新人教版九年級數(shù)學上冊全冊教案1

作課類別課題21.2二次根式的乘除（第1課時）課型新授

教學媒體多媒體

教知識1.會運用二次根式乘法法則進行二次根式的乘法運算.

技能2.會利用積的算術平方根性質(zhì)化簡二次根式.

學

1.經(jīng)歷觀察、比較、概括二次根式乘法公式，通過公式的雙向性得到積的算術平方根性質(zhì).

過程

2.通過例題分析和學生練習，達成目標1,2,認識到乘法法則只是進行乘法運算的第一步，

方法

目之后如果需要化簡，進行化簡，并逐步領悟被開方數(shù)的最優(yōu)分解因數(shù)或因式的方法.

情感

培養(yǎng)學生觀察、猜想的習慣和能力，勇于探索知識之間內(nèi)在聯(lián)系.

標態(tài)度

教學重點雙向運用J茄（4>0,b20）進行二次根式乘法運算.

教學難點被開方數(shù)的最優(yōu)分解因數(shù)或因式的方法.

教學過程設計

教學程序及教學內(nèi)容師生行為設計意圖

1一、復習引入1

導語設計：上節(jié)課學習了二次根式的定義和三個性質(zhì)，這節(jié)課開始學點題，板書課題.

習二次根式的運算，先來學習乘法運算。

1二、探究新知1

（一）二次根式乘法法則

活動1、1.填空，完成課本探究1

學生計算，觀察對比，找

規(guī)律

2.用1中所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律比較大小.讓學生經(jīng)歷從特

殊到一般的認知

5/36X^4______V36x4；V2X百______而過程，培養(yǎng)數(shù)感.

活動2、給出二次根式的乘法法則使學生理解二次

結(jié)合探究內(nèi)容師生總結(jié)根式乘法的前提

活動3、思考下列問題：

是二次根式有意

①公式中為什么要加b20?義.

教師組織學生小組交流，進

②兩個二次根式相乘其實就是_______不變，_________相乘行討論.

③y[a-y[b-y[c（a20,b20,c20）=____________乘法法則推廣

使學生初步掌握

練習：課本例1,在（1）（2）之后補充（3）如何計算二次根

學生板演式乘法.

歸納：運算的第一步是應用二次根式乘法法則，最終結(jié)果盡量簡化.

(二)積的算術平方根性質(zhì)

活動4.將二次根式乘法公式逆用得到積的算術平方根性質(zhì)

使學生學會化簡

完成課本例2,在(1)(2)之間補充抵利用它就可以將二次根式二次根式

化簡

歸納：化簡二次根式實質(zhì)就是先將被開方數(shù)因數(shù)分解或因式分解，然

后再將能開的盡方的因數(shù)或因式開方后移到根號外.

例3.計算：教師歸納總結(jié)，學生邊聽

邊作筆記.

(1)714x77(2)375x2710；(3)岳雙向使用公式，

找學生說明解題過程，引導熟練進行計算

學生先觀察、分析，解題后

養(yǎng)成說明理由的反思習慣.

分析：(1)第一步被開方數(shù)相乘，不必急于得出結(jié)果，而是先觀察

因式或因數(shù)的特點，再確定是否需要利用乘法交換律和結(jié)合律以

及乘方知識將被開方數(shù)的積變形為最大平方數(shù)或式與剩余部分的

積，最后將最大平方數(shù)或式開方后移到根號外.形成運用技巧，

便于解題速度與

(2)運用乘法交換律和結(jié)合律將不含根號的數(shù)或式與含根號的數(shù)或指導學生交流，教師總結(jié)正確率的

式分別相乘，再把這兩個積相乘.，之后同(1).

1三、課堂訓練1

完成課本練習.

補充：1.Jx+1?Jx-1=-1成立，求X的取值范圍.

2.化簡；

學生獨立練習，鞏固新知深化理解公式及

|四、小結(jié)歸納|運用，提高解題

能力.

1二.次根式乘法公式的雙向運用；

組織學生交流，討論，達

2進.行二次根式乘法運算的一般步驟，觀察式子特點靈活選取最優(yōu)成共識.

解法.納入知識系統(tǒng)

師生共同歸納

1五、作業(yè)設計1

復習鞏固作業(yè)和綜合運用為全體學生必做；拓廣探索為成績中上等學

生必做；學有余力的學生，要求模仿編擬課堂上出現(xiàn)的一些補充題口

進行重復練習.

補充作業(yè)：本課無.

