數(shù)學(xué)公式大全初中高中

初中數(shù)學(xué)公式大全

1過兩點(diǎn)有且只有一條直線

2兩點(diǎn)之間線段最短

3同角或等角的補(bǔ)角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。

18推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

19推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

24推論(AAS)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

25邊邊邊公理(SSS)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

28定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。

34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)

35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

40逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合

42定理1關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

44定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上

45逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，ERaA2+bA2=cA2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系於2+92=”2,那么這個(gè)三角形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360。

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)xl80°

51推論任意多邊的外角和等于360。

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對(duì)角線相等

62矩形判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

66菱形面積=對(duì)角線乘積的一半，即$=(axb)+2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

71定理1關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分

73逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一

點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

75等腰梯形的兩條對(duì)角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

77對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段

相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第

三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它

的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的

一半L=(a+b)+2S=Lxh

83⑴比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質(zhì)如果a/b=c/d=...=m/n(b+d+…+n#0),那么

(a+c+...+m)/(b+d+...+n)=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)

線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形

的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

94判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）

95定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三

角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平

分線的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等

于它的余角的正切值

101圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半

徑的圓

106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直

平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距

離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦

相等，所對(duì)的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等

116定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

118推論2半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所

對(duì)的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它

的內(nèi)對(duì)角

121①直線L和。O相交d<r

②直線L和。O相切d=r

③直線L和。O相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

125推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，

圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

129推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積

相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的

兩條線段的比例中項(xiàng)

132切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割

線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)

133推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等

134如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上

135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含d<R-r(R>r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(r侖3):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)xl80°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長(zhǎng)

142正三角形面積“3a/4a表示邊長(zhǎng)

143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為

360°,因此kx(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144弧長(zhǎng)計(jì)算公式：L=n兀R/180

145扇形面積公式：S扇形=n兀RA2/360=LR/2

146內(nèi)公切線長(zhǎng)=d-(R-r)外公切線長(zhǎng)=d-(R+r)

147完全平方公式：(a+b『2=aA2+2ab+bA2

(a-b)A2=aA2-2ab+bA2

148平方差公式：(a+b)(a-b)=aA2-B2

(還有一些，大家?guī)脱a(bǔ)充吧)

實(shí)用工具:常用數(shù)學(xué)公式

公式分類公式表達(dá)式

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|<|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|-|a|<a<|a|

一元二次方程的解-b+?b2-4ac)/2a-b-d(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系XI+X2=-b/aXl*X2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根

b2-4ac>0注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

b2-4ac<0注：方程沒有實(shí)根，有共趣復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=d((1-cosA)/2)sin(A/2)=-^((1-cosA)/2)

cos(A/2)=?(1+cosA)⑵cos(A/2)=??(1+cosA)⑵

tan(A/2)=?(1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=H((1-cosA)/((l+cosA))

ctg(A/2)=Y((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-Y((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

l+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+l)/2l+3+5+7+9+U+13+15+...+(2n?l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+l)(2n+l)/6

13+23+33+43+53+63+...n3=n2(n+l)2/4l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...+n(n+l)=n(n+l)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h

正棱錐側(cè)面積S=l/2c*h,正棱臺(tái)側(cè)面積S=l/2(c+c')h，

圓臺(tái)側(cè)面積S=l/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=l/2*c*l=pi*r*l

弧長(zhǎng)公式1=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=l/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=l/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=SL注：其中S是直截面面積，L是側(cè)棱長(zhǎng)

柱體體積公式V二s*h圓柱體V=pi*r2h

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xEA<=>X必CLJA.,JCCLJA.<=>xA.

2.德摩根公式

G(AB)=CUACuB;C)j(A6)=G/ACVB.

3.包含關(guān)系

AB=A<=>AB-BCVBcCL/A

<=>A,CJJB=①<=>CJJAB—R

4.容斥原理

card(AB)=cardA+cardB-card(AB)

card(ABC)=cardA+cardB+cardC—card(AB)

—card{AB)—card(BC)—card(CA)+card(ABC).

