新教材2025版高中數(shù)學第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2直線與平面垂直學案新人教A版必修第二冊

8.6.2直線與平面垂直課程標準1.了解直線與平面垂直的定義．2．理解直線與平面垂直的判定定理，并會用其推斷直線與平面垂直．3．理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡潔的線面角問題．4．能利用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行證明．新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一直線與平面垂直定義假如直線l與平面α內(nèi)的隨意一條?直線都垂直，我們就說直線l與平面α相互垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________．它們唯一的公共點P叫做________圖示畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直要點二直線與平面垂直的判定定理?文字語言假如一條直線與一個平面內(nèi)的________都垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，________?l⊥α圖形語言要點三直線和平面所成的角有關(guān)概念對應圖形斜線與平面α________，但不和平面α________，圖中直線PA?斜足斜線和平面的________，圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引________，過________和________的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影?，圖中斜線PA在平面α上的射影為________直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角．規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是________；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是________取值范圍[0°，90°]要點四直線與平面垂直的性質(zhì)定理?文字語言垂直于同一個平面的兩條直線________符號語言圖形語言要點五空間中的距離1．點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫作這個點到該平面的垂線段，________的長度叫做這個點到該平面的距離．2．直線到平面的距離：一條直線和一個平面平行時，這條直線上________到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．3．兩個平行平面間的距離：假如兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的__________到另一個平面的距離都相等，把它叫做兩個平行平面間的距離．助學批注批注?定義中的“隨意一條”與“全部直線”意義相同，但與“多數(shù)條直線”不同，即定義說明這條直線和平面內(nèi)的全部直線都垂直．批注?(1)定理中有三個條件：兩個線線垂直和一個相交，三個條件缺一不行．(2)要判定一條直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點，則是無關(guān)緊要的．批注?斜線上不同于斜足的點P的選取是隨意的．批注?斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段．批注?線面垂直性質(zhì)定理的推論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(2)假如一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個．夯實雙基1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線垂直，則l⊥α.()(2)假如一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的全部直線．()(3)假如兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．()(4)假如直線l與平面α所成的角為60°，且m?α，則直線l與m所成的角也是60°.()2．下列說法中可以推斷直線l⊥平面α的是()A.直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直B.直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直C.直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直D.直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線垂直3．直線n⊥平面α，n∥l，直線m?α，則l、m的位置關(guān)系是()A.相交B．異面C．平行D．垂直4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1直線與平面垂直的判定例1如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.題后師說證明線面垂直的方法鞏固訓練1在正方體ABCD-A1B1C1D1題型2直線與平面垂直的性質(zhì)定理例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.題后師說證明線線平行的方法鞏固訓練2如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F(xiàn)是EB的中點，求證：DF∥平面ABC.題型3直線與平面所成的角例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.(1)求證：PA⊥平面PCD；(2)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．題后師說求直線與平面所成角的步驟鞏固訓練3在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．8．6.2直線與平面垂直新知初探·課前預習[教材要點]要點一垂線垂面垂足要點二兩條相交直線a∩b＝P要點三相交垂直交點垂線垂足斜足AO直角0°的角要點四平行a∥b要點五1．垂線段2．隨意一點3．隨意一點[夯實雙基]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：依據(jù)線面垂直的判定定理：直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線，強調(diào)兩條、相交，A、B不正確，C正確；依據(jù)線面垂直定義：直線垂直平面內(nèi)的隨意一條直線，此時強調(diào)隨意一條，不是多數(shù)條，因為這多數(shù)條直線可能是平行的，D不正確．故選C.答案：C3．解析：由題意可知l⊥α，所以l⊥m.故選D.答案：D4．解析：如圖所示，因為正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角．由題意知，∠B1AB＝45°，故所求角為45°.答案：45°題型探究·課堂解透例1證明：(1)∵SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，即△SDB與△SDA三邊對應相等，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD.又∵AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D是AC的中點，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，AC，SD?平面SAC，∴BD⊥平面SAC鞏固訓練1證明：如圖，連接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A?平面A1∴BD⊥平面A1AC，∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可證BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1∴A1C⊥平面BC1D.例2證明：∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中點，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.鞏固訓練2證明：設AB中點為M，連接FM，CM.∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EA∥DC，∵F，M為EB，AB中點，∴EA∥FM.∵EA＝2FM，EA＝2DC，∴CD綊FM，∴CDFM為平行四邊形，∴DF∥CM，又DF?平面ABC，CM?平面ABC，∴DF∥平面ABC.例3解析：(1)證明：取棱PC的中點N，連接DN，由題意可知，DN⊥PC，又因為平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA?平面PAC，故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN?平面PCD則PA⊥平面PCD；(2)連接AN，由(1)可知，DN⊥平面PAC，則∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角，因為△PCD為等邊三角形，CD＝2且N為PC的中點，所以DN＝3，又AN?平面PAC，即DN⊥AN，在Rt△DAN中，sin∠DAN＝DNAD＝3故直線AD與平面PAC所成角的正弦值為33鞏固訓練3解析：如圖所示，取A′B′的中點D，連接C′D，BD.因為底面△A′B′C′是正三角形，所以C