截面桿，長2m,兩端受0.2kN.m的力偶矩作用。設(shè)G=80GPa,求此桿

的最大切應(yīng)力及桿單位長度的扭轉(zhuǎn)角。

解:

"nax---------：-2nax

RS

__________0.2x1()3x001x3___________________6

-0.09xI3x10-6+2x0.12xI3x10-6"(0.09+0.24)x1O-6

=18.18MPa

0.2X103X3

-80x109(009x13x1()-6+2xo12x13x10-6)

0.6xl03

-80x(0.09+0.24)xl03

=“227%

2-16試校核圖示銷釘?shù)募羟袕姸?。已知F=120kN,銷釘直徑d=30mm,材料的容許應(yīng)力[r]

=70MPao若強度不夠，應(yīng)改用多大直徑的銷釘？

解:

F_12QX1Q3

=84.88MPa不滿足強度條件

2A-2x9^-/4xl0-4

A~一〉￡=2°四=8.571x10-4

42[r]2x70xl06

d>3.3cm

3-10(b)F=40kN,d=20mm

解：中心c位置項.=80/3等效后：M=F(200-80/3)xl0-3=6.93fc2V

由F引起的切應(yīng)力

T'=F/(3A)=40fc2V/(1/)=42.4MPa

由M引起的剪切力滿足

工=與〃2=耳/々

FCr\+FAr2+FBr3=M

解得Fc=39.SkN

C釧1釘切應(yīng)力最大

T"=FC，A=39.8JlN/(fd2)=123Mpa

2-17兩塊鋼板塔接，鉀釘直徑為25mm，排列如圖所示。已知[T]=100MPa,]

=280MPa,板①的容許應(yīng)力[o]=160MPa,板②的容許應(yīng)力[o]=140MPa,求拉力

F的許可值，如果鉀釘排列次序相反，即自上而下，第一排是兩個鉀釘，第二排是三個

佛釘，則尸值如何改變？

解：

1.1釘強度，求忸]

抗剪強度：

[F]=5AH=5x?x2.52x10-4x100x1()6

=245.4AN

擠壓強度

-46

(ylK=—<[o-fcv]=5x2.5x1.6x10x280x10

=56OWV

2.板的抗拉強度條件求[F],A的截面

______B

(y=F/,<M3F/5

/(0.16X0.016-2X2.5X10-2X0.016)-L」

-----I----------A

[F]=X1O'_o.8xl0-3)*160x106=28L6kN

(2.56十F

B截面：

|F/

b=5456x10-3-3/2.5x10-2x0.0104⑸

[F]=|x(2.56x10-3-1.2x103)x160x106=326.67雨

綜合上述結(jié)果，F(xiàn)的許可值取245.4kN(最小值)

3.改變卸釘排列后，求解過程與上述相同。

3-6答:

d0=―-ar

GIP

riM,16mZ2

(P=——rar=-------

J。GIPG血"

3-10圖(a)所示托架，受力F=40kN,鉀釘直徑420mm,釧釘為單剪，求最危險釧釘上

的切應(yīng)力的大小及方向。

解：將F等效移至鉀釘群中心，得力偶，

M=F又022=8.8kNn

1.由F引起的切應(yīng)力(每個鉀釘大小相同，方向向下)

馬==丁3"—=31.83MP.

A^-X22X10-4

4

2.先求由M引起的各釧釘剪力，見圖(b)

3dF\+dF2=M

解得：F、=33kN,8=1MV

上部和底部鉀釘中切應(yīng)力最大

T2=%=33x10/=105.04M尸區(qū)水平方正

-卜/^X22X10-4

3.最大切應(yīng)力

r=4^+rf=lQ9.16MPa

方向tan〃=%=3.3,4=73.14°

(c)

