八年級數學上冊 第15章　軸對稱圖形與等腰三角形 單元測試卷（滬科版 2024年秋）

八年級數學上冊第15章軸對稱圖形與等腰三角形單元測試卷（滬科版2024年秋）一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)題序12345678910答案1.“在你的門前，我堆起一個雪人，代表笨拙的我把你久等．”這是現代詩人顧城眼里的雪人．下列雪人圖案中屬于軸對稱圖形的是()2．如圖，△ABC中，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周長為30，則BE的長為()A．5 B．10 C．12 D．13(第2題)(第3題)(第4題)3．如圖，△ABC中，∠B＝55°，D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC.將△ABC沿線段DE折疊，使點A落在點F處，則∠BDF的度數為()A．50° B．55° C．70° D．85°4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，連接CD，則∠ACD的度數是()A．40° B．30° C．20° D．10°5．若點M(2a，1)與點N(4，－b)關于y軸對稱，則ab的值為()A．2 B．－1 C．－2 D．36．已知一個等腰三角形兩內角的度數之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數為()A．20° B．120° C．20°或120° D．36°7．如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，DE⊥BC，CE＝3，則△ABC的周長為()A．12 B．24 C．36 D．48(第7題)(第8題)(第9題)(第10題)8．如圖，AE，BE，CE分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于點D，ED＝3，△ABC的面積為36，則△ABC的周長為()A．48 B．36 C．24 D．129．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，過點B作BE⊥AC，交CA的延長線于E，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，則△ABE的周長為()A．10 B．11 C．12 D．1310．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延長線上一點，AF⊥CF，垂足為F，下列結論：①BC＝DE；②AF＝CF；③四邊形ABCD的面積等于eq\f(1,2)AC2；④S△BCD＝S△ABF＋S△ADE，其中正確的是()A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，若BD＝3，則CD＝________．(第11題)(第13題)(第14題)12．已知等腰三角形的周長為19，一邊長為8，則等腰三角形的腰長為________．13．如圖，CD是等邊三角形ABC邊AB上的中線，AC的垂直平分線交AC于點E，交CD于點F，若DF＝1，則CD的長為________．14．如圖，在△ABC中，AB＝BC，D是BC上一點，DE⊥AB于點E，DF⊥BC，交AC于點F，連接BF.(1)若∠AFD＝155°，則∠EDF＝________；(2)若F是AC的中點，則∠ABC與∠CFD之間的數量關系為______________．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上，其中A點的坐標是(－1，0)，B點的坐標是(－3，1)，C點的坐標是(－2，3)．(1)作△ABC關于y軸對稱的圖形△DEF，其中A，B，C的對應點分別為D，E，F；(2)動點P的坐標為(0，t)，當t為何值時，PA＋PC的值最??？并畫出點P.(第15題)16．如圖，已知線段MN和∠ACB，求作一點P，使P到點M，N的距離相等，且到∠ACB的兩邊的距離相等．(不寫作法，只保留作圖痕跡)(第16題)四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，點E在BC上，作ED⊥AB于點D，若EC＝ED.求證：D為AB的中點．(第17題)18．如圖，點D，E在等邊三角形ABC外，AD＝CE，AE⊥AC，垂足為點A，BD⊥AB，垂足為點B.請求出∠D與∠BCE的度數之和．(第18題)五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，在△ABC中，EF是AC的垂直平分線，AD⊥BC，D為BE的中點．(第19題)(1)求證：AB＝CE.(2)若∠C＝32°，求∠BAC的度數．20．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E是BC的中點，過點E作EF∥AD交CA的延長線于點P，交AB于點F.(第20題)(1)求證：△APF是等腰三角形；(2)求證：BF＝CP；(3)若AB＝12，AC＝8，試求出PA的長．六、(本題滿分12分)21．如圖，在△ABC中，E是BC邊上的一點，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為點F，交AC于點D，連接DE.(1)若△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，求AB的長；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度數．(第21題)七、(本題滿分12分)22．直線MO是線段AB的垂直平分線，垂足為點O，點C是直線OM上一點，連接AC.以AC為斜邊作等腰直角三角形ACD，連接OD.(1)如圖①，若CO＝AB，求∠AOD的度數．(2)如圖②，E是直線MO上一點，且CE＝AB，連接DE，延長DO至點F，使得OF＝OD，連接AF.根據題意補全圖②，寫出線段DE，AF之間的關系，并證明．(第22題)八、(本題滿分14分)23．如圖①，已知等邊三角形ABC，P，Q分別是邊AB，BC上的動點(端點除外)，點P，Q分別從頂點A，B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ，CP交于點M.(1)求證：AQ＝CP.(2)當點P，Q分別在AB，BC邊上運動時，∠QMC的大小變化嗎？若變化，說明理由；若不變，請直接寫出它的度數．(3)如圖②，若點P，Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB，BC上運動，直線AQ，CP交點為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．(第23題)

