云南大附屬中學2025屆九年級數學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

云南大附屬中學2025屆九年級數學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知△ABC，D，E分別在AB，AC邊上，且DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE面積是4則四邊形DBCE的面積是（）A．6 B．9 C．21 D．252．“黃金分割”是一條舉世公認的美學定律.例如在攝影中，人們常依據黃金分割進行構圖，使畫面整體和諧.目前，照相機和手機自帶的九宮格就是黃金分割的簡化版.要拍攝草坪上的小狗，按照黃金分割的原則，應該使小狗置于畫面中的位置（）A．① B．② C．③ D．④3．如圖，以AD為直徑的半圓O經過Rt△ABC斜邊AB的兩個端點，交直角邊AC于點E，B、E是半圓弧的三等分點，弧BE的長為π，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．4．口袋中有2個紅球和1個黑球，每次摸到后放回，兩次都摸到紅球的概率為（）A． B． C． D．5．在反比例函數y＝的圖象上有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）．若x1＜0＜x2，y1＜y2則k的取值范圍是（）A．k≥ B．k＞ C．k＜﹣ D．k＜6．如圖，的半徑弦于點，連結并延長交于點，連結．若，，則的長為（）A．5 B． C． D．7．如圖，比例規(guī)是一種畫圖工具，它由長度相等的兩腳AC和BD交叉構成，利用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短．如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使OA=3OC，OB=3OD），然后張開兩腳，使A，B兩個尖端分別在線段a的兩個端點上，當CD=1.8cm時，則AB的長為（）A．7.2cm B．5.4cm C．3.6cm D．0.6cm8．下列方程中，是關于x的一元二次方程是()A． B．x2+2x＝x2﹣1C．ax2+bx+c＝0 D．3(x+1)2＝2(x+1)9．下列拋物線中，其頂點在反比例函數y＝的圖象上的是（）A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣110．如圖，平行四邊形的頂點在雙曲線上，頂點在雙曲線上，中點恰好落在軸上，已知，則的值為（）A．-8 B．-6 C．-4 D．-211．若關于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一個解是x＝0，則a的值為()A．1 B．－1 C．±1 D．012．如圖，在△中，∥，如果，，，那么的值為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．方程的根為．14．關于x的方程的根為______．15．如圖三角形ABC的兩條高線BD，CE相交于點F，已知∠ABC等于60度，，CF=EF，則三角形ABC的面積為________(用含的代數式表示).16．若兩個相似三角形的周長比是，則對應中線的比是________．17．某品牌手機六月份銷售400萬部，七月份、八月份銷售量連續(xù)增長，八月份銷售量達到576萬部，則該品牌手機這兩個月銷售量的月平均增長率為_________.18．在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，則__________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點F．（1）求證：△ACD∽△BFD；（2）當tan∠ABD=1，AC=3時，求BF的長．20．（8分）為了解某校九年級學生立定跳遠水平，隨機抽取該年級50名學生進行測試，并把測試成績（單位：m）繪制成不完整的頻數分布表和頻數分布直方圖．學生立定跳遠測試成績的頻數分布表分組頻數1.2≤x＜1.6a1.6≤x＜2.0122.0≤x＜2.4b2.4≤x＜2.810請根據圖表中所提供的信息，完成下列問題：（1）表中a=，b=，樣本成績的中位數落在范圍內；（2）請把頻數分布直方圖補充完整；（3）該校九年級共有1000名學生，估計該年級學生立定跳遠成績在2.4≤x＜2.8范圍內的學生有多少人？21．（8分）總書記指出，到2020年全面建成小康社會，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標．為貫徹的指示，實現(xiàn)精準脫貧，某區(qū)相關部門指導對口幫扶地區(qū)的村民，加工包裝當地特色農產品進行銷售，以增加村民收入．