第11講 圓的方程（六大題型）（學(xué)生版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第11講圓的方程【題型歸納目錄】題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：圓的一般方程題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系題型五：圓過定點(diǎn)問題題型六：軌跡問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑．知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過原點(diǎn)：(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn)．(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法．知識(shí)點(diǎn)二：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點(diǎn)在圓上(2)若點(diǎn)在圓外(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)知識(shí)點(diǎn)三：圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識(shí)點(diǎn)詮釋：由方程得(1)當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解．它表示一個(gè)點(diǎn)．(2)當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．(3)當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．知識(shí)點(diǎn)四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．(3)解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．知識(shí)點(diǎn)五：軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1、當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法)．2、求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．3、求軌跡方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)列出關(guān)于的方程；(3)把方程化為最簡(jiǎn)形式；(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；(5)作答．【典例例題】題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1．(2023·高二課時(shí)練習(xí))圓心在原點(diǎn)，半徑是的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B．C． D．例2．(2023·高二單元測(cè)試)圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓是(

)A． B．C． D．例3．(2023·新疆昌吉·高二?？计谀?已知圓C的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5例4．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓C：，O為原點(diǎn)，則以為直徑的圓方程為(

)A． B．C． D．例5．(2023·福建漳州·高二統(tǒng)考期末)若過點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓的方程為(

)A． B．C． D．例6．(2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末)若一圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且圓心在第一象限，則圓心到直線的距離為(

)A． B． C．5 D．3例7．(2023·全國·高二專題練習(xí))三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓方程是(

)A． B．C． D．例8．(2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí))已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B．C． D．例9．(2023·四川眉山·高二仁壽一中統(tǒng)考期中)與直線切于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程為(

)A． B．C． D．例10．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓的圓心在軸上，半徑長(zhǎng)為，且過點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B．C． D．題型二：圓的一般方程例11．(2023·高二課時(shí)練習(xí))圓的半徑為(

)A．2 B．4 C．8 D．16例12．(2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末)已知圓，則圓心及半徑分別為(

)A． B． C． D．例13．(2023·高二課時(shí)練習(xí))求以為圓心，且經(jīng)過點(diǎn)的圓的一般方程(

)A． B．C． D．例14．(2023·天津和平·高二統(tǒng)考期末)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓的方程是(

)A． B．C． D．例15．(2023·天津武清·高二天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的方程為()A． B．C． D．例16．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若不同的四點(diǎn)，，，共圓，則a的值為(

)A．1 B．3 C． D．7例17．(2023·全國·高二專題練習(xí))與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是(

)A． B．C． D．題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例18．(2023·高二課時(shí)練習(xí))點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是(

)A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定例19．(2023·全國·高二專題練習(xí))點(diǎn)P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關(guān)系為(

)A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．與m的值有關(guān)例20．(2023·重慶巴南·高二巴南中學(xué)校校考期中)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是(

)．A．在圓內(nèi) B．在圓外 C．在圓上 D．不確定例21．(2023·河南周口·高二校考階段練習(xí))已知圓的方程是，則點(diǎn)(

)A．在圓心 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．在圓外題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系例22．(多選題)(2023·高二課時(shí)練習(xí))下列方程不是圓的一般方程的有(

)A． B．C． D．例23．(多選題)(2023·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期中)方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的可能取值為(

)A．4 B．2 C．0 D．例24．(多選題)(2023·廣西柳州·高二校聯(lián)考期中)已知方程，下列敘述正確的是(

)A．方程表示的是圓.B．當(dāng)時(shí)，方程表示過原點(diǎn)的圓.C．方程表示的圓的圓心在軸上.D．方程表示的圓的圓心在軸上.例25．(多選題)(2023·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末)已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)可能的取值為(

)A． B．0 C． D．例26．(多選題)(2023·貴州貴陽·高二貴陽一中校考階段練習(xí))方程表示圓的充分不必要條件可以是(

)A． B．或C． D．例27．(多選題)(2023·高二單元測(cè)試)使方程表示圓的實(shí)數(shù)a的可能取值為(

)A． B．0 C． D．題型五：圓過定點(diǎn)問題例28．(2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥?對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為__．例29．(2023·全國·高二專題練習(xí))若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)、、，則的外接圓恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為_______例30．(2023·全國·高二專題練習(xí))已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為，則圓經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為_______(其坐標(biāo)與無關(guān))例31．(2023·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí))對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為______.例32．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知方程表示圓，其中，且a≠1，則不論a取不為1的任何實(shí)數(shù)，上述圓恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是________________.題型六：軌跡問題例33．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為，端點(diǎn)A在圓C：上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．例34．(2023·高二課時(shí)練習(xí))如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.

例35．(2023·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí))已知方程表示圓，其圓心為.(1)求圓心坐標(biāo)以及該圓半徑的取值范圍；(2)若，線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)為，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.例36．(2023·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí))已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，求的方程.例37．(2023·北京通州·高二統(tǒng)考期中)已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離等于2，求點(diǎn)的軌跡方程.例38．(2023·江蘇揚(yáng)州·高二邵伯高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))(1)已知兩定點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P的軌跡方程．(2)已知線段的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的端點(diǎn)B的軌跡方程．例39．(2023·高二課時(shí)練習(xí))設(shè)定點(diǎn)M(－3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡.例40．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知，動(dòng)點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是分別是和，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A．B．C．D．2．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A．0或2 B．0或-2C．0或 D．-2或23．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程是(

)A． B．C． D．4．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為(

)A． B．C． D．5．(2023·高二課時(shí)練習(xí))過三點(diǎn)的圓的一般方程為(

)A． B．C． D．6．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若點(diǎn)是圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在的直線方程為(

)A． B．C． D．7．(2023·高二校考課時(shí)練習(xí))若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是().A． B． C． D．8．(2023·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)?？茧A段練習(xí))動(dòng)直線平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值(

)A． B． C． D．二、多選題9．(2023·湖南郴州·高二校考期中)圓()A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．半徑為C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱10．(2023·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末)已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)可能的取值為(

)A． B．0 C． D．11．(2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)?？计谥?已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值可能是(

)A． B． C． D．12．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是(

)A．圓的圓心是B．圓的半徑是2C．D．的取值范圍是三、填空題13．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若l是經(jīng)過點(diǎn)和圓的圓心的直線，則l在y軸上的截距是________．14．(2023·高二課時(shí)練習(xí))圓過點(diǎn)、，求面積最小的圓的一般方程為________________．15．(2023·高二課時(shí)練習(xí))過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)A、B，則的外接圓的方程是________．16．(2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程是______．四、解答題17．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓C的半徑為，圓心在直線上，且過點(diǎn)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．(2023·山東日照·高二?？茧A段練習(xí))已知圓C經(jīng)過點(diǎn)且圓心C在直線上.(1)求圓C方程；(2)若E點(diǎn)為圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)，求線段EF的中點(diǎn)M的軌跡方程.19．(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)已知，．(1)求線段的垂直平分線所在直線的方程；(2)若一圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)，求該