5.集合｛%,4,,a,J的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)：非空子集有2"-1個(gè)；非空的真子集

有2"-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(a0);

(2)頂點(diǎn)式f(x)=a(x-h)2+k(a*0);

(3)零點(diǎn)式/(x)=a(x-x,)(x-0).

7.解連不等式N</(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

,、M+N,M-N

<=>IfM———1<—^―o把粉。

11

<=>------------->-----------

f(x)-NM-N

8.方程y(x)=o在(占#2)上有且只有一個(gè)實(shí)根，與/(%)/(&)<o不等價(jià)，前者是后者的一個(gè)必要而不是

充分條件.特別地，方程a?+)r+c=O(a工0)有且只有一個(gè)實(shí)根在(人次2)內(nèi)，等價(jià)于/(占)/(&)<0,或

/(匕)=0且匕<<左],或于也)=0且Kj后<<心.

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)f(x)=af+bx+c(a。0)在閉區(qū)間[p,同上的最值只能在x=一2處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具

2a

體如下：

b5

⑴當(dāng)a>0時(shí)，若彳=一丁6[P，司，則=/(一丁)JOOmax=max{/(P)，/(。)}；

2a2a

x=一■任［p，4，/(x)nrax{/(P)，/(/}，/(耳血=min{/(P)J@)}?

(2)當(dāng)a<0時(shí),若》=一《€[〃，司,則mi{n/p求卜，若"二一2任五司’則

/(xla=ma(x/k)力},/(x)^=min{/(/?),/(<7)}.

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/(呵/(〃)<0,則方程/(x)=0在區(qū)間(加,〃)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)f(x)=x2+px+q,則

p1-4(7>0

(1)方程/(x)=0在區(qū)間(〃2,+00)內(nèi)有根的充要條件為/(〃2)=0或<p

-J->m

12

f{rn)>0

/(n)>0

/(加)=0

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(如〃)內(nèi)有根的充要條件為/(m)/(rt)<0或<p?-4qN0或,或

叭〃)〉0

m<--<n

2

/(?)=0

af(m)>0

p2-4^>0

(3)方程/(%)=0在區(qū)間(-00,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(m)<0或<

--<m

2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

⑴在給定區(qū)間(—8,+8)的子區(qū)間L(形如履⑶，(—8,⑶，L，+oo)不同)上含參數(shù)的二次不等式

C(f為參數(shù))恒成立的充要條件是/(%/心2>0(x^L).

(2)在給定區(qū)間(-8,+8)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式C(f為參數(shù))恒成立的充要條件是

0金L,.

a>0

a<0

(3)f(x)=of+^+C>0恒成立的充要條件是<bNO或.

b2-4ac<0

c>0

12.真值表

pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有n個(gè)至多有(〃-1)個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有(M+1)個(gè)

對(duì)所有X,存在某X,

成立不成立p或q—\p且—\(J

對(duì)任何X,存在某X,

不成立成立p且q或

14.四種命題的相互關(guān)系

15.充要條件

(1)充分條件：若pnq,則p是4充分條件.

(2)必要條件：若q=>p,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若p=>q,且則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)西?々€[a,/?1%w/那么

(王一七)[/(王)一/(9)]>0o(W)>o=/(X)在卜,口上是增函數(shù)；

X一工2

(%_9)[/(石)一/(巧)]<()0/⑷1/3)<o=/(X)在[a,U上是減函數(shù).

內(nèi)一々

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果_f(x)<0,則/(x)為減

函數(shù).

17.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)

y=/(〃)和〃=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那

么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則/(x+a)=/(—x—a)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則

f(x+a)^f(-x+a).

20.對(duì)于函數(shù)y-f(x)(xe/?),f(x+?)=/(Z?-x)恒成立，則函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)％=g—;兩

a+b

個(gè)函數(shù)y=/(*+。)與丁=f(b-X)的圖象關(guān)于直線％=對(duì)稱.

2

21.若/(x)=—/(—x+a),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)弓,0)對(duì)稱；若/(x)=—/(x+a),則函數(shù)

y=f(x)為周期為2a的周期函數(shù).

nn

22.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=anx+an_iX~'++/的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)。P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)oP(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱性

⑴函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱o/(a+x)=/(a—x)

=/(2a-x)=/(x).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線％/對(duì)稱o/Xa+zwOnf(b-mx)

=f(a+h-mx)-f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=f(mx一。)與函數(shù)y=/S-/nr)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱.

2m

(3)函數(shù)y=/(x)和y=/t(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+b的圖象；若將曲線

/(x,y)=O的圖象右移a、上移匕個(gè)單位，得到曲線/(工一名丁一。)=0的圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(G=bS=a.

27.若函數(shù)y=/(依+。)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=1"T(x)—可，并不是y=[/一("+切，而函數(shù)

k

y=[f~'(Ax+8)是y=YI/W一"I的反函數(shù).

k

28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

⑴正比例函數(shù)/(%)=CX,/(x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)=優(yōu),/(%+y)=/(x)/(j),/(l)=aw0.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log“x,/(xy)=/(%)+/(y),/(a)=l(a>0,aH1).

⑷基函數(shù)/(x)=F,f(xy)=f(x)f(y),/(I)=a.

(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f\x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(y)，

x-?0x

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(X)=f(X+a),則/(x)的周期T=a；

(2)/(x)=f(x+a)-0,

或/(x+a)=(f(x)*0),

f(x)

或/(x+a)=-(/(A-)*0),

/(x)

或;+\lfM-f2(x)=f(x+a),(/(x)e[0,l]),則f(x)的周期T=2a；

(3)f(x)=1-------(/(x)*0),則/(x)的周期T=3a；

f{x+d)

(4)/(%+々)=伊且/⑷=1(/(不)?/(/)H1,0<|王一赴|<2a)，則/(x)的周期T=4a;

1-/U1)/(^2)

(5)/(x)+/(%+〃)+f(x+2a)f(x+3〃)+f(x+4。)

=/a)/a+〃)/(x+24)/a+34)/a+4〃)，則/(%)的周期T=5a；

(6)f(x+。)=/(幻一f(%+。),則/(x)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

巴1

(1)an=,——(a>0,m,neN",且〃>1).

yJa

-%1

(2)an=——(a>O,n〃￡N*,且〃>1).

31.根式的性質(zhì)

(1)而)"=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，C=a；

I—fa,a20

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，<a"=|a|=1

-a,a<Q

32.有理指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

(1)a'-as-a'+s(a>0,r,1ve0.

(2)(a')'=a"'(a>0",seQ).

(3)(ab)r-a'b'(a>O,b>O,r&Q).

注：若a>0,p是一個(gè)無理數(shù)，則a”表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無理數(shù)指數(shù)

嘉都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

log“N=Z?o"'=N(a〉0,awl,N>0)

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logN

log.N=--—(Q>0,且awl,m>0,且mwl,N〉0).

'log,”a

n

推論logb"=—log?b(a>0,K<2>1,根,〃>0,且加Hl,N>0).

"m

35.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,a^l,M>0,N>0,則

⑴log“(MN)=log“M+log?N;

(2)log?q=log?M-log?N;

(3)log“M"=nlogaM{nGR).

36.設(shè)函數(shù)/(x)=log,”(ax2+bx+c)(a^0)，記△=〃-4ac.若/(x)的定義域?yàn)镽,則a>0,且△<0；

若/(x)的值域?yàn)镽,則a>0,且△2().對(duì)于a=0的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

若。>0,人>0,X>0,XRL,則函數(shù)y=k>g“rSx)

a

(1)當(dāng)a>8時(shí)，在(0」)和(L+8)上y=log,"(bx)為增函數(shù).

aa

.⑵當(dāng)a〈。時(shí)，在(0,工)和(4,+ao)上y=logav0x)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃〉加〉1，/?>0>a>0>且arl，則

⑴log,.+p(〃+P)<log“"

,,,,m+n

(2)logamlogfln<log(1--^―.

38.平均增長(zhǎng)率的問題

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值了,有y=N(l+p)1

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

a?={P(數(shù)列{a,J的前n項(xiàng)的和為s.=4+出++??).