已知該特色農產品每件成本10元，日銷售量(袋)與每袋的售價(元)之間關系如下表：每袋的售價(元)…2030…日銷售量(袋)…2010…如果日銷售量y(袋)是每袋的售價x(元)的一次函數，請回答下列問題：（1）求日銷售量y(袋)與每袋的售價x(元)之間的函數表達式；（2）求日銷售利潤(元)與每袋的售價(元)之間的函數表達式；（3）當每袋特色農產品以多少元出售時，才能使每日所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？(提示：每袋的利潤=每袋的售價每袋的成本)22．（10分）如圖，在中，弦垂直于直徑，垂足為，連結，將沿翻轉得到，直線與直線相交于點．（1）求證：是的切線；（2）若為的中點，①求證：四邊形是菱形；②若，求的半徑長．23．（10分）[問題發(fā)現(xiàn)]如圖①，在中，點是的中點，點在邊上，與相交于點，若，則_____;[拓展提高]如圖②，在等邊三角形中，點是的中點，點在邊上，直線與相交于點，若，求的值.[解決問題]如圖③，在中，，點是的中點，點在直線上，直線與直線相交于點，.請直接寫出的長.24．（10分）（7分）某中學1000名學生參加了”環(huán)保知識競賽“，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分取整數，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計，并制作了如圖頻數分布表和頻數分布直方圖（不完整且局部污損，其中“■”表示被污損的數據）．請解答下列問題：成績分組頻數頻率50≤x＜6080.1660≤x＜7012a70≤x＜80■0.580≤x＜9030.0690≤x≤100bc合計■1（1）寫出a，b，c的值；（2）請估計這1000名學生中有多少人的競賽成績不低于70分；（3）在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取兩名同學參加環(huán)保知識宣傳活動，求所抽取的2名同學來自同一組的概率．25．（12分）△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以D為頂點作∠MDN=∠B,（1）如圖（1）當射線DN經過點A時，DM交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．（2）如圖（2），將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論．（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當△DEF的面積等于△ABC的面積的時，求線段EF的長．26．如圖，在中，，，圓是的外接圓.（1）求圓的半徑；（2）若在同一平面內的圓也經過、兩點，且，請直接寫出圓的半徑的長.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD=2，BD=3，AB=AD+BD，∴，∵S△ADE=4，∴S△ABC=25，∴S四邊形DBCE=S△ABC-S△ADE=25-4=21，故選C.2、B【解析】黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618，觀察圖中的位置可知應該使小狗置于畫面中②的位置，故選B.3、D【分析】首先根據圓周角定理得出扇形半徑以及圓周角度數，進而利用銳角三角函數關系得出BC，AC的長，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝圖中陰影部分的面積求出即可【詳解】解：連接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圓弧的三等分點，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAC＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵弧BE的長為π，∴＝π，解得：R＝2，∴AB＝ADcos30°＝2，∴BC＝AB＝，∴AC＝＝3，∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面積相等，∴圖中陰影部分的面積為：S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．故選D．【點睛】此題主要考查了扇形的面積計算以及三角形面積求法等知識，根據已知得出△BOE和△ABE面積相等是解題關鍵．4、D【分析】根據題意畫出樹形圖即可求出兩次都摸到紅球的概率，進而得出選項．【詳解】解：設紅球為1，黑球為2，畫樹形圖得：由樹形圖可知：兩次都摸到紅球的概率為.故選：D.