2022年版課標中“數(shù)量關(guān)系”主題的價值意蘊與教學策略

【摘

要】《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》將“數(shù)量關(guān)系”專設為一個學習主題，有利于培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，提高學生問題解決能力，減輕學生學業(yè)負擔。數(shù)量關(guān)系作為一種心理圖式，其本質(zhì)是數(shù)學模型，源于問題解決，根植于四則運算。為更好地開展“數(shù)量關(guān)系”主題教學，教師要重視問題基本結(jié)構(gòu)分析，關(guān)注學生問題解決思維培養(yǎng)，通過“創(chuàng)設多元化問題情境”“利用直觀圖形”“重視問題基本結(jié)構(gòu)分析”“體驗數(shù)量關(guān)系建構(gòu)過程”“全程貫穿、循序漸進”等措施，加深學生對數(shù)量關(guān)系的理解，實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系學習進階。【關(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系；核心素養(yǎng)；教學策略《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）將“數(shù)量關(guān)系”專設為一個學習主題，凸顯對數(shù)量關(guān)系的重視。盡管數(shù)量關(guān)系是貫穿整個義務教育階段的數(shù)學內(nèi)容，但在2022年版課標的“課程內(nèi)容”中，“數(shù)量關(guān)系”主題只出現(xiàn)在小學部分。因此，本文討論的內(nèi)容主要聚焦于小學數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系。針對“數(shù)量關(guān)系”主題，很多教師存在一些困惑，諸如：何謂數(shù)量關(guān)系？數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵是什么？“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容有哪些？學生學習數(shù)量關(guān)系有何教育價值？數(shù)量關(guān)系的教學策略有哪些？本文基于2022年版課標中的“數(shù)量關(guān)系”主題，對上述問題作深入探討，以幫助教師準確把握課標的理念，深入理解數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵，從而有效開展“數(shù)量關(guān)系”主題的教學。一、2022年版課標中“數(shù)量關(guān)系”主題的教育價值數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學［1］1，數(shù)學的本質(zhì)表現(xiàn)在數(shù)量的關(guān)系之中［2］。因此，數(shù)量關(guān)系在數(shù)學中占有重要地位。2022年版課標將原來分散的與問題解決相關(guān)的內(nèi)容進行整合，形成了“數(shù)量關(guān)系”主題，這有助于教師整體理解和把握以數(shù)量關(guān)系與問題解決為重點的教學內(nèi)容，充分發(fā)揮數(shù)量關(guān)系的教育價值。（一）數(shù)量關(guān)系是培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的主要載體2022年版課標立足學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。從小學階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的相關(guān)表述中可以看出，數(shù)感、符號意識、模型意識、應用意識等都與數(shù)量關(guān)系密切相關(guān)。例如，數(shù)感主要是指“對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運算結(jié)果的直觀感悟”，符號意識主要是指“能夠初步運用符號表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律”，模型意識主要是指“對數(shù)學模型普適性的初步感悟”，應用意識主要是指“能夠感悟現(xiàn)實生活中蘊含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，可以用數(shù)學的方法予以解決”。