A-2試求圖形水平形心軸z的位置，并求影陰線部分面積對z軸的面積矩&。

解：分三塊計算

A=Zd=15僅540瀉()45Ox154)5()*

形心軸位置

,25xA+75xA,+175xA

h=-------------=--------=91.67mm

4

3

S;=4x(/?-25)=500.025cm

A-3試計算(b)圖形對y,z軸的慣性矩和慣性積。

解：查型鋼表得20a號工字鋼幾何性質(zhì)：

44

/?=200mm,7I.z7=23y70cm,Z=158cm

故I,=I+2—x0.1xl.43xl0^+0.1x0.014x0.1072

z2\_12

N370x1(T43210x1(T=580x1(T8nV

I.=I'+2x—xl.4xl0-2x0.13

>y12

=158xl0-8+233.3xl0-8=391.3xl0-8m4

由對稱性，Iyz=0

A-8計算圖示（a）圖形的形心主慣性矩。

解：1.首先求形心位置：

,150x50x25+200x50x150

h=-------------------------------

150x50+200x50

1687500~―

=------=96.43

17500

2.求慣性矩

33

Z=-Lx5xl5+—x20x5

,1212

=1406.25+208.33=1614.58cm4

1?I9

I：=—x5x2045x20x(15-9.643)+—xl5x5*xl5x(9.644.5)-

W333.升2869.7+156.25B826.7=10185,95cm4

4-1求下列各梁指定截面上的剪力和彎矩。

解：（b）自右向左分析：1-1截面=2/，彎矩必=-2/7；

2-2截面外2=2/，彎矩M=-&

（c）支座反力"="1Y="kN（鉛直向上），自左向右分析：

1-1截面G=-6kN,彎矩M=T2kN-m；

2-2截面a=2/3kN,彎矩M,=—12kN-m

4-2寫出下列各梁的剪力方程、彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。

53

解：支座反力外=；川，F(xiàn)B=^ql,自/

剪力方程：FQ(x)=^ql-2qx(0<x<2l)

FQ(x)=0(2l<x<3l)

彎矩方程：M(x)=^qlx-qx2(0<x<2l)

M(X)=^/2(2/<X<3/)

由方程作圖。

25^/16

4-3利用剪力、彎矩與荷載集度之間的關(guān)系作下列各梁的剪力圖和彎矩圖。

解：（a）自左向右分析（這樣不需要計算固定端反力）

梁分3段，5個控制面

%=0，M=-3&；%=0，M=-3Fl

%=-E=-3.5FI；F^=Q,M4=-3.5FI

FQ5=-F，M5=YFIFQ

(b)支座反力5=29/3kN,5=13/3kN

3月

梁分3段，6個控制面

M

FQi=0,M,=4kN-m；%=-6kN,M2=—2kN?m

FQ3=11/3kN，M=-2kN-m

=ll/3kN,M.=16/3kN-m

&=ll/3kN，M=4/3kN-m

%=—13/3kN，M=0

Mma=169/361<?4?111位置距離右端13/601

5-1圖（a）所示鋼梁（E=2.0Xl（）5MPa）具有（b）、（c）兩種截面形式，試分別求出兩種截面形

式下梁的曲率半徑，最大拉、壓應(yīng)力及其所在位置。

(a)(b)(c)

解：(b)截面

L=—xlOxl83=4860cw4

-12

1MEl.2.0x10"x4860x10-8

p--==1215/?

PElM8xlO3

M8X1°3—=14.81MPa(上拉下壓)

bmax

-xO.lxO.182

6

(c)截面

180x50x25+180x50x140”「

形心位置：h---------------------------=82.5mm

2x180x50

=：x5x183+5x18x(14-8.25)2+pxl8x53+18x5x(8.25-2.5)2

=243-0297.?+183+2976=856&7/

_2.0x10"x85687x10.

=214218/〃

M8x10，

=絲X0.0825=—絲3-X0.0825=7.7MP,

maxL85687x10-8

<ax=y-x(0-23-0.082^)=13.77MPa

5-4求梁指定截面a-a上指定點D處的正應(yīng)力，及梁的最大拉應(yīng)力巴?^和最大壓應(yīng)力

"*cmax0

解：1.求彎矩

支座反力：FA吟kN

a-a截面彎矩

M』x2=6.67血”

3

最大彎矩："max=%=13.3眼Nm

2.求形心軸

20x30x15--^xl52x20,,,,

h=------------------=空口=12.9Ion

20x30--^-xl524233

4

32422

lz=J-X20X30+20X30X(15-12.91)--X15-^X15X(20-12.91)

