高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3-1-1兩角差的余弦公式課件新人教A版必修4

第三章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.1兩角差的余弦公式必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式公式:cos(α-β)=_______________________

(1)簡(jiǎn)記符號(hào):C(α-β)(2)適用條件:公式中的角α,β都是任意角.導(dǎo)思(1)兩角差的余弦公式是什么?(2)公式中的α,β是任意的嗎?cosαcosβ+sinαsinβ.【思考】1.公式的結(jié)構(gòu)特征是怎樣的?提示:左端為兩角差的余弦,右端為角α,β的同名三角函數(shù)積的和,即差角余弦等于同名積之和.2.公式中的角α,β可以為幾個(gè)角的組合嗎?提示:可以.公式中α,β都是任意角,可以是一個(gè)角,也可以是幾個(gè)角的組合.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)cos(70°-40°)=cos70°+cos40°. (

)(2)對(duì)任意α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立. (

)(3)對(duì)任意α,β∈R,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立. (

)(4)cos30°cos60°+sin30°sin60°=1. (

)提示:(1)×.cos(70°-40°)=cos30°≠cos70°+cos40°.(2)×.當(dāng)α=-45°,β=45°時(shí),cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cosα-cosβ=cos(-45°)-cos45°=0,此時(shí)cos(α-β)=cosα-cosβ.(3)√.結(jié)論為兩角差的余弦公式.(4)×.cos30°cos60°+sin30°sin60°=cos(60°-30°)=cos30°=.2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)cos45°cos15°+sin45°sin15°等于 (

)

【解析】選B.原式=cos(45°-15°)=cos30°=.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一兩角差的余弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.sin+cos的值為 (

)

A. B.1 C. D.2.(1)coscos+cossin.(2)cos105°+sin105°.【解析】1.選C.原式=2=2=【解析】1.選C.原式=2=2=(2)=cos60°cos105°+sin60°sin105°=cos(60°-105°)=cos(-45°)=.【解題策略】利用兩角差的余弦公式解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差,正用公式直接求值.(2)充分利用誘導(dǎo)公式,構(gòu)造兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式,然后逆用公式求值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】求下列各式的值:(1)cos.(2)sin460°sin(-160°)+cos560°cos(-280°).【解析】(1)(2)原式=-sin100°sin160°+cos200°cos280°=-sin100°sin20°-cos20°cos80°=-(cos80°cos20°+sin80°sin20°)=-cos60°=-.類型二給值求值問(wèn)題(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度1同角關(guān)系式求值

【典例】(2020·成都高一檢測(cè))已知cosα=,α是第四象限角,sinβ=,β是第二象限角,求cos(α-β)的值.【思路導(dǎo)引】先利用角的象限及同角三角函數(shù)關(guān)系求另一三角函數(shù),再利用兩角差的余弦公式求值.類型二給值求值問(wèn)題(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度1同角關(guān)系式求值

【典例】(2020·成都高一檢測(cè))已知cosα=,α是第四象限角,sinβ=,β是第二象限角,求cos(α-β)的值.【思路導(dǎo)引】先利用角的象限及同角三角函數(shù)關(guān)系求另一三角函數(shù),再利用兩角差的余弦公式求值.【解析】因?yàn)閏osα=,α是第四象限角,所以sinα=-=-因?yàn)閟inβ=,β是第二象限角,所以cosβ=則cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

【變式探究】已知sinα=,α∈,則cos的值為________.

【解析】因?yàn)閟inα=,α∈,所以cosα=所以cos=coscosα+sinsinα=×+×=.答案:角度2變角代換求值

【典例】設(shè)α,β都是銳角,且cosα=,sin(α+β)=,則cosβ= (

)

【思路導(dǎo)引】考慮如何用已知角α,α+β的差來(lái)表示所求角β,進(jìn)而利用兩角差的余弦公式解決.【解析】選A.依題意得sinα=cos(α+β)=又α,β均為銳角,所以0<α<α+β<π,cosα>cos(α+β).因?yàn)樗詂os(α+β)=-.于是cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα

【解題策略】(1)解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示.給值求值的解題策略有:①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí),“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式;②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí),此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.(2)常見的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,【題組訓(xùn)練】1.已知α為銳角,β為第三象限角,且cosα=,sinβ=-,則cos(α-β)的值為 (

)

【解析】選A.因?yàn)棣翞殇J角,且cosα=,所以sinα=因?yàn)棣聻榈谌笙藿?且sinβ=-,所以cosβ=-所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×2.已知cos則cosα+sinα的值為________.

【解析】因?yàn)閏os=coscosα+sinsinα=cosα+sinα=,所以cosα+sinα=.答案:

類型三給值求角問(wèn)題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)【題組訓(xùn)練】1.已知α,β均為銳角,且sinα=,sinβ=,則α-β=________.

2.(2020·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))已知cosα=,cos(α+β)=-,α,β∈,則β=________.

3.已知cos(α-β)=-,sin(α+β)=-,<α-β<π,<α+β<2π,求β的值.【解析】1.因?yàn)棣?β均為銳角,所以cosα=,cosβ=.所以cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ=×+又因?yàn)閟inα>sinβ,所以0<β<α<,所以0<α-β<.故α-β=.答案:

2.因?yàn)棣?β∈,所以α+β∈(0,π).因?yàn)閏osα=,cos(α+β)=-,所以sinα=,sin(α+β)=,所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=-×+×=.因?yàn)?<β<,所以β=.答案:3.因?yàn)?lt;α-β<π,cos(α-β)=-,所以sin(α-β)=.因?yàn)棣?lt;α+β<2π,sin(α+β)=-,所以cos(α+β)=.所以cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+×=-1.因?yàn)?lt;α-β<π,π<α+β<2π,所以<2β<,所以2β=π,所以β=.【解題策略】解決給值求角問(wèn)題的一般步驟(1)求角的某一個(gè)三角函數(shù)值;(2)確定角的范圍;(3)根據(jù)角的范圍寫出要求的角.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),α,β∈(0,π)且a⊥b,求α-β的值.【解析】因?yàn)閍⊥b,所以a·b=0,即cosαcosβ+sinαsinβ=0.從而cos(α-β)=0.因?yàn)棣?β∈(0,π),所以-π<α-β<π,所以α-β=或-.1.cos20°= (

)A.cos30°cos10°-sin30°sin10°B.cos30°cos10°+sin30°sin10°C.sin30°cos10°-sin10°cos30°D.cos30°cos10°-sin30°cos10°【解析】選B.cos20°=cos(30°-10°)=cos30°cos10°+sin30°sin10°.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.(2020·濟(jì)南高一檢測(cè))化簡(jiǎn)= (

)

【解析】選C.原式

3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知cos=cosα,則tanα=________.

【解析】cos=cosαcos+sinαsin=cosα+sinα=cosα,所以sinα=cosα,所以=,即tanα=.答案:4.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,求證:cos(α-β)=-.【證明】由sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0得(sinα+sinβ)2=(-sinγ)2,①(cosα+cosβ)2=(-cosγ)2.②①+②得,2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即2+2cos(α-β)=1,所以cos(α-β)=-.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知cos=cosα,則tanα=________.

【解析】cos=cosαcos+sinαsin=cosα+sinα=cosα,所以sinα=cosα,所以=,即tanα=.答案:1.cos20°= (

)A.cos30°cos10°-sin30°sin10°B.cos30°cos10°+sin30°sin10°C.sin30°cos10°-sin10°cos30°D.cos30°c