答案一、1.B2.D3.C4.C5.A6.C7.C8.C9.B10．C點撥：∵∠CAE＝90°，AE＝AC，∴∠E＝∠ACE＝45°.∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠EAD＋∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.在△ABC和△ADE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAE，,AC＝AE，))∴△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，故①正確；∵AF⊥CF，∴∠AFC＝90°.∵△ABC≌△ADE，∴∠ACF＝∠E＝45°，∴∠FAC＝∠ACF＝45°，∴AF＝CF，故②正確；∵S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，∴S四邊形ABCD＝S△ADE＋S△ACD＝S△ACE＝eq\f(1,2)AC·AE＝eq\f(1,2)AC2，故③正確；∵S△ABF＋S△ADE＝S△ABF＋S△ABC＝S△ACF，不能確定S△ACF＝S△BCD，故④不正確．故選C.二、11.312.8或5.513.314．(1)50°(2)∠CFD＝eq\f(1,2)∠ABC三、15.解：(1)如圖．(第15題)(2)∵動點P的坐標為(0，t)，∴點P在y軸上．連接AF交y軸于點P，則PA＋PC＝PA＋PF，點P的坐標為(0，1)，如圖．16．解：如圖，P點即為所求．(第16題)四、17.證明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.在Rt△ADE和Rt△ACE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AE，,DE＝CE，))∴Rt△ADE≌Rt△ACE，∴∠CAE＝∠DAE.在Rt△ACB中，∠CAE＋∠DAE＋∠B＝90°，∠B＝30°，∴∠CAE＝∠DAE＝∠B＝30°，∴EA＝EB.∵ED⊥AB，∴AD＝BD，即D為AB的中點．18．解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°.∵AE⊥AC，BD⊥AB，∴△ABD和△CAE是直角三角形，∠D＋∠DAB＝90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CE，,AB＝CA，))∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB＝∠ECA.∴∠D＋∠BCE＝∠D＋∠ACB＋∠ECA＝∠D＋∠DAB＋∠ACB＝90°＋60°＝150°.五、19.(1)證明：連接AE.∵AD⊥BC，且D為線段BE的中點，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE.∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＝CE.(2)解：∵AE＝EC，∠C＝32°，∴∠CAE＝∠C＝32°，∴∠AEB＝64°.∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝84°.20．(1)證明：如圖，(第20題)∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1＝∠2.∵EF∥AD，∴∠2＝∠P，∠1＝∠3.∴∠3＝∠P.∴AF＝AP.∴△APF是等腰三角形．(2)證明：如圖，延長FE至點Q，使得EQ＝EF，連接CQ.∵E為BC的中點，∴BE＝CE.又∵∠FEB＝∠QEC，EF＝EQ，∴△EBF≌△ECQ，∴∠BFE＝∠Q，CQ＝BF.又∵∠BFE＝∠3，∠3＝∠P，∴∠Q＝∠P.∴CQ＝CP，∴CP＝BF.(3)解：由(1)知，AP＝AF，由(2)知，BF＝CP，∴AB＝BF＋AF＝PC＋AP＝AC＋AP＋AP＝AC＋2AP.∵AB＝12，AC＝8，∴12＝8＋2AP，∴PA＝2.六、21.解：(1)∵BD是線段AE的垂直平分線，∴AB＝BE，AD＝DE.∵△ABC的周長為18，△DEC的周長為6，∴AB＋BE＋EC＋CD＋AD＝18，CD＋EC＋DE＝CD＋CE＋AD＝6，∴AB＋BE＝18－6＝12，∴AB＝6.(2)∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°－30°－45°＝105°.在△BAD和△BED中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BA＝BE，,BD＝BD，,DA＝DE，))∴△BAD≌△BED，∴∠BED＝∠BAC＝105°，∴∠CDE＝∠BED－∠C＝105°－45°＝60°.七、22.解：(1)∵直線MO是線段AB的垂直平分線，垂足為點O，∴MO⊥AB.∵△ACD是等腰直角三角形，∴∠ADC＝90°，CD＝AD.∵∠OCD＋∠ADC＝∠DAB＋∠MOA，∴∠OCD＝∠DAB.在△CDO和△ADB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝AD，,∠OCD＝∠BAD，,CO＝AB，))∴△CDO≌△ADB，∴OD＝BD，∠DBO＝∠DOC，∴∠DOB＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DOC.∵MO⊥AB，∴∠DOB＝∠DOC＝45°，∴∠AOD＝135°.(2)補全圖形如圖．DE＝AF，DE⊥AF.(第22題)證明：連接BD，與(1)同理可得△CDE≌△ADB，∴DE＝DB，∠EDC＝∠BDA，∴∠CDA＝∠BDE＝90°，∴DE⊥DB.在△ODB和△OFA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD＝OF，,∠DOB＝∠AOF，,OB＝OA，))∴△ODB≌△OFA，∴AF＝DB，∠B＝∠BAF，∴DB∥AF，DE＝AF，∴DE⊥AF.八、23.(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠AB