第06講 基本不等式（8大考點(diǎn)）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

第06講基本不等式(8大考點(diǎn))

考點(diǎn)一:基本(均值)不等式的應(yīng)用

考點(diǎn)二:根據(jù)基本不等式比較大小

考點(diǎn)二:根據(jù)基本不等式證明不等關(guān)系

考點(diǎn)四：基本不等式求枳的最大值

基本不等式

考點(diǎn)五:基本不等式求和的最小值

考點(diǎn)六：條件等式求最值

考點(diǎn)七：基本不等式的恒成立問題

號(hào)點(diǎn)八：容積的最值問題

Q考點(diǎn)考向

1.均值不等式：，我

(1)均值不等式成立的條件：a2o,b>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

(3)其中率稱為正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，〈還稱為正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2.兩個(gè)重要的不等式

⑴才+啟2a8(a,6GR),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

2

(2)a6W(W)(a,bGR),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào).

3.利用均值不等式求最值

已知x20,y20,則

⑴如果積孫是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是23(簡(jiǎn)記：積定和最小).

2

(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)>=y時(shí),燈有最大值是，(簡(jiǎn)記：和定積最大).

J技巧方法

1.均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常

用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好

利用均值不等式的切入點(diǎn).

2.對(duì)于均值不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，

例如：例《""JW"”,N,Z?>0）等，同時(shí)還要注意不等式成立

的條件和等號(hào)成立的條件.

口考點(diǎn)精講

考點(diǎn)一：基本（均值）不等式的應(yīng)用

一、單選題

1.（2022?四川宜賓?高一期末）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的

應(yīng)用，其表述如下：設(shè)db,x,y>0,則4+0之色犯，當(dāng)且僅當(dāng)3=2時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)權(quán)方和不等

xyx+yxy

291

式，函數(shù)/。）=一+」〕（0<]<7）的最小值為（）

x1-2x2

A.16B.25C.36D.49

【答案】B

【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用該不等式求解作答.

【詳解】因mb,x,y>0,則包+里之擔(dān)土幺，當(dāng)且僅當(dāng)巴=2時(shí)等號(hào)成立，

xyx+yxy

又0cxeLBPl-2x>0,

2

22（

于是得/（幻=2彳3+*22+3/=25,當(dāng)且僅當(dāng)2弓=』3，即x1時(shí)取"=，，，

2xi-2x21+（1-2%）2x\-2x5

291

所以函數(shù)/*）=—+「「（0<x<7）的最小值為25.

x\-2x2

故選：B

2.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知必〃為實(shí)數(shù)，且。為。（），則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若a>0,b>0,WJ-B.若也之而，則a>0,b>0

22

C.若〃b,則a+。>\[abD.若——>>fab,則a1h

22

【答案】C

【分析】對(duì)于A,利用基本不等式判斷，對(duì)于B,由已知結(jié)合完全平方式判斷，刻于C,舉例判斷，對(duì)于D,

利用基本不等式判斷

【詳解】對(duì)于A,由基本不等式可知當(dāng)。>0,6>0時(shí)，彳*箍,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，所以A正

確，

對(duì)于B,因?yàn)閷?而,a-b^O,所以:二。，且(石-揚(yáng),20,所以a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b

時(shí)取等號(hào)，所以B正確，

對(duì)于C,若“=—1/=-4,則竺2=9<而="=2,所以C錯(cuò)誤，

22

對(duì)于因?yàn)闅q>而，所以a+b>0.—―/廠廠\2

D,曲〉。，且〃+6—25/^>0,所以>0,

所以。>0⑦>0且標(biāo)b,所以D正確，

故選：C

二、多選題

3.(2022?湖北?華中師大一附中高一期末)已知x,y>0,x+2y+刈-6=0,貝ij()

A.W的最大值為0

B.x+2y的最小值為4

C.x+y的最小值為4立-3

D.(x+2y+(y+l)2的最小值為1

【答案】BC

【分析】根據(jù)基本不等式可求A,B,D,根據(jù)判別式判斷方程有根可判斷C.

【詳解】由x,y>0,x+2y=6—刈227^，即(7^+3夜正)40=>0<7^4應(yīng)=>0<旬42,當(dāng)

(。+2?

且僅當(dāng)x=2,y=l時(shí)等號(hào).故A錯(cuò)=6-(x+2y)K

8

進(jìn)而可得：(x+2y+12)(x+2y—4)"=>x+2”4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1取等號(hào)，故B正確，

令x+y=/%，則相>0,所以>=加一彳，故x+2y+肛-6=0可化為X+2(〃Z_K)+X(加一幻一6=0,整理得

x2+(1-ni)x+6-2w=0,

由A.O,得(1-〃?)2-4x(6-2"。..0,Bpm2+6m—23..0?解得利..4&-3或"4,-4及-3(舍去)，C正確,

D,(x+2)?+(y+l)2..2(x+2)(y+l)=2(孫+x+2y+2)=16,當(dāng)且僅當(dāng)x=2忘-2,y=2應(yīng)-1時(shí)等號(hào)成立,D錯(cuò)

誤

故選：BC.

4.(2022?海南??？谝恢懈咭黄谥?已知”>(),〃>0,且a+b=2,則()

C.lga+lgZ><0D.-+->3

ah

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)運(yùn)算可得，對(duì)于B選項(xiàng)，取特殊值可判斷錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，運(yùn)用

基本不等式即可，對(duì)于D選項(xiàng)，注意將2轉(zhuǎn)化為a+方，即可用基本不等式運(yùn)算.

【詳解】A選項(xiàng)，'：a>(),b>0,：.a-b<a+b,A2fl-&<2a+/,=4.A正確

,,1121

B選項(xiàng)，當(dāng)4=彳,力寸，a2+b21,952,B錯(cuò)誤；

22―+―

44

C選項(xiàng)，lga+lg人=lgab41g(色產(chǎn)尸=lgl=0,C正確；

一b2ba+bba?、八，八十“

D選項(xiàng)，—I—=—?-------=—I1-122+1=3,D正確.

ababab

故選：ACD

5.(2022?湖北十堰?高一階段練習(xí))已知x,y>0,x+2y+盯一6=0,則()

A.孫的最大值為亞

B.x+2y的最小值為4

C.x+y的最小值為4夜-3

D.(x+2)2+(y+l>的最小值為16

【答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，對(duì)不等式變形為x+2y=6-孫，利用基本不等式得到6-川22A%，求出孫的最大值;

B選項(xiàng)，將不等式變形為勺=6—(x+2y),利用基本不等式得至lJ6_(x+2y)4^^，求出x+2y的最小

值；c選項(xiàng)，對(duì)不等式變形為y(l+x)=6-(x+y),利用y(i+x)w(y+：+l)求解x+y的最小值;D選項(xiàng),

不等式變形為(x+2)(y+l)=8,利用基本不等式求出和的最小值.

［詳解］由x+2y+_yy_6=0得：x+2y=6-xy,

因?yàn)閤,y>0,所以x+2y=6-Ay>0,所以0<xy<6,

由基本不等式可得：x+2)，22四

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，等號(hào)成立，jttBj6-xy>2y]2xy,

解得：孫218或?qū)O42,

因?yàn)閷O<6,所以回218舍去，故孫的最大值為2,A錯(cuò)誤；

由x+2y+孫-6=0得：孫=6-(x+2y),

因?yàn)閤,y>0,所以6—(x+2))>0,所以0<x+2yv6,

由基本不等式可得：2沖4包誓，當(dāng)且僅當(dāng)》=2)時(shí)等號(hào)成立，

即6-(x+2y)4(x+2?,解得：x+2y24或x+2y4—12,

因?yàn)?<x+2y<6,所以x+2y4-12舍去，

故x+2y的最小值為4,B正確；

由了+2〉+盯-6=0變形為》+)，+丫(1+力=6,則y(l+x)=6-(x+y),

由基本不等式得：.]+小("：+1)2，當(dāng)且僅當(dāng)y=l+X時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)6_(x+y)4(y+*+l)2,令x+y=f?>。)，則由

44

解得：d4夜-3或Y-4立-3(舍去)

所以x+y的最小值為4&-3，c正確；

由x+2y+Ay-6=0可得：(x+2)(y+l)=8,

從而(x+2)2+(y+l)b2(x+2)G+l)=2x8=16

當(dāng)且僅當(dāng)x+2=y+l時(shí)，即“2&-2，y=2&-1等號(hào)成立，

故(尤+2『+(>+1)2最小值為16.

