期中模擬試題（二）（解析版）-教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中

模擬試題(二)

一.選擇題

1.已知向量。4=(2,3),。月=(4,-1),尸是線段AB的中點(diǎn)，則尸點(diǎn)的坐標(biāo)是

A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)

【答案】B

【解析】由線段的中點(diǎn)公式可得。尸=：(。4+。2)=(3,1),故尸點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1),

故選B.

2.若復(fù)數(shù)z滿足(z—1)(1+。=2—27,則|z|=

A.72B.>/3D.75

【答案】D

【解析】由(z-l)(l+i)=2-2i，

z=1-2i,

則|2|="廿+(—2)2=亞.

故選D.

3.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+2i)=|4—3，|(其中，為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部為

A.-2B.-2zC.1D.i

【答案】A

【解析】由z(l+2i)=|4-3/1=W+(—3『=5,

復(fù)數(shù)z的虛部為-2.

故選A.

4.復(fù)數(shù)z1=-2zy的共輾復(fù)數(shù)的虛部為

i+尸

n.—ij----u.—

222

【答案】D

l-2zl-2z(l-2z)(l+z)31.

【解析】Z-z-==-I,

1+i31-i(l-z)(l+022

,_31.

?.z=—

2

復(fù)數(shù)z=上胃的共規(guī)復(fù)數(shù)的虛部為

1+z32

故選D.

5.已知向量。，6滿足|=21a|=2,\2a-b\=2,則向量a,6的夾角為

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設(shè)向量。，6的夾角為。，

若|b|=2|a|=2,貝力方|=2,|。|=1,

若|2a-b|=2,則(2。-6)2=4a2-4a-b+b2=8-8cos6=4,

解可得cose=」，

2

又由0啜R180°,故6=60。,

故選C.

6.已知向量a=(-1,2),b=(2/77-1,1),且a_L6,則|a-2Z?|=

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】向量。=(-1,2),6=(2利-U)，且。，6,

可得—(—2m—1)+2=0，角軍得m=—，

2

所以萬=(2,1),a-21=(-5,0),

所以|a-2b|=5.

故選A.

7.已知小，〃為兩條不同的直線，a,月為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是

A.mua,nua,m!113,n110=a110B.all。，mcza,nu/3nmlIn

C.m.Lafm工n=nllaD.mlInyn.La=>m.La

【答案】D

【解析】加，"為兩條不同的直線，a,分為兩個不同的平面，

對于A,mua，nua，ml//3,〃//力=>a//6，也可能相交，所以A不正確；

對于3,a110,mua,"u/?n〃2//〃也可能異面，所以3不正確；

對于C,m±a,有可能〃utz,所以。不正確；

對于。，m!In,〃_La_Lor,滿足直線與平面垂直的性質(zhì)，所以。正確.

故選D.

8.四面體A—BCD中，面ABC,AB=BC=3,ZABC=120°,DC=8,則四面體A—BCD外

接球的表面積為

A.100萬B.50%C.25TlD.9U

【答案】A

【解析】設(shè)AA5c外接圓的圓心為色，四面體A-BCD外接球的球心為O,半徑為R,

連接O]C,。。1,OC,

由正弦定理可得———=2O,C,即O.C=—-—=3,OO,=-DC^4

sinABAC2sin30012

R=OC=JoQ+OO；=742+32=5,

即四面體A-BCD外接球的表面積為S=4萬x52=100萬,

故選A.

二.多選題

9.AA3C是邊長為2的等邊三角形，已知向量&力滿足A3=2d,AC=2a+6,則下列結(jié)論正確的是

A.a是單位向量B.BC//bC.a.b=1D.BC_L(4“+b)

【答案】ABD

【解析】A.|AB|=2,.?.由AB=2a得，|a|=J~=1,二口是單位向量，該選項(xiàng)正確；

2

B.BC=AC-AB=2a+b-2a=b,BC//b,該選項(xiàng)正確；

2

一2..h

C.|AC|=2,|a|=1,.,.由AC=2a+6得，AC=4a"+4a>b+b~,BP4—4+4a^b+b2,a?b=Hl,

4

該選項(xiàng)錯誤；

D.BC=b,由上面得，BC^4a+b)=b-(4a+b)=4a-b+b2=0,BCL^a+b),該選項(xiàng)正確.

故選ABD.

10.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若匕=ccosA,角A的角平分線交BC于點(diǎn)

D,AD=1,cosA=-,以下結(jié)論正確的是

8

A.AC=-B.AB=8

4

cCD1D.AABD的面積為逆

BD84

【答案】ACD

【解析】因?yàn)椤?ccosA,

由正弦定理可得，sin6=sinCcosA=sin(A+C),

所以sinAcosC=0，

因?yàn)閟inAw0,

所以cosC=0即C=」萬，

2

14AC

8AB

由角平分線定理可得，—■,

ABBD8>

設(shè)AC=x,AB=8x,貝!|3C=3A/7X,CD=----x,

3

百『1,

RtAACD中，由勾股定理可得，x2+1

解可得％=—，BPAC=—,AB=6f

44

c_13,763_2777

AB。24832

所以SMBD=?

故選ACD.

D

AB

11.在正方體45CD-A4CQ中，N為底面ABCD的中心，P為線段A2上的動點(diǎn)（不包括兩個端點(diǎn)），

以為線段AP的中點(diǎn)，則

A.CM與EV是異面直線

B.存在尸點(diǎn)使得PN//平面CGR。

C.平面R4N_L平面2DRA

D.過尸，A,C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形

【答案】BCD

【解析】對于A,因?yàn)镃,N,A共線，又CN,尸”交于點(diǎn)A,即尸，M,N,C共面，因此CM與

RV共面，故選項(xiàng)A不正確；

對于3,當(dāng)尸為A2的中點(diǎn)時，PN//平面CC]RD,故選項(xiàng)3正確；

對于C,AN±BD,AN工BB],BDBB、=B,BD,B與u平面

;.AN_L平面畫，ANu平面FAN,

平面F4N_L平面耳，故選項(xiàng)C正確；

對于。，過尸，A,C三點(diǎn)的正方體的截面與GQ相交于點(diǎn)Q,則AC//PQ,且PQ<AC,因此一定

是等腰梯形，故選項(xiàng)。正確.

故選BCD.

12.在棱長為2的正方體ABCD-ABCQI中，E,尸分別為AB,AA的中點(diǎn)，則（）

A.BDVB.C

B.EF//平面

C.AC]_L平面BQC

D.過直線EF且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為應(yīng)

【答案】BC

【解析】對于A,4C//A。，.,.NAD8是與gC所成角（或所成角）的補(bǔ)角，

\D=BD=\B,:.ZA,DB=6Q°,;.BD與四C不垂直，故A錯誤；

對于3,取AD中點(diǎn)G,連接FG,EG,則EG/ABD,FG//BB1,

EGfFG=G,BD「BB[=B,二平面EFG//平面DgB,

EFu平面￡FG,.1EF//平面￡>48,故3正確；

對于C，4Ci1BiDi'M-LBiDi>AGPM=A>

AG、A4,u平面441c1，

.??42_L平面MG,AC|U平面MG，AQ±BjD,,

同理AC】_L4C,

BtDtBlC=Bl,BQ[、B]Cu平面耳AC,

;.AG_L平面BQC,故C正確；

對于。，取A4中點(diǎn)H,連接FH、EH,

則尸H//8Q,GF/!BBX,

FH[]GF=F,BB{=用,平面EHFG//平面BBRD,

BDtu平面BB.D.D,EPcz平面EHFG,

過直線EF且與直線BR平行的平面截該正方體所得截面為矩形EHFG,

GF=2,GE=-BD=-yj4+4=y/2,

22

過直線EF且與直線8口平行的平面截該正方體所得截面面積為S=2點(diǎn)，故￡＞錯誤.

故選：BC.

三.填空題

13.已知i虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=工里(aeR)的虛部為-3,則|z|=

1+z

【答案】A/13

1—cii(1—Q，)(1—z)1—cii—i+(1—a)—(1—ci)i1—a1+tz.

【解析】1+i~(1+fXl-z)―-2—2-1

復(fù)數(shù)z=匕處(aeR)的虛部為-3,

1+i

1+"=—39解得a=5

2

了.z=-2—3z,

.'.|Z|=7(-2)2+(-3)2=713.

故答案為：A/13.

14.已知向量。=(：,-弓)，若向量6與。反向，且|6|=2,則向量b的坐標(biāo)是.

【答案】(-1,真)

【解析】因?yàn)椋合蛄縜=

.1a[=1,

向量6與々反向，且|6|=2

b=-2a=(-1,\/3).

故答案為：

15.已知向量方=(肛3)?b=(1,-2),且(a+b)_L6,則“=.

【答案】1

【解析】根據(jù)題意，向量。=(S,3),b=(1,-2),則。+6=(%+1,1).

因?yàn)?a+6)_L6,所以(a+6>6=加+1-2=0,解得m=1,

故答案為：1.

16.直三棱柱ABC-ABC的各頂點(diǎn)都在球o的球面上，且AB=AC=1，■BC=A/5，若球O的表面積為20萬,

則這個三棱柱的體積為.

【答案】A/3

【解析】設(shè)AABC和△ABC的外心分別為。?，連接002,

可得外接球的球心。為002的中點(diǎn)，連接。4、OB、OC,?！?、。波、OXC,

AB?+AC2—BC2

AABC中,cosA=

2ABAC2

A￡(0,7T),A=--f

3

根據(jù)正弦定理‘得枷c夕卜接圓半徑。4蓋=1

球。的表面積為20萬，4萬尺2=20萬，R=也,

RfZ\OQA中，00=,04_。閡=2,可得002=200=4,

直三棱柱ABC-44G的底面積SMBC=|AB-ACsing=亨，

直三棱柱ABC-A耳G的體積為5AA和x002=唐.

故答案為：也.

17.已知復(fù)z=a+6i(a,6eR)滿足z+3i為實(shí)數(shù)，上為純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.

2-i

(1)求實(shí)數(shù)。，6的值;

(2)若復(fù)數(shù)4=彳+2機(jī)+(加2-5)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴<"=一5；⑵(|,A/2).

Z?=-3

【解析】(1)由z=a+罰￡R),得z+3i=a+(>+3)i,

za+bi(a+bi)(2+z)2a-ba+2b.

--=---=-------=----1---1j

2-i2-i(2—i)(2+i)55

8+3=0_3

再由題意可得：<2a-b=0解得"一5

〃+26w0b=—3

4

(2)由(1)得,z=一一+3i,

2

3

貝！IZ]=5+2m+(m2—5)i=——+3i+2m+(m2—5)i

3

=(2m——)+(m2-2)i,

一3

2m—>0日3/r-

則2，即一<zn<，2.

m2-2<04

18.已知復(fù)數(shù)4=1-2,，Z2=3+43i為虛數(shù)單位.

(1)若復(fù)數(shù)z+*2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(2)若2=五，求z的共朝復(fù)數(shù)彳.

Z2

【答案】(1)-)；(2)z=--+-i.

3255

【解析】⑴復(fù)數(shù)Z1=l-2i,z2=3+4n

所以Z]+az?=(l-2i)+(7(3+4i)=(l+3(7)+(4a—2)i；

由該復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,

1+3?！?

所以

4。一2<0

解得-U

32

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(-：，；)；

(2)化簡z=五=g=I一「)(3-旬==：,

22

z23+4i3-(4Z)2555

z的共在復(fù)數(shù)彳=-』+乙.

55

19.(1)設(shè),，4是正交單位向量，如果0A=2弓+m02，0B=—e?，0C=5ex-e2,若A、B、C三

點(diǎn)在一條直線上，且相=2〃.求機(jī)、〃的值.

3

(2)已知。4=(2,3),05=(6,—3),點(diǎn)尸在線段班的延長線上，且|AP|='|P5|,求點(diǎn)尸坐標(biāo).

4

m=1

-rm=w

【答案】(1)1或；(2)P(-10,21).

n=——〃二5

I2

【解析】(1)以。為原點(diǎn)，,，%的方向分別為x,y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,

則。4=(2,加)，0—),<9C=(5,-1),

/.AC=(3,-1-m),BC=(5-0),

又，A,B,。三點(diǎn)在一條直線上,

...AC//BC,

.\3x0-(-1-m)(5-n)=0，與m=2〃聯(lián)立,

m=-l

m=10

解得1或

n二——n=5

2

(2)OA=(2,3),03=(6,—3),

A(2,3),B(6,-3),設(shè)尸(x,y),

丁點(diǎn)P在線段54的延長線上，且|AP|=3|P8|,

4

3

二.AP=——PB,

4

3

即(x-2,y-3)=-—(6-%,-3-y),

一3

x-2=—(x-6)

，＜4,解得x=-10,y=21.

3-

y-3=-(y+3)

I4

.■.P(-10,21).

20.如圖，在四棱柱ABCD-A4GR中，四邊形ABCD是邊長等于2的菱形，ZADC=120°,A4,_L平面

ABCD,O,E分別是AC,/IB的中點(diǎn)，AC交DE于點(diǎn)”，點(diǎn)廠為HC的中點(diǎn)

(1)求證：。尸//平面4成)；

(2)若OF與平面ABCD所成的角為60。，求三棱錐A-位)片的表面積.

【解析】(1)連接由于點(diǎn)尸為HC的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，所以o產(chǎn)//4/,

由于。尸仁平面AEG，A//U平面AED,

所以。尸//平面AED.

(2)連接BD,由于四邊形ABCD為邊長為2的菱形，ZADC=120°.

所以AABZ)為等邊三角形.

所以4”=友，DE=V3,且

3

由于Ob與平面ABCD所成的角為60。，且Of7/A〃，

由于A4,_L平面TWCD,

則：141HA=60。，

所以A4,=2型=石，

由于朋_L平面ABCD,Z)Eu平面ABCD,

所以44,_LOE.

又DE工AB,AAX^AB=A,

A4,,ABu平面AAB4，

所以。E_L平面,

則：\EYDE,

所以三棱錐A-3的表面積為：Ix2x2+lxlx2+lx73x^+lxlx2xf=^4^

*2_：

21.已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是〃，b,c,其面積S=^—-—-

4

(1)若Q=y/6，b=y/2，求COSB；

(2)求sin(A+3)+sin3cosB+cos(B-A)的最大值.

【答案】(1)叵;(2)9.

62

【解析】(1)s=l+°2-可得4csinA=^cos.

424

「.sinA=cosA,可得tanA=1,

AG(0,71),

,71

...A——

4

a=，b=，

二由正弦定理^=2,可得sin5=44=垃]2=，1,

sinAsinBaJ66

又，a>b,5為銳角，

/.cosB=yJl-sir^B=.

6

(2)A=-,