2021-2022學年人教九年級（上）數(shù)學寒假作業(yè)（三）

2021-2022學年人教新版九年級（上）數(shù)學寒假作業(yè)（三）

一.選擇題（共8小題）

1.已知二次函數(shù)y=-7+灰+c,的圖象如圖，其中6,c的值可能是（）

A.b=-2,c=\B.b=2,c=lC.b=2,c=-1D.b=-2,c=-1

2.關(guān)于函數(shù)和函數(shù)（〃W0）在同一坐標系中的圖象,B,C,D四位同

學各畫了一種，你認為可能畫對的圖象是

4.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與尸加/-的圖象可能是（）

5.拋物線y=3(JC-3)2+4頂點坐標是()

A.(-3,4)B.(3,4)C.(3,-4)D.(-4,3)

6.把二次函數(shù)y=-/-2x+3配方化為y=a(x-/?)2+k形式是()

A.y--(x-1)2-4B.y--(x+1)2+4

C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+1)2-3

7.已知關(guān)于x的一元二次方程2/+4x+Z-1=0有兩個不等的整數(shù)根，且k為正整數(shù).則關(guān)

于x的二次函數(shù)1的圖象與坐標軸的交點個數(shù)有()

A.6個B.5個C.2個D.1個

8.己知拋物線丫二以2-2"-,〃(aWO)與x軸的交點為A(-1,0),8(x2,0),有下列

說法：①一元二次方程ax2-2取-，〃=0的兩個根為xl=-l,m=3；②若拋物線與)，軸

交于點C,CD〃x軸交拋物線于點。，則CQ=2；③若點E(2,yi),F(-3,”)在拋

物線上，則yi>"；④拋物線y=與原拋物線關(guān)于x軸對稱.其中正確的

說法有()

A.4B.3C.2D.1

二.填空題(共6小題)

9.若函數(shù)了二生力近加/母+乂4是關(guān)于1的二次函數(shù)，則根的值是.

10.小明同學在用描點法畫二次函數(shù)y=a(%-/!)2+kQW0)圖象時，列出了下面表格:

x-10123…

ym3236

則m的值是.

II.已知二次函數(shù)y=(x-/n)2+1,當x<l時，y隨著x的增大而減小，請寫出一個符合

條件的m的值是

12.二次函數(shù))，=以2+公+。的圖象如圖所示，那么匕0,c0(填“>”,“=

或

13.拋物線y=-(x-1)2-瓶2+4機與x軸的兩個交點分別為c,D,頂點為尸.當APCD

的面積最大時，，”=

14.如圖，一段拋物線：y=-x(x-2)(0WxW2)記為Ci,它與x軸交于兩點O,Ai；將

Cl繞Ai旋轉(zhuǎn)180°得到C2,交x軸于42；將C2繞42旋轉(zhuǎn)180°得到C3,交x軸于A3;…

如此進行下去，若點P(2023,m)在某段拋物線上，則〃?=

15.當機為何值時，y=(m+1)xm2-3m~2+3x-2是二次函數(shù)？

16.已知二次函數(shù)y=/-4x+3.

(1)在平面直角坐標系xO｝，中畫出該函數(shù)的圖象；

(2)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、8(點A在點B左邊)，與)，軸交于點C,則AABC

面積為;

(3)當0WxW3時，y的取值范圍是

5?

4-

3-

2-

1_

?????____??i??.

-5-4-3-2-1012345x

-r

-2-

-3-

-4-

-5-

17.已知拋物線的解析式是)，=/-(H2)x+2k-2.

(1)求證：此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；

(2)若拋物線與直線)=》+必-I的一個交點在)，軸上，求該二次函數(shù)的頂點坐標.

18.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=/-("5)乂+]一相,該函數(shù)的圖象與x軸相交于A、8(4

2

在B的左側(cè))兩點，與y軸交于點C(0,-8).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P為拋物線上一點，且位于x軸的上方，若的面積為12,求點P的坐標.

19.在平面直角坐標系中，已知拋物線y=f-2〃?x+4m+2(m為常數(shù)).

