平面向量的概念

6.1平面向量的概念

教材分析

本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修第二冊》（人教A版）第六章《平面向量及其

應(yīng)用》，本節(jié)課是第1課時(shí)，本節(jié)課內(nèi)容包括向量的實(shí)際背景與概念、向量的幾何表示、相等向量

與共線向量。

本節(jié)從物理學(xué)中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點(diǎn)說明

了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共

線向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示"中，主要介紹有向線

段、有向線段的三個(gè)要素、向量的表示、向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系、向量的長度、零向量、單位

向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向量定義等

軟學(xué)目標(biāo)與糠心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量的概念；

的概念和向量的幾何表示；

2.邏輯推理：區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量；

掌握向量的模、零向量、單位向量、平

B.3.直觀想象：向量的幾何表示；

行向量、相等向量、共線向量等概念；

C.并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和共線

向量.

D、通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識現(xiàn)

實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.

E、通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)

練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的

能力.

教學(xué)■速點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會(huì)表示向量.

2.教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

課前發(fā)備

多媒體

就學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情景引入通過生動(dòng)的例子及

物理知識，引入本

1.老鼠以10m/s的速度向東跑，貓以50m/s的速度向西追，

節(jié)新課。建立知識

貓能否追上老鼠？

間的聯(lián)系，提高學(xué)

分析：老鼠逃竄的路線、貓追逐的路線實(shí)際上都是有方向、有長短的生概括、類比推理

量.的能力。

2.問題：質(zhì)量、力、速度這三個(gè)物理量有什么區(qū)別？

質(zhì)量只有大小；力、速度既有大小，又有方向。

二、探索新知

（-）向量的實(shí)際背景與概念

1.問題：在物理中，位移與路程是同一個(gè)概念嗎？為什么？

通過物理量路程與

【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。

位移引入向量概念，

提高學(xué)生的解決問

2.（1）向量與數(shù)量的定義：

題、分析問題的能

力。

既有大小，又有方向的量叫做向量（物理學(xué)中稱為矢量）；

只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量（物理學(xué)中稱為標(biāo)量）.

注意：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大

??；向量具有大小和方向這雙重要素，由于方向不能比較大小，故向

量不能比較大小.

練習(xí)：下列量不是向量的是（）

（1）質(zhì)量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度

提高練習(xí)，進(jìn)一步

（6）面積（7）年齡（8）身高鞏固向量的概念。

【答案】（1）（6）（7）（8）

（二）向量的幾何表示

探究：由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個(gè)通過探究，引入向

點(diǎn)表示，那么，怎么表示向量呢？量表示，提高學(xué)生

分析問題、概括能

1.有向線段的定義

力。

在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順

序，假設(shè)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，就說線段

AB具有方向，具有方向的線段叫做有向A（起點(diǎn)）（終點(diǎn)）

線段.

如圖，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作AB.

線段AB的長度也叫做有向線段通的長度，記作|Q|.

思考：一條有向線段由哪幾個(gè)基本要素所確定？

通過思考，進(jìn)一步理

【答案】三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.解向量的表示。

2.向量的幾何表示

畫圖時(shí)，我們常用有向線段來表示向量，線段按一定比例（標(biāo)度）

畫出.其中有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向

量的方向.

3.向量的表示方法：

一般可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如Q、而。

若表示向量的有向線段沒有標(biāo)注起點(diǎn)和,

終點(diǎn)字母，向量也可用黑體字母a,b,

占'（終點(diǎn)）

C,…（書寫時(shí)用注意用a,b,c…表示）.（起點(diǎn)）

注意：（1）.向量:與起點(diǎn)無關(guān).用有向線段表示向量時(shí)，起點(diǎn)可以取

任意位置.數(shù)學(xué)中的向量也叫自由向量.

（2）.有向線段與向量的區(qū)別：

有向線段：三要素：起點(diǎn)、大小、方向。

向量:可選任意點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)、有大小、有方向。

4.向量的模

向量麗的大小，就是向量屈的長度（或模），記作|赤|或記作

⑷。

思考：向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負(fù)數(shù)嗎？

【答案】可以為0,1,不能為負(fù)數(shù)。

5.零向量：長度為0的向量，記作6.

