2025屆新高考數(shù)學培優(yōu)專練專題05圓錐曲線中的定點問題教師版

專題05圓錐曲線中的定點問題一、多選題1．設A，B是拋物線上的兩點，是坐標原點，下列結論成立的是（）A．若，則B．若，直線AB過定點C．若，到直線AB的距離不大于1D．若直線AB過拋物線的焦點F，且，則【答案】ACD【分析】設直線方程為，將直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理，結合直線垂直的條件，逐一分析推斷得解.【詳解】B.設直線方程為，，，，，將直線方程代入拋物線方程，得，則，，，，．于是直線方程為，該直線過定點．故不正確；C.到直線的距離，即正確；A.．正確；D.由題得,所以，不妨取.所以，所以直線AB的方程為，所以.由題得=.所以.所以D正確.故選：ACD．【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的綜合問題，考查學生分析解決問題的實力，考查學生的計算實力．解題的關鍵是敏捷利用韋達定理和拋物線的定義.2．設是拋物線上兩點，是坐標原點，若，下列結論正確的為（）A．為定值 B．直線過拋物線的焦點C．最小值為16 D．到直線的距離最大值為4【答案】ACD【分析】由拋物線方程及斜率公式即可推斷A；設直線方程，結合韋達定理即可推斷B；利用韋達定理求得的最小值，即可推斷C；由直線過定點可推斷D.【詳解】對于A，因為，所以，所以，故A正確；對于B，設直線，代入可得，所以，即，所以直線過點，而拋物線的焦點為，故B錯誤；對于C，因為，當時，等號成立，又直線過點，所以，故C正確；對于D，因為直線過點，所以到直線的距離最大值為4，故D正確.故選：ACD.【點睛】解決本題的關鍵是利用拋物線的方程合理化簡及韋達定理的應用，細心計算即可得解.二、單選題3．已知直線與橢圓總有公共點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．且【答案】D【分析】由直線恒過點，將問題轉(zhuǎn)化為點在橢圓上或橢圓內(nèi)，可得選項.【詳解】因為直線恒過點，為使直線與橢圓恒有公共點，只需點在橢圓上或橢圓內(nèi)，所以，即.又，所以且.故選：D.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，關鍵在于直線恒過的點在橢圓上或橢圓的內(nèi)部，屬于中檔題.三、解答題4．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，點M(2，m)(m＞0)在拋物線上，且|MF|＝2.（1）求拋物線C的方程；（2）若點P(x0，y0)為拋物線上隨意一點，過該點的切線為l0，證明：過點F作切線l0的垂線，垂足必在x軸上.【答案】（1）x2＝4y；（2）證明見解析.【分析】（1）依據(jù)拋物線的定義可得m＋＝2，再由2pm＝4，即可求解.（2）探討x0＝0或x0≠0，利用導數(shù)求出點P處的切線的方程l0，再求出過點F且與切線l0垂直的方程，兩方程聯(lián)立求出交點即可求解.【詳解】（1）由拋物線的定義可知，|MF|＝m＋＝2，①又M(2，m)在拋物線上，所以2pm＝4，②由①②解得p＝2，m＝1，所以拋物線C的方程為x2＝4y.（2）證明：①當x0＝0，即點P為原點時，明顯符合；②x0≠0，即點P不在原點時，由（1）得，x2＝4y，則y′＝x，所以拋物線在點P處的切線的斜率為x0，所以拋物線在點P處的切線l0的方程為y－y0＝x0(x－x0)，又＝4y0，所以y－y0＝x0(x－x0)可化為y＝x0x－y0.又過點F且與切線l0垂直的方程為y－1＝－x.聯(lián)立方程得消去x，得y＝－(y－1)－y0.(*)因為＝4y0，所以(*)可化為y＝－yy0，即(y0＋1)y＝0，由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x軸上.綜上，過點F作切線l0的垂線，垂足必在x軸上.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是求出切線方程以及切線的垂線方程，綜合性比較強，考查了計算求解實力.5．已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點為F，A(2，y0)是E上一點，且|AF|＝2.（1）求E的方程；（2）設點B是E上異于點A的一點，直線AB與直線y＝x－3交于點P，過點P作x軸的垂線交E于點M，證明：直線BM過定點.【答案】（1）x2＝4y；（2）證明見解析.【分析】（1）利用拋物線的定義與性質(zhì)求得的值，即可寫出拋物線方程；（2）設點、，由直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，消去，利用韋達定理和、、三點共線，化簡整理可得的方程，從而求出直線所過的定點．【詳解】（1）由題意得，解得，所以，拋物線的標準方程為.（2）證明：設點、，設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，，由軸以及點在直線上，得，則由、、三點共線，得，整理得，將韋達定理代入上式并整理得，由點的隨意性，得，得，所以，直線的方程為，即直線過定點.