板書設計

課題例2補充練習

公式1

公式2例3課堂小結(jié)歸納

學生板演例1

教學反思

作課類別課題21.2二次根式的乘除(第2課時)課型新授

教學媒體多媒體

1.會運用二次根式除法法則進行二次根式的除法運算.

知識

教2.會利用商的算術平方根性質(zhì)化簡二次根式.

技能

3.理解最簡二次根式概念，知道二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最

簡二次根式.

學

3.經(jīng)歷觀察、比較、習，達成目標1,2,認識到除法法則只是進行除法運算的第一步，之后

過程如果需要化簡，進行化簡.也可運用概括二次根式除法公式，通過公式的雙向性得到商的算

目術平方根性質(zhì).

方法

4.通過例題分析和學生練習分母有理化方法進行二次根式除法.

標情感

類比二次根式的乘法進行知識與方法的遷移，獲得新知，體驗探索的樂趣.

態(tài)度

教學重點雙向運用4ci_

於一、叵(°NO,b>O)進行二次根式除法運算.

教學難點能使用分母有理化方法進行二次根式的除法運算

教學過程設計

教學程序及教學內(nèi)容師生行為設計意圖

卜一、復習引入1

點題，板書課題.

導語設計：上節(jié)課學習了二次根式的乘法，這節(jié)課學習二次根式的除法運

算.

1二、探究新知1

（一）二次根式除法法則

活動1、1.填空，完成課本探究1學生計算，觀察對

比，類比上節(jié)課知識

2.用1中所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律比較大小找規(guī)律,讓學生經(jīng)歷從特

殊到一般的認知

匹_______區(qū)；V2______[2過程，培養(yǎng)數(shù)感.

V8V8V5\5

活動2、給出二次根式的除法法則結(jié)合探究內(nèi)容師生使學生理解二次

總結(jié)根式除法的前提

活動3、思考下列問題：是二次根式有意

教師組織學生小組

義.

④公式中為什么要加a30,b>0?交流，進行討論.

⑤兩個二次根式相除其實就是________不變，_________相乘

練習：課本例4,在（1）（2）之后補充（3）J萬千J￡

學生板演，師生訂正

歸納：運算的第一步是應用二次根式除法法則，最終結(jié)果盡量簡化.

（二）商的算術平方根性質(zhì)

活動4.將二次根式除法公式逆用得到商的算術平方根性質(zhì)

使學生初步學會

化簡被開方式含

完成課本例5

有分數(shù)線的二次

根式

歸納：化簡被開方式含有分數(shù)線的二次根式，就是將分子的算術平方根做學生板演并講解解題

過程及依據(jù)

分子，分母的算術平方根做分母，再利用積的算術平方根分別化簡.

例6.計算：

（1）正（2）3心:（3）而

V5V27V2a雙向使用公式，

找學生說明解題過熟練靈活進行計

算

分析：第一步可以把被開方數(shù)相除，然后告訴學生被開方數(shù)中不能含有分程，引導學生先觀察、

分析，解題后養(yǎng)成說

母，數(shù)必須是整數(shù)，利用分數(shù)的基本性質(zhì)將分母變成完全平方數(shù)，開方明理由的反思習慣.

后移到根號外：也可以直接模仿分數(shù)的基本性質(zhì)和公式（&）2=a,

形成運用技巧，

y[a~-4b=4ab{a>0,b>0）,以去掉分母中的根號.以提高解題速度

指導學生交流，教師與正確率

總結(jié)

（三）最簡二次根式概念

活動5、讓學生觀察所做習題結(jié)果，總結(jié)歸納結(jié)果的特點，得到最簡二次根

式的概念.

讓學生通過結(jié)果

分析概念：1.被開方數(shù)不含分母的含義指——因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；學生觀察剛做過的的最終性初步感

題的結(jié)果，含根式的知最簡二次根式

被開方數(shù)中不能含開得盡方的因數(shù)是指一一被開方數(shù)不能分解出完

2.結(jié)果中根式的特點.的概念，繼而理

全平方數(shù)：被開方數(shù)中不含開得盡方的因式是指一一被開方數(shù)的每一個教師及時肯定學生解概念，并為以

的結(jié)論并加以引導后的計算和化簡

因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2,因此，每一個因式的指數(shù)都是1.