［1］7-102022年版課標中“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容要求、學業(yè)要求與教學提示，都指向?qū)W生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。［3］（二）分析數(shù)量關(guān)系是學生解決問題的關(guān)鍵數(shù)學的真諦是問題解決、描述和理解結(jié)構(gòu)與模型。［4］數(shù)量關(guān)系就像是學生解決問題的思維支架，有助于學生深入分析問題的基本結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵要素。如果小學數(shù)學教學不注重數(shù)量關(guān)系分析，那么學生就將缺乏對解決問題過程的體驗和對解決問題方法的提煉，這不利于學生形成解題策略、積累解題經(jīng)驗。因此，分析數(shù)量關(guān)系是學生順利解決問題的關(guān)鍵，培養(yǎng)學生的問題解決能力必須重視數(shù)量關(guān)系教學。（三）設立“數(shù)量關(guān)系”主題有助于減輕學生學業(yè)負擔數(shù)學中的基本數(shù)量關(guān)系是從大量實際問題中抽象與總結(jié)出來的，它們深刻揭示了數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，為學生解決同類問題提供了思路與策略。理解和掌握這些基本的數(shù)量關(guān)系有助于學生舉一反三、觸類旁通，進而提高解題的靈活性和效率。在原來的課標中，數(shù)量關(guān)系被分散在不同的領(lǐng)域，呈現(xiàn)零散化和碎片化的特征，導致數(shù)量關(guān)系教學被弱化。學生在面對實際問題時，常常因為對數(shù)量關(guān)系理解不透、解題思路混亂而感到困惑，由此增加了學業(yè)負擔。2022年版課標優(yōu)化了課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，設立“數(shù)量關(guān)系”主題，能夠有效強化數(shù)量關(guān)系教學，提高學生學習效果，減輕學生學業(yè)負擔。二、2022年版課標中“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)涵意蘊（一）數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵2022年版課標將數(shù)量關(guān)系定義為：“主要是用符號（包括數(shù)）或含有符號的式子表達數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律?！保?］18盡管“數(shù)量關(guān)系”主題屬于小學“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，但它同樣存在于“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”領(lǐng)域。例如，長方形面積與其長和寬的關(guān)系、平均數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的關(guān)系以及植樹問題中的路長與間隔和棵數(shù)的關(guān)系等，都屬于數(shù)量關(guān)系的范疇。為了深入理解數(shù)量關(guān)系，有必要對其內(nèi)涵作進一步的認識。1.數(shù)量關(guān)系是一種圖式圖式，作為認知心理學中的一個概念，是指人腦中的一種認知結(jié)構(gòu)。其表征了對某個主題的綜合性知識，反映了某種事物或現(xiàn)象的基本特征和關(guān)系。以購物為例，當人們想到購物時，腦海中會浮現(xiàn)超市、貨架、售貨員、顧客、收銀臺等相關(guān)信息，并預想自己購物時的情境。從數(shù)學角度來看，這種圖式集中體現(xiàn)為購物過程中存在的數(shù)量關(guān)系，簡化為關(guān)系式即付出的錢-購物的錢=找回的錢。［5］2.