【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線和拋物線的位置關系，以及直線過定點的應用問題，利用韋達定理處理由、、三點共線是解其次問的關鍵，是中檔題．6．已知點A（-1，0），B（1，-1）和拋物線.，O為坐標原點，過點A的動直線交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖:（1）若△POM的面積為，求向量與的夾角；（2）證明:直線PQ恒過一個定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）利用得到兩點的縱坐標之積，依據(jù)平面對量的數(shù)量積公式可得向量與的數(shù)量積，依據(jù)三角形的面積公式可求得向量與的夾角；（2）利用和得到的縱坐標的關系式，利用點斜式求出直線的方程，結合的縱坐標的關系式可得直線過定點.【詳解】（1）設點，因為三點共線，所以，所以，即，所以，所以設∠POM=α，則所以，所以，所以又，所以.故向量與向量的夾角為.(2)設點，因為三點共線，，即，即，則，即，又，所以，因為，所以直線的方程是，即，即，由知，代入上式，得由此可知直線PQ過定點E（1，－4）.【點睛】關鍵點點睛：其次問利用和得到的縱坐標的關系式，并利用此關系式得到直線的方程是解題關鍵.7．設為坐標原點，橢圓的焦距為，離心率為，直線與交于兩點.（1）求橢圓的方程；（2）設點，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標.【答案】（1）；（2）證明見解析，（0，2）.【分析】（1）利用焦距和離心率解參數(shù)，即得方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理得到兩根和與差的關系，再利用向量數(shù)量積計算求得參數(shù)m，即證得結論，得到定點.【詳解】（1）由題意知，，∴橢圓C的方程為：；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，所以，，所以，＝，因為，所以，，所以，整理得：3m2﹣m﹣10＝0，解得：m＝2或（舍去），故直線為：.所以直線l過定點（0，2）.【點睛】圓錐曲線中求直線過定點的問題，通常須要聯(lián)立方程，得到二次方程后利用韋達定理、結合題中條件（比如斜率關系，向量關系，距離關系，面積等）干脆計算，即可求出結果，這類題運算量較大.8．已知拋物線經(jīng)過點（1）求拋物線的方程及其相應準線方程；（2）過點作斜率為的兩條直線分別交拋物線于和四點，其中.設線段和的中點分別為過點作垂足為證明：存在定點使得線段長度為定值.【答案】（1）；準線；（2）存在，【分析】（1）將點代入拋物線即可求解，再由拋物線的標準方程可得準線.（2）設出直線：，直線：，將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理以及中點坐標公式求出、，從而求出直線，，將兩直線聯(lián)立求出交點，得到點的軌跡是個圓，從而可得定點為圓心.【詳解】（1）將點代入拋物線，可得，解得，所以拋物線方程：，準線.（2）由題意可得直線：，直線：，聯(lián)立，整理可得，設，，則，，所以，同理，，設，：，：，聯(lián)立，解得，，整理可得，即，所以點的軌跡是個圓，故的坐標為，線段長度為定值.【點睛】關鍵點點睛：此題考查了直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是求出直線，的交點，得到點的軌跡方程，考查了運算求解實力.9．設、分別是橢圓C：的左、右焦點，，直線過且垂直于x軸，交橢圓C于A、B兩點，連接A、B、，所組成的三角形為等邊三角形.（1）求橢圓C的方程；（2）過右焦點的直線m與橢圓C相交于M、N兩點，試問：橢圓C上是否存在點P，使成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）橢圓；（2）存在，.【分析】（1）依據(jù)得到，計算，，得到，得到橢圓方程.（2）設點和直線，聯(lián)立方程利用韋達定理得到，，轉(zhuǎn)為為點在橢圓上，帶入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】（1）由可得，等邊三角形中：，，則，得，又因為，所以，則橢圓；（2）設、，則由題意知的斜率為肯定不為，故不妨設，代入橢圓的方程中：，整理得，滿意.由韋達定理有：，①且②假設存在點，使成立，則其充要條件為：點在橢圓上，即.整理得，又在橢圓上，即，，故由①②代入：，解得，驗證則.【點睛】橢圓內(nèi)的存在性問題，設而不求，利用韋達定理，將題目轉(zhuǎn)化為點在橢圓上是解題的關鍵，計算量較大，須要平常多訓練.10．設橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設左、右頂點分別為、，點在橢圓上（異于點、），求的值；（3）過點作一條直線與橢圓交于兩點，過作直線的垂線，垂足為.試問：直線與是否交于定點？若是，求出該定點的坐標，否則說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）是，.