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文檔簡介
<6.1平面向量的概念》知識(shí)梳理
一、向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2.數(shù)量:只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.
二、向量的幾何表示
1.有向線段
具有方向的線段叫做有向線段,它包含三個(gè)要素:起點(diǎn)、方囪、長度,如圖
所示.
終點(diǎn))
4(起點(diǎn))
以/為起點(diǎn)、6為終點(diǎn)的有向線段記作而,線段的長度叫做有向線段通
的長度記作【標(biāo)I.
2.向量的表示
(1)幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的大小,
有向線段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示(印刷用黑體a,b,c,書
寫時(shí)用a,Ac).
3.模、零向量、單位向量
向量麗的大小,稱為向量而的長度(或稱模),記作I而I.長度為8的向
量叫做零向量,記作。;長度等于L個(gè)單位長度的向量,叫做單位向量.
思考“向量就是有向線段,有向線段就是向量”的說法對嗎?
答案錯(cuò)誤.理由是:①向量只有長度和方向兩個(gè)要素;與起點(diǎn)無關(guān),只要
長度和方向相同,則這兩個(gè)向量就是相同的向量;②有向線段有起點(diǎn)、長度和方
向三個(gè)要素,起點(diǎn)不同,盡管長度和方向相同,也是不同的有向線段.
三、相等向量與共線向量
1.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
(1)記法:向量a與平行,記作a〃五
(2)規(guī)定:零向量與任意向量平行.
2.相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
3.共線向量:由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上,所以平行向量
也叫做共線向量.要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行
和共線相混淆.
思考(1)平行向量是否一定方向相同?(2)不相等的向量是否一定不平行?
⑶與任意向量都平行的向量是什么向量?(4)若兩個(gè)向量在同一直線上,則這兩
個(gè)向量一定是什么向量?
答案(1)不一定;(2)不一定;(3)零向量;(4)平行(共線)向量.
《6.1平面向量的概念》同步測試
注意事項(xiàng):
本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘,試題共16題.答卷前,考生務(wù)必
用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)在每小題所給
出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.下列關(guān)于空間向量的命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是()
(1)長度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量;
(2)平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量;
(3)若萬B5,則8;
(4)兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同.
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【解析】由相等向量的定義知(1)正確;
平行且模相等的兩個(gè)向量也可能是相反向量,(2)錯(cuò);
方向不相同且長度相等的兩個(gè)是不相等向量,(3)錯(cuò);
相等向量只要求長度相等、方向相同,而表示兩個(gè)向量的有向線段的起點(diǎn)不
要求相同,(4)錯(cuò),
所以正確答案只有一個(gè).故選B.
2.下列命題正確的是(
A.若㈤=0,則£=6B.若㈤=|5|,則1=5
C.若|£1=1刈,則;〃力D.若allb>貝!la=B
【答案】A
【解析】模為零的向量是零向量,所以A項(xiàng)正確;
而1=1引時(shí),只說明向13的長度相等,無法確定方向,
所以B,C均錯(cuò);
。||6時(shí),只說明方向相同或相反,沒有長度關(guān)系,
不能確定相等,所以D錯(cuò).故選A.
3.若非零向量4和B互為相反向量,則下列說法中錯(cuò)誤是()
A.allbB.a^bC."D.a--h
【答案】C
【解析】由平行向量的定義可知A項(xiàng)正確;
因?yàn)椤焙虰的方向相反,所以故B項(xiàng)正確;
由相反向量的定義可知二=工,故選項(xiàng)D正確;
由相反向量的定義知al=bX,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.
4.如圖,設(shè)。是正六邊形ABC。比的中心,則與血相等的向量為()
UUUl
A.BAB.CDC.ADD.OD
【答案】D
【解析】根據(jù)圖形看出,四邊形BC。。是平行四邊形.?.BC//OD,BC=O。
.?.阮=歷故選:D
5.若向量“與向量/;不相等,貝!I。與B一定()
A.不共線B.長度不相等
C.不都是單位向量D.不都是零向量
【答案】D
【解析】???向量£與向量坂不相等,它們有可能共線、有可能長度相等、有
可能都是單位向量但方向不相同,但不能都是零向量,即選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤,D
正確.故選:D.