故選：BCD,

三、填空題

4

6.(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))若正數(shù)x、V滿足x+4y-抄=0,則——的最大值為

y

【答案】］4

X

【分析】根據(jù)x+=。，可得"有,將其代入所求式子中，轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式，即可求最

值.

【詳解】正數(shù)2滿足x+吁孫町.??尸言〉。，解得X"

.4_4_4_4<_______4________4

'+)x+Xx+l+4x-4+—+52l(x-4)--^+5。

x-4x-4x-4⑴x-4

444

當(dāng)且僅當(dāng)人一4=—時(shí)，即x=6等號(hào)成立，，——的最大值為二.

x-4x+y9

4

故答案為：—

考點(diǎn)二：根據(jù)基本不等式比較大小

一、單選題

1.（2022.陜西安康.高一期中）若。>0,^>0,a+b=2,則下列不等式恒成立的是（）

A.abN>/2B.yfci+\［bW>/2

21

C.—H—>3D.a2+b2>2

ab

【答案】D

2/+\a~+b2

【分析】根據(jù)不等式串lr&v助可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，D正確.利用基本不等

—I—

ab

式可得C錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：=HV（早J=l,當(dāng)且僅當(dāng)4=6時(shí)取等號(hào)，...A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：近乎4佬5=1,6+振42,，B錯(cuò)誤；

21I,,/2n2ha］、3+20

對(duì)于選項(xiàng)C:ab2、（〃刈2（ah）2,

因?yàn)橥吝阂?lt;3???C錯(cuò)誤;

2

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取等號(hào),

?*-a2+b2>2?D正確;

故選：D

二、多選題

2.（2022.廣東.梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)”>0/>。，則下列不等式中一定成立的是（）

A,a+b+^=>2y/2B.f—

NabI2廠2

C.-^^->y/abD.（a+/?）f—+-^-l>4

a+b\ab）

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式，分別判斷ACD,再利用做差比較法，判斷B.

【詳解】因?yàn)椤?gt;。，％>。，所以4+〃+，r2N2&,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕且=■即a=b=

yjabsiahqab2

時(shí)取等號(hào)，故A一定成立

由做差比較法,/+從_（""）2=（"一"）->0，可知（巴士144士￡成立故B一定成立.

244-I2J2

因?yàn)椤?人22\/^>0.所以r—=4ai>,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，所以不一定成立，故

C不成立.

因?yàn)椋ā?6）［'+:］=2+2+，*4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D一定成立.

\ab）ab

故選：ABD

3.（2022.湖南?婁底市第四中學(xué)高一階段練習(xí)）已知a>0,b>0,給出下列四個(gè)不等式，其中正確的不等

式有（）

1_2abf-r

C.at---->1tD.---->>/cib

〃+la+b

【答案】BC

【分析】利用基本不等式對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可得答案.

【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)椤?gt;0,人>0,且學(xué)之士（彎J,

所以哈故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)B：因?yàn)閍>0,b>0,所以（a+加（,+工］=2+2+@22+2、必、3=4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

\ab）ab\ab

故選項(xiàng)B正確;

對(duì)C：因?yàn)閍H—=(a+1)H—1N2、(a+1)x—!—-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)。+1=，即a=0時(shí)等號(hào)成立，但。>0,

a+\a+1Va+ia+\

所以aH---->1,故選項(xiàng)C止確；

a+\

對(duì)D：因?yàn)閍>0,b>0,所以a+所以(。+/?)7^=2",

所以駕4”石，當(dāng)且僅當(dāng)a=。時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

a+h

故選：BC.

三、填空題

4.(2022?河北滄州?高一開學(xué)考試)設(shè)a>0,h>0,給出下列不等式：

①。2+1>”；②(“H—1]/，+石)24；③(a+8)(—④/+9>64.

其中恒成立的是(填序號(hào)).