【分析】（1）由題意，列出所滿意的等量關系式，結合橢圓中的關系，求得，從而求得橢圓的方程；（2）寫出，設，利用斜率坐標公式求得兩直線斜率，結合點在橢圓上，得出，從而求得結果；（3）設直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，結合韋達定理，得到，結合直線的方程，得到直線所過的定點坐標.【詳解】（1）由題意可知，，又，所以，所以橢圓的標準方程為：.（2）,設，因為點在橢圓上，所以，，又，.（3）設直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，所以，所以，又直線的方程為：，令，則，所以直線恒過，同理，直線恒過，即直線與交于定點.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關橢圓的問題，解題思路如下：（1）依據(jù)題中所給的條件，結合橢圓中的關系，建立方程組求得橢圓方程；（2）依據(jù)斜率坐標公式，結合點在橢圓上，整理求得斜率之積，可以當結論來用；（3）將直線與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理，結合直線方程，求得其過的定點.11．在平面直角坐標系中，動點到點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)（1）求動點的軌跡方程；（2）若過點作與坐標軸不垂直的直線交動點的軌跡于兩點，設點關于軸的對稱點為，當直線圍著點轉(zhuǎn)動時，摸索究：是否存在定點，使得三點共線？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在定點，使得三點共線．【分析】（1）設，由化簡可得結果；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，依據(jù)韋達定理得，橢圓的對稱性知，若存在定點，則點必在軸上，設，依據(jù)列式，結合可求出.【詳解】（1）設，則，化簡得故動點的軌跡方程為．（2）由題知且直線斜率存在，設為，則直線方程為由得設，則，由橢圓的對稱性知，若存在定點，則點必在軸上故假設存在定點，使得三點共線，則且又，即化簡得將式代入上式得化簡得故存在定點，使得三點共線．【點睛】關鍵點點睛：由橢圓的對稱性知，若存在定點，則點必在軸上是解題關鍵.12．在平面直角坐標系xOy中，有三條曲線：①；②；③.請從中選擇合適的一條作為曲線C，使得曲線C滿意：點F(1，0)為曲線C的焦點，直線y=x-1被曲線C截得的弦長為8.（1）懇求出曲線C的方程；（2）設A，B為曲線C上兩個異于原點的不同動點，且OA與OB的斜率之和為1，過點F作直線AB的垂線，垂足為H，問是否存在定點M，使得線段MH的長度為定值?若存在，懇求出點M的坐標和線段MH的長度；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；【分析】（1）利用焦點以及弦長解除①②，從而可得，進而求出拋物線.（2）、的斜率存在且不為，不行能是斜率為的直線，設方程：，與拋物線聯(lián)立，設，，利用韋達定理求出，再將、方程聯(lián)立，求出交點，過點，視察兩個定點，，由，依據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可證出.【詳解】（1）對于②，，故解除②；假設①為曲線C，則有，解得，將直線代入，整理可得，解得，此時弦長為，故解除①；所以曲線C為③，則，解得，所以曲線C的方程為.（2）易知、的斜率存在且不為，不行能是斜率為的直線，設方程：，代入，可得，，設，，則，，且，解得，聯(lián)立、方程，即，解得，，已知過點，不妨揣測可能為，則，此時不滿意為定值，視察兩個定點，，由于，故在以為直徑的圓上，的中心為圓心，圓心到的距離恒為.中點為，，所以定點M，線段MH的長度為定值，且.【點睛】關鍵點點睛：依據(jù)焦點以及弦長確定曲線C，解題的關鍵是求出直線過點，圍繞以及焦點，進行求解，考查了考生的計算求解實力.13．.已知圓，點P是直線上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．（1）當切線PA的長度為時，求點P的坐標；（2）若的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出全部的定點的坐標；若不存在，請說明理由；【答案】（1）或；（2）過定點；定點，.【分析】（1）設，解方程，即得解；（2）求出圓N方程：，解方程即得解.【詳解】（1）由題可知，圓M的半徑，設，因為PA是圓M的一條切線，所以，所以，解得或，所以點P的坐標為或.（2）設，因為，所以經(jīng)過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，其方程為，即，由，解得或，所以圓過定點，.【點睛】方法點睛：定點問題：對滿意肯定條件曲線上兩點連結所得直線過定點或滿意肯定條件的曲線過定點問題，證明直線過定點，一般有兩種方法.（1）特別探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特別狀況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分別參數(shù)法：一般可以依據(jù)須要選定參數(shù)，結合已知條件求出直線或曲線的方程，分別參數(shù)得到等式，（一般地，為關于的二元一次關系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.14．