6.下列說法錯(cuò)誤的是()
A.若非零向量b,C有£//石,bile,則G//C
B.零向量與任意向量平行
C.已知向量乙萬不共線,且。/左,bHe,貝限=0
D.平行四邊形ABC。中,AB^CD
【答案】D
【解析】選項(xiàng)A:因?yàn)?,葭?都不是零向量,所以由Z//B,可知向量£與向量
B具有相同或相反方向.又由B/無,可得向量"與向量B具有相同或相反方向,
所以向量£與向量之具有相同或相反方向,故£/不,故本說法是正確的;
選項(xiàng)B:零向量與任意向量平行這是數(shù)學(xué)規(guī)定,故本說法是正確的;
選項(xiàng)C:由£//屋bl1c,可知:"與向量[具有相同或相反方向,"與向量
坂具有相同或相反方向,但是向量£石不共線,所以"=6,故本說法是正確的;
選項(xiàng)D:平行四邊形438中,應(yīng)該有荏=祝,故本說法是錯(cuò)誤的.故選:
D
7.a,B為非零向量,且卜+同咽+〉,則()
A.a>坂同向B.a>坂反向
C.a=-hD.a,坂無論什么關(guān)系均可
【答案】A
【解析】當(dāng)兩個(gè)非零向量£與坂不共線時(shí),£+5的方向與7坂的方向都不相
同,且B+4<W+M;當(dāng)向量£與坂同向時(shí),Z+坂的方向與亂刃的方向都相同,且
口+*忖+忖;
當(dāng)向量£與B反向且時(shí),£+5的方向與坂的方向相同(與£的方向相
反),且它+目明第,
故選:A
8.如圖是3x4的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形),若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在
方格的頂點(diǎn)處,則與福平行且模為血的向量共有()
A.12個(gè)B.18個(gè)C.24個(gè)D.36個(gè)
【答案】C
【解析】由題意知,每個(gè)小正方形的對角線與而平行且模為逝的所在的
向量,3x4的格點(diǎn)圖中包含12個(gè)小正方形,
所以有12條對角線,與通平行的向量包含方向相同和相反,所有共有24
個(gè)向量滿足.
故選:C.
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的
選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選
對的得3分.
9.已知入坂是任意兩個(gè)向量,下列條件能判定向量£與坂平行的是()
A.a=bB.。%
c.”與B的方向相反D.Z與B都是單位向量
【答案】AC
【解析】對于A選項(xiàng),若£=石,則£與各平行,A選項(xiàng)合乎題意;
對于B選項(xiàng),若。=",但£與否的方向不確定,則£與B不一定平行,B
選項(xiàng)不合乎題意;
對于c選項(xiàng),若£與B的方向相反,則Z與B平行,c選項(xiàng)合乎題意;
對于D選項(xiàng),[與B都是單位向量,這兩個(gè)向量長度相等,但方向不確定,
則£與B不一定平行,D選項(xiàng)不合乎題意.故選:AC.
10.在下列結(jié)論中,正確的有()
A.若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合
B.平行向量又稱為共線向量
C.兩個(gè)相等向量的模相等
D.兩個(gè)相反向量的模相等
【答案】BCD
【解析】A.若兩個(gè)向量相等,它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定不重合,故錯(cuò)誤;
B.平行向量又稱為共線向量,根據(jù)平行向量定義知正確;
C.相等向量方向相同,模相等,正確;
D.相反向量方向相反,模相等,故正確;故選:BCD
11.下列能使萬/區(qū)成立的是()
A.a^bB.同=|同
C.〃與日方向相反D.同=0或忖=0
【答案】ACD
【解析】對于A,若£=則£與B大小相等且方向相同,所以://力;對于
B,若口=忖,則£與行的大小相等,而方向不確定,因此不一定有力;對于C,
方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若£與B方向相反,則有:〃力;對于
D,零向量與任意向量平行,所以若同=0或忖=0,則:/晨故選:ACD
12.如圖所示,梯形ABC。為等腰梯形,則下列關(guān)系正確的是()
A.AB=DCB.畫=|困C.AB>DCD.BC//AD
【答案】BD
【解析】而與反顯然方向不相同,故不是相等向量,故A錯(cuò)誤;
網(wǎng)與甌|表示等腰梯形兩腰的長度,所以網(wǎng)=|明,故B正確;
向量無法比較大小,只能比較向量模的大小,故C錯(cuò)誤;
等腰梯形的上底與下底平行,所以前//礪,故。正確;故選:BD.
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.不需寫出解答過程,
請把答案直接填寫在橫線上)
13.給出下列命題:
①向量通的長度與向量面的長度相等;
②向量£與萬平行,則2與萬的方向相同或相反;
③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量,其終點(diǎn)必相同;
④兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量;
⑤向量麗與向量說是共線向量,則點(diǎn)必在同一條直線上.
其中不正確命題的序號(hào)是.
