專(zhuān)題22 兩角和與差的正弦、余弦和正切-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）原卷版

2/2專(zhuān)題22兩角和與差的正弦、余弦和正切（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】公式的基本應(yīng)用 4【考點(diǎn)2】公式的逆用及變形 5【考點(diǎn)3】角的變換問(wèn)題 6【分層檢測(cè)】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 8【培優(yōu)篇】 9考試要求：1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過(guò)程，知道兩角差余弦公式的意義.2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.3.能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶).知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).2.降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．4．（2021·全國(guó)·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．5．（2021·全國(guó)·高考真題）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473二、多選題6．（2021·全國(guó)·高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】公式的基本應(yīng)用一、單選題1．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．0 B． C． D．2．（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，角，的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．N為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．N點(diǎn)的坐標(biāo)為B．C．D．若的終邊與單位圓交于點(diǎn)C，分別過(guò)A，B，C作x軸的垂線，垂足為R，S，T，則4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2024·江西鷹潭·二模）已知，且，則.6．（2024·河北承德·二模）已知，則.反思提升：1.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.2.使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.【考點(diǎn)2】公式的逆用及變形一、單選題1．（2024·貴州黔東南·二模）已知，且，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B．1 C． D．二、多選題3．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期是C．的值域?yàn)?D．在上單調(diào)遞增4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則.6．（2023·四川成都·二模）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．反思提升：1.運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.2.對(duì)asinx＋bcosx化簡(jiǎn)時(shí)，輔助角φ的值如何求要清楚.【考點(diǎn)3】角的變換問(wèn)題一、單選題1．（2024·浙江紹興·二模）若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）已知滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三上·河南洛陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）已知，，，則（

）A． B．C． D．4．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知，，，，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角，滿足，則，．6．（23-24高一上·湖南益陽(yáng)·期末）若是銳角，，則．反思提升：(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.(3)常見(jiàn)的角變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(π,3)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)等.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·湖南·二模）若銳角滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·安徽六安·期末）已知，且，則（

）A． B．7 C． D．4．（2024·江西南昌·二模）已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象為C，以下說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的最大值為B．圖象C關(guān)于中心對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)D．函數(shù)圖象上，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，向左平移可得到6．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）下列四個(gè)式子中，計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．7．（23-24高一下·江蘇常州·階段練習(xí)）下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2024·廣西·二模）已知，則.9．（2024·全國(guó)·二模）已知，則.10．（23-24高一下·廣東茂名·期中）已知，則.四、解答題11．（23-24高一下·北京房山·期中）設(shè)函數(shù)由下列三個(gè)條件中的兩個(gè)來(lái)確定：①；②最小正周期為；③．(1)寫(xiě)出能確定函數(shù)的兩個(gè)條件，并求出的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值及相應(yīng)的的值．12．（23-24高一下·北京房山·期中）已知函數(shù)．(1)求的值；(2)求函數(shù)的最小正周期；(3)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【能力篇】一、單選題1．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·云南昆明·一模）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密（Ptolemy85-165）對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他研究出角與弦之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表.托勒密用圓的半徑的作為一個(gè)度量單位來(lái)度量弦長(zhǎng)，將圓心角（）所對(duì)的弦長(zhǎng)記為.例如圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于60個(gè)度量單位，即.則（

）A．B．若，則C．D．（）三、填空題3．（2024·北京海淀·二模）已知函數(shù).（i）若，則函數(shù)的最小正周期為.（ii）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實(shí)數(shù).四、解答題4．（2024·北京海淀·二模）已知函數(shù)，從條件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.(1)求的值；(2)若不等式在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍.條件①：；條件②：的圖象可由的圖象平移得到；條件③：在區(qū)間內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，且.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·江蘇·二模）正三棱錐和正三棱錐Q-ABC共底面ABC，這兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，點(diǎn)P和點(diǎn)Q在平面ABC的異側(cè)，這兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面ABC所