已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線交橢圓于?兩點，線段的中點為，直線是線段的垂直平分線，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.【答案】（1）；（2）證明見解析，直線過定點.【分析】（1）由拋物線的焦點為，求得c，再依據(jù)橢圓的離心率求解.（2）設，，利用點差法結合線段的中點為，求得線段的垂直平分線的方程即可.【詳解】（1）拋物線的焦點為，則.橢圓的離心率，則.故橢圓的標準方程為.（2）明顯點在橢圓內(nèi)部，故，且直線的斜率不為.當直線的斜率存在且不為時，設，，則有，，兩式相減得.由線段的中點為，則，故直線的斜率.因為直線是線段的垂直平分線，故直線，即.令，此時，于是直線過定點.當直線的斜率不存在時，易知，此時直線，故直線過定點.綜上所述，直線過定點.【點睛】方法點睛：定點問題的常見解法：①假設定點坐標，依據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；②從特別位置入手，找出定點，再證明該點適合題意．15．已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點，（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作直線與橢圓相較于，兩點，試問在軸上是否存在定點，使得兩條不同直線，恰好關于軸對稱，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得兩條不同直線，恰好關于軸對稱.【分析】（1）將點坐標代入方程，結合離心率公式及，即可求出，進而可求得橢圓的標準方程；（2）設直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，可得，的表達式，依據(jù)題意可得，直線，的斜率互為相反數(shù)，列出斜率表達式，計算化簡，即可求出Q點坐標.【詳解】（1）有題意可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）存在定點，滿意直線，恰好關于x軸對稱，設直線l的方程為，由，聯(lián)立得，，設，定點，由題意得，所以，因為直線，恰好關于x軸對稱，所以直線，的斜率互為相反數(shù)，所以，即，所以，即，所以，即，所以當時，直線，恰好關于x軸對稱，即.綜上，在軸上存在定點，使直線，恰好關于x軸對稱.【點睛】本題考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關系問題，解題的關鍵是將條件：直線，恰好關于x軸對稱，轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，再依據(jù)韋達定理及斜率公式，進行求解，考查分析理解，計算求值的實力，屬中檔題.16．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P在直線上且不在x軸上，直線與橢圓E的交點分別為A、B，直線與橢圓E的交點分別為C、D．（1）設直線、的斜率分別為、，求的值（2）問直線m上是否點P，使得直線OA，OB，OC，OD的斜率，，，滿意若存在，求出全部滿意條件的點P的坐標若不存在，請說明理由.【答案】（1）2；（2）存在；點P的坐標是或或.【分析】（1）由橢圓的標準方程可得焦點坐標，設點，由斜率公式化簡即可得解；（2）依據(jù)、的斜率是否都存在探討，當斜率均存在時，設直線方程，聯(lián)立方程結合韋達定理可得或，再代入斜率公式即可得解.【詳解】（1）由條件知，設點，則，所以（2）設存在點符合條件，當直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時，則，不合題意；當直線、的斜率均存在時，設直線、的斜率分別為、，則直線：，直線：，設，聯(lián)立，消去y得，，所以，所以，同理可得，由得，所以或，又，所以或解得舍去，，，，所以點P的坐標是或或.【點睛】解決本題的關鍵是設出所需點的坐標，結合韋達定理求得直線斜率的關系，利用斜率公式可得點P的橫坐標，整個過程中要留意運算的精確性.17．已知直線l：x=my+1過橢圓C：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦點F，且交橢圓C于A?B兩點，點A?B在直線G：x=a2上的射影依次為點D?E.（1）若，其中O為原點，A2為右頂點，e為離心率，求橢圓C的方程；（2）連接AF，BD，摸索究當m改變時，直線AE，BD是否相交于肯定點N？若交于定點N，懇求出N點的坐標，并賜予證明；否則說明理由.【答案】（1）（2）相較于定點，，證明見解析.【分析】（1）設橢圓的半焦距為，由題意可得，由已知等式可得，進而得到，，即可得到橢圓方程；（2）當時，求得，的交點，猜想定點，．