經(jīng)歷情境數(shù)學(xué)化感悟建模一般化

【摘

要】“正方形拼擺問題”是探討“周長與面積”關(guān)系的基礎(chǔ)。以“正方形拼擺問題”為研究對象，設(shè)計(jì)相關(guān)測評工具，在此基礎(chǔ)上制訂相應(yīng)的評估量表，劃分學(xué)生數(shù)學(xué)建模力的水平層次，并通過實(shí)證分析，提出了“經(jīng)歷情境數(shù)學(xué)化”“感悟建模一般化”的相關(guān)教學(xué)改進(jìn)對策?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模力；正方形拼擺問題；周長與面積作為探討“周長與面積”關(guān)系的基礎(chǔ)，“正方形拼擺問題”被安排在人教版教材三年級上冊“長方形和正方形”單元中。教材以純數(shù)學(xué)問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用16個小正方形進(jìn)行拼組，結(jié)合計(jì)算、對比和說理等活動，得出“4×4”拼出的圖形周長最短，并初步歸納出“所拼圖形最接近正方形（長與寬最接近）時周長最短”的模型。這一學(xué)習(xí)過程為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)周長與面積的意義聯(lián)結(jié)、關(guān)系聯(lián)結(jié)奠定了基礎(chǔ)。在學(xué)生掌握面積概念、學(xué)習(xí)圓之后，再引導(dǎo)學(xué)生探討“如何拼組周長最短”的模型，進(jìn)而轉(zhuǎn)向“面積與周長關(guān)系”的相關(guān)模型，如“等面積圖形，形狀越接近正方形，周長越短”“等周長圍成的正多邊形，邊數(shù)越多，面積越大”等，甚至可以拓展到“面積與體積關(guān)系”的模型?？梢?，“正方形拼擺問題”是后續(xù)模型學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對于模型的建立、理解和應(yīng)用具有重要意義，具體可以體現(xiàn)為數(shù)學(xué)建模力的表現(xiàn)。那么，三年級學(xué)生在解決此類問題時，表現(xiàn)出的建模力水平究竟如何呢？筆者以“正方形拼擺問題”為研究背景，進(jìn)行了相應(yīng)的測評分析與教學(xué)思考。一、測評工具設(shè)計(jì)本研究從“識別、簡化、求解、應(yīng)用”四個維度出發(fā)來設(shè)計(jì)“正方形拼擺問題”的測評工具，以實(shí)現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)建模力的準(zhǔn)確測評。（一）問題情境從下列繪畫作品中選出12幅，制作成一個“繪畫園地”，并在其四周貼上花邊。怎樣設(shè)計(jì)“繪畫園地”，才能使貼的花邊最短？（1）你獲取了哪些數(shù)學(xué)信息？需要解決什么數(shù)學(xué)問題？（2）你打算怎樣選擇作品？如何設(shè)計(jì)？（畫一畫、算一算、寫一寫）（3）如果12幅作品都換成圓形作品，你又會怎樣設(shè)計(jì)？（畫一畫、寫一寫）（4）木材加工廠接到一批訂單，要訂制一種由5張相片（尺寸：10厘米×15厘米）組合的木制相框，設(shè)計(jì)師給出了兩個設(shè)計(jì)方案（如圖1）。如果你是木材加工廠的老板，你會選擇哪個設(shè)計(jì)方案？（想一想、寫一寫）圖1（二）模型分析要解決“用12幅作品設(shè)計(jì)‘繪畫園地，并在其四周貼上花邊，如何設(shè)計(jì)才能使貼的花邊最短”這一實(shí)際問題，學(xué)生需識別與關(guān)聯(lián)“作品形狀”和“作品組合”兩個關(guān)鍵要素，將實(shí)際問題簡化為“如何拼組周長最短”的數(shù)學(xué)問題。在解決問題的過程中，學(xué)生會經(jīng)歷以下數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程。模型1：僅能將12幅正方形作品拼成1×12或2×6的非周長最短的組合，只意識到圖形組合后周長會縮短，但并不清楚“如何拼組周長最短”。模型2：能將12幅正方形作品拼成包含周長最短情況在內(nèi)的多種組合，并通過計(jì)算比較，得出3×4的組合周長最短。模型3：能將12幅正方形作品直接拼成3×4的組合，或包含3×4在內(nèi)的多種組合，并基于經(jīng)驗(yàn)直接得出3×4的組合周長最短，具有初步的“所拼圖形最接近正方形時周長最短”的模型意識。