=45000+2620.86-2485.05-8883.1=36252.7c/n4

13.34x1()3

a'=-^=L2

maxxl2.91xl0'---------------------x12.91x10-=4J5MPa

r36252.7xlO-8

—1334x103

%x(30-12.91)xl02=————rx17.09x10'=-6.289WPa

''36252.7xl0-s

6-67x102

截面a-a上指定點D：(r°=一一sx(20-7.5-12.91)xl0~=0.0154MPa

'陋36252.7x10*'7

4-5解:

圖⑷

M-100mm63

(7=1.5x1O_mm-M

max100-200,-1/12mm4

-M=-----------------

1.5xl0-6mm-3

挖去虛線內(nèi)面積時

Mymax_M100mm

=1.9xl0-6mm-3M

/z-(00?20()3—50.15()3).112mm4

?M=-----------------

1.9xl0-6mm-3

彎矩減小了

Cz/1.5X10-6m°-§x1mm'

mxl00%=211％

Oax/lSxlOY'mmQ

5-5圖示梁的橫截面，其上受繞水平中性軸轉(zhuǎn)動的彎矩。若橫截面上的最大正應(yīng)力為

40MPa,試問：工字形截面腹板和翼緣上，各承受總彎矩的百分之幾？

解：設(shè)工字形截面腹板上最大正應(yīng)力內(nèi)，其承受的彎矩

2廠29?25dx?x=1041666.7O-.

J。h/21

翼緣上最大正應(yīng)力內(nèi)，其承受的彎矩

楨+力/2X6

2|——=-400dA-x=5015151.52b,

J〃2S+h/2

&=U,故腹板上承受總彎矩的百分比為

010(b)

1041666.70

x100%=15.88%

1041666.7cr,+501515153bi

即翼緣上承受總彎矩的百分比為84.12%

5-6一矩形截面懸臂梁，具有如下三種截面形式：（a）整體；（b）兩塊上、下疊合；（c）兩塊

并排。試分別計算梁的最大正應(yīng)力，并畫出正應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)律。

(a)(b)(c)

解：(a)固定端彎矩最大

最大正應(yīng)力位于該截面

嚕竺亦丁*

。=竺正應(yīng)力分布規(guī)律

max4a3

(b)根據(jù)變形協(xié)調(diào)，

上下兩塊梁上作用的分布荷載集度均為g/2

0=絲=I2,L2。v空

%L"/-

12

3qF

cy――-----

max2-a3

(c)兩塊并排時

兩塊梁上作用的分布荷載集度均為q/2

q,L,

My_22,>

C/———V

3”

0,x彳

正應(yīng)力分布規(guī)律

一槽形截面懸臂梁，長6m,受q=5kN/m的均布荷載作用，求距固定端為0.5m處的截

面上，距梁頂面100mm處6Z?線上的切應(yīng)力及a-a線上的切應(yīng)力。

5kN/m

y

FS"

解:根據(jù)切應(yīng)力公式7=2,需確定橫截面剪力、面積矩、形心慣性矩

1)

(1)剪力馬=5x5.5=27.5kN

(2)形心位置、形心慣性矩，如圖

2x60x140420+280x50x25

Z==76.82mm

2x60x140+280x50

=2?(―-60?1403+60?140?(70-(76.82-50))2)

12

+3?280?503+280-50-(76.82-50/2)2=9.9x107mm4

(3)b-b處切應(yīng)力

_27.5kNx(60xl00x63.18mm3)

rh-b=1.77MPa

784

lzb9.9xl0xl0mmx60mm

(4)a-a處切應(yīng)力

由于a-a位于對稱軸y軸上，故=。

5-9一梁由兩個18B號槽鋼背靠背組成一整體，如圖所示。在梁的a-a截面上，剪力為18kN、

彎矩為55kN,m,求b-b截面中性軸以下40mm處的正應(yīng)力和切應(yīng)力。

解：兒。截面的剪力、彎矩分別為

弓=18—30-40=—52kN

M=55+18x1.4-30x1-40x0.3=38.2kN-m

18B號槽鋼的幾何性質(zhì)