【點睛】本題考查用列表法與樹狀圖法求隨機事件的概率，列舉法（樹形圖法）求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖．5、D【分析】利用反比例函數的性質得到反比例函數圖象分布在第一、三象限，于是得到1﹣3k＞0，然后解不等式即可．【詳解】∵x1＜0＜x2，y1＜y2，∴反比例函數圖象分布在第一、三象限，∴1﹣3k＞0，∴k＜．故選：D．【點睛】此題考查反比例函數的性質，根據點的橫縱坐標的關系即可確定函數圖象所在的象限，由此得到k的取值范圍.6、C【分析】連接BE，設⊙O的半徑為r，然后由垂徑定理和勾股定理列方程求出半徑r，最后由勾股定理依次求BE和EC的長即可．【詳解】解：如圖：連接BE設⊙O的半徑為r，則OA=OD=r，OC=r-2∵OD⊥AB，∴∠ACO=90°∴AC=BC=AB=4，在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2-42=（r-2）2，解得：r=5∴AE=2r=10，∵AE為⊙O的直徑∴∠ABE=90°由勾股定理得：BE==6在Rt△ECB中，EC=．故答案為C．【點睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，根據題意正確作出輔助線、構造出直角三角形并利用勾股定理求解是解答本題的關鍵．7、B【解析】由已知可證△ABO∽CDO,故,即.【詳解】由已知可得，△ABO∽CDO,所以，,所以，，所以，AB=5.4故選B【點睛】本題考核知識點：相似三角形.解題關鍵點：熟記相似三角形的判定和性質.8、D【解析】利用一元二次方程的定義判斷即可．【詳解】A、＝3不是整式方程，不符合題意；B、方程整理得：2x+1＝0，是一元一次方程，不符合題意；C、ax2+bx+c＝0沒有條件a≠0，不一定是一元二次方程，不符合題意；D、3(x+1)2＝2(x+1)是一元二次方程，符合題意，故選：D．【點睛】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關鍵．9、A【分析】根據y＝得k＝xy＝12，所以只要點的橫坐標與縱坐標的積等于12，就在函數圖象上．【詳解】解：∵y＝，∴k＝xy＝12，A、y＝（x﹣4）2+3的頂點為（4，3），4×3＝12，故y＝（x﹣4）2+3的頂點在反比例函數y＝的圖象上，B、y＝（x﹣4）2﹣3的頂點為（4，﹣3），4×（﹣3）＝﹣12≠12，故y＝（x﹣4）2﹣3的頂點不在反比例函數y＝的圖象上，C、y＝（x+2）2+1的頂點為（﹣2，1），﹣2×1＝﹣2≠12，故y＝（x+2）2+1的頂點不在反比例函數y＝的圖象上，D、y＝（x+2）2﹣1的頂點為（﹣2，﹣1），﹣2×（﹣1）＝2≠12，故y＝（x+2）2﹣1的頂點不在反比例函數y＝的圖象上，故選：A．【點睛】本題考查的知識點是拋物線的頂點坐標以及反比例函數圖象上點的坐標，根據拋物線的解析式確定拋物線的頂點坐標是解此題的關鍵．10、C【分析】連接OB，過點B作軸于點D，過點C作于點E，證，再利用三角形的面積求解即可．【詳解】解：連接OB，過點B作軸于點D，過點C作于點E，∵點P是BC的中點∴PC=PB∵∴∴∵∴∵點在雙曲線上∴∴∴∴∵點在雙曲線上∴∴．故選：C．【點睛】本題考查的知識點是反比例函數的圖象與性質、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的面積公式等，掌握以上知識點是解此題的關鍵．11、A【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程兩邊相等的未知數的值，利用方程解的定義就可以得到關于a的方程，從而求得a的值,且（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0為一元二次方程，即．【詳解】把x=0代入方程得到：a2－1＝0解得：a=±1．（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0為一元二次方程即．綜上所述a=1.故選A．【點睛】此題考查一元二次方程的解，解題關鍵在于掌握一元二次方程的求解方法.12、B【分析】由平行線分線段成比例可得到，從而AC的長度可求.【詳解】∵∥∴∴∴故選B【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵.二、填空題（每題4分，共24分）13、.【解析】試題分析：x（x－1）=0解得：=0，=1．考點：解一元二次方程．14、x1=0,x2=【分析】直接由因式分解法方程，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴或，∴，；故答案為：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握因式分解法解方程．15、【分析】連接AF延長AF交BC于G．