(1)若該拋物線與x軸的一個交點為(1，0),求，〃的值及該拋物線與x軸的另一個交

點坐標；

(2)不論m取何實數(shù)，該拋物線都經(jīng)過定點G.求點G的坐標，并通過計算判斷點G

是否是所有拋物線頂點中縱坐標最大的點？

20.已知二次函數(shù)yi=/+4x+3Z和”二扇+以^^^,其中上片0且471.

(1)若％=1,求二次函數(shù))"=x2+4x+3k的圖象與坐標軸的交點坐標；

(2)若V的圖象頂點為E,中的圖象頂點為F,且點E與點F關(guān)于x軸對稱，求k的值；

(3)若v的圖象與"的圖象相交于點M,N,當上的值發(fā)生變化時，判斷線段的長

度是否發(fā)生變化，并說明理由.

2021-2022學年人教新版九年級（上）數(shù)學寒假作業(yè)（三）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

I.己知二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖象如圖，其中乩c的值可能是（）

A.h=-2,c=\B.b=2,c=\C.b=2,c=-1D.b=-2,c=-1

【考點】二次函數(shù)的圖象.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力；應用意識.

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向可得到。的正負，再根據(jù)左同右異可以得到6的正負，

然后根據(jù)與y軸的交點，可以得到c的正負，從而可以判斷哪個選項符合題意.

【解答】解：由圖象可得，

a<0,b>0,c>0,

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是求出八從c的正負情況.

2.關(guān)于函數(shù)丫二依2和函數(shù)y=ax+a（aWO）在同一坐標系中的圖象，A,B,C,。四位同

【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

【分析】分”>0和“<0兩種情況根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象分析判斷即可得解.

【解答】解：〃>0時，拋物線開口向上，一次函數(shù)y=ox+a經(jīng)過第一、二、三象限，a

VO時，拋物線開口向下，一次函數(shù)），=公+。經(jīng)過第二、三、四象限，。選項符合.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，熟練掌握函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵，注意分情況討論.

3.二次函數(shù)瓜+c（aW0）的圖象如圖，那么一次函數(shù)y=2什匕的圖象大致是（）

【專題】一次函數(shù)及其應用；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀；推理能力.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸判斷出人和c的正負情況，再由一次

函數(shù)的性質(zhì)解答.

【解答】解：由圖象開口向下可知。<0,

對稱軸x=-且<0,得b<0.

2a

又知當工=0時-，y=c>Of

所以一次函數(shù)y=冬+6的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限.

c

故選：A.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出。、6和

c的正負情況，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題，此題難度不大.

4.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=g+〃與尸團/-“X的圖象可能是（）

A.B.4

o

/\\/x/p\X

C./ID./I'

【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)判定〃？、〃的符號，進一步判定二次函數(shù)的開口方向和對稱

軸的位置進行判斷.

【解答】解：若函數(shù)經(jīng)過一二三象限，機>0,n>0,則二次函數(shù)-“X

的圖象開口向上，對稱軸彳=-二工>0,在)，軸的右側(cè)；

2m

若函數(shù)經(jīng)過一二四象限，，〃<0,〃>0,則二次函數(shù)y=，/-的圖象開口向

下，對稱軸》=-二3<0,在y軸的左側(cè)；

2m

故選：C.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

5.拋物線y=3(x-3)2+4頂點坐標是()

A.(-3,4)B.(3,4)C.(3,-4)D.(-4,3)

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；符號意識.

【分析】根據(jù)(x-〃)2+”的頂點坐標是(/2,k),可得答案.

【解答】解：y=3(x-3)2+4的頂點坐標是(3,4),

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用y=a(x-h)2+A的頂點坐標是(力,k)是解

題關(guān)鍵.

6.把二次函數(shù)y=-2x+3配方化為y=a(x-力)2+4形式是()

A.y=-(x-1)2-4B.y=-(x+l)2+4

C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+l)2-3

【考點】二次函數(shù)的三種形式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【分析】利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方

式，即可把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式.

【解答】解：y=-?-2x+3

=-(jti+Zr+l)+3+1

=-(x+1)2+4,

即y--(x+1)2+4.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式：y=

a^r+bx+c(“WO,a、b、c為常數(shù))；(2)頂點式：y=a(x-li)~+k-,(3)交點式(與x

軸)：y—a(x-xi)(x-X2).