【答案】①②③

【分析】利用做差法判斷①，利用基本不等式判斷②③，特殊值代入判斷④即可得出結(jié)論.

【詳解】由于出+1—J+:>o,故①恒成立;

由于m++2MJ+2唇=4,

,1

ab=—

ab

當(dāng)且僅當(dāng)《即a—b—1時(shí)等號(hào)成立,故②恒成立;

ba

la=b

由于(*)(*5=2+，四2+2唇=4.當(dāng)且僅當(dāng)尸，

那么a=b=\時(shí)等號(hào)成立，故③恒成立;

當(dāng)”=3時(shí)，a2+9—6a,故④不恒成立.

綜上，恒成立的是①②③.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判斷不等式是否成立的問題.屬

于較易題.

5.(2022.湖南?高一課時(shí)練習(xí))已知a>b>c,則J(a-A)(b-c)與腎的大小關(guān)系是

【答案］J(a-6)(b-c)W@

2

【分析】將『化為然后運(yùn)用基本不等式比較大小.

22

【詳解】?:a>b>c,a-b>0,b-c>0,

...=（"心）；（七）2gbMb-c）,當(dāng)且僅當(dāng)a—6=6—c，即2b=a+c時(shí)取等號(hào)，

故答案為：d（a-b）（b-c）W42c.

【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式的運(yùn)用，屬于簡(jiǎn)單題，將二上化為（"_1+（'_，）是關(guān)鍵.

四、解答題

6.（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為“，另一半

時(shí)間的速度為乙車一半路程的速度為“，另一半路程的速度為從若〃b,試判斷哪輛車先到達(dá)5地.

【答案】甲先到達(dá)B地.

【分析】設(shè)A,B兩地間的路程為s,甲、乙兩輛車所用的時(shí)間分別為：山，則4=烏，L=白+白.

然后利用作差法或作商法比較大小，作商法中要注意結(jié)合基本不等式的使用得到結(jié)論.

【詳解】設(shè)A,8兩地間的路程為s,甲、乙兩輛車所用的時(shí)間分別為6百，則4=々，，，=三+三.

674-/?2a2b

方法-因?yàn)?_弓=且_（￡+2]=''[4"匕-9+"）[__s（a_"〔<0，即乙<%所以甲先到達(dá)8地.

12a+b12a2b）2ab（a+b）2ab（a+b）

方法二：=因?yàn)闃?biāo)b，所以（a+?2>4H,從而><1,即小明所以甲先到達(dá)B地.

【點(diǎn)睛】本題考查利用做差法或作商法比較大小在實(shí)際問題中的應(yīng)用，涉及基本不等式，屬基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)三：根據(jù)基本不等式證明不等關(guān)系

一、單選題

1.（2022?黑龍江?佳木斯一中高一期末）已知a>0,h>0,al+b2-ab=4,下列不等式正確的個(gè)數(shù)有（）

?—+7^1,②出?44,③@a2+b2<S.

ab

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由于儲(chǔ)+從="。+422/7,得時(shí)44,根據(jù)基本不等式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.

22

【詳解】因?yàn)椤?gt;0,b>09a+b-ab=4.

所以a?+62=出?+422〃?，得而W4,當(dāng)且僅當(dāng)。=8時(shí)取等號(hào)，②對(duì)：

由泊22G22&1,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào)，①對(duì)；

由〃2+〃2一〃人=4得（4+8）~=3ab+4w[e+〃）~+4,所以a+Z?W4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，③對(duì);

由a?+〃=必+4<4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào)，④對(duì)

故選：D

二、多選題

2.（2022?湖南衡陽?高一期末）已知。、b、ceR,若方>0,則（）

A.dd>*|B.-y=<--^-C.ac>bcD.a+.v+"）

【答案】BD

【分析】A、C特殊值法，令c=0即可排除：B由不等式性質(zhì)判斷：D應(yīng)用基本不等式判斷即可.