數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是數(shù)學模型數(shù)學是研究模式的科學，而數(shù)學模型則是將現(xiàn)實情境用數(shù)學語言表達，從數(shù)量關(guān)系上對現(xiàn)實情境進行的描述與刻畫。數(shù)學模型通過去除非本質(zhì)信息，使數(shù)學問題得以簡化。分析實際情境中的數(shù)量關(guān)系，運用恰當?shù)哪Ｐ徒鉀Q問題是數(shù)量關(guān)系作為學習主題的核心。［6］史寧中教授從數(shù)學模型的角度，將小學階段中的數(shù)量關(guān)系歸納為加法模型和乘法模型兩類，并提出小學數(shù)學教學中應重點關(guān)注的四個數(shù)量關(guān)系：總量模型、路程模型、植樹模型和工程模型。3.數(shù)量關(guān)系源于問題解決，根植于四則運算小學數(shù)學中的所有數(shù)量關(guān)系都源于現(xiàn)實生活問題。沒有實際問題，數(shù)量關(guān)系便失去了存在的意義。實際上，數(shù)量關(guān)系就是在解決問題的過程中，通過對現(xiàn)象的分析和比較，在把握其本質(zhì)的基礎上進行抽象和概括得到的。運算的意義是抽象概括數(shù)量關(guān)系的依據(jù)。在小學階段，無論數(shù)量關(guān)系以何種形式出現(xiàn)，都離不開加、減、乘、除四則運算的意義。簡而言之，小學階段的數(shù)量關(guān)系主要體現(xiàn)為加減關(guān)系、乘除關(guān)系以及復合關(guān)系。（二）“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容在2022年版課標中，“數(shù)量關(guān)系”主題出現(xiàn)在小學部分的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域。這一主題具體涉及哪些內(nèi)容？這些內(nèi)容中的數(shù)量關(guān)系包括哪些類型？這里分別進行梳理與分析。1.“數(shù)量關(guān)系”主題的內(nèi)容要求研讀2022年版課標中的“課程內(nèi)容”可以發(fā)現(xiàn)，小學數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系主要針對生活情境、實際情境等，具體包括以下幾方面內(nèi)容：（1）用數(shù)或字母表示數(shù)量之間的關(guān)系和變化規(guī)律；（2）常見的數(shù)量關(guān)系，如加法模型、乘法模型等；（3）等式的性質(zhì)；（4）具體情境或?qū)嶋H問題中的估算；（5）比和比例；（6）利用數(shù)量關(guān)系解決簡單的實際問題。2.數(shù)量關(guān)系分類從復雜程度來看，小學階段數(shù)量關(guān)系主要包括簡單數(shù)量關(guān)系、復合數(shù)量關(guān)系以及特殊數(shù)量關(guān)系。簡單數(shù)量關(guān)系可進一步細分為分合關(guān)系和比較關(guān)系，其中分合關(guān)系涉及部總關(guān)系和份總關(guān)系，比較關(guān)系則包括相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系。復合數(shù)量關(guān)系則由上述四種簡單數(shù)量關(guān)系組合而成。特殊數(shù)量關(guān)系主要出現(xiàn)在購物、工程和行程等特殊情境之中，如單價×數(shù)量=總價、工作效率×工作時間=工作總量、速度×時間=路程等。從模型角度來看，常見的數(shù)量關(guān)系主要包括加法模型和乘法模型。此外，根據(jù)數(shù)量關(guān)系的表述形式，數(shù)量關(guān)系可分為直述數(shù)量關(guān)系和隱含數(shù)量關(guān)系。［7］直述數(shù)量關(guān)系是指題目直接呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，而隱含數(shù)量關(guān)系則是題目中未直接給出但學生早已學過的公式或常識性的數(shù)量關(guān)系，如長方形的面積=長×寬、1時=60分、鴨的腳數(shù)=2×只數(shù)等。三、小學數(shù)學中“數(shù)量關(guān)系”主題的教學策略（一）創(chuàng)設多元化問題情境，為理解數(shù)量關(guān)系奠定基礎數(shù)學實際問題主要由情境描述與數(shù)量關(guān)系構(gòu)成。在日常生活中，學生常常遇到購物類問題，對其有充足的經(jīng)驗。但對于工程、生產(chǎn)、科技等方面的問題，由于與學生的生活距離較遠，他們理解起來相對困難。解決問題的關(guān)鍵在于理解題意，并在已知條件與問題目標之間建立正確的情境表征。存在情境障礙的學生，往往難以準確把握題目中的數(shù)量關(guān)系。為培養(yǎng)學生的情境構(gòu)建能力，教師需要借助多元化的教學手段，如講述故事、閱讀數(shù)學繪本、模擬實際活動場景、播放科普視頻等，呈現(xiàn)豐富多樣的問題情境，為學生接觸并理解更廣泛的情境提供有力的支持。學生利用這些間接性經(jīng)歷，能逐步消除認知的模糊性，理解情境問題的本質(zhì)，進而增強對數(shù)量關(guān)系的把握，為提升問題解決能力奠定基礎。隨著學生積累的情境不斷增加，他們將逐漸感悟到各類數(shù)量關(guān)系的核心要點。例如：合并、增加、移入等都可采用加法運算；減少、剩余、比多、比少等則可采用減法運算；等量組聚集、長方形面積計算、配對問題等都可采用乘法運算；平均分、包含、比分等則都可采用除法運算。（二）利用直觀圖形，實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的具象化小學生的認知水平尚處在從直觀感知到理性理解過渡的階段，他們往往難以準確捕捉數(shù)學問題中的數(shù)學信息并理解復雜的數(shù)量關(guān)系。而幾何圖形具有直觀形象的特點，可以讓數(shù)量關(guān)系的分析更清晰、合理、全面、深入。［8］因此，教師在教學過程中應充分利用幾何圖形的直觀性特點，通過示意圖、列表、線段圖等工具，幫助學生理解數(shù)量關(guān)系，解決數(shù)學問題。畫示意圖法指的是用“圓圈”“方框”等簡單圖形來代表題目中的事物，以揭示事物之間的數(shù)量關(guān)系。如“苗族旅游長桌宴”問題：1張桌子可以坐4人，2張桌子可以坐6人，3張桌子可以坐8人。照這樣計算，如果旅游團有40人，需要擺多少張桌子？解決此問題可引導學生畫出示意圖（如圖1）。觀察示意圖不難看出：每增加1張桌子，就多坐2人。進而得出數(shù)量關(guān)系：總?cè)藬?shù)=桌數(shù)×2+2。列表法則通過在表格中一一列舉出已知量和未知量及其關(guān)系，將復雜的關(guān)系清晰化、條理化，便于學生找到其中隱含的數(shù)量關(guān)系。例如，在“烙餅問題”中，借助列表，可以清晰、直觀地顯示出不同情況下的烙餅方法及餅數(shù)、烙的次數(shù)和所需時間之間的關(guān)系（如表1）。分析歸納后可以發(fā)現(xiàn)：烙餅最短時間=3×餅數(shù)（餅數(shù)≥2）（當餅數(shù)=1時，烙餅最短時間=6分鐘）。此外，畫線段圖也是解決復合問題的常用方法，尤其在工程問題、行程問題、年齡問題等中更為常見。例如，在“年齡問題”中，甲對乙說：“當我像你這么大歲數(shù)時，你剛好4歲?！币覍渍f：“當我長成你這么大歲數(shù)時，你就61歲了?！奔住⒁医衲旮魇嵌嗌贇q？通過畫線段圖（如圖2），學生可以清晰、直觀地看出其中的數(shù)量關(guān)系：4+3×甲乙年齡差=61。據(jù)此可以求出甲乙年齡差=19，得到甲、乙年齡分別為42歲和23歲。總的來說，直觀感知是構(gòu)建數(shù)學模型的關(guān)鍵。因此，教師在教學中應根據(jù)問題情境和學生的認知特點，選擇合適的直觀圖形，幫助學生理解題意，找到解決問題的突破口，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，最終解決問題。（三）重視問題基本結(jié)構(gòu)分析，加深對數(shù)量關(guān)系的理解數(shù)學問題由已知條件和問題組成。學生必須厘清題目中條件與條件之間及條件與問題之間的關(guān)系，才有可能做出正確解答。為幫助學生更好地理解問題的結(jié)構(gòu)，教師可采用補題、改題、編題等方式，加深學生對數(shù)量關(guān)系的認識與運用。1.補題題目：鳳凰小學二年級有學生165人，___________，五年級有多少學生？請在橫線處補充條件。本題要求利用已知的二年級學生人數(shù)，求出五年級學生人數(shù)。增加的條件必須是體現(xiàn)五年級與二年級學生人數(shù)關(guān)系的語句，如“五年級學生人數(shù)比二年級學生人數(shù)多33人”“五年級學生人數(shù)比二年級學生人數(shù)多20%”等。通過補題，學生可以加深對題目中數(shù)量之間相互依存關(guān)系的理解。