7.已知關(guān)于x的一元二次方程2?+4x+Jt-1=0有兩個不等的整數(shù)根，且無為正整數(shù).則關(guān)

于x的二次函數(shù)曠=2?+4/%-1的圖象與坐標軸的交點個數(shù)有()

A.6個B.5個C.2個D.1個

【考點】拋物線與x軸的交點；根的判別式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)：推理能力.

【分析】先由方程有兩個整數(shù)根得到k的取值，然后根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系得到對

應函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù).

【解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程27+4x+h1=0有兩個不相等的整數(shù)根，且左為

正整數(shù)，

AA=42-4X2X(%-1)=24-8E>0,

：.0<k<3,

k—1,或后=2,

①當k=l時，y—2x2+4x,

令y=0,得2X2+4X=0,

解得：JCI=O,X2=-2,符合條件，

函數(shù)與x軸的交點為(0,0),(-2,0),

令x=0,得y=0,

...函數(shù)與)，軸的交點為(0,0),

函數(shù)與坐標軸有2個交點;

②當％=2時，y=2，+4x+l,

令y=0，得才+4工+1=0,

解得：X1=±/N,X2=0返，不符合條件，舍去；

22

綜上所述，函數(shù)與坐標軸的交點有2個交點.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是

熟知一元二次方程的解和一元二次方程與x軸的交點橫坐標之間的關(guān)系.

8.已知拋物線），=”/-2"-根（aWO）與x軸的交點為A（-1,0）,B（X2,0）,有下列

說法：①一元二次方程以2-2^-,"：。的兩個根為獷=-1,筮=3；②若拋物線與），軸

交于點C,CQ〃x軸交拋物線于點。，則CQ=2；③若點E（2,yi）,F（-3,”）在拋

物線上，則yi>”；④拋物線yu-―-dax+zn與原拋物線關(guān)于x軸對稱.其中正確的

說法有（）

A.4B.3C.2D.1

【考點】拋物線與x軸的交點；根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點

的坐標特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應用意識.

【分析】由拋物線的對稱軸x=l及其與x軸的交點A（-1,0）,利用對稱性可得另一交

點即可判斷①；根據(jù)拋物線的對稱性及對稱軸x=l可得的長，即可判斷②；根據(jù)拋

物線與x軸的交點及二次函數(shù)的增減性，結(jié)合開口方向可判斷③；根據(jù)關(guān)于x軸的對稱

的圖形橫坐標相等、縱坐標為相反數(shù)可判斷④.

【解答】解：①^.?拋物線y=a；^-2av-m的對稱軸為x=-必?=l,

2a

，由拋物線與x軸的交點4（-1,0）知拋物線與x軸的另一個交點3的坐標為（3,0）,

則一元二次方程以2-2奴-m=0的兩根為劉=-1,X2=3,故①正確，符合題意；

②根據(jù)題意，設(shè)C（0,~加），D（〃，-tn）,

由拋物線的對稱軸為x=l知上（0+〃）=1,得〃=2,

2

：.CD=\n-0\=\n\=2,故②正確；

③由題意知，函數(shù)的對稱軸為x=l,點（2,0）比（-3,0）離對稱軸近，

二當拋物線開口向上時，”>yi,

而當拋物線開口向下時，”Vyi,故③錯誤，不符合題意；

④拋物線y—~ax1-4ax+m關(guān)于x軸對稱的拋物線為-y--ar2-4ax+m,即y—ax1+4ax

-，〃，故④錯誤，不符合題意；

綜上，正確的是①②.

故選：C.

【點評】本題主要考查拋物線與x軸的交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題）

9.若函數(shù)y=（2一nOx/T+x.S是關(guān)于x的二次函數(shù)，則”的值是-2.

【考點】二次函數(shù)的定義.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【分析】利用二次函數(shù)定義可得加2-2=2,且2-mWO,再解即可.

【解答】解：由題意得：得加2-2=2,且2-

解得：/〃=-2,

故答案為：-2.

【點評】本題考查了二次函數(shù).解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義：函數(shù)y=ax2+bx+c

（“WO,〃、b、c為常數(shù)）叫二次函數(shù).

10.小明同學在用描點法畫二次函數(shù)y=a（x-h）2+k（.WO）圖象時，列出了下面表格:

X???-10123…

???

ym3236…

則m的值是6.