【詳解】A：當(dāng)c=0時(shí)，a|d=Md，錯(cuò)誤;

11

B：由。>匕>0,則右〉揚(yáng)〉0,故。<正確;

C：當(dāng)c=0時(shí)，ac=be,錯(cuò)誤;

D：由2(/+〃)之/+/?2+2劭=3+?2,又。>匕>0,貝)a+/?vJ2(/+/),正確;

故選：BD

三、填空題

3.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知Q+/?+C=2,則。匕+Z?C+CQ與2的比較.

【答案】ab+bc+ca<2

4

【分析】由基本不等式得到/+從+°22時(shí)+秋+必，進(jìn)而求得H+A+caKg,即可得到答案.

【詳解】因?yàn)閍+b+c=2,

可得(a+b+c)~=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4,

2

且/+/+<?>ab+bc+ca,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c=§時(shí).，等號(hào)成立,

4

所以3(。/?+Z?c+cd)<4,可得ab+bc+caWg

所以ab+bc+ca<2.

故答案為：ab+bc-st-ca<2

四、解答題

4

4.(2022?江蘇?圖一0已知。>3,求證：-+a>l.

a-3

【分析】由題知\4+a=4」\+m-3）+3,進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解即可.

a-3a-3

【詳解】解：因?yàn)椤?gt;3,所以。-3>0,

所以-^+。=，^+(。-3)+322它亍(。-3)+3=2/+3=7,

4

當(dāng)且僅當(dāng)」7=。-3即。=5,等號(hào)成立，

。一3

4

所以--+a>7,證畢.

。-3

5.(2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí))證明不等式：

⑴若。，b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab+cd)(ac+bd)24abed；

(2)若。，b,c是非負(fù)實(shí)數(shù)，貝僅2+/)+6((?+/)+《〃+62)26abc；

(3)若“，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，則。+〃+222(&+揚(yáng))；

(4)若“，beR,則立產(chǎn)9J.

【分析】(1)利用均值不等式及不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論；

(2)利用均值不等式及不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論；

(3)利用均值不等式及不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論；

(4)利用作差法可證得結(jié)論；

(1)由“，b,c,d都是正數(shù)，利用基本不等式可知，

ab+cd>2>Jabcd,當(dāng)且僅當(dāng)昉=4時(shí)，等號(hào)成立；

ac+bd>2\[acbd)當(dāng)且僅當(dāng)ac=6”時(shí)，等號(hào)成立；

所以(ab+cd)(ac+bd)>abed-2>Jacbd>4abcd

^(ab+cd)(ac+bd)>4abcd,當(dāng)且僅當(dāng)a=d/=c時(shí)，等號(hào)成立.

(2)由。，b,c,d都是正數(shù)，利用基本不等式可知，

b2+c2>2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立；

c2+a2>2ac,當(dāng)且僅當(dāng)”=c時(shí)，等號(hào)成立；

a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立；

所以a(/?2+,2)+〃(,2+6,Na.2bc+b-2ca+c-2ab=6abc

當(dāng)且僅當(dāng)a=8=c時(shí)，等號(hào)成立.

(3)a+/?+2=(a+1)+(/>+1)>2\[a+2>Jb=2(A/?+\/b)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)，等號(hào)成立.

小/+〃(a+b>\2a24-2b2a1+b?+2aba2+b2-lab^a-b)~

(4)------------=-----------------------=-----------=------->。

2V2J4444

當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時(shí)，等號(hào)成立.

6.(2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí))下列結(jié)論是否成立？若成立，試說明理由；若不成立，試舉出反例.

(1)若ab>0,則a+b22\[ab;

(2)若ab>0?貝！JN2；

(3)若燦<0,則2+f?-2.

【答案】(1)不成立，理由見解析；(2)成立，理由見解析；(3)成立，理由見解析；

【分析】取特殊值判斷(1),由均值不等式判斷(2)(3).

(1)取〃=-1，匕=-2滿足而>0,此時(shí)a+b>14ab不成立；

(2)訪>0,

a,、b門

二.一>0,—>0,

ba

由均值不等式可知的+聆2聆=2,當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

⑶ab<0,

7.(2022.湖南?高一課時(shí)練習(xí))證明下列不等式，并討論等號(hào)成立的條件:

(1)若a>0,貝！]“+°322.2；

(2)若"=4,貝IJ/+Z/N8;

⑶若一IVxVl,則、俁(1")42；

72

(4)若ab^O,則2+￡22

ab

(5)對(duì)任意實(shí)數(shù)。和匕，cr+6~+?23.