和整理匯總.的結(jié)果設立標準

完成課本例7

強調(diào)被開方數(shù)是

補充：化簡

Jx2y4+%4y2和式的二次根式

的化簡辦法

注意：被開方數(shù)是和式時，結(jié)果不等于各加數(shù)的算術平方根的和.學生說解題方法，書

寫解題過程體會化

|三、課堂訓繳簡二次根式再實際

問題中的應用

完成課本練習.

補充：熟練計算和解題

1.YX+1_卜+1成立，求X的取值范圍.

y/x—1VX—1學生獨立完成鞏固

新知深化理解公式及

2.找出下列根式中的最簡二次根式運用

護V6?Jx2+y2Vol學生思考，討論，闡

述個人見解使學生能判斷最

簡二次根式

3.判斷下列等式是否成立

716+9=4+32提=60讓學生觀察，尋找并

解釋，能將不是的進

行化簡正確化簡二次根

式

?四、小結(jié)歸納?讓學生觀察，判斷，

將不成立的正確求

i.二次根式除法公式的雙向運用；解

2.進行二次根式除法運算的,般步驟，觀察式子特點靈活選取最優(yōu)解法.

納入知識系統(tǒng)

3.最簡二次根式概念師生共同歸納

|五、作業(yè)設計|

復習鞏固作業(yè)和綜合運用為全體學生必做；拓廣探索為成績中上等學生必

做；學有余力的學生，要求模仿編擬課堂上出現(xiàn)的一些補充題目重復練習.

補充作業(yè)：本課無.

板書設計

課題例5例7

公式1公式2

板演例4例6補充練習

教學反思

作課類別課題21.2二次根式的加減（第1課時）課型新授

教學媒體多媒體

1.知道在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

教知識

2.能熟練將二次根式化簡成最簡二次根式.

技能

3.會運用二次根式加減法法則進行二次根式的加減運算.

學

5.類比整式加減得到二次根式加減的方法，二者都是系數(shù)的加減運算.

過程

6.在學習過程中體會有理數(shù)、整式、二次根式運算之間的聯(lián)系，感受數(shù)的擴充過程中運算性

目方法

質(zhì)和運算律的一致性以及數(shù)式通性.

情感

標學生溫故知新，滲透類比思想，培養(yǎng)自主學習意識.

態(tài)度

教學重點二次根式加減法運算方法

教學難點二次根式的化簡，合并被開方數(shù)相同的最簡二次根式

教學過程設計

教學程序及教學內(nèi)容師生行為設計意圖

1一、復習引入1

導語設計：上節(jié)課學習了二次根式的乘除法，這節(jié)課學習二次根式的加減點題，板書課題.

法運算.

1二、探究新知1

（一）二次根式加減法法則

活動1、類比計算，說明理由學生計算，觀察對

比，類比整式加減知

①2a+3a；2V2+3V2?識嘗試計算讓學生嘗試經(jīng)歷

從已知到未知的

②2a-3.;2V2-3-V2.遷移，感受數(shù)式通

性.

?V3+V12；VT2+VT8

思考：（1）在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)能否繼續(xù)使用？為總結(jié)二次根式

教師組織學生小組的加減法法則做

（2）二次根式的加減運算與整式的加減運算相同之處是什么？交流，進行討論.鋪墊

（3）什么樣的二次根式能夠合并？

（4）模仿整式的加減運算怎樣進行二次根式的加減運算？

活動2、給出二次根式的加減法法則

結(jié)合探究內(nèi)容師生

分析法則：二次根式加減時，先將非最簡二次根式化為最簡二次根式，再總結(jié)

更好地理解和運

逆用乘法分配律將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.被開方數(shù)不同的最簡用法則

二次根式不能合并，作為最后結(jié)果中的部分.

練習：①課本例1,之后補充（3）V2-VI8（4）產(chǎn)

初步進行計算，

并強化去括號后

②課本例2,之后補充（后一右］一（舊卡為

學生板演，并說明每的符號變化

一步的依據(jù)，然后師

生訂正.

分析說明：Q中補充（3）結(jié)果為負，（4）含分數(shù)線，作為例1,例2的過

渡。②中補充括號前是負號的.