【考點】二次函數(shù)的圖象.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】根據(jù)題目提供的滿足二次函數(shù)解析式的x、y的值，確定二次函數(shù)的對稱軸，利

用對稱軸找到一個點的對稱點的縱坐標即可.

【解答】解：由上表可知函數(shù)圖象經(jīng)過點（0,3）和點（2,3）,

.,.對稱軸為X—11

...當x=-1時的函數(shù)值等于當x=3時的函數(shù)值，

?.,當x=3時，y=6,

當X--1時，m—6.

故答案為：6.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，利用表格找到二次函數(shù)的對稱點是解決此

題的關(guān)鍵.

11.已知二次函數(shù)y=(x-w)2+1,當x<l時，y隨著x的增大而減小，請寫出一個符合

條件的m的值是m=2.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】推理填空題；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性及在對稱軸兩側(cè)的增減變化規(guī)律可得答案.

【解答】解：???二次函數(shù)y=2+1的對稱軸為x=〃?，當時，y隨著x的增

大而減小

當〃?時都符合要求，故可取m=2

故答案為：，”=2

【點評】本題考查了二次函數(shù)的對稱性及二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的增減變化趨勢，本題

屬于基礎(chǔ)題型，難度不大.

12.二次函數(shù)y=o？+&v+c的圖象如圖所示，那么bV0,c<0(填“>”，“=”，

或

【考點】二次函數(shù)的圖象.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】拋物線開口方向，對稱軸，與)'軸交點的位置確定。、6、c的符號，從而做出

判斷.

【解答】解：?.?拋物線開口向下，

?.,對稱軸在y軸左側(cè),

/.-旦<0,

2a

.?力<0,

:拋物線與y軸交在負半軸,

.?.cVO,

故答案為：＜,V.

【點評】考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸交點確

定“、機c的值，是二次函數(shù)性質(zhì)的集中體現(xiàn).

13.拋物線y=-(x-1)2-川+4〃?與x軸的兩個交點分別為C,D,頂點為P.當△PCQ

的面積最大時，m=2.

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【分析】根據(jù)拋物線的解析式求得項點坐標；根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性

質(zhì)，可以求得，"為何值時的面積最大.

【解答】解：,拋物線＞=-(x-1)2-m2+4m,

：.該拋物線的頂點P為(1,-序+4機)，

當-m2+4/n最大時，XPCD的面積最大，

-(m-2)2+4,

.?.當"?=2時，-川+4帆最大為4,即為2時△2(?￡)的面積最大.

故答案是：2.

【點評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，解

題的關(guān)鍵是利用配方法求得-;n2+4,M=-(m-2)2+4.

14.如圖，一段拋物線：y=-x(x-2)(0WxW2)記為Ci,它與x軸交于兩點。，Ai；將

Cl繞4旋轉(zhuǎn)180°得到C2,交x軸于42；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3,交x軸于A3;…

如此進行下去，若點P(2023,相)在某段拋物線上，則m=.

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次

函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應用意識.

【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，得到圖象。與x軸交點坐標為：(0,0),(2,

0),此時頂點坐標為(1,1),再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到圖象C2與x軸交點坐標為：(2,0),

(4,0),頂點坐標為(3,-1),于是可推出拋物線上的點的橫坐標x為偶數(shù)時，縱坐

標為0,橫坐標是奇數(shù)時，縱坐標為1或-1,按照上述規(guī)律進行解答，即可求解.

【解答】解：???一段拋物線Cl：y=-x(x-2)=-(x-1)2+1(0WxW2),

圖象Ci與x軸交點坐標為：(0,0),(2,0),此時拋物線頂點坐標為(1,1),

;將。繞點41旋轉(zhuǎn)180°得C2,交x軸于點42,

拋物線C2：y=(x-2)(x-4)=(x-3)2-1(2WxW4),

圖象C2與x軸交點坐標為：(2,0),(4,0),此時拋物線頂點坐標為(3,-1),

將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3,交x軸于點A3；…

(2023,m)在第1012段拋物線C1012上，1012是偶數(shù)，

...點P(2023,m)是拋物線C1012的頂點，且點P(1012,m)在x軸的下方，

??m--1.

故答案為：-1.

【點評】本題考查了拋物線與X軸的交點，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與幾何變換.掌

握拋物線解析式的求法，以及拋物線與X軸交點坐標的求法是解答本題的關(guān)鍵.

三.解答題(共6小題)

15.當相為何值時，y=(ZM+1)xm2-3nr2+3x-2是二次函數(shù)？

【考點】二次函數(shù)的定義.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】直接利用二次函數(shù)的定義分析得出答案.

【解答］解：..}=(/w+1)xm--3m_2+3x-2是二次函數(shù)，

~3m-2=2,

解得：〃”=4,m2=-1,

：成+1W0,

.?./n#-1,

故)?=4.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

16.已知二次函數(shù)y=7-4x+3.

(1)在平面直角坐標系xO.y中畫出該函數(shù)的圖象;

(2)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A、3(點A在點3左邊)，與y軸交于點C,則△A3C

面積為3；

(3)當0WxW3時，y的取值范圍是.

以

5-

4-

3-

2-

1_

?????________?Illi.

-5-4-3-2-1012345x

-1"

-2-

-3-

-4-

-5-

【考點】二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀；運算能力.

【分析】(1)把一般式配成頂點式得到拋物線的頂點坐標，求得拋物線與x軸的交點坐

標，再確定拋物線與y軸的交點坐標，然后利用描點法畫出二次函數(shù)圖象：

(2)根據(jù)交點坐標，得到48=2,OC=3,然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；

(3)結(jié)合二次函數(shù)圖象，寫出當0WxW3時對應的y的取值范圍.

【解答】解：(1)；丫=7-4.計3=(%-2)2-b

拋物線的頂點坐標為(2,-1)；

當y=0時，x2-4x+3=0,解得xi=l,JQ=3,

，拋物線與x軸的交點坐標為(1,0),(3,0)；

當x=0時，y=--4x+3=3,則拋物線與y軸的交點坐標為(0,3),

如圖，

(2)VA(1,0),B(3,0),C(0,3),

：.AB=2,OC=3,

/.S^ABC=Xw?OC=』X2X3=3,

22

故答案為：3：

(3)由圖象可知，當0WxW3時，y的取值范圍是-lWyW3.

故答案為-lWy<3.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的

面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

17.已知拋物線的解析式是-(H2)x+2k-2.

(1)求證：此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；

(2)若拋物線與直線>=*+必-1的一個交點在y軸上，求該二次函數(shù)的頂點坐標.

【考點】拋物線與x軸的交點：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次

函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運算能力.

【分析】(1)由△=[-(k+2)]2-4XlX(2k-2)=必-4-12=(%-2)2+8>0可得

答案；

(2)先根據(jù)拋物線與直線)，=犬+必-1的一個交點在)，軸上得出象-2=必-1,據(jù)此求得

上的值，再代回函數(shù)解析式，配方成頂點式，從而得出答案.

【解答】解：(1)；△=[-(?+2)]2-4XlX(2k-2)

=0-4/+12

=(?-2)2+8>0,

...此拋物線與X軸必有兩個不同的交點;

(2)?.?拋物線與直線y=x+F-I的一個交點在y軸上，

：.2k-2=l^-1,

解得k=\,

則拋物線解析式為y=/-3x=(x--|)2-X

所以該二次函數(shù)的頂點坐標為(3,-2).

24

【點評】本題主要考查的是拋物線與X軸的交點,解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)y=o?+公+C

(a,b,c是常數(shù)，a￥0)的交點與一元二次方程0?+云+。=0根之間的關(guān)系及熟練求二

次函數(shù)的頂點式.

18.已知關(guān)于x的二次函數(shù))=/-包空2三+1-〃?，該函數(shù)的圖象與x軸相交于A、B(A

2

在B的左側(cè))兩點，與)，軸交于點C(0,-8).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為拋物線上一點，且位于x軸的上方，若的面積為12,求點P的坐標.

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；待定

系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應用意識.

【分析】(1)根據(jù)拋物線與)，軸交于點c(0,-8),可得可求出拋物線解

析式；

(2)設(shè)點P坐標為(xp,yp)(yp>0),先令y=0,解一元二次方程求出點A,B坐標，

再根據(jù)三角形的面積等于12,求出)，p,再把yp代入拋物線解析式求出必即可.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，得1-〃?=-8.

解得：m=9,

則更至=2,

2

拋物線的解析式為-2r-8；

(2)設(shè)點尸坐標為(xp,yp)(yp>0),

根據(jù)題意可得x2-2x-8=0,

解得：XI=4.XI--2,

(-2,0),B(4,0),

.'.AB=6,

，工X6Xyp=12,

2

解得：yp=4,

Ax2-2x-8=4,

解得：X1=1+V3?X2=l-V3-

???點尸坐標為（1+愿，4）,（1-V3,4）.

【點評】本題考查拋物線與X軸的交點以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求函數(shù)解析式.

19.在平面直角坐標系中，己知拋物線y=/-2〃?x+4，〃+2（機為常數(shù)）.

（1）若該拋物線與x軸的一個交點為（1,0）,求機的值及該拋物線與x軸的另一個交

點坐標；

（2）不論m取何實數(shù)，該拋物線都經(jīng)過定點G.求點G的坐標，并通過計算判斷點G

是否是所有拋物線頂點中縱坐標最大的點？

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次

函數(shù)的最值.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應用意識.

【分析】（1）根據(jù)該拋物線與x軸的一個交點為（1,0）,可以求得的值及該拋物線與x

軸另一交點坐標；

（2）根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以求得點G的坐標;將題目中的函數(shù)解析式化為頂點式，

然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明點”是所有拋物線頂點中縱坐標最大的點.

【解答】解：（1）：拋物線y=7-2g+4機+2與x軸的一個交點為（1,0）,

/.0=12-2m+4m+2,

解得：m--—,

2

.,.y=/+3x-4=（x+4）（x-1）,

當y=0時，得xi=l,xi--4,

即拋物線與x軸另一交點坐標是（-4,0）；

（2）拋物線y=x2-2mx+4m+2=J?+2-2m（x-2）,

不論,"取何實數(shù)，該拋物線都經(jīng)過定點（2,6）,

即點G的坐標為（2,6）；

證明：?.?拋物線y=/-2，nr+4，"+2=(x-m)2-(m-2)2+6,

，該拋物線的頂點坐標為(如-(切-2)2+6),

則當"?=2時，-(/"-2)2+6取得最大值6,

即點G是所有拋物線頂點中縱坐標最大的點.

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)

圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

20.已知二次函數(shù)yi=/+4x+34和*=扇+4丘+3七其中k#0且kWl.

(1)若k=l,求二次函數(shù)yinf+dx+B&的圖象與坐標軸的交點坐標；

(2)若的圖象頂點為E,中的圖象頂點為F,且點E與點F關(guān)于x軸對稱，求左的值;

(3)若yi的圖象與"的圖象相交于點M,N,當％的值發(fā)生變化時，判斷線段MN的長

度是否發(fā)生變化，并說明理由.

【考點】拋物線與x軸的交點：關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次

函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】(1)先將上=1代入函數(shù)V中，然后令y=0解方程，即可求得與x軸的交點，

令x=0,即可得到與y軸的交點；

(2)先將函數(shù)解析式化為頂點式，然后得到點E和點F的坐標，再利用關(guān)于x軸對稱的

點縱坐標互為相反數(shù)列出方程求得k的值；

(3)先聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，求得點M和點N的坐標，然后求得MN的長，即可得

到結(jié)果.

【解答】解：(1)當％=1時，二次函數(shù)yi=/+4x+3,

令y=0，得/+4x+3=0,

解得：X--1或％=-3,

二函數(shù)yi的圖象與x軸的交點坐標為(-1,0),(-3,0),

令x=0,得y=3,

.?.函數(shù)與)，軸的交點為(0,3),

二函數(shù)yi的圖象與坐標軸的交點為(-1,0),(-3,0),(0,3).

(2)Vyi=X2+4X+3^=(X+2)2+3k-4,y2=kx2+4kx+3k=k(x+2)2-k,

二點E(-2,3A-4),點/(-2,-k),

???點E與點F關(guān)于x軸對稱，

：.3k-4+(-k)=0,

解得：k=2.

(3)線段MN的長度不發(fā)生變化，理由如下，

由題意可得，/+4^+3&=丘2+4區(qū)+3A,

化簡得，(A-1)?+4(k-I)x=0,

解得：》=0或》=-4,

：.M(0,3k),N(-4,3k),

：.MN=4,

線段MN的長度為定長4.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征，熟練轉(zhuǎn)化二次函

數(shù)的一般式為頂點式是解決本題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=信-4改)判斷方程的根的情況.

一元二次方程a/+bx+c=O(a#0)的根與△=廿-4ac有如下關(guān)系：

①當△>?時、方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△<()時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

2.根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：xi,★是方程/+px+q=O的兩根時，xi+x2=-p,

xi%2=q,反過來可得p=-(xi+%2),q=x\xi,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是

已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：Xi,X2是一元二次方程以2+6X+C=0(aWO)

的兩根時，Xl+X2=上，XIX2=—,反過來也成立，即主=-(X1+M),—=X1X2.

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求另

一個根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，川2+m2等等.④判斷兩根的符

號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解

題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮△》()這兩個前提條件.

3.一次函數(shù)的圖象

(1)一次函數(shù)的圖象的畫法：經(jīng)過兩點(o,b)、(-A,o)或(i,什6)作直線)，=履+氏

k

注意：①使用兩點法畫一次函數(shù)的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據(jù)具體情況，所

選取的點的橫、縱坐標盡量取整數(shù)，以便于描點準確.②一次函數(shù)的圖象是與坐標軸不平行

的一條直線(正比例函數(shù)是過原點的直線)，但直線不一定是一次函數(shù)的圖象.如y

=匕分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數(shù)的圖象.

(2)一次函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系：直線y=H+6,可以看做由直線>=日平移回個單位而

得到.

當6>0時?，向上平移；人<0時，向下平移.

注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數(shù)相等；反之亦然；

②將直線平移，其規(guī)律是：上加下減，左加右減；

③兩條直線相交，其交點都適合這兩條直線.

4.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

一次函數(shù)（ZWO,且A,b為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（-

上，0）；與y軸的交點坐標是（0,b）.

k

直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)^kx+b.

5.二次函數(shù)的定義

（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+/>x+c（u、/）、c是常數(shù)，aWO）的函數(shù)，叫做

二次函數(shù).其中x、y是變量，〃、氏c是常量，〃是二次項系數(shù)，方是一次項系數(shù)，c是常

數(shù)項..'—cV+bx+c（a、b、c是常數(shù),a#0）也叫做二次函數(shù)的一般形式.

判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將

其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件.

（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù)，對實

際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義.

6.二次函數(shù)的圖象

（1）二次函數(shù)y=o?（a#0）的圖象的畫法：

①列表：先取原點（0,0）,然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表.

②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點.

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點.

④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂

點的兩側(cè)各取三四個點即可.連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到?。┑捻樞蛴?/p>

平滑的曲線連接起來.畫拋物線y=o?QW0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描

點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè).

（2）二次函數(shù)）uo^+bx+c（。聲0）的圖象

二次函數(shù)y=af+8+c（”W0）的圖象看作由二次函數(shù)y=o?的圖象向右或向左平移|上|個

2a

單位，再向上或向下平移|生0乙個單位得到的.

4a

7.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)〉=/+勿;+0（a#0）的頂點坐標是（-生》,4本一一b）,對稱軸直線x=-_^_,

2a4a2a

二次函數(shù)y=a/+fcr+c（aWO）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當〃>0時，拋物線y=〃W+/?x+c（〃WO）的開口向上，％〈-時，y隨x的增大而減??；

2a

2

x>-且時，y隨X的增大而增大；x=-應時，y取得最小值%即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當qVO時，拋物線》二/+云+c（aWO）的開口向下，元<-時，y隨x的增大而增大;

2a

2

x>一旦時，y隨x的增大而減?。粁=一旦時，y取得最大值%￡*_,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線），=0?+法+。（。#0）的圖象可由拋物線），="/的圖象向右或向左平移?-_L|個單

2a

位，再向上或向下平移性注*二個單位得到的.

4a

8.二次函數(shù)圖象上點的坐標特征

2

二次函數(shù)>="2+法+。（a#O）的圖象是拋物線，頂點坐標是（-且，4ac-b）.

2a4a

①拋物線是關(guān)于對稱軸X=-巨成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，