設EF=CF=x，連接AF延長AF交BC于G．設EF=CF=x，因為BD、CE是高，所以AG⊥BC，由∠ABC=60°，∠AGB=90°，推出∠BAG=30°，在Rt△AEF中，由EF=x，∠EAF=30°，可得在Rt△BCE中，由EC=2x，∠CBE=60°可得．由AE+BE=AB可得，代入即可解決問題．【詳解】解：連接延長交于，設==，是高，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，.【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，掌握勾股定理和30°直角三角形是解題的關鍵.16、4:9【分析】相似三角形的面積之比等于相似比的平方．【詳解】解：兩個相似三角形的周長比是，∴兩個相似三角形的相似比是，∴兩個相似三角形對應中線的比是，故答案為．17、20%【分析】根據增長（降低）率公式可列出式子.【詳解】設月平均增長率為x.根據題意可得:.解得:.所以增長率為20%.故答案為:20%.【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，記住增長率公式很重要.18、1【分析】根據在平面直角坐標系中的點關于原點對稱的點的坐標為，進而求解．【詳解】∵點與點關于原點對稱，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查平面直角坐標系中關于原點對稱點的特征，即兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反．三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）3【分析】（1）只要證明∠DBF=∠DAC，即可判斷．（2）利用相似三角形的性質即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴=1，∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴，∴BF=AC=3【點睛】本題考查相似三角形的性質和判定，同角的余角相等，直角三角形兩銳角互余等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，利用新三角形的性質解決問題20、（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）補圖見解析；（3）該年級學生立定跳遠成績在2.4≤x＜2.8范圍內的學生有200人．【解析】（1）根據題意和統(tǒng)計圖可以求得a、b的值，并得到樣本成績的中位數所在的取值范圍；（2）根據b的值可以將頻數分布直方圖補充完整；（3）用1000乘以樣本中該年級學生立定跳遠成績在2.4≤x＜2.8范圍內的學生比例即可得.【詳解】（1）由統(tǒng)計圖可得，a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，樣本成績的中位數落在：2.0≤x＜2.4范圍內，故答案為：8，20，2.0≤x＜2.4；（2）由（1）知，b=20，補全的頻數分布直方圖如圖所示；（3）1000×=200（人），答：該年級學生立定跳遠成績在2.4≤x＜2.8范圍內的學生有200人．【點睛】本題考查了頻數分布表、頻數分布直方圖、中位數等，讀懂統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表，從中找到必要的信息是解題的關鍵.21、（1）；（2）P=；（3）當每袋特色農產品以25元出售時，才能使每日所獲得的利潤最大,最大利潤是225元.【分析】（1）用待定系數法即可求出一次函數的解析式；（2）根據日銷售利潤=每袋的利潤×銷售量即可得出日銷售利潤(元)與每袋的售價(元)之間的函數表達式；（3）根據二次函數的性質求最大值即可.【詳解】解：（1）設一次函數的表達式為：，將(，)，(，)代入中得解得∴售量(袋)與售價(元)之間的函數表達式為．(2)()()．(3)()(40)∴當時，∴當每袋特色農產品以25元出售時，才能使每日所獲得的利潤最大,最大利潤是225元.【點睛】本題主要考查二次函數的應用，掌握待定系數法是解題的關鍵.22、（1）見解析；（2）①見解析，②1【分析】（1）連接OC，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，結合折疊的性質得∠OCA=∠FAC，于是可判斷OC∥AF，然后根據切線的性質得直線FC與⊙O相切；（2）①連接OD、BD，利用直角三角形斜邊上的中線的性質可證得CB=OC=OD=BD，再根據菱形的判定定理即可判定；②首先證明△OBC是等邊三角形，在Rt△OCE中，根據，構建方程即可解決問題；【詳解】（1）如圖，連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，由翻折的性質，有∠OAC=∠FAC，∠AEC=∠AFC=90°，∴∠FAC=∠OCA，∴∥AF，∴∠OCG=∠AFC=90°，故FG是⊙O的切線；（2）①如圖，連接OD、BD，∵CD垂直于直徑AB，∴OC=OD，BC=BD，又∵B為OG的中點，∴，∴CB=OB，又∵OB=OC，∴CB=OC，則有CB=OC=OD=BD，故四邊形OCBD是菱形；②由①知，△OBC是等邊三角形，∵CD垂直于直徑AB，∴，∴，設⊙O的半徑長為R，在Rt△OCE中，有，即，解之得：，⊙O的半徑長為：1．