當時，分別設，的坐標為，，，，由題意可得，，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，運用韋達定理，結合三點共線的性質(zhì)，計算直線，的斜率，可推斷，，共線，同理可推斷，，共線，即可得到定點．【詳解】（1）橢圓的方程為，設橢圓的半焦距為，由題意可得，由，可得，即有，即，解得，則，，所以橢圓的方程為；（2）當時，直線垂直于軸，可得四邊形為矩形，直線，相交于點，，猜想定點，；當時，分別設，的坐標為，，，，由題意可得，，由可得，，，由，，由，又，則，即，所以，，三點共線；同理可得，，三點共線．則直線，相交于肯定點，．【點睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線和橢圓的位置關系，留意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，考查方程思想和運算實力，屬于中檔題．18．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線在第一象限相切于點，點到坐標原點的距離為.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點任作直線與拋物線相交于，兩點，請推斷軸上是否存點，使得點到直線，的距離都相等.若存在，懇求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在；點的坐標為.【分析】（1）設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式等于0，解得，點坐標為，依據(jù)點到坐標原點的距離為可得結果；（2）設直線，假設存在這樣的點，設，，點，聯(lián)立方程消去整理成關于的一元二次方程，依據(jù)韋達定理得到和，將點到直線，的距離都相等轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，依據(jù)可得結果.【詳解】（1）設直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，，由，因為，解得（舍），所以由可得，所以，所以點坐標為，則，解得，故拋物線的標準方程為.（2）設直線，假設存在這樣的點，設，，點，聯(lián)立方程消去整理得，可得，，若點到直線，的距離相等，則直線，的斜率互為相反數(shù)，有（先假設，），可得，整理得，，得對隨意的都成立，得.明顯且.故存在這樣的點的坐標為.【點睛】關鍵點點睛：解題關鍵是將點到直線，的距離都相等轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，然后依據(jù)可得結果.本題考查了學生的運算求解實力，邏輯推理實力．轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題．19．已知橢圓E：的離心率為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為4（1）求橢圓E的標準方程；（2）已知Q(4，0)，斜率為的直線(不過點Q)與橢圓E交于A，B兩點，O為坐標原點，若，則直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由【答案】（1）；（2）過定點，定點坐標.【分析】（1）依據(jù)橢圓定義可求得a的值，依據(jù)離心率為，可求得c的值，依據(jù)可求得b的值，即可求得橢圓E的標準方程；（2）設，直線l：，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，可求得，的表達式，依據(jù)，可得直線AQ、BQ傾斜角互補，斜率相反，化簡整理，即可求得直線過的定點.【詳解】（1）由橢圓定義可知，，，所以c=1，又，所以橢圓E的標準方程為.（2）直線l過定點，證明如下：設，直線l：，聯(lián)立方程，得，，得，，因為，所以，所以，即，所以，即，代入，得，化簡整理得，滿意，則直線l方程為：，所以直線過定點.【點睛】本題考查橢圓的方程求法及幾何性質(zhì)，解題的突破點在于依據(jù)，分析可得直線AQ、BQ傾斜角互補，斜率相反，依據(jù)斜率公式，列式計算即可，考查計算求值，分析理解的實力，屬中檔題.20．設兩點的坐標分別為直線相交于點，且它們的斜率之積為，直線方程：，直線與直線分別相交于兩點，交軌跡與點（1）求點的軌跡方程.（2）求證：三點共線（3）求證：以為直徑的圓過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）設，化簡即得點的軌跡方程；（2）設方程為，證明即得證；（3）先求出圓方程為，即得解.【詳解】（1）設，由題意，由已知有化簡得（2）設方程為，令得點，由消元得：明顯恒成立由，且，得：代入直線方程得，又因為，所以：，所以直線為：，令得點，，聯(lián)立方程，消去得：所以，，因為有公共點，所以三點共線.（3）設以為直徑的圓上點，則，所以圓方程為即當時與無關，所以以為直徑的圓過定點.【點睛】方法點睛：對滿意肯定條件曲線上兩點連結所得直線過定點或滿意肯定條件的曲線過定點問題，證明直線過定點，一般有兩種方法.