（二）二次根式加減的應用

1課.本引例

分析：這個實際問題的解決方法可能不同，還可以先估算兩個正方形的邊感受二次根式加

長，，再把它們的和與木板的長比較.減的實際應用

讓學生認真審題，分

2課.本例3析，并闡述，

分析：利用勾股定理解決實際問題，運用二次根式的加減進行計算，計算然后師生交流，學生

的最后一步取近似值，使結(jié)果更精確.進行計算.

|三、課堂訓練|

完成課本練習

.補充：

學生獨立完成練習，

1.下列各組二次根式中，化簡后被開方式相同的是（）

鞏固新知，師生訂正

熟練計算和解題

A.ab1B.J"十幾2與J卅一外

b)T2

2.二次根式的計算為什么先學乘除，后學加減？還有哪塊知識也是如此？正確化簡二次根

式

1四、小結(jié)歸納1

引導學生先觀察、分

1.進行二次根式加減運算的一般步驟.析，找學生說明解題

思路，解題后養(yǎng)成說

2.二次根式的熟練化簡.

明理由的反思習慣.

2.二次根式加減的實際應用.

納入知識系統(tǒng)

|五、作業(yè)設計|

指導學生交流，教師

復習鞏固作業(yè)和綜合運用為全體學生必做：拓廣探索為成績中上等學生必總結(jié)

做；學有余力的學生，要求模仿編擬課堂上出現(xiàn)的一些補充題目重復練習.

補充作業(yè)：本課無.

板書設計

課題例2補充

二次根式加減法法則

板演例1例3二次根式加減運算一般步驟

教學反思

作課類別課題21.2二次根式的加減(第2課時)課型新授

教學媒體多媒體

教知識在有理數(shù)的混合運算及整式的混合運算的基礎上，使學生了解二次根式的混合運算與以前所學

知識的關系，在比較中求得方法，并能熟練地進行二次根式的混合運算.

技能

學1.對二次根式的混合運算與整式的混合運算及有理數(shù)的混合運算作比較，注意運算的順序及運

過程算律在計算過程中的作用.并感受數(shù)的獷充過程中運算性質(zhì)和運算律的一致性以及數(shù)式通性.

方法2.在運算中運用多項式的乘法法則和整式的乘法公式，體會二次根式的運算與整式的運算的

目聯(lián)系.

怙感

培養(yǎng)學生的類比運用意識

標態(tài)度

教學重點混合運算的法則，運算律的合理使用.

教學難點靈活運用運算律、乘法公式等技巧，使計算簡便.

教學過程設計

教學程序及教學內(nèi)容師生行為設計意圖

1一、復習引入1

導語設計：到目前為止，我們已經(jīng)學習了二次根式的乘除、加減運算，這點題，板書課題.

節(jié)課來學習二次根式的混合運算.

1二、探究新知1

(一)二次根式混合運算法則

活動1、類比計算，說明理由學生計算，觀察對

比，類比整式混合運

①(2a+3b)a;(2V2+373)V6算知識嘗試計算讓學生嘗試經(jīng)歷

從已知到未知的

②(2a+3b)(a-b)；(V2-V6)(^24-V5)遷移，感受式數(shù)通

性.

③(3〃b-4a2)a；(+VT2)+

思考：(1)在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)能否繼續(xù)使用？

(2)二次根式的混合運算與整式的混合運算相同之處是什么？

為總結(jié)二次根式

(3)左邊式子中的字母a、b可以表示二次根式嗎？教師組織學生小組的混合運算法則

交流，進行討論.做鋪墊

(4)模仿整式的混合運算怎樣進行二次根式的混合運算？

活動2、給出二次根式的混合運算的一般步驟.

分析法則：

結(jié)合探究內(nèi)容師生

（1）進行二次根式混合運算時，運算順序與實數(shù)運算類似，先算乘方，再

總結(jié)

算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）.更好地理解和運

用法則

（2）對于二次根式混合運算，原來學過的所有運算律、運算法則仍然適用，

整式、分式的運算法則仍然適用。

（3）有括號的二次根式混合運算，去掉括號是最關鍵的一步.初步進行計算

學生板演，并說明每

練習：①課本例4,之后補充（3）（A/48-1V6）-V27

4一步的依據(jù)，然后師

生訂正.

②課本例5,之后補充（5V2+2V5）2

分析說明：①中補充（3）是不能除盡（含分數(shù)線）的類型。②中補充完全

平方公式應用.

歸納：二次根式混合運算時，乘法公式仍然適用，仔細觀察式子的特征，

靈活運用完全平方公式、平方差公式來簡化運算.

（二）二次根式混合運算的應用

1若.x=遮一1,則x2+x+l=________

2.x=V3+V2,y=V3—V2f

求（1）2+三；（2）2x+6xy4-2y2的值.