【答案】②④⑤
【解析】向量而與函是相反向量,它們的模長相等,即①正確;
零向量與任何向量平行,若向量Z與B中恰有一個(gè)為零向量,則它們的方向
不滿足題意,即②錯(cuò)誤;
對于相等向量,若它們有共同的起點(diǎn),則它們終點(diǎn)也相同,即③正確;
兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量,若它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不在一條直線上,則它們不共
線,即④錯(cuò)誤;
因?yàn)橄蛄靠梢云揭疲怨簿€向量而與麗中,ARC,。不一定在同一條
直線上,即⑤錯(cuò)誤.
故答案為:②④⑤.
14.如圖,四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形
(1)與向量前相等的向量有
(2)若|洞=3,則明=.
【答案】AB,DC6
【解析】①根據(jù)相等向量的定義及平行四邊形性質(zhì):與向量訪相等的向量
有限D(zhuǎn)C
②在=麗+反=2麗,|函=|2網(wǎng)=6
15.在如圖所示的半圓中,48為直徑,點(diǎn)。為圓心,。為半圓上一點(diǎn),且NO⑦
=30°,AB=2,則|AC=.
【答案】1
【解析】連接由無=而得N4BC=NOCB=30°,又/ACB=90°,
則ACAB=1x2=l.
16.如圖所示,43c和AA2C是在各邊的g處相交的兩個(gè)全等的等邊三
角形,設(shè)AABC的邊長為。,圖中列出了長度均為|?的若干個(gè)向量
A
D
B'
BG\7HC
A'
貝!J:(1)與向量而相等的向量有;
(2)與向量麗共線,且模相等的向量有;
(3)與向量的共線,且模相等的向量有.
【答案】麗,HCEC>詼,麗,GB.HC甌,而,兩,
就,KB1
【解析】(1)與向量而相等的向量是麗,WC;
(2)與向量而共線且模相等的向量是正,DE,DB1,GB,HC,
(3)與向量函共線且模相等的向量E/,而,詞,HK>而'
三、解答題(本大題共4小題,共70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解
答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)如圖所示,0是正六邊形放幀的中心,且礪=
a?OB=b?OC=c-
(1)與£的長度相等、方向相反的向量有哪些?
(2)與3共線的向量有哪些?
(3)請一一列出與£,b,".相等的向量.
【解析】(1)因?yàn)檎呅沃懈骶€段長度都相等,且方向相反的有:0D,
前,A。,F(xiàn)E-(2)由共線向量定理得:EF,品,甜,而,CB-DO-
AO>DA,AD?與a共線.
(3)由相等向量的定義得:與7相等的向量有E尸,DO,CB-,與坂相
等的向量有。C,EO>FA;與2相等的向量有戶。,ED,AB.
18.(本小題滿分12分)某人從4點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)6點(diǎn),然后改變
方向沿東北方向走了10夜米到達(dá)。點(diǎn),到達(dá)。點(diǎn)后又改變方向向西走了10米
到達(dá)〃點(diǎn).
(1)作出向量而,BC,CDi
(2)求標(biāo)的模.
【解析】(1)作出向量而,BC,麗;如圖所示:
南
(2)由題意得,是直角三角形,其中N8%=90°,BC=10五米,
CD=1Q米,
所以劭=10米.△力物是直角三角形,其中/力劭=90°,48=5米,BD=
10米,
所以AD=752+102=575(米),
所以|同=5質(zhì)米.
19.(本小題滿分12分)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長為1),用
直尺和圓規(guī)畫出下列向量:
(1)0A,使I礪1=4近,點(diǎn)Z在點(diǎn)。北偏東45°;
(2)AB,使網(wǎng)=4,點(diǎn)8在點(diǎn)4正東;
(3)BC,使|髭|=6,點(diǎn)。在點(diǎn)6北偏東30°.
【解析】(1)由于點(diǎn)力在點(diǎn)。北偏東45°處,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)/距點(diǎn)。
的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又I麗|=4a,小方格邊長為1,所以
點(diǎn)/距點(diǎn)。的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,于是點(diǎn)/位置可以確定,畫
出向量以如下圖所示.
(2)由于點(diǎn)8在點(diǎn)4正東方向處,且忖4=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)8距點(diǎn)/
的橫向小方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)8位置可以確定,畫出向量|麗|
如下圖所示.
(3)由于點(diǎn)。在點(diǎn)6北偏東30°處,且|泥|=6,依據(jù)勾股定理可得:在
坐標(biāo)紙上點(diǎn)。距點(diǎn)8的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3指心5.2,于是點(diǎn)。
位置可以確定,畫出向量|隴|如下圖所示.
