新教材2025版高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2直線與平面垂直學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

8.6.2直線與平面垂直課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解直線與平面垂直的定義．2．理解直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用其推斷直線與平面垂直．3．理解直線與平面所成角的概念，并能解決簡(jiǎn)潔的線面角問(wèn)題．4．能利用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一直線與平面垂直定義假如直線l與平面α內(nèi)的隨意一條?直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α相互垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________．它們唯一的公共點(diǎn)P叫做________圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直要點(diǎn)二直線與平面垂直的判定定理?文字語(yǔ)言假如一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的________都垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，________?l⊥α圖形語(yǔ)言要點(diǎn)三直線和平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線與平面α________，但不和平面α________，圖中直線PA?斜足斜線和平面的________，圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引________，過(guò)________和________的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影?，圖中斜線PA在平面α上的射影為________直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角．規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是________；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是________取值范圍[0°，90°]要點(diǎn)四直線與平面垂直的性質(zhì)定理?文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線________符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言要點(diǎn)五空間中的距離1．點(diǎn)到平面的距離：過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫作這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，________的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．2．直線到平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上________到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．3．兩個(gè)平行平面間的距離：假如兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的__________到另一個(gè)平面的距離都相等，把它叫做兩個(gè)平行平面間的距離．助學(xué)批注批注?定義中的“隨意一條”與“全部直線”意義相同，但與“多數(shù)條直線”不同，即定義說(shuō)明這條直線和平面內(nèi)的全部直線都垂直．批注?(1)定理中有三個(gè)條件：兩個(gè)線線垂直和一個(gè)相交，三個(gè)條件缺一不行．(2)要判定一條直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，則是無(wú)關(guān)緊要的．批注?斜線上不同于斜足的點(diǎn)P的選取是隨意的．批注?斜線在平面上的射影是過(guò)斜足和垂足的一條直線而不是線段．批注?線面垂直性質(zhì)定理的推論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(2)假如一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它也垂直于另一個(gè)．夯實(shí)雙基1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線垂直，則l⊥α.()(2)假如一條直線與一個(gè)平面垂直，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的全部直線．()(3)假如兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．()(4)假如直線l與平面α所成的角為60°，且m?α，則直線l與m所成的角也是60°.()2．下列說(shuō)法中可以推斷直線l⊥平面α的是()A.直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直B.直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直C.直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直D.直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線垂直3．直線n⊥平面α，n∥l，直線m?α，則l、m的位置關(guān)系是()A.相交B．異面C．平行D．垂直4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1直線與平面垂直的判定例1如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.題后師說(shuō)證明線面垂直的方法鞏固訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1題型2直線與平面垂直的性質(zhì)定理例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.題后師說(shuō)證明線線平行的方法鞏固訓(xùn)練2如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F(xiàn)是EB的中點(diǎn)，求證：DF∥平面ABC.題型3直線與平面所成的角例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.(1)求證：PA⊥平面PCD；(2)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．題后師說(shuō)求直線與平面所成角的步驟鞏固訓(xùn)練3在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．8．6.2直線與平面垂直新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一垂線垂面垂足要點(diǎn)二兩條相交直線a∩b＝P要點(diǎn)三相交垂直交點(diǎn)垂線垂足斜足AO直角0°的角要點(diǎn)四平行a∥b要點(diǎn)五1．垂線段2．隨意一點(diǎn)3．隨意一點(diǎn)[夯實(shí)雙基]1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：依據(jù)線面垂直的判定定理：直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線，強(qiáng)調(diào)兩條、相交，A、B不正確，C正確；依據(jù)線面垂直定義：直線垂直平面內(nèi)的隨意一條直線，此時(shí)強(qiáng)調(diào)隨意一條，不是多數(shù)條，因?yàn)檫@多數(shù)條直線可能是平行的，D不正確．故選C.答案：C3．解析：由題意可知l⊥α，所以l⊥m.故選D.答案：D4．解析：如圖所示，因?yàn)檎襟wABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即為AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即為直線AB1與平面ABCD所成的角．由題意知，∠B1AB＝45°，故所求角為45°.答案：45°題型探究·課堂解透例1證明：(1)∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，即△SDB與△SDA三邊對(duì)應(yīng)相等，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD.又∵AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D是AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，AC，SD?平面SAC，∴BD⊥平面SAC鞏固訓(xùn)練1證明：如圖，連接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A?平面A1∴BD⊥平面A1AC，∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可證BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1∴A1C⊥平面BC1D.例2證明：∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD∴AE⊥平面PCD.∵M(jìn)N⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.鞏固訓(xùn)練2證明：設(shè)AB中點(diǎn)為M，連接FM，CM.∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EA∥DC，∵F，M為EB，AB中點(diǎn)，∴EA∥FM.∵EA＝2FM，EA＝2DC，∴CD綊FM，∴CDFM為平行四邊形，∴DF∥CM，又DF?平面ABC，CM?平面ABC，∴DF∥平面ABC.例3解析：(1)證明：取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，由題意可知，DN⊥PC，又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA?平面PAC，故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN?平面PCD則PA⊥平面PCD；(2)連接AN，由(1)可知，DN⊥平面PAC，則∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角，因?yàn)椤鱌CD為等邊三角形，CD＝2且N為PC的中點(diǎn)，所以DN＝3，又AN?平面PAC，即DN⊥AN，在Rt△DAN中，sin∠DAN＝DNAD＝3故直線AD與平面PAC所成角的正弦值為33鞏固訓(xùn)練3解析：如圖所示，取A′B′的中點(diǎn)D，連接C′D，BD.因?yàn)榈酌妗鰽′B′C′是正三角形，所以C