h=180mm,I1369.9cm4>h=70mm,t=1().5mm,d-9mm

My_38.2xl03x0,04

由正應(yīng)力公式CT1369.9x2x10-855.77MPa

切應(yīng)力公式

FQS；52X103X（70X10.5X84.75X10-9+9X39.5X59.75X10-9）…”.口

T==------------------------------------------q------：--------------=35.23MPa

Izd1369.9x104x9x10-3

5-10一等截面直木梁，因翼緣寬度不夠，在其左右兩邊各粘結(jié)一條截面為50X50mm的木

條，如圖所示。若此梁危險截面上受有豎直向下的剪力20kN,試求粘結(jié)層中的切應(yīng)力。

解：求中性軸位置和50?100I5()

232

L=1Lx5xltf+50x5+|LX20X5+100X2.5

=25O(hM

FS_20xltfx25X10^X0.025

QZ=1.0MPa

250010-8x0.05

5-11圖示一矩形截面懸臂梁，在全梁上受集度為q的均布荷載作用，其橫截面尺寸為。、h,

長度為

（1）證明在距自由端為x處的橫截面上的切向分布內(nèi)力的合力等于該截面上的剪力；而

法向分布內(nèi)力adA的合力偶矩等于該截面上的彎矩。

（2）如沿梁的中性層截出梁的下半部，如圖所示。問截開面上的切應(yīng)力J沿梁長度的變

化規(guī)律如何?該面上總的水平剪力EQ'有多大?它由什么力來平衡？

解：（1）取X截面左邊部分，由其平衡

==

2陷=。，j（-y+qx-^-0,adA-y~^~

（2）沿梁長度剪力是線性分布的，該梁為等截面梁，「一二加

因此橫截面中性軸上切應(yīng)力沿梁長度也是線性分布，:牛

由切應(yīng)力互等，截開面上的切應(yīng)力r'沿梁長度是線性分伸。

沿梁長度剪力方程外（X）=-必，橫截面中性軸上切應(yīng)力大小沿梁長度變化規(guī)律為

7*）=騾2=黑，寬度方向均勻分布，故總的水平剪力

2bh2bh

弓=泌=『鳴泣=生，它由固定端約束力平衡。

QJ。）。2bh4/2

5-14圖示鑄鐵梁，若[5]=30Mpa,[q]=60MPa,試校核此梁的強度。已知A=764X

10'8m4

解：（1）計算支座反力，作彎矩圖

（2）校核強度（該梁截面中性軸不對稱，正負(fù)彎矩最大截面均是可能危險截面）

。截面正彎矩最大

2.5xl03x0.088

5a=28.80MPa<[cr]

764乂10-8t

2.5xl03x0.052

bcmax=17.02MPa<[crc]

/z764x10-8

。截面負(fù)彎矩最大

MDynm4x10^x0.052

5max27.23MPa<[cr]

764x10-8t

"oVmax4X103XQ.Q88

46.07MPa<[crc]

max764x10-8

符合強度要第

4-13

解：最小F時，最大應(yīng)力發(fā)生在C截面。Mc=27kNni—b.6F

Mc27xlO「0.6尸r]_

°max=-J=-----------------=[(T]=S.5MPa

2

WZ.1ox0.15x0.3

F=^[27x10--8.5xK/,x|xO.15xO.O9]=13.13fc^

5-15—矩形截面簡支梁，由圓柱形木料鋸成。已知f=8kN,a=1.5m,[c]=10MPa。試確

定彎曲截面系數(shù)為最大時的矩形截面的高寬比h/b,以及鋸成此梁所需要木料的最Jo

22

Wz=1防2=lb(d-b)

dW.,,

=0=>d~—3b~=0nb=dIvr3

db

W2"m之a(chǎn)x=12x10：=]2x]0'/

[a]10xl06

W.=-^=>1.2xl0-3

z9/

d>266mm

5-16截面為10號工字鋼的AB梁，8點由d=20mm的圓鋼桿BC支承，梁及桿的容許應(yīng)力

[c]=160MPa,試求容許均布荷載(7。

解：這是一個拉桿強度和梁的強度計算問題

(1)對于拉桿

所受軸力廠產(chǎn)的尹=?