20.(本小題滿分12分)一艘海上巡邏艇從港口向北航行了30km,這時(shí)接
到求救信號(hào),在巡邏艇的正東方向
40km處有一艘漁船拋錨需救助.試求:
(1)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程;
(2)巡邏艇從港口出發(fā)到出事地點(diǎn)之間的位移.
【解析】(D如圖,由于路程不是向量,與方向無關(guān),所以總的路程為巡邏
艇兩次路程的和,即為18+8C=70(km).
北
8(信號(hào)接收點(diǎn))。(淄船)
L東
A(港口)
(2)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)之間的位移是向量,不僅有大小而且有
4
方向,因而大小為|羽=叫2=50(km),由于sinN胡。=—,故方向?yàn)?/p>
5
4
北偏東N物G其中sinN物C='.
21.(本小題滿分12分)已知。是正方形4比》對角線的交點(diǎn),在以0,A,
B,C,〃這5點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起點(diǎn),另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中,寫出:
(1)與此相等的向量;
(2)與赤長度相等的向量;
(3)與次共線的向量.
【解析】畫出圖形,如圖所示.
(1)易知BCHAD,BC=AD,所以與更相等的向量為而.
(2)由。是正方形切對角線的交點(diǎn)知仍=⑺=%=。。,
所以與而長度相等的向量為麗,灰,CO?礪,痛,蘇,DO.
(3)與次共線的向量為而,BC,CB.
22.(本小題滿分12分)如圖的方格紙由若干個(gè)邊長為1的小正方形組成,
方格紙中有兩個(gè)定點(diǎn)孫氏點(diǎn)。為小正方形的頂點(diǎn),且|衣|=/.
(1)畫出所有的向量能;
⑵求I擊I的最大值與最小值.
【解析】(1)畫出所有的向量公,如圖所示.
(2)由(1)所畫的圖知,①當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)G或C時(shí),
IBC|取得最小值,產(chǎn)+22=75;
②當(dāng)點(diǎn)。位于點(diǎn)盤或乙時(shí),|前|取得最大值,42+52二國.
所以|前|的最大值為歷,最小值為右.
《6.2平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算》知識(shí)梳理
一.向量加法的法則
已知非零向量a,b,在平面F為任取一點(diǎn)/,作而=a,BC=
b,則向量元叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=AB+
BC=AC.
向量求
三角形法這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
和的法1
則
對于零向量與任意向量a,夫見定a+O=O+a=a
則
__A
不\r
以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a,8為鄰邊作???,則
以。為起點(diǎn)的對角線方就是a與,的和.把這種作兩個(gè)向量
平行四邊和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則
【思考】|a+引與|a|,仍|有什么關(guān)系?
【答案】(1)當(dāng)向量a與力不共線時(shí),a+6的方向與&,8不同,且恒+引<|T
+I引.(2)當(dāng)a與b同向時(shí),a+b,a,,同向,且a+b\=|a|+Zr.(3)當(dāng)a與
力反向時(shí),若|a|>|引,則a+b的方向與a相同,且|a+引=㈤一|引;若|a<b\,
則a+8的方向與b相同,且|a+b|=|引一a\.
二.向量的減法
1.定義:向量a加上力的相反向量,叫做a與力的差,即a—6=a+(-6),
因此減去一個(gè)向量,相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量,求兩個(gè)向量差的運(yùn)算,叫
做向量的減法.
2.幾何意義:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。,作OA=a,OB=b,則向量a—8=84,
如圖所示.
3.文字?jǐn)⑹觯喝绻褍蓚€(gè)向量的起點(diǎn)放在一起,那么這兩個(gè)向量的差是以減
向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.
【思考】若a,6是不共線向量,|a+引與|a—引的幾何意義分別是什么?
【答案】如圖所示,設(shè)蘇=a,方=8根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和
向量減法的幾何意義,有0C=a+6,BA=a—6.因?yàn)樗倪呅问ナ瞧叫兴倪?/p>
形,所以必+6=|無|,6—引=|就|,分別是以力,仍為鄰邊的平行四邊
形的兩條對角線的長.
三、向量數(shù)乘的定義
實(shí)數(shù)兒與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作Aa,
其長度與方向規(guī)定如下:
(1)I4a|=|11|a|.
當(dāng)4>0時(shí),方向相同;
(2)Aa(aWO)的方向'
當(dāng)4<0時(shí),與的方向相反
特別地,當(dāng)兒=0時(shí),4a=0.當(dāng)人=—1時(shí),(-l)a=-a.
四向量共線定理
向量a3W0)與人共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)A,使力=4a
【思考】向量共線定理中為什么規(guī)定aWO?
【答案】若將條件aWO去掉,即當(dāng)a=0時(shí),顯然a與力共線.
(1)若6W0,則不存在實(shí)數(shù)兒,使6=4a
(2)若8=0,則對任意實(shí)數(shù)兒,都有6=4a
《6.2平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算》同步測試
注意事項(xiàng):
本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘,試題共16題.答卷前,考生務(wù)必
用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)在每小題所給
出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.下列四式不能化簡為而的是()
A.MB+AD-BMB.(AD+MB)+(BC+CM)
C.(AB+CD)+BCD.OC-OA+CD
【答案】A
【解析】對B,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+MB+BC+CM=AD,故B
正確;
對C,(AB+CD)+BC^AB+BC+CD=AD,故C正確;
對D,OC-OA+CD^AC+CD^AD,故D正確;故選:A.
2.在平行四邊形ABCD中,設(shè)對角線ZC與切相交于點(diǎn)0,則通+甌=()
A.2BOB.2D0C.BDD.AC
【答案】B
【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BC。為平行四邊形,故通+函=6,
^AB+CB=Ad+bB+CO+bB=2OB=2bd>故選B.
3.在五邊形A8CDE中(如圖),AB+BC-DC=()
C.BDD.BE
【答案】B
【解析】AB+BC-DC=AB+BC+W=AD.B
4.如圖所示,已知空間四邊形翻9,連接4GBD,M,G分別是6C,切的
1―.1—.
中點(diǎn),則通+5BC+5B。等于()
C.AGD.MG
【答案】C
【解析】?..四面體//5中,〃、G為BC、切中點(diǎn),
:.-BC^BM,-BD=MG,
22
:.AB+-BC+-BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.故選C
22
5.八卦是中國文化中的哲學(xué)概念,如圖1是八卦模型圖,其平面圖形記為
圖2中的正八邊形四物仇祝其中。4=1,則給出下列結(jié)論:
?BF-HF+HD=Oi?0A+0C=-y/20F;@AE+FC-GE=AB.
【解析】對于①:因?yàn)辂愐欢?麗=而+而+而=麗+而=麗,故
①錯(cuò)誤;
360°
對于②:因?yàn)閆AOC=T-X2=90。,則以。4,OC為鄰邊的平行四邊形為正
O
方形,
又因?yàn)镺B平分乙4OC,所以04+。6=血。后=—00尸,故②正確;
對于③:因?yàn)橥?定—瓦=醺+的+無+而,且定=麗,
^\^AE+FC-GE^AG+GB^AB,故③正確,故選:C.
6.如圖,在四邊形ABCD中,^AB=ci,AD=b,BC=c,則覺=()
D.
A-----------B
A.-a+b+cB.-a+b~cC.a+b+cD.a-b+c
【答案】D
【解析】由題意,在四邊形MC£>中,^AB=a,AD=b,BC=c,
根據(jù)向量的運(yùn)算法則,可得反=次+而+元=—]+£+£=£—五+".故選
D.
7.點(diǎn)P是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且方+定=麗,在AABC內(nèi)任取一點(diǎn),
則此點(diǎn)取自AP8C內(nèi)的概率是()
A.-B?-C.-D.-
2345
【答案】B
【解析】設(shè)。是8C中點(diǎn),因?yàn)槎?斤=而,所以2兩=而,
所以A、P、。三點(diǎn)共線且點(diǎn)P是線段AO的三等分點(diǎn),
故產(chǎn)=3,所以此點(diǎn)取自APBC內(nèi)的概率是:.故選B.
8.P是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),^CB=APA+PB,其中/leR,則P點(diǎn)一
定在()
A.AABC內(nèi)部B.AC邊所在直線上
C.AB邊所在直線上D.BC邊所在直線上
【答案】B
【解析】根據(jù)題意,C月=幾百+而0圍-=4而o麗=4麗,,點(diǎn)P
在AC邊所在直線上,故選B.
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的
選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分,有選錯(cuò)的得。分,部分選
對的得3分.