/?+從+1

【答案】(1)證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)4=1時(shí)等號(hào)成立;

(2)證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)。=/?=±2時(shí)，等號(hào)成立.

(3)證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)》=土也時(shí)，等號(hào)成立.

2

(4)證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)片時(shí)，等號(hào)成立.

(5)證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)片+/=1時(shí)等號(hào)成立.

【分析】(1)直接利用作差法對(duì)關(guān)系式進(jìn)行變換，進(jìn)一步求出結(jié)果.

(2)利用基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

(3)利用算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的運(yùn)用及整體思想的應(yīng)用求出結(jié)果.

(4)利用分類討論思想的應(yīng)用和均值不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

(5)利用關(guān)系式的變換和均值不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

⑴證明：由于0*-2/+a=(/-/)_(。2-q)=a(a_])2,當(dāng)。>。時(shí)，(a-1)2>0,所以即

a3-2a2+a>0,所以“+/±2〃，當(dāng)且僅當(dāng)“=1時(shí)，等號(hào)成立.

(2)證明：因?yàn)?力=4,所以a?+從22,出=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=±2時(shí)，等號(hào)成立.

(3)證明：因?yàn)橐?4x41,所以O(shè)wfn,]_/20,所以向匚匚5與正用也=，當(dāng)且僅當(dāng)必=1-/，

即x=±也時(shí)，等號(hào)成立.

2

(4)證明：因?yàn)闀r(shí)W0,當(dāng)而>0時(shí)，R+*=2+g.2陌=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=bHO時(shí)，等號(hào)成立.

\ab\abNab

當(dāng)"<0時(shí)，I-+T|=(--)+(-7).-2.l(--)(-)=2.當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí),等號(hào)成立.

\ab\ab\ab

綜上可得而WO,則g+當(dāng)且僅當(dāng)/=廿*0時(shí)，等號(hào)成立.

\ab

(5)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)。和b,/+從+121所以

a2+h2+z*=a2+h2+l+，：，-1..2除+嗎1)x(一：，)-1=4-1=3.當(dāng)且僅當(dāng)/+〃=]時(shí)等號(hào)成

a2+Z?-+1a-+h~+1Va2+Z?-+1

立.

8.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))(1)已知。、力、CER,求證：曲豆+后升+廬得之母(a+b+c)；

(2)若Ovxvl,67>0,b>0,求證：—+——>(a+b\.

x\-xv7

【解析】(1)由月尹2歲可得7?壽2賢=*(a+b),三次利用上述結(jié)論相加即可得證.

(2)將不等式左邊利用乘“1”法，再利用基本不等式即可得證.

【詳解】證明⑴^±<

2

..?，/+從之鬻=5(a+勸(當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，等號(hào)成立);

同理，y/b2+c2>y-(*+c)(當(dāng)且僅當(dāng)匕=c時(shí)，等號(hào)成立)；心十寸考(“+C)(當(dāng)且僅當(dāng)。=C時(shí)，等

號(hào)成立)

三式相加得以+/+揚(yáng)+。2+&+。2士曰,+3+日伊+C)+孝(a+C)=&(〃+b+C)(當(dāng)且僅當(dāng)

a=b=c時(shí)，等號(hào)成立).

(2)0<x<1,i-x>0,

(a2b2

左邊=(x+l-x)一+---

、x\-x\~XX

>a2+b2+2小/—〃=cr+/?2+2。/?=(〃+〃『=右邊.

【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，分析法證明不等式，屬于中檔題.

9.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=l,證明:

(I)ab+bc+ac<；；

zTTxa~b~c.

(11)—+—+——>1.

bca

【詳解】(I)由4+從之2必，c2+b2>2bc,之2"得:

a2+/+c2>ab+bc+ca，

即/+/+/+2ab+2bc+2ca=\，

所以3("+bc+ca),即ab+bc-\-ca<^.