由強度條件5皿

得q422.34kN/m

(2)對于AB梁

其剪力彎矩圖如圖

工字鋼橫截面中性軸對稱，

危險截面為彎矩絕對值最大的截面

由強度條件

cr=<[crl

皿%49X10-6-LJ

得q415.68kN/m

從而確定容許均布荷載

4-13解：2加.=°，30x1.8+F-4.8-Fe-36=0,=>Fs=15+|F

ZEV=O,+15+|F-30-F=0,n匕=15—；F

。截面下部受拉:

%ax(27一0-6F)4M=8.5x106

bmax

W.

x0.15x0.32

6

=>F>13.125kN

8支座負(fù)彎矩，上部受拉：

?！昂括D'IO，

=>F<15.938kN

.-.Fmin=13.125kN

4-18用積分法求下列各梁指定截面處的轉(zhuǎn)角和撓度。設(shè)E/為已知。在圖(d)中的E=2.0X

544

10MPa,7=1.0X10cmo

解：(a)(1)支座反力計算

2

FAy=qa,MA=—O.Sqa

(2)列彎矩方程

1

M](x)=qax-OSqa，(0<x<?)

22

M2(x)=qax-1.5qa-0,5q(x-a),(a<x<2a)

(3)將彎矩方程代入撓曲線近似微分方程

=—qax+0.5qa2,(Q<x<a)

Elvt^(x)=—qax+1.5qa2+O.5q(x—a)2,(a<x<2d)

(4)積分一次

22

Eiq(x)=--qax+0.5qax+Ci,(0<x<?)

2+x3

E102(X)=-^qcix?+1.5qax~0-5^(x—a)+C2,(a<x<2a)

(5)再積分一次

EIW[(x)=--+—x0.51a—?+CjX+D,(0<x<?)

62]

￡7噸(x)=—qcix^H—x1.SQCIX^H--x0.5q(x—a)，+C2x+Z),(a<x<2a)

62122

(6)邊界條件、連續(xù)光滑條件

x=0?=0;x=0,嗎=0;x=a,0l—O^x—a,w{=w2

由x=0,4=0得G=0；x=0,“=0得。]=0

由x=a,4=2得G=_q/;x=a,/=嗎得2=OSqa"

⑺從而%=Q)|f=緇；二=爾必1qa4

\2EI

6-1用積分法求下列各梁指定截面處的轉(zhuǎn)角和撓度。設(shè)￡/為已知。

解：(1)支座反力計算

瓜=0,FR=F

(2)列彎矩方程

陷(X)=0,(0<X<6Z)

M2(x)=-F(x-a),(a<x<2d)

(3)將彎矩方程代入撓曲線近似微分方程

EIw^(x)=0,(0<x<tz)

=F(x-a),(a<x<2a)

(4)積分一次

EI4(x)=G,(0<x<Q)

2

EI02(x)=；F(x-a)+C2,(a<x<2a)

(5)再積分一次

EIwi(x)=Cx+〃，(0<x<6Z)

E1W(x)=—F(x-a)3+Cx+D,(a<x<2a)

2622

(6)邊界條件、連續(xù)光滑條件

x=0,wl=Q;x=2a,w2=0;x=a，8=02\x=a.w[=w2

由x=0,W[=0得R=0；x=。,q=劣得G=G

p2

由X=4,W]=卬2得02=R=0；X=2。,嗎=0；得。2=--a

2

pnFQ

⑺從而%=4(X)|E=一高記；Wc="(x)|』=一行而

II-JI.i乙

6-2對于下列各梁，要求:

(1)寫出用積分法求梁變形時的邊界條件和連續(xù)光滑條件。

(2)根據(jù)梁的彎矩圖和支座條件，畫出梁的撓曲線的大致形狀。

解：(a)(1)邊界條件和連續(xù)光滑條件

x=0,4=0;x=0,%=0

x=1,9、=&;%=/，叱=w2

%=2/,a=q；%=2/,叱=w3

（2）梁的撓曲線的大致形狀如圖（前后兩段為直線,無彎矩；中間段為曲線，正彎矩，下

部受拉）

（d）（1）邊界條件和連續(xù)光滑條件

FI

x=0,卬］=0；x=2/,w=Al=-----