湖北省荊州市江陵縣2024屆九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年湖北省荊州市江陵縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）垃圾混置是垃圾，垃圾分類是資．下列可回收物、有害垃圾、廚余垃圾、其他垃圾四種垃圾回收標(biāo)識中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．解析：解：A、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：B．2．（3分）方程3x2＝5x+7的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（）A．3，5，7 B．3，﹣5，﹣7 C．3，﹣5，7 D．3，5，﹣7解析：解：方程3x2＝5x+7轉(zhuǎn)化為一般形式為3x2﹣5x﹣7＝0，其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為3，﹣5，﹣7，故選：B．3．（3分）平移拋物線y＝（x+3）（x﹣1）后得到拋物線y＝（x+1）（x﹣3），則（）A．向左平移2個單位 B．向右平移2個單位 C．向左平移4個單位 D．向右平移4個單位解析：解：y＝（x+3）（x﹣1）＝（x+1）2﹣4，頂點坐標(biāo)是（﹣1，﹣4）．y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4，頂點坐標(biāo)是（1，﹣4）．所以將拋物線y＝（x+3）（x﹣1）向右平移2個單位長度得到拋物線y＝（x+1）（x﹣3），故選：B．4．（3分）將x2﹣6x﹣4＝0進(jìn)行配方變形，下列正確的是（）A．（x﹣6）2＝13 B．（x﹣6）2＝9 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝9解析：解：∵x2﹣6x﹣4＝（x﹣3）2﹣9﹣4＝（x﹣3）2﹣13，∴x2﹣6x﹣4＝0進(jìn)行配方變形為（x﹣3）2＝13．故選：C．5．（3分）小明將圖案繞某點連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次，每次旋轉(zhuǎn)相同角度α，設(shè)計出一個外輪廓為正五邊形的圖案（如圖），則α可以為（）A．30° B．54° C．72° D．108°解析：解：因為每次旋轉(zhuǎn)相同角度α，旋轉(zhuǎn)了五次，且旋轉(zhuǎn)了五次剛好旋轉(zhuǎn)了一周為360°，所以每次旋轉(zhuǎn)相同角度α＝360÷5＝72°．故選：C．6．（3分）有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，可列方程為（）A．1+2x＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x（1+x）＝81解析：解：設(shè)平均一人傳染了x人，第一輪有（x+1）人患流感，第二輪共有x+1+（x+1）x人，根據(jù)題意得：x+1+（x+1）x＝81，故選：D．7．（3分）某市新建一座景觀橋．如圖，橋的拱肋ADB可視為拋物線的一部分，橋面AB可視為水平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度AB為40米，橋拱的最大高度CD為16米（不考慮燈桿和拱肋的粗細(xì)），則與CD的距離為5米的景觀燈桿MN的高度為（）A．13米 B．14米 C．15米 D．16米解析：解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝ax2+16，由題意可知，B的坐標(biāo)為（20，0），∴400a+16＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+16，∴當(dāng)x＝5時，y＝15．∴與CD距離為5米的景觀燈桿MN的高度為15米，故選：C．8．（3分）如圖，在△OAB中，頂點O（0，0），A（5，0），B（2，1），將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到△OA′B′，當(dāng)點B′恰好落在y軸的正半軸上時，點A′的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．解析：解：如圖過B作BE⊥OA于E，過B′作B′F⊥OA′于F，過A′作A′C⊥y軸于C，∴∠B′FO＝∠C＝90°，∵B（2，1），∴OE＝2，BE＝1，∵將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到△OA′B′，∴△OAB≌△OA′B′，∴B′F＝BE＝1，OF＝EO＝2，OA＝OA′＝5，∴OB＝OB′＝，在△OB′F和△OA′C中，∠O公共，∠B′FO＝∠C＝90°，∴△OB′F∽△OA′C，∴＝＝，∴＝＝，∴CA′＝，OC＝2∴點A′的坐標(biāo)為（，2）．故選：B．9．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③m為任意實數(shù)，則a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的有（）A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤解析：解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正確；∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①錯誤；∵拋物線對稱軸為直線x＝1，∴函數(shù)的最大值為a+b+c，∴當(dāng)m≠1時，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③錯誤；∵拋物線與x軸的一個交點在（3，0）的左側(cè)，而對稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個交點在（﹣1，0）的右側(cè)∴當(dāng)x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④錯誤；∵+bx1＝+bx2，∴+bx1﹣﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正確．綜上所述，正確的有②⑤．故選：C．10．（3分）平面上有一個圖形G與圖形外一點P（x，y），當(dāng)x＜0時，P'的坐標(biāo)為（﹣x，y），當(dāng)x≥0時，P'的坐標(biāo)為（﹣y，x），若點P'在圖形G上，則稱P'是“點P與圖形G的聯(lián)系點”，設(shè)拋物線C：y＝﹣（x﹣m）2+2（m為常數(shù)）頂點為E，點E關(guān)于x軸的對稱點為F，若拋物線上存在點F'是點與圖形C的聯(lián)系點，則所有可能的m的和為（）A．3 B．2 C．1 D．0解析：解：∵拋物線C：y＝﹣（x﹣m）2+2（m為常數(shù)）頂點為E，∴E（m，2），∴點E關(guān)于x軸的對稱點F（m，﹣2），∴當(dāng)m＜0時，F(xiàn)′（﹣m，﹣2），當(dāng)m≥0時，F(xiàn)′（2，m），把F′（﹣m，﹣2）代入y＝﹣（x﹣m）2+2得，﹣2＝﹣（﹣m﹣m）2+2，解得m＝﹣1或m＝1（舍去），把F′（2，m）代入y＝﹣（x﹣m）2+2得，m＝﹣（2﹣m）2+2，解得m＝2或m＝1，∴所有可能的m的和為﹣1+2+1＝2，故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是x1＝0，x2＝1．