第19講 三角函數(shù)的應(yīng)用（教師版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第19講三角函數(shù)的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標】1.會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，2.體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型【基礎(chǔ)知識】一、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義1.簡諧運動的振幅就是A.2.簡諧運動的周期T＝eq\f(2π,ω).3.簡諧運動的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).4.ωx＋φ稱為相位．5.x＝0時的相位φ稱為初相．二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用1.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．2.建立函數(shù)模型的一般步驟3.解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟4.運用三角函數(shù)模型解決問題的幾種類型(1)由圖象求解析式：首先由圖象確定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根據(jù)圖象特征確定解析式中的字母參數(shù)，在求解過程中還要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)．(2)由圖象研究函數(shù)的性質(zhì)：通過觀察分析函數(shù)圖象，能得出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性．(3)利用三角函數(shù)研究實際問題：首先分析、歸納實際問題，抽象概括出數(shù)學(xué)模型，再利用圖象及性質(zhì)解答數(shù)學(xué)問題，最后解決實際問題．【考點剖析】考點一：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義例1．簡諧運動的相位與初相是(

)A．， B．，4C．，－ D．，【答案】C【解析】相位是，當時的相位為初相即．故選C考點二：由圖象研究函數(shù)的性質(zhì)例2．福州新港江陰港區(qū)地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進出港不受航道及潮水的限制，是迄今為止“我國少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區(qū)某個泊位一天中6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(

)A．5 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】從圖象可以看出，函數(shù)最小值為-2，即當時，函數(shù)取得最小值，即，解得：，所以，當時，函數(shù)取得最大值，，這段時間水深(單位：m)的最大值為8m.故選C考點三：三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用例3．(2022學(xué)年山東省濰坊市安丘、高密、諸城高一下學(xué)期5月期中)將塑料瓶底部扎一個小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸，把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖像．它表示了漏斗對平衡位置的位移s(縱坐標)隨時間t(橫坐標)變化的情況．如圖所示，已知一根長為lcm的線一端固定，另一端懸一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計線的長度應(yīng)當是(精確到0.1cm)(

)A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm【答案】C【解析】由，得.由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的周期為，所以，即.故選C.考點四：三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用例4．(多選)(2022學(xué)年安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟高一下學(xué)期春季聯(lián)賽)阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置．如圖，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移(cm)和時間t()的函數(shù)關(guān)系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，，則下列是的單調(diào)區(qū)間的是(

)A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為且，，所以，，由，得是函數(shù)的一條對稱軸方程，則，即，取，所以，由，解得，故其單調(diào)增區(qū)間是，則減區(qū)間是，故選AC.考點五：數(shù)據(jù)擬合問題例5.某“帆板”集訓(xùn)隊在一海濱區(qū)域進行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度(米)隨著時間(，單位：小時)而周期性變化．每天各時刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：(時)(米)(1)試在圖中描出所給點；(2)觀察圖，從，，中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的時至?xí)r之間，當浪高不低于米時才進行訓(xùn)練，試安排恰當?shù)挠?xùn)練時間．【解析】(1)散點圖如下，(2)由散點圖可知：應(yīng)選擇，則，，，即，將代入可得：，解得：，該模型的解析式為：.(3)令，則，，，或或，解得：或或，應(yīng)在白天點到點之間訓(xùn)練.【真題演練】1．(2022學(xué)年重慶市實驗中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考)心臟每跳動一次，就完成一次收縮和舒張.心臟跳動時，血壓在增大或縮小，并呈周期性變化，血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.某人的血壓滿足函數(shù)，其中為血壓(單位：)，t為時間(單位：)，則相鄰的收縮壓和舒張壓的時間間隔是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，血壓的最大值與最小值分別為收縮壓和舒張壓，又血壓函數(shù)為正弦三角函數(shù)，則相鄰的收縮壓和舒張壓即血壓函數(shù)的半個周期，則，時間間隔為.故選A.2.(2022學(xué)年山東省臨沂市莒南縣高一下學(xué)期期中)筒車是一種以水流作動力，取水灌田的工具，是中國古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個半徑為6m的筒車按逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，筒車軸心O距水面3m，設(shè)筒車上某個盛水筒P，以P剛浮出水面時開始計算時間，則盛水筒P出水后第一次到達最高點的時間(單位：s)為(

)A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】過O做OQ垂直水面，為最高點，如圖所示由題意得，所以，則，所以，所以盛水筒P出水后第一次到達最高點要旋轉(zhuǎn)，即為個周期，又筒車每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，可得周期為30秒，所以盛水筒P出水后第一次到達最高點用時秒，故選D3.(2022學(xué)年湖北省問津聯(lián)合體高一下學(xué)期3月質(zhì)量檢測)設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，則有.根據(jù)地理知識，武漢地區(qū)的緯度值約為北緯，今年月日正午太陽剛好直射赤道(緯度為度)，如果在武漢某學(xué)校有高度為的旗桿，月日正午時旗桿影子長是旗桿高的(

)倍？A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】D【解析】由已知可得，，則，設(shè)影子長為，則，所以，.故選D.4.(多選)(2022學(xué)年福建省武平縣第一中學(xué)高一10月月考)如圖所示的是一質(zhì)點做簡諧運動的圖象，則下列結(jié)論正確的是(

)A．該質(zhì)點的運動周期為0.7sB．該質(zhì)點的振幅為5C．該質(zhì)點在0.1s和0.5s時運動速度為零D．該質(zhì)點的運動周期為0.8s【答案】BCD【解析】由題圖可知，質(zhì)點的振動周期為2×(0.7－0.3)＝0.8s，所以A錯，D正確；該質(zhì)點的振幅為5，所以B正確；由簡諧運動的特點知，質(zhì)點處于平衡位置時的速度最大，即在0.3s和0.7s時運動速度最大，在0.1s和0.5s時運動速度為零，故C正確．綜上，BCD正確．故選BCD.5.(多選)(2022學(xué)年江西省高一下學(xué)期期中調(diào)研)如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點建立平面直角坐標系，則下列說法正確的是(

)A．點Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)為B．點Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)的對稱中心坐標為C．經(jīng)過10分鐘點Q距離地面35米D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動一圈，點Q距離水平地面的高度不超過85米的時間為20分鐘【答案】CD【解析】由題意知，OQ在分鐘轉(zhuǎn)過的角為，所以以O(shè)Q為終邊的角為，所以點Q距離水平地面的高度與時間的關(guān)系為，故A錯誤；由，得，所以不是對稱中心，故B錯誤；經(jīng)過10分鐘，，故C正確；由，得，得，解得，共20分鐘，故D正確.故選CD6.(2022學(xué)年北京市中國人民大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期中)為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)秒針針尖的位置為，若初始位置為，當秒針針尖從(注：此時)正常開始走時，點的縱坐標與時間的函數(shù)關(guān)系式為__________.【答案】【解析】設(shè)點的縱坐標與時間的函數(shù)關(guān)系式為，由初始位置可得函數(shù)的初相位為，又函數(shù)周期是秒，且秒針按順時針旋轉(zhuǎn)，即，所以，即，所以.7.(2022學(xué)年廣東省順德區(qū)德勝學(xué)校高一下學(xué)期期中)如圖為一個公路隧道，隧道口截面為正弦曲線，已知隧道跨徑為8.4m，最高點離地面4.5m．(1)若設(shè)正弦曲線的左端為原點，試求出該正弦曲線的函數(shù)解析式；(2)如果路面寬度為4.2m，試求出公路邊緣距隧道頂端的高度．【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)該正弦曲線的解析式為，則，，，∴，故該正弦曲線的解析式為.(2)根據(jù)題意，將代入函數(shù)解析式得：，即公路邊緣距隧道頂端的高度為m.8.(2022學(xué)年北京市中關(guān)村中學(xué)高一下學(xué)期期中)2022年4月25日，北京市的溫度(單位：)隨時間(單位：小時)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：，，其中，，.從氣象臺得知：北京市2022年4月25日當天最高氣溫出現(xiàn)在下午14時，最高氣溫為29攝氏度，最低氣溫出現(xiàn)在凌晨2時，最低氣溫為17攝氏度.(1)求函數(shù)的表達式；(2)北京市海淀區(qū)一羅森便利店為了節(jié)省開支，規(guī)定在環(huán)境溫度大于等于26時，開啟中央空調(diào)降溫，否則關(guān)閉中央空調(diào)，問2022年4月25日當天中央空調(diào)應(yīng)在何時開啟？何時關(guān)閉？【解析】(1)依題意可得，，周期，所以，，，所以，，因為，所以，所以.(2)由，得，所以，，所以，，又，所以，所以2022年4月25日當天中央空調(diào)應(yīng)在時開啟，時關(guān)閉【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年浙江省浙南名校聯(lián)盟高一下學(xué)期返?？?小明給學(xué)校設(shè)計數(shù)學(xué)文化長廊，計劃將長廊的頂部遮雨棚設(shè)計成如圖所示橫截面為正弦曲線的形狀(雨棚的厚度忽略不計)，已知入口高度AB和出口處高度CD均為H，為使參觀者行走方便，要求雨棚的最低點到地面的距離不小于雨棚的最高點到地面距離的，則雨棚橫截面正弦曲線振幅的最大值為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】雨棚橫截面正弦曲線振幅為，則雨棚的最低點到地面的距離為,雨棚的最高點到地面的距離為，由題意有，解得，所以橫截面正弦曲線振幅的最大值為.故選C2.(2022學(xué)年廣西桂林市第十九中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知P是半徑為的圓形砂輪邊緣上的一個質(zhì)點，它從初始位置開始，按逆時針方向做圓周運動，角速度為．如圖，以砂輪圓心為原點，建立平面直角坐標系，若，則點P的縱坐標關(guān)于時間(單位：)的函數(shù)關(guān)系式為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)點P的縱坐標關(guān)于時間(單位：)的函數(shù)關(guān)系式為，由題意可得，，時，射線可視角的終邊，則.故選D.3.(2022學(xué)年遼寧省沈陽市同澤高級中學(xué)高一下學(xué)期4月月考)筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽象為一個幾何圖形(圓)，筒車的半徑為2m，筒車的軸心O到水面的距離為1m，筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)動2圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)(即時的位置)時開始計算時間，設(shè)盛水筒M從運動到點P時所用時間為t(單位：s)，且此時點P距離水面的高度為h(單位：m).若以筒車的軸心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系(如圖2)，則h與t的函數(shù)關(guān)系式為(

)A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】，所以對應(yīng)的角是，由在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為，可知以為始邊，以為終邊的角為，則點的縱坐標為，所以點距水面的高度表示為的函數(shù)是.故選A4．(多選)血壓(bloodpressure，BP)是指血液在血管內(nèi)流動時作用于單位面積血管壁的側(cè)壓力，它是推動血液在血管內(nèi)流動的動力，血壓的最大值?最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.未使用抗高血壓藥的前提下，18歲以上成人收縮壓或舒張壓，則說明這位成人有高血壓，設(shè)從未使用抗高血壓藥的李華今年40歲，從某天早晨6點開始計算(即早晨6點時，)，他的血壓()與經(jīng)過的時間()滿足關(guān)系式，則(

)A．函數(shù)的最小正周期為6 B．當天早晨7點時李華的血壓為C．當天李華有高血壓 D．當天李華的收縮壓與舒張壓之差為【答案】BCD【解析】因為，所以；當時，，所以當天早晨7點時李華的血壓為；因為的最大值為，最小值為，所以李華的收縮壓為，舒張壓為，因此李華有高血壓，且他的收縮壓與舒張壓之差為.故選BCD.5.(多選)聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波.我們聽到的每個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).音有四要素：音調(diào)?響度?音長和音色.它們都與函數(shù)及其參數(shù)有關(guān)，比如：響度與振幅有關(guān)，振幅越大響度越大，振幅越小響度越??；音調(diào)與頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖銳；我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.我們聽到的聲音對應(yīng)的函數(shù)是結(jié)合上述材料及所學(xué)知識，下列說法錯誤的是(

)A．函數(shù)不具有奇偶性B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若某聲音甲的對應(yīng)函數(shù)近似為，則聲音甲的響度一定比純音響度小D．若某聲音乙的對應(yīng)函數(shù)近似為，則聲音乙一定比純音更低沉【答案】AC【解析】對于A，令，則則，且函數(shù)定義域為R，所以是奇函數(shù)，A錯誤；對于B，因為所以，，，都在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，B正確；對于C，因為為奇函數(shù)，且，所以，所以的振幅比的振幅大，所以C錯誤；對于D，的最小正周期是證明：若存在，使恒成立，則必有，，，因為，，又與不恒相等，故的最小正周期是，所以頻率，而的周期為，頻率，所以D正確.故選AC.6.(2022學(xué)年天津市南開中學(xué)高一上學(xué)期期末)天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，是世界上唯一一個橋上瞰景的摩天輪．如圖，已知天津之眼的半徑是55m，最高點距離地面的高度為120m，開啟后按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每30轉(zhuǎn)動一圈．喜歡拍照的南鳶同學(xué)想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距離地面最近的艙位進艙．已知在距離地面超過92.5m的高度可以拍到最美的景色，則在天津之眼轉(zhuǎn)動一圈的過程中，南鳶同學(xué)可以拍到最美景色的時間是_________分鐘．【答案】10【解析】如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標系.設(shè)時，南鳶同學(xué)位于點，以為終邊的角為，根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為，由題意，可得，，令，，可得，所以南鳶同學(xué)可以拍到最美景色的時間是分鐘7.已知南北回歸線的緯度為，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是.當?shù)叵陌肽耆≌担肽耆∝撝?，如果在北半球某?緯度為)的一幢高為的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離應(yīng)不小于______(結(jié)果用含有和的式子表示).【答案】【解析】如圖：設(shè)點A，B，C分別為太陽直射北回歸線，赤道，南回歸線時樓頂在地面上得投射點，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽直射南回歸線時的情況考慮，此時的太陽直射緯度為，依題意兩樓的間距不小于MC，根據(jù)太陽高度角的定義得：8．(2020-2021學(xué)年遼寧省大連市第二十四中學(xué)高一下學(xué)期期中)海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時刻與水深值(單位：)記錄表：時刻水深值經(jīng)過長期觀測，這個港口的水深與時間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時，函數(shù)的表達式；(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙(船底與海底的距離)，問該船在一天內(nèi)()何時能進入港口？【解析】(1)，，，；由表格數(shù)據(jù)知：最小正周期，即，；，，解得：，又，，.(2)由題意知：若該船能進入港口，則需，即，；，，則當或或，即或或時，，該船可在、和進入港口.9.(2022學(xué)年山東省濰坊市安丘、高密、諸城高一下學(xué)期5月期中)我國明朝科學(xué)家宋應(yīng)星所著《天工開物》中記載了水車，水車是古代中國勞動人民發(fā)明的灌溉工具，體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力．如圖是水車示意圖，其半徑為6m，中心O距水面3m，一水斗從水面處的點