2i2,2

(II)因?yàn)殓?方22〃，\-c>2b—+a>2c?

b

2.22

所以幺+乙+1+(。+6+。)22(a+Z?+c),

bca

日na2b1c2.

bca

21

abc，2

bca

本題第(I)(II)兩問，都可以由均值不等式，相加即得到.在應(yīng)用均值不等式時(shí)，注意等號(hào)成立的條件:“一

正二定三相等”.

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查不等式的證明,熟練基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵.

考點(diǎn)四：基本不等式求積的最大值

一、多選題

1.（2022.福建?福州三中高一期末）已知a>0,b>0,且。+?=1,則下列說法正確的是（）

A.Y+從的最小值為!B.必的最大值為:

C.一二的最大值為；D.,+：的最小值為4>回

a-vb3ab

【答案】AB

【分析】利用基本不等式及函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】解：對(duì)于A：由。>0,b>0,a+2b=1,則a=l—2匕,

~（l-2b>0&,1

所以八0,解得0<b<],

所以加2+人2=5人2一48+1=5[一]）+1,

21

所以當(dāng)6=（時(shí)，/+從有最小值g,故A正確.

對(duì)于B：由。>0,/?>0,l=a+2bN242ab,BPtz/?<1,當(dāng)且僅當(dāng)。=3,即。=：,時(shí)等號(hào)成立，

o24

所以他的最大值是:，故B正確；

O

對(duì)于C：由〃>0,6>0,a+2b=\,則a=l—2b,所以〈，解得0<方<7，

[b>02

所以」v=,」「=工，因?yàn)?<6<《，所以

a+b]-2b+bb-\22

i_i1

所以一2<乙<-1,所以1<一<2,即1<--<2,故C錯(cuò)誤；

b-\b-\a+h

“丁門11a+2ba+2h2ba12ba/z

對(duì)于D：—+-=----+-----=1+—+2+—>3+2/-----=3a+2o。2,

ahabab\ah

當(dāng)且僅當(dāng)§即6=生箸，”=應(yīng)_1時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤；

故選：AB

二、雙空題

2.（2022.全國(guó)?高一專題練習(xí)）己知“，beR+,如果而=1,那么。+匕的最小值為;如果。+6=1,

那么ab的最大值為.

【答案】21

4

【分析】根據(jù)均值不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)椤ǎ?eR+，所以等之功，

所以〃+b22\[ab=2，

故當(dāng)必=1時(shí)，。+力取最小值2,此時(shí)〃=匕=1；

又當(dāng)。+。=1時(shí)，瘋w*w=L所以

224

故當(dāng)。+力=1時(shí)，油的最大值為一，此時(shí)a=〃=l.

4

故答案為：2；—

4

三、填空題

則片+方2方+4的最大值為.

3.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）己知實(shí)數(shù)且而>0,

【答案】7

O

,,ab_1

【分析】化簡(jiǎn)得到，工，小，土,：工”,進(jìn)而得到漏=一;TIT1-，結(jié)合基本不等式，

a'+b'+a'b'+42ab+a'b'+42+ab+—~

ab

即可求解.

【詳解】由心心2">。，所以齊力"

一1

又由2ab+a2b2+4c,4-6,

2+"+,2+2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)叫b時(shí),等號(hào)成立’所以戶訴年.

故答案為：—.

6

4.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知x,yeR）,若x+y+孫=8,則孫的最大值為

【答案】4

【分析】利用基本不等式x+y22而，代入方程中，即可求解.

【詳解】,正數(shù)x,y滿足x+y+^=8,

:.8-xy=x+y>2y[xy,B|Jxy+2y/j^-8<0,

解得0<7^?2,

故孫44,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號(hào).

，孫的最大值為4,

故答案為：4

5.（2022?安徽池州?高一期末）已知?jiǎng)t函數(shù)/（x）=x30p3）的最大值為.

【答案】7

4

【分析】由基本不等式即可求出答案.

【詳解】解：由基本不等式可得==；,

當(dāng)且僅當(dāng)x'=l-d,即》=電時(shí)，等號(hào)成立，即最大值為]

V24

故答案為：—.

4

四、解答題

6.（2022四川成都?高一期末）已知x+2y=5.