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=q+(n-V)d=dn+aiN*)；

其前n項(xiàng)和公式為

〃(q+%)n(n-l)

s,=---!----=na.+(-------a

nt212

_d1小

="n2+z(q-~d)n.

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

an-%q'i=幺.q"(nGN*)；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

s“=jj

nat,q=1

或i-q-

navq-\

42.等比差數(shù)列{??}:%=qa“+d,ax=b(q*0)的通項(xiàng)公式為

b+{n-\)d,q=1

nn

an=\bq+(d-b)(]-'-d,;

-----------:-------，什]

.q-i

其前n項(xiàng)和公式為

nb+n(n-Y)d,(q=1)

sn=<,,d\l-q"d.?

(b---)―^-+-—

l]-4<7-11-<7

43.分期付款(按揭貸款)

每次還款x=元(貸款。元,〃次還清，每期利率為b).

44.常見三角不等式

TT

(1)若X￡(0,—),則sinx<x<tanx.

(2)若工￡(0,^)，WO1<sinx+cosx<V2.

(3)|sinx|4-|cosx|>l.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

*Zj

sin?。+cos26=1,tan0-——,tan0-cotO=1.

cos。

46,正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

,九、(-1)2sina,（n為偶數(shù)）

sin(—+(7)=

〃一1

2

(-1)cosa,（n為奇數(shù)）

n

（n為偶數(shù)）

/〃乃、(-1)2cosa,

COS（--------F6Z）=<

n+l

（n為奇數(shù)）一(-1)2sina,

47.和角與差角公式

sin(a±/?)=sinacos(3±cosasin/3；

cos(a±/?)=cosacos0sinasin/;

tana±tan〃

tan(?±0)

1tanatan°

sin(^z+/?)sin(tz-/?)=sin26z-sin2/?(平方正弦公式)；

cos(a+0)cos(a—尸)=cos2a—sin?/?.

qsina+0cosa=/7T^sin(a+0)(輔助角°所在象限由點(diǎn)(a,〃)的象限決定，tan—).

a

48二.倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2cif-sin2a-2cos2a-\-l-2sin2a.

八2tana

tan2a=--------.

1-tan**a

49.三倍角公式

jrJT

sin36=3sin6-4sin36_4sjn^sjn(--^)sin(—+^).

33

-rrjr

cos38=4cos3。-3cos0=4cos。cos(——0)cos(—+6)

33

cc3tanJ—tai?gn7

tan30=--------；---=tan0tan(---0)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

27r

函數(shù)y=sin(GX+0),x￡R及函數(shù)y=COS(GX+0),X￡R(A,s,夕為常數(shù)，且AWO,s>0)的周期T=——

co

JI71

函數(shù)y=tan(0x+0),xw2乃+耳/￡Z(A,s,夕為常數(shù)，且ANO,3>0)的周期T

0)

51.正弦定理

b

=2R.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA;

b1=c1+O1-2cacosB;

c1=a2+h2-labcosC.

53面.積定理

(1)/?分別表Ka、b、c邊上的局).

S=—ahCf——hhU.=—chv(h4<\hrfz>C

(2)S=—absinC=—bcsinA=—casinB.

222

(3)SWAB=|yl(,\OA\-\OB\)2-(OAOB)2.

54.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有A+8+C=?oC="-(A+8)

C71A+Bc-cc/▲n、

—="......——<=>2c—27r-2(A+B).

55.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinx=Qox=ATT+(-1)，arcsina(keZ,\a\<1).

cosx=a<=>x=2k7r±arccosa(keZ,|a|<1).

tanx=a=x=k兀+arctana*￡Z,a￡R).

特別地,有

sin&=sin/?0a=左萬+(—1)"f3(keZ).

cosa=cosf30a=2kjv±f3(keZ).

tana=tan/?=>a=&?+0(kGZ).