2.改題題目：王叔叔從縣城出發(fā)去王莊送化肥，速度是40千米/時，路上用了3個小時，從縣城到王莊有多遠？學生完成此題后，教師可將題目改為：王叔叔從縣城出發(fā)去王莊送化肥，速度是40千米/時，路上用了3個小時，原路返回用了2小時，返回時平均每小時行多少千米？當然也可以由學生自主改題。改變題目的條件和問題，有助于加深學生對“路程=速度×時間”這一數(shù)量關(guān)系的理解。3.編題教師可以要求學生就某一主題（如購物），按照單價、數(shù)量、總價的關(guān)系編題。通過這種方式，不僅可以鍛煉學生的數(shù)學思維和解題能力，還可以提高他們的信息收集能力和數(shù)學語言表達能力。在指導學生編題時，教師應遵循目的性、科學性、教育性的原則，使學生在理解數(shù)量關(guān)系的同時，形成正確價值觀、必備品格及關(guān)鍵能力。（四）體驗數(shù)量關(guān)系建構(gòu)過程，提高解決問題的能力多數(shù)小學生在數(shù)學問題解題中出錯，其重要原因往往在于未能建立正確的數(shù)量關(guān)系，而非計算失誤。［10］復雜的數(shù)學問題由若干個基本的數(shù)量關(guān)系組成，因此，正確構(gòu)建數(shù)量關(guān)系成為解決問題的關(guān)鍵。學生在構(gòu)建數(shù)量關(guān)系時，通常會經(jīng)歷“具體事件—情境問題—情境模型—數(shù)學模型”這一過程。例如，當學生面對題目“小紅從杭州乘高鐵去北京旅游，用了4.5個小時，高鐵每小時行300千米，杭州到北京有多少千米？”時，他們首先會識別出小紅（不是小明，也不是小剛）乘高鐵這一具體事件。隨后，學生可能會遇到類似的問題：“小剛每天放學騎自行車回家，每分鐘行225米，10分鐘到家，學校離家有多遠？”或“司機叔叔開車送貨，每小時行70千米，4小時行多少千米？”通過對這些問題的分析，學生逐漸從關(guān)注具體人物和場景轉(zhuǎn)向關(guān)注更普遍的路程、速度和時間之間的關(guān)系。他們將這些情境問題中的共同本質(zhì)屬性提煉出來，形成如“路程=速度×時間”這樣的情境模型。在此基礎上，與幾個同類的不同情境模型進行對比，如購物問題中的“單價×數(shù)量=總價”或工程問題中的“工作效率×工作時間=工程量”等，最終提煉出更為抽象化的數(shù)量關(guān)系“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”，實現(xiàn)數(shù)學模型的構(gòu)建。通過這樣的抽象概括過程，學生不僅實現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)化遷移和提升，為日后解決同類問題提供了方法和策略，還為學習更為復雜的數(shù)學問題奠定了堅實基礎。更重要的是，這種抽象和概括的能力有利于學生打通不同數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)系，感到數(shù)量關(guān)系越學越簡單，從而減輕學生的學業(yè)負擔，提高其學習興趣。（五）全程貫穿、循序漸進，實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系學習進階小學階段的數(shù)量關(guān)系主要包括簡單數(shù)量關(guān)系、復合數(shù)量關(guān)系以及特殊數(shù)量關(guān)系。2022年版課標中的“數(shù)量關(guān)系”主題貫穿三個學段：第一學段主要是運用四則運算意義解決實際問題，第二學段主要學習和運用常見數(shù)量關(guān)系，第三學段主要學習用字母表示數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。2022年版課標在小學各學段“數(shù)量關(guān)系”主題的“學業(yè)要求”中都給出了明確的學習目標。教師需要根據(jù)各學段學生的認知特點，遵循循序漸進的原則，按學段目標實施“數(shù)量關(guān)系”主題教學。在第一學段，重視四則運算意義，有意識地讓學生體會數(shù)量關(guān)系。四則運算的意義是運用數(shù)量關(guān)系解決問題的基礎，是最基本的數(shù)量關(guān)系模型，對后續(xù)學習有深遠影響。第二學段重點關(guān)注復合數(shù)量關(guān)系和特殊數(shù)量關(guān)系的教學。復合數(shù)量關(guān)系問題涉及兩個或多個數(shù)量