⑴若以》￡（0,包），求利二個(gè)的最大值；

⑵若無、y求〃+y2的取值范圍.

【答案】⑴弓25;⑵自￡[5號(hào)25.

84

【分析】（1）由己知條件，利用基本不等式求得〃2=盯〈925，即可確定最大值，注意取值條件.

o

（2）由x=5-2ye[-5,2]flye[-5,2]得到”寫,2],并代入目標(biāo)式，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.

25

（1）由X、yw（0,+oo）,則x+2y=5N27^，故〃?=孫〈方，

8

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=15時(shí)等號(hào)成立，即桃=孫的最大值為25

2o

⑵由x=5-2ye[-5,2],則ye弓,5],又ye[-5,2],

3

所以），€弓,2],

由〃=》2+丁=5y2-20y+25=5（y-2）2+5,

25

所以“e[5,二].

4

7.（2022?四川甘孜?高一期末）已知集合A={x|x（x-2）＜0}.

⑴求集合A

(2)若函數(shù)/(x)=W^(xeA),求/(x)的最大值.

【答案】(1)A={X|04X42}；(2)2

【分析】(1)解不等式x(x-2)40即可求得；

(2)利用均值不等式即可求得

(1)解不等式x(x-2)<0,得04x42,所以A={x|04x42}

(2)0<x<2,.\4-x>0,

由均值不等式得：小)="(4_》)"+尸=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等)，故f(x)的最大值為2.

考點(diǎn)五：基本不等式求和的最小值

一、單選題

1.(2022?云南紅河?高一期末)函數(shù)〃x)=d(x>0)的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得函數(shù)f(x)的最小值.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，/(力=/+：+1=舊+122^^+1=3,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為3.

故選：B.

2.(2022?貴州遵義?高一期末)負(fù)實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=-2,則的最小值為()

y

A.0B.-1C.-41D.-y/3

【答案】A

【分析】由已知可得x=-2-y,再利用基本不等式可求得x-L的最小值.

y

［詳解］因?yàn)樨?fù)實(shí)數(shù)X、y滿足x+y=_2,則x=_2_y<0,可得—2<y<0,

由基本不等式可得x-：=-2-y-1?2+2^(-y)?-y0,

當(dāng)且僅當(dāng)-y=-；(y<0)時(shí)，即當(dāng)y=T時(shí)，等號(hào)成立.

故X-L的最小值為0.

y

故選：A.

3.（2022.貴州遵義.高一期末）負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=-2,則的最小值為（）

A.0B.-1C.-V2D.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意有x=-y-2,再代入x-L根據(jù)基本不等式求解最小值即可

y

【詳解】根據(jù)題意有x=-y-2,故x-,=-y-；-2=（-y）+,-2?2j（y）?*2=0,當(dāng)且僅當(dāng)y=-l,

x=-l時(shí)取等號(hào).

故選：A

二、填空題

］4

4.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知0<avl,則；一十一的最小值是_____.

\-aa

【答案】9

【分析】根據(jù)題意，得到丁1二4+?=（丁」1+42）［（1-。）+。］=5+二。+型4（一1一絲，結(jié)合基本不等式，即可求解.

\-aa\-aal-aa

1414a4（1一

【詳解】因?yàn)镺vavl,則；一+-=（--+—）［（1一公+0=5+=+

\-aa\-aal-aa

、廣-4（1-a）「A八

25+21-----x----------=5+4=9,

Nl-aa

當(dāng)且僅當(dāng)二="二%寸，即時(shí)，等號(hào)成立，

l-aa3

14

所以;+2的最小值是9.

l-aa

故答案為：9.

5.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)y=『+x—5（x>2）的最小值為.

x-2

【答案】7

【分析】換元轉(zhuǎn)化成基本不等式的形式，利用積為定值即可求和的最小值.

【詳解】令L2=/,r>0；則

%24-x—5（/+2廠+1+2—5/+51+11

------------=---------------------=------------=/+-+5>7

x-2ttt

（當(dāng)且僅當(dāng)，=1,即x=3時(shí)，等號(hào)成立），

故函數(shù)〃同二丁+%,無?2,+8）的最小值為7

故答案為：7

6.（2022?四川資