9.已知正方體ABC。-ABC。的中心為。,則下列結(jié)論中正確的有()
A.況+歷與西+西是一對相反向量
B.礪-反與弧-西■是一對相反向量
C.。4+04+。心+。方與弧+*+西+*是一對相反向量
D.西-礪與反-優(yōu)■是一對相反向量
【答案】ACD
【解析】?.?。為正方體的中心,,礪=-西,歷=-西,故
OA+OD=-[OB,+OC^,
同理可得而+反=_(西■+鶴),
故0A+OB+OC+OD=-(OA)+0B1+0Ct+0Dij,:.A、C正確;
UllUULISIULU---------------------------------
,:OB-OC=CB,O\-ODX=AA,
,。月-反與弧-組是兩個(gè)相等的向量,,B不正確;
,.不-麗=可,無-西=束=-麗,
,西-礪=-(詼-叫,,口正確.故選ACD
10.下列各式中,結(jié)果為零向量的是()
A.AB+MB+W+OMB.AB+BC+CA
C.OA+OC+BO+WD.AB-AC+BD-O)
【答案】BD
【解析】對于選項(xiàng)A:AB+MB+BO+OM^AB,選項(xiàng)A不正確;
對于選項(xiàng)8:AB+BC+CA^AC+CA^Q,選項(xiàng)8正確;
對于選項(xiàng)C:OA+OC+BO+CO=BA,選項(xiàng)C不正確;
umuuinuunuun,uunuun、,uirauun、uuuuumr
對于選項(xiàng)。:AB-AC+BD-CD=\AB+BD\-\AC+CD\=AD-AD=O
選項(xiàng)。正確.故選BD
11.若點(diǎn)〃E,產(chǎn)分別為AABC的邊CA9"的中點(diǎn),且阮=£,CA=b,
則下列結(jié)論正確的是()
—1一
A.AD=——a-bB.BE=a+-b
22
—11一一1
C.CF=——a+-bD.EF=—a
222
【答案】ABC
【解析】如圖,
在AABC中,AI)=AC+a)=-CA+-CB=-b--a,故A正確;
22
BE=BC+CE=a+—b,故B正確;
2
AB=AC+CB=-b-a>CF=CA+^AB=b+^x(-b-a)=--^a+^b,故C
正確;
—1—?1-
EF=-CB=一一a,故D不正確.故選:ABC
22
12.下列關(guān)于平面向量的說法中不至頌的是()
A.已知心方均為非零向量,則a//6o存在唯一的實(shí)數(shù)/I,使得石=而
B.若向量福,麗共線,則點(diǎn)A,B,C,。必在同一直線上
C.若無不=6?不且3H0,貝!=5
D.若點(diǎn)G為AABC的重心,則西+說+交=0
【答案】BC
【解析】對于選項(xiàng)A,由平面向量平行的推論可得其正確;
對于選項(xiàng)B,向量通,麗共線,只需兩向量方向相同或相反即可,點(diǎn)A,
B,C,。不必在同一直線上,故B錯(cuò)誤;
對于選項(xiàng)C,a-c=、co(a-B)-c=0,則(a-不一定推出£=5,
故C錯(cuò)誤;
對于選項(xiàng)D,由平面向量中三角形重心的推論可得其正確.
故選BC
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.不需寫出解答過程,
請把答案直接填寫在橫線上)
13.化簡:AB+EA-CB+CD+DE=?
【答案】6
【解析】AB+EA-CB+CD+DE=EB-CB+CE=EB+BC+CE=6.
故答案為:6.
14.若同=5,否與々方向相反,且忖=7,則1b.
【答案】~
【解析】因?yàn)锽與[方向相反,
所以設(shè)£=花(/<0),則卜卜囚忖,
所以5=|/l|x7,可得;l=±m(xù),
又4<0,所以a=-m.
15.若P是A4BC內(nèi)部一點(diǎn),且滿足麗+2麗=麗,則A4BP與AABC的面
積比為.
【答案】|
【解析】PA+2PH=CB^PA+PB=CB+BP=CP
取AB的中點(diǎn)為。,貝I」而+方=2可
BP2PO=CP,則點(diǎn)P為AABC的重心
根據(jù)重心的性質(zhì)可得,點(diǎn)P到AB的距離是點(diǎn)C到AB的距離的;
q1
則2^L=一
S.c3
16.在平行四邊形ABC。中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M為BC的中點(diǎn),
貝!1畫=,MN=.(用”,人表示)
【答案】」?J
244
【解析】如圖,???四邊形ABC。是平行四邊形,.?,詬二而,又?.?麗=3祝,
.?.A,N,C三點(diǎn)共線,且函則礪=礪+麗=,方+麗=_工8_4,
422
—————1一1一1一1一1111
MN=MC+CN=-BC——AC^-AD——AC=-b——(a+b)=——a+-b.
24242444
三、解答題(本大題共4小題,共70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解
答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)化簡.
(1)AB+CD+BC+DA.
(2)(^AB+MB)+(BO+BC)+OM.
【解析】(1)AB+CD+BC+DA=AB+BC+CD+DA^O;
(2)(JB+MB)+(lid+BC)+OM=AB+W+OM+MB+BC=AC.