56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinx>a(|a區(qū)1)oxwQk兀+arcsina,2攵+%一arcsina),keZ.

sinx<Q(|a區(qū)1)oxa(2k/r-TV-arcsina,2k兀+arcsina),k^Z.

cosx>Q(|Q區(qū)1)o%￡Qk兀-arccosa,2k7u+arccosa\keZ.

cosx<<2(||<1)<=>xG(2攵/+arccosa,2kzr+2^—arccosd),keZ.

tanx>a(aG/?)=>xe(kji+arctana.kri+]),keZ.

71

tanx<a(aGR)=>XE(左乃一耳，氏乃+arctana),左GZ.

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、u為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：入(Pa)=(入u)a;

(2)第一分配律：(X+p)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b-a(交換律)；

(2)(2a)?b=2(a*b)=2a*b=a*(2b);

(3)Ob)?c=a?c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果,、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)人1、X

使得a=入?】+入2e2.

不共線的向量巳、會(huì)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)好(為，乂)，1)二(工2，%)，且bwO,則ab(bwO)Ox1%一%2%=。.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a?b二abcos0.

61.a-b的幾何意義

數(shù)量積a-b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)a=(%,y),b=(%2，%)，則a+b=Qq+%2，乂+%)?

(2)設(shè)a=(西，y),b=(々，%)，則a-b=(%一/，必一必)?

⑶設(shè)A(X1,y),B(x2,y2),則=-。4=(天一陽,必一乂),

(4)設(shè)a=(x,y),2e/?,則Aa=(Ax,Ay).

⑸設(shè)a=(X],y),b=(X2，%)，則a,b=(x)x,+^y2).

63.兩向量的夾角公式

cos0=/「々3?,(，(％,M),b=(%,%)).

網(wǎng)+￥?收+區(qū)

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAR=\AB\=^ABAB

=J(X2-X|)2+(%-X)2(A(不，乂)，B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)好(％,%)，1)二(工2，%)，且bHO，則

Abob二人aOX1%—/']：。.

alb(awO)Oa?bRoX]/+*%=。.

66.線段的定比分公式

設(shè)6(%,y),鳥(9,為)，P(%,y)是線段《鳥的分點(diǎn)，丸是實(shí)數(shù)，且片P=4Pg，則

_石+Zx2

X=1+廣CDOPi+AOP,

_yx+/ty21+A

y=~

、1+2

<r>OP=tO^+(l-t)OP,g-iy).

1+4

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X|,y)、B(x2,y2),Cj,丫3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是

%+々+七y+%+%

G().

3'3

68.點(diǎn)的平移公式

x=x+hx-x-h

,o4<^>OP=OP+PP

y=y+k[y=y~k

注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'(x,y),且P尸的坐標(biāo)為(力次).

69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(力,％)平移后得到點(diǎn)P(x+h,y+k).

(2)函數(shù)y=/(九)的圖象C按向量a=(〃M)平移后得到圖象C,則C的函數(shù)解析式為y=f(x-h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(/?,Z)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)=f(x),則C的函數(shù)解析式為

y=f(x+h)-k.

⑷曲線C：/(x,y)=0按向量a=(九Q平移后得到圖象C',則C'的方程為/(x—y—6=0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/j,k)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為A4BC所在平面上一點(diǎn)，角AB,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為"c,則

222

(1)。為AA8C的外心oQ4=08=OC.

(2)。為MBC的重心oQ4+Q3+OC=0.

(3)。為ZVIBC的垂心oOA-OB=OBOC=OC-OA.

(4)。為A48c的內(nèi)心。aQ4+灰?3+cOC=0.

(5)。為A43c的NA的旁心oaQ4=bOB+cOC.

71.常用不等式：

（1）a,b￡R=a?+h2>2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“二”號(hào)）.

(2)a,beR+>4^b（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào)）.

(3)a3+Z>3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(qc+bdf,a,b,c,deR.

(5)-]w[+4w]4+國(guó).

72.極值定理

已知X,y都是正數(shù)，則有

(1)若積孫是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值

1,

（2）若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積刈有最大值一$2.

推廣已知?jiǎng)t有(x+y)2=(x-y)2+2孫

(1)若積節(jié)是定值，則當(dāng)定-川最大時(shí)，|x+y|最大;

當(dāng)|x-y|最小時(shí)，|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，則當(dāng)定-y|