模型4：能將12幅長方形作品拼成周長最短（2×6）的組合，并根據(jù)“12個正方形組合為3×4時周長最短”的結(jié)論，從圖形替換的角度對“12個長方形如何拼組周長最短”進(jìn)行解釋說明，如用2個長方形縱向拼擺代替2個正方形橫向拼擺等。模型5：能將12幅長方形作品拼成周長最短（2×6）的組合，并能應(yīng)用“所拼圖形最接近正方形時周長最短”進(jìn)行解釋，具備初步的模型遷移應(yīng)用意識。模型6：能將模型遷移應(yīng)用到圓形拼組的情境中，如將12幅圓形作品鋪成周長最短（3×4）的組合，并能應(yīng)用“所拼圖形最接近正方形時周長最短”進(jìn)行解釋；同時，能將模型遷移應(yīng)用到復(fù)雜情境中，如將包含長方形和正方形的12幅作品混合在一起，拼出周長最短的組合，并發(fā)現(xiàn)只要拼組后長是8分米、寬是6分米，即為周長最短的情況。從模型1至模型6，代表在解決“正方形拼擺問題”的過程中，學(xué)生數(shù)學(xué)建模力層次從低到高逐漸上升。二、評估量表及分析（一）量表制訂及總體數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)基于以上分析，本研究制訂了相應(yīng)的評估量表，從杭州市富陽區(qū)的三所小學(xué)中各選取一個三年級班級的學(xué)生，對他們進(jìn)行建模力測評。本次測評共有119名學(xué)生參與，具體測評結(jié)果如表1所示。綜合分析可知，大部分學(xué)生具備一定的將實(shí)際問題識別和簡化為數(shù)學(xué)問題的能力，并能應(yīng)用所學(xué)知識進(jìn)行求解，但在更高階的“解釋應(yīng)用”層次中表現(xiàn)不佳。（二）水平層次分析為了使對建模力的評估更為精準(zhǔn)，本研究對各水平層次進(jìn)行了細(xì)化，并通過賦分對學(xué)生的建模力進(jìn)行量化，具體分析如下。1.識別能力整體水平較高，花邊問題簡化基礎(chǔ)好從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，119名參加測評的學(xué)生在“識別理解”層次中的整體表現(xiàn)較好，賦分均值達(dá)到了2.29分。其中，能準(zhǔn)確識別“作品形狀”和“作品組合”兩個關(guān)鍵要素，并基于此提出有關(guān)“周長最短”問題的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的83.19%。這說明在面對周長問題這一現(xiàn)實(shí)情境時，絕大部分學(xué)生具備一定的識別能力。2.同類問題簡化水平較高，相近問題表征聯(lián)結(jié)弱“表征聯(lián)結(jié)”層次的均值為1.46分，其中近54%的學(xué)生能基于“正方形”對問題進(jìn)行簡化，僅有30.25%的學(xué)生能基于不同形狀簡化問題情境。大部分學(xué)生難以提出不同形狀組合“如何拼組周長最短”的數(shù)學(xué)問題。數(shù)據(jù)分析表明，學(xué)生對同類問題的簡化水平較高，但對相近問題的表征聯(lián)結(jié)較弱，高水平簡化能力明顯不足，這也將限制學(xué)生水平層級的提升。3.求解能力峰值層級后移，最短周長模型類比難“解答反思”層次的整體水平明顯下降，均值降至1.12分。該數(shù)據(jù)再次凸顯上一個水平層次所反映出的問題：高水平能力不足。結(jié)合統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，更多的學(xué)生只能基于教材中的“正方形拼組”進(jìn)行求解，能將求解方法類比遷移到新形狀的僅占總?cè)藬?shù)的10.08%。這說明學(xué)生較難將周長最短模型進(jìn)行類比遷移，也很難為后續(xù)的高階遷移應(yīng)用提供動力。4.應(yīng)用能力高階遷移無力，模型本質(zhì)結(jié)構(gòu)認(rèn)識淺“解釋應(yīng)用”層次的整體水平較低，均值僅為0.70分。其中，學(xué)生占比最高（30.25%）的能力水平，也只能實(shí)現(xiàn)對其他單一圖形同類情境的簡單遷移。當(dāng)面臨更高水平的遷移應(yīng)用時，學(xué)生無法把握模型中“拼成形狀”與“周長長短”之間的基本關(guān)系，難以在其他同類情境中進(jìn)行正確的遷移應(yīng)用。