（1）特別探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特別狀況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分別參數(shù)法：一般可以依據(jù)須要選定參數(shù)，結合已知條件求出直線或曲線的方程，分別參數(shù)得到等式，（一般地，為關于的二元一次關系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.21．已知橢圓，以拋物線的焦點為橢圓E的一個頂點，且離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線與橢圓E相交于A、B兩點，與直線相交于Q點，P是橢圓E上一點，且滿意（其中O為坐標原點），試問在x軸上是否存在一點T，使得為定值？若存在，求出點T的坐標及的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）利用橢圓以拋物線的焦點為頂點，且離心率為，求出，即可求橢圓E的方程；（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理確定P的坐標，代入橢圓方程，再利用向量的數(shù)量積公式，即可得到結論．【詳解】（1）拋物線的焦點即為橢圓E的頂點，即，∵離心率為，，∴橢圓E的方程為；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則直線方程代入橢圓方程，可得，代入橢圓方程可得設T（t，0），Q（﹣4，m﹣4k），，∴∴要使為定值，只需∴在x軸上存在一點T（，0），使得．【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量學問的運用，考查學生分析解決問題的實力，屬于中檔題．22．已知點是拋物線的準線上隨意一點，過點作拋物線的兩條切線、，其中、為切點.（1）證明：直線過定點，并求出定點的坐標；（2）若直線交橢圓于、兩點，、分別是、的面積，求的最小值.【答案】（1）定點坐標為，證明見解析；（2）.【分析】（1）設點、、，寫出直線、的方程，再將點的坐標代入兩直線方程，可得出，可得知點、的坐標滿意直線的方程，可得出直線的方程，由此可求得直線所過定點的坐標；（2）求得，由題意可知直線不與軸重合，可設直線的方程為，將該直線方程分別與拋物線、橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，結合弦長公式可得出關于的表達式，進而可求得的最小值.【詳解】（1）先證明出拋物線在其上一點處的切線方程為，由于點在拋物線上，則，聯(lián)立，消去得，，即，所以，關于的方程有兩個相等的實根，此時，因此，直線與拋物線相切，且切點為.設點、，則以為切點的切線方程為，同理以為切點的切線方程為，兩條切線均過點，，即，所以，點、的坐標滿意直線的方程，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，所以，直線過定點；（2）設點到直線的距離為，則.由題意可知，直線不與軸重合，可設直線的方程為，設、，由，得，恒成立，由韋達定理得，，由弦長公式可得，由，得，恒成立.由韋達定理得，，由弦長公式得.，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.【點睛】本題考查直線過定點的證明，同時也考查了三角形面積比值最值的求解，考查了切點弦方程的應用以及韋達定理設而不求法的應用，考查計算實力，屬于難題.23．已知橢圓的離心率為，其短軸長為．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線，過橢圓右焦點的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點，過點作，垂足為．①求證：直線過定點，并求出定點的坐標；②點為坐標原點，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）①證明見解析；定點為；②．【分析】（1）依據(jù)離心率和短軸長求出后，可得橢圓的標準方程；（2）①設直線，代入，得，依據(jù)韋達定理得和，依據(jù)點斜式求出直線的方程，令，得，利用和化簡可得，故可證直線過定點；②依據(jù)，再換元可求得最大值.【詳解】（1）由題意可得，解得，故橢圓的方程為．（2）由對稱性，若直線過定點，則該定點必在軸上，①由題得，設直線，設，，，聯(lián)立方程，得，（*）所以有，，且，因為，所以直線的方程為，令，得，（**）將代入（**），則，故直線過定點，即定點為．②在（*）中，，所以，又直線過定點，∴，令，則在上單調(diào)遞減，故當，時，．【點睛】本題考查了求橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓的位置關系，考查了直線過定點問題，考查了面積問題，考查了運算求解實力，屬于中檔題.24．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，且（1）求橢圓的方程（2）過點作相互垂直的兩條直線分別交橢圓于另一點A，B，求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標．【答案】（1）；（2）證明見解析，.【分析】（1）由已知得，從而可求出的值