18.(本小題滿分12分)已知在四邊形4%力中,AB=a+2b,麗=—4a
-b,CD=-5a-3b,求證:四邊形力aZ?為梯形.
【解析】如圖所示.
AD=AB+BC+CD
=(a+2Z?)+(-4a—Z?)+(-5a-36)
=—8a—2b=2(—4a—b),
Z.AD=2BC.
,而與前共線,且|而|=2|前
又???這兩個(gè)向量所在的直線不重合,
:.AD//BC,且4片2必
,四邊形A?切是以A9,8c為兩條底邊的梯形.
19.(本小題滿分12分)如圖,已知〃,瓦廠分別為A4BC的三邊8C,AC,
AB的中點(diǎn),求證:AD+BE+CF^Q.
【解析】由題意知45=4e+。方,BE=BC+CE,CF^CB+BF,
由題意可知而=C/5,BF=FA.
:.AD+BE+CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB+BF)
=(AC+CD+CE+BF)+(BC+CB)
=(AE+EC+CD+CE+BF)+6
^AE+CD+BF^AE+EF+FA^6.
20.(本小題滿分12分)如圖,已知正方形A8C。的邊長等于單位長度1,
AB=a,BC=b>AC=c,試著寫出向量.
(1)a+b+c;
(2)a-b+c,并求出它的模.
【解析】(1)a+b+c=(AB+BC)+AC=AC+AC=2AC=2c;
(2)a-b+c=AB-BC+AC=AB+(.AC+CB)=AB+AB=2AB.
:.\a-b+c\=2\AB\=2.
21.(本小題滿分12分)如圖,四邊形。是以向量麗=£,麗為
邊的平行四邊形,=國=;而,試用入/;表示加、ON.MN.
BD
區(qū)
OA
【解析】:BM』C,BC=CA,;.BM=;BA,
36
BM=-BA=-(OA-OB)=-(a-b).
666
OM^OB+BM^b+-(a-h]=-a+-b.
6、>66
■.■CN=-CD,CD=OC,
3
____2__.2__.__?22
ON=OC+CN=-OD=-(OA+OB)=-a^-b.
3333
__.-..22-15-1I-
MN=ON-OM=-a+-b——a--b=-a——b.
336626
16.(本小題滿分12分)設(shè)a,b,c為非零向量,其中任意兩向量不共線,
已知a+b與c共線,且8+c與a共線,則b與a+c是否共線?請證明你的結(jié)
論.
【解析】8與a+c共線.證明如下:
,.2+8與c共線,
...存在唯一實(shí)數(shù)A,使得a+b=4c.①
,."+c與a共線,
...存在唯一實(shí)數(shù)〃,使得b+c=〃a②
由①一②得,3—c=^c~Pa.
;.(1+li)a=(1+4)c.
又-a與c不共線,.?」+〃=0,1+4=0,
:.N=-1,4=——1,a+Z>=—c,即a+6+c=0.
a+c=-b.
故a+c與b共線.
《6.3平面向量的數(shù)量積》知識(shí)梳理
一、兩向量的夾角與垂直
1.夾角:已知兩個(gè)非零向量a和力,。是平面上的任意一點(diǎn),作蘇=a,OB
=b,則0(0W〃W“)叫做向量8與6的夾角(如圖所示).
當(dāng)。=0時(shí),a與力同向;當(dāng)8=R時(shí),a與力反向.
2.垂直:如果a與力的夾角是三,則稱a與b垂直,記作a_Lb.
2
二、向量數(shù)量積的定義
非零向量a,力的夾角為,,數(shù)量|a||b|cos,叫做向量a與b的數(shù)量積(或
內(nèi)積),記作a?6,即Z>=|a||6|cos0,規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積
等于0.
【思考】若aWO,且a-5=0,是否能推出力=0.
【答案】在實(shí)數(shù)中,若a#0,且6=0,則6=0;但是在數(shù)量積中,若#0,
且a?6=0,不能推出6=0.因?yàn)槠渲衋有可能垂直于》
三、投影向量
在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。,作而=a,ON=b,過點(diǎn)"作直線QM的垂線,垂足
為則OM,就是向量a在向量力上的投影向量.
設(shè)與6方向相同的單位向量為e,a與6的夾角為0,則兩與e,a,d
之間的關(guān)系為函=|acos0e.
四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)向量a與力都是非零向量,它們的夾角為0,e是與b方向相同的單位向
量.則
(1)a,e=e,a=|a\,cos0,
(2)a_L2xna?b—0.
與詞向,
⑶當(dāng)a〃力時(shí),a?力={IT__
-忖.’”與。反向,
特別地,a?a=a?或|a=yja-a
(4)|a?引Wa\b\.