這表明學(xué)生對模型結(jié)構(gòu)的本質(zhì)理解不夠深入，無法支持更高水平的遷移應(yīng)用。此外，在應(yīng)用模型解決現(xiàn)實(shí)問題“選擇相框設(shè)計(jì)方案”時，大部分學(xué)生無法將“周長最短”與“木材最省”“成本最低”建立關(guān)聯(lián)，說明學(xué)生的應(yīng)用意識還有待提高。三、教學(xué)啟示“正方形拼擺問題”建模力測評結(jié)果表明，學(xué)生對相關(guān)模型的識別能力、簡化能力較強(qiáng)，但較高水平的遷移應(yīng)用能力明顯較弱，這為后續(xù)將該模型遷移應(yīng)用到“圖形周長與面積關(guān)系”的模型埋下了隱患。那么，如何提高數(shù)學(xué)建模力呢？主要可以從以下兩方面入手。（一）強(qiáng)調(diào)理解，經(jīng)歷情境數(shù)學(xué)化在解決“正方形拼擺問題”的過程中，模型的構(gòu)建最初是通過發(fā)現(xiàn)“邊的重合”與“周長”的關(guān)系得到的。要讓學(xué)生的認(rèn)知從“一般拼組”進(jìn)階到“盡量拼組成正方形”，教學(xué)時就可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算對比、說理反思和歸納總結(jié)的過程（如圖2），從而關(guān)注模型的本質(zhì)。此外，人教版教材采用純數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)引入，而數(shù)學(xué)建模則更側(cè)重從現(xiàn)實(shí)世界中識別數(shù)學(xué)要素和問題，通過解答進(jìn)行說理，最終實(shí)現(xiàn)解釋應(yīng)用的過程。因此，在實(shí)際教學(xué)過程中，應(yīng)關(guān)注從“現(xiàn)實(shí)情境”到“數(shù)學(xué)情境”的數(shù)學(xué)化過程。測評分析中所使用的“如何設(shè)計(jì)花邊最短”情境便是適宜的載體。這一情境源于教材的課后練習(xí)，教學(xué)過程中可以將該情境簡化為“如何拼組周長最短”，進(jìn)而得出“所拼圖形越接近正方形，周長越短”。然后回歸現(xiàn)實(shí)情境，討論“為什么要研究花邊最短的問題”，引導(dǎo)學(xué)生意識到“花邊長短（即周長長短）”與“材料用量”“成本花銷”等之間的關(guān)聯(lián)。最后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行遷移應(yīng)用，如“你覺得正方形拼組問題還能用來解決哪些問題？找找身邊的例子”等。像這樣放大并引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)化過程，有助于學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中感悟“周長”與“面積”的區(qū)別，同時讓學(xué)生完整地經(jīng)歷“為什么學(xué)”和“學(xué)以致用”的過程，為提升學(xué)生建模力奠定基礎(chǔ)。（二）多維呈現(xiàn)，感悟建模一般化測評結(jié)果顯示，學(xué)生在面對與教材教學(xué)背景相似的題目時，大多能較好地完成初步模型的構(gòu)建，但在處理其他同類情境的遷移應(yīng)用時，則有較大困難。這可能是教學(xué)過程中所采用的素材呈現(xiàn)方式過于單一造成的。選用的組合圖形無論是形狀還是數(shù)量，基本都是固定的，這導(dǎo)致學(xué)生僅停留在“機(jī)械套用結(jié)論”的層面，無法實(shí)現(xiàn)“遷移應(yīng)用模型”的目標(biāo)。因此，在教學(xué)時要注重多維表征的呈現(xiàn)。例如，在學(xué)生通過正方形拼組得到初步結(jié)論后，教師需進(jìn)一步提問：“如果將正方形變成長方形，這個結(jié)論還成立嗎？”引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，然后運(yùn)用多種方式進(jìn)行驗(yàn)證、嘗試說理，最終完善建模過程（可參考模型4至模型6的進(jìn)階過程）。這是一個“先立再破而后立”的循環(huán)過程。唯有如此，解決問題的一般化模型才算真正構(gòu)建起來，而在此之前所得到的僅屬于階段性數(shù)學(xué)結(jié)論。此外，練習(xí)中也應(yīng)呈現(xiàn)多維度的其