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用方程的思想解決問題．23、[問題發(fā)現(xiàn)]；[拓展提高]；[解決問題]或.【分析】[問題發(fā)現(xiàn)]由，可知AD是中線，則點P是△ABC的重心，即可得到2∶3；[拓展提高]過點作交于點，則EF是△ACD的中位線，由平行線分線段成比例，得到，通過變形，即可得到答案；[解決問題]根據題意，可分為兩種情況進行討論，①點D在點C的右邊；②點D在點C的左邊；分別畫出圖形，求出BP的長度，即可得到答案.【詳解】解：[問題發(fā)現(xiàn)]：∵，∴點D是BC的中點，∴AD是△ABC的中線，∵點是的中點，則BE是△ABC的中線，∴點P是△ABC的重心，∴；故答案為：.[拓展提高]：過點作交于點.是的中點，是的中點，∴EF是△ACD的中位線，，，，∴，，即..[解決問題]：∵在中，，，∵點E是AC的中點，∴，∵CD=4，則點D可能在點C的右邊和左邊兩種可能；①當點D在點C的右邊時，如圖：過點P作PF⊥CD與點F，∵，，∴△ACD∽△PFD，∴，即，∴，∵，，∴△ECB∽△PBF，∴，∵，∴，解得：，∴，，∴；②當點D在點C的左邊時，如圖：過點P作PF⊥CD與點F，與①同理，可證△ACD∽△PFD，△ECB∽△PBF，∴，，∵，∴，解得：，∴，，∴；∴或.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例，勾股定理，以及三角形的重心，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質，以及勾股定理解三角形.注意運用分類討論的思想進行解題.24、（1）a=0.24，b=2，c=0.04；（2）600人；（3）人.【分析】（1）利用50≤x＜60的頻數和頻率，根據公式：頻率＝頻數÷總數先計算出樣本總人數，再分別計算出a，b，c的值；（2）先計算出競賽分數不低于70分的頻率，根據樣本估計總體的思想，計算出1000名學生中競賽成績不低于70分的人數；（3）列樹形圖或列出表格，得到要求的所有情況和2名同學來自一組的情況，利用求概率公式計算出概率.【詳解】解：（1）樣本人數為：8÷0.16=50（名）a=12÷50=0.24，70≤x＜80的人數為：50×0.5=25（名）b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2（名）c=2÷50=0.04所以a=0.24，b=2，c=0.04；（2）在選取的樣本中，競賽分數不低于70分的頻率是0.5+0.06+0.04=0.6，根據樣本估計總體的思想，有：1000×0.6=600（人）∴這1000名學生中有600人的競賽成績不低于70分；（3）成績是80分以上的同學共有5人，其中第4組有3人，不妨記為甲，乙，丙，第5組有2人，不妨記作A，B從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取兩名同學，情形如樹形圖所示，共有20種情況：抽取兩名同學在同一組的有：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙，AB，BA共8種情況，∴抽取的2名同學來自同一組的概率P==【點睛】本題考查了頻數、頻率、總數間關系及用列表法或樹形圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹形圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；概率＝所求情況數與總情況數之比．25、（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，證明見解析；（3）4.【分析】（1）根據等腰三角形的性質以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性質得出，從而得出△BDF∽△CED∽△DEF．（3）利用△DEF的面積等于△ABC的面積的，求出DH的長，從而利用S△DEF的值求出EF即可【詳解】解：（1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△A