五平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
1.a,b=b?a(交換律).
2.(/la)?力=4(a?b)=a?(九⑹(數(shù)乘結(jié)合律).
3.(a+b)?c—a,c+b,c(分配律).
【思考】若a-c,是否可以得出結(jié)論a="
【答案】不可以.
已知實(shí)數(shù)a,b,c(6W0),則ab=8c=a=c,但是a?力=8?c推不出a=
c.理由如下:
如圖,a*b=\a|b\cosfi=\b\0A\,
b,c=b|c\cosa=b|.
所以a?6=8?c,但是aWc.
《6.3平面向量的數(shù)量積》同步測試
注意事項(xiàng):
本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘,試題共16題.答卷前,考生務(wù)必
用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)在每小題所給
出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知向量滿足|4=1,ab=-l>則”2。-可=()
A.4B.3C.2D.0
【答案】B
【解析】因?yàn)橥?1,4出=一1,
所以7(2£—石)=2£2_£0=2問2_(T)=2+]=3,故選:B.
2.設(shè)“,坂均為單位向量,且則B+2+()
A.3B.^6C.6D.9
【答案】B
【解析】a,B均為單位向量,且=
4
3.已知兩個(gè)單位向量萬,5滿足|2々+3?|=近,則/與5的夾角是()
712兀5兀
B.Tc.TD.~6
【答案】C
【解析】由|22+3W=近,所以|21+342=4/+12無方+9/=7,
又因?yàn)閱挝幌蛄俊晔?,所?22石=-6n萬-5=-g,
/一1、a-h1
所以向量的夾角為cos〈。/〉=問忖
2'
且他可6。萬],所以伍5〉=今,故選:c.
4.如圖,45=1,AC=3,NA=9()。,而=2而,則而.麗=()
421
A.B.1C.D.
333
【答案】C
__________I______i_____2___i___
【解析】由AD=AB+BD^AB+-BC^AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,
所以而.而=(|而+;麗=|■通恁.而
21____2]2
=-xl2+-|ACIIA5|cos90°=-+-x3x0=-.故選:C
5.已知向量入坂滿足同=3,忖=4,且公與坂反向,則?+3到石=()
A.36B.48C.57D.64
【答案】A
【解析】因?yàn)閇與V反向,所以伍可=萬,
又,卜3,忖=4,,所以(4+3萬)石=03+35?5,
=3x4x(-l)+3x42=36.故選:A
6.在AABC中,AB=2,AC=3,且麗?衣=一3百,貝!||恁一尢研(加R)
的最小值是()
A.1B.也C.竺D.273
【答案】A
【解析】VAB=2,AC=3,J.AB-AC=-3A/3
.-.|XC-=AC-2AAB-AC+A2AB2=9+6732+422=4^2+乎J+;,
當(dāng)花一手時(shí),時(shí)一義畫,取得最小值為:,則時(shí)一%同取得最小值為方
故選A.
7.已知p是邊長為2的正三角形板的邊■上的一點(diǎn),則福?麗的取值
范圍是()
A.[2,6]B.[2,4]C.(2,4)D.(0,4)
【答案】B
【解析】如圖所示,。為48的中點(diǎn),AP-AB=\AP\\AB\cosZABC,
當(dāng)P在3時(shí),Q在而方向上的投影AB最大,
=2x2=4,
當(dāng)P在。時(shí),而在右方向上的投影A。最小,
(A戶?AEbmil,=2xl=2,.??麗?麗的取值范圍是[2,4],故答案為:B.
8.已知等邊AA6c的面積為6,動(dòng)點(diǎn)。在AA5c的邊上,若線段"N為
△ABC內(nèi)切圓的一條直徑,S.DM.DN<A,則實(shí)數(shù)丸的取值范圍為()
A.[0,+oo)B.[1,+co)C.D.[2,+oo)
【答案】B
【解析】設(shè)AABC的邊長為“,則解得a=2,
4
設(shè)內(nèi)切圓圓心為。,
加?麗=(前一歷).(而—說)=|阿—|阿2=|西
可知當(dāng)點(diǎn)。在AABC的頂點(diǎn)位置時(shí),|歷『有最大值,此時(shí)|歷|=2叵,
DMDN=\,
故實(shí)數(shù)A的取值范圍為[1,H.故選B
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的
選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選
對的得3分.
9.若£、b>"是空間的非零向量,則下列命題中的假命題是()
A.(a-h)-c=(h-c)-a
B.若34=一向陽,則2/而
C.若a.c=B?c,則a//B
D.若a.a
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