感受二次根式混

xVn

BC引導學生先觀察、分合運算的應用

析，找學生說明解題

3.如圖，四邊形ABCD中，AB_LBC,AD±

思路，解題后養(yǎng)成說

AB,AB=1,BC=CD=2,求四邊形ABCD的面積.AD明理由的反思習慣.

|三、課堂訓繳

完成課本練習

.補充：

1.海倫一一秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是°b,c,設

P~a+'+c,則三角形的面積為S=Jp（p-a^p-b\p-c）

2

學生獨立完成練習，

公式運用：在&45c中，BC=4,AC=5,AB=6,求^ABC的面積。鞏固新知，師生訂正

熟練計算和解題

1四、小結(jié)歸納1

1.進行二次根式混合運算的一般步驟.

2.二次根式混合運算時，仔細觀察式子的特征，靈活運用運算法則、運算

律、公式來簡化運算.

2.二次根式混合運算的應用.

1五、作業(yè)設計1指導學生交流，教師

總結(jié)

復習鞏固作業(yè)和綜合運用為全體學生必做；拓廣探索為成績中上等學生必納入知識系統(tǒng)

做；學有余力的學生，要求模仿編擬課堂上出現(xiàn)的一些補充題目重復練習.

補充作業(yè)：本課無.

板書設計

課題例5補充

二次根式混合運算法法則

板演例4應用注意：

教學反思

作課類別示范課課題第二H■"一章二次根式21.1二次根式課型新授

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1.理解二次根式的定義，會用算術平方根的概念解釋二次根式的意義.

知識

教2.會確定二次根式有意義的條件，知道是非負數(shù)，并會運用.

技能

3.會進行二次根式的平方運算，會對被開方數(shù)為平方數(shù)的二次根式進行化簡.

學7.經(jīng)歷觀察、比較、概括二次根式的定義.

過程8.通過探究二次根式的條件和結(jié)果，達成知識目標2.

目方法

9.通過探究和C所含運算、運算順序、運算結(jié)果分析，歸納并掌握性質(zhì).

標情感

培養(yǎng)學生觀察、猜想、探究、歸納的習慣和能力，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的樂趣.

態(tài)度

傘）-和的運算、化簡

教學重點1.JZ有意義的條件.2.?！?時，￡》0的應用.3.

教學難點。＜0時J形的化簡.

教學過程設計

教學程序及教學內(nèi)容師生行為設計意圖

1一、復習引入1點題，板書課題.讓學生了解本章

的學習內(nèi)容和本

導語設計：在勾股定理和四邊形兩章中，已經(jīng)用到過簡單的二次根式課的學習目標.

運算，在本章中將系統(tǒng)地學習二次根式的運算。本課只學習二次根式

的概念及其三個運算性質(zhì).

1二、探究新知1

（一）定義及非負性算術平方根的意

學生獨立完成后，教師訂正；義是得出二次根

活動1、填空，完成課本思考1:

并引導學生觀察得出：四個式的性質(zhì)的基礎，

復習算術平方根

而，y[S＜叵,聆式子表示的都是非負數(shù)的算

術平方根.的意義便于理解

定義、歸納性質(zhì).

教師可指出算術平方根即正

活動2、觀察其形式上的共同點，被開方數(shù)的共同點，說明各式所表

的平方根.

示的共同意義.

讓學生理解二次

活動3、給出二次根式的定義，介紹二次根式的讀法.根式是按形式定

義的，并理解二次

可讀作二次根號65,

根式存在的條件

簡稱根號65（只有二次可簡

活動4、思考下列問題：和運算結(jié)果的非

稱），也可讀作65的算術平

①J5的運算結(jié)果是3,J5是不是二次根式？3是不是？方根.負性.

可由學生思考后進行討論，

②定義中為什么要加。20?若a<0,表示什么？有無意義？然后教師訂正，最后師生尹

同歸納得出性質(zhì)1:

③當a=0時，表示什么？結(jié)果是什么？當a>0時，JZ表示什

4a（a》o）是一個

么？可不可能為負數(shù)？4a（a"o）是什么樣的數(shù)呢？非負數(shù)

師生共同分析歸納出使二步

例1、當X是怎樣的實數(shù)時，下列二次根式有意義？在下列二次根式

通過例題分析和

有意義的情況下，其運算結(jié)果是怎樣的實數(shù)？根式有意義的條件：不是依

字母為非負數(shù)，而是使被開練習加深對二次

根式“運算結(jié)果和

Jx-2?—?—，d幺+3方數(shù)為非負數(shù)，且還要考慮

被開方數(shù)雙非負”