單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

說明：（1）零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.

故零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.

（2）注意：向量是不能比較大小的，但向量的模（是正數(shù)或零）是可提高思考，引入特

以進(jìn)行大小比較的.殊的向量，增強(qiáng)對

例1.在圖中，分別用向量表示A地至B、C『-3概念的理解，提高

兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，并求出，?,域J學(xué)生分析問題的能

力。

A地至B、C兩地的實(shí)際距離（精確到1km）

解：福表示A地至8地的位移，且6g____?

元表示A地至C地的位移，且|而|內(nèi)_______.

（三）.相等向量與共線向量

思考1：向量由其模和方向所確定.對于兩個(gè)向量a,b,就其模等

與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？

【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；通過例題進(jìn)一步理

1.平行向量定義：解向量的概念，提

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定。與任高學(xué)生用向量解決

一向量平行.a/**"問題的能力。

說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定>

義；（2）向量a、b、c平行，記作a〃分〃c.

2.相等向量定義：

長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

說明：（1）向量a與8相等，記作a=6；（2.）零向量與零向量

相等；（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表通過思考，引入平

示，并且與有回繾掌的根虛無去.

行向量，提高學(xué)生

3.共線向量與平行向量關(guān)系：的理解問題的能

力。

平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一

直線上（與行同線段的舉卓不天）..

a

b,C\b_a___________

cCOAB

說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置

關(guān)系：（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段

的位置關(guān)系.

牛刀小試；

填空：

（1）平行向量是否一定方.向相同？（）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（）

（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（）

（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（）

（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？

()

(6)兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？()

(7)共線向量一定在同一直線上嗎？()

【答案】(1)不一定(2)不一定(3零向量

(4)零向量(5)平行向量(6)長度相等且方向相同

(7)不一定

例2.如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心，

(1)寫出圖中的共線向量；

_____________________YV

(2)分別寫出圖中與向量。4、OB、0C相等

的向量.

解：(1)OA,CB.DO.厘是共線向量；通過練習(xí)，進(jìn)一步

OB,DC,EC),前是共線向量；

鞏固所學(xué)的向量有

OC,AB.ED,用是共線向量.

(2)OA=CB=DOt關(guān)知識，提高學(xué)生

OB=DC=EO,

OC=AB=ED=Fd.解決問題的能力。

通過例題的講解，

讓學(xué)生進(jìn)一步理解

共線向量、相等向

量，提高學(xué)生解決

與分析問題的能

力。

三、達(dá)標(biāo)檢測

1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①身高是一個(gè)向量；

②N40B的兩條邊都是向量；通過練習(xí)鞏固本節(jié)

所學(xué)知識，提高學(xué)

③溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；

生解決問題的能

④物理學(xué)中的加速度是向量.力，感悟其中蘊(yùn)含

的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)

A.0B.1

學(xué)生的應(yīng)用意識。

C.2D.3

【解析】只有④中物理學(xué)中的加速度既有大小又有方向是向

量，①②③錯(cuò)誤.④正確.

【答案】B

2.在下列判斷中，正確的是（）

①長度為0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③單位向量的長度都相等；

④單位向量都是同方向；

⑤任意向量與零向量都共線.

A.①②③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

【解析】由定義知①正確，②由于零向量的方向是任意的，故

兩個(gè)零向量的方向是否相同不確定，故不正確.顯然③、⑤正確，④

不正確，故選D.

【答案】D

3.設(shè)均，02是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.Ci=e2B.ej//C2

C.\et\=\e2\D.以上都不對

【解析】單位向量的模都等于1個(gè)單位，故C正確.

【答案】C

4.在下列命題中：①平行向量一定相等：②不相等的向量一定不平

行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量

是相等向量；⑥平行于同一個(gè)非零向量的兩個(gè)向量是共線向量.正確

的命題是_______.

【解析】由向量的相關(guān)概念可知④⑥正確.

【答案】④⑥

5.如圖所示，四邊形N8CD是平行四邊形，四邊形是矩形，找

出與向量還相等的向量.

【解】由四邊形是平行四邊形，四邊形Z8OE是矩形，知

DC,訪與筋的長度相等且方向相同，所以與向量次相等的向量