解析：解：方程變形得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案為：x1＝0，x2＝1．12．（3分）寫出一個拋物線開口向上，與y軸交于（0，2）點的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x2+2（答案不唯一）．．解析：解：由題意得，拋物線解析式為y＝x2+2（答案不唯一）．故答案為：y＝x2+2（答案不唯一）．13．（3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△A′B′C，連接AB′，若∠A′B′A＝25°，則∠B的大小為70°.解析：解：∵將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△A′B′C，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∠B＝∠CA'B'，∴∠AB′C＝45°，∵∠A′B′A＝25°，∴∠A′B′C＝20°，∴∠B＝∠CA'B′＝70°，故答案為：70°．14．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是k＜﹣1．解析：解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0沒有實數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＜0，k≠0，解得：k＜﹣1．故答案為：k＜﹣1．15．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+mx交x軸的負(fù)半軸于點A．點B是y軸正半軸上一點，點A關(guān)于點B的對稱點A′恰好落在拋物線上．過點A′作x軸的平行線交拋物線于另一點C．若點A′的橫坐標(biāo)為1，則A′C的長為3．解析：解：當(dāng)y＝0時，x2+mx＝0，解得x1＝0，x2＝﹣m，則A（﹣m，0），∵點A關(guān)于點B的對稱點為A′，點A′的橫坐標(biāo)為1，∴點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴拋物線解析式為y＝x2+x，當(dāng)x＝1時，y＝x2+x＝2，則A′（1，2），當(dāng)y＝2時，x2+x＝2，解得x1＝﹣2，x2＝1，則C（﹣2，2），∴A′C的長為1﹣（﹣2）＝3．故答案為3．16．（3分）（定義[a，b，c]為函數(shù)y＝ax2+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m＝﹣3時，函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是（，）；②當(dāng)m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；③當(dāng)m＜0時，函數(shù)在時，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)m≠0時，函數(shù)圖象經(jīng)過x軸上一個定點．其中正確的結(jié)論有①②④.（只需填寫序號）解析：解：①當(dāng)m＝﹣3時，特征數(shù)為[﹣6，4，2]，∴﹣＝﹣＝，＝＝．∴函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是：（，），故①正確；②當(dāng)m＞0時，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x＝，x1＝1，x2＝﹣﹣，|x2﹣x1|＝+＞，∴當(dāng)m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于，故②正確．③當(dāng)m＜0時，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小，∵當(dāng)m＜0時，＝﹣＞，即對稱軸在x＝右邊，∴函數(shù)在x＝右邊先遞增到對稱軸位置，再遞減，故③錯誤；④∵y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2mx2﹣mx﹣m+x﹣1＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1，令2x2﹣x﹣1＝0，解得x＝1或x＝﹣，將x＝1代入y＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1得y＝0，將x＝﹣代入y＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1得y＝﹣．∴m≠0時，函數(shù)圖象經(jīng)過定點（1，0），（﹣，﹣），故④正確．故答案為：①②④．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17．（6分）解方程：（1）（x+1）2＝4x2；（2）3x2﹣6x+2＝0．解析：解：（1）（x+1）2＝4x2，（x+1）2﹣4x2＝0，（x+1+2x）（x+1﹣2x）＝0，∴3x+1＝0或1﹣x＝0，∴x1＝﹣，x2＝1；（2）3x2﹣6x+2＝0，3x2﹣6x＝﹣2，x2﹣2x＝﹣，x2﹣2x+1＝﹣+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．18．（6分）已知關(guān)于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0（m為常數(shù)）．（1）求證：不論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有一個根是﹣2，求2023﹣m2+4m的值．解析：（1）證明：∵b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m2﹣1）＝4m2﹣4m2+4＝4＞0，即Δ＞0，∴不論m為何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵方程有一個根是﹣2，∴4﹣4m+m2﹣1＝0，∴﹣m2+4m＝3，∴2023﹣m2+4m＝2026．19．（8分）如圖所示，點O是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接OA，OB，OC，∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．（1）求∠DAO的度數(shù)；（2）用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．解析：解：（1）∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠OCD＝60°，∠ADC＝∠BOC＝120°，∴∠DAO＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°；（2）線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系是OA2+OB2＝OC2．如圖，連接OD．∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，AD＝OB，∴△OCD是等邊三角形，∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．∴∠DAO＝90°．在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，∴OA2+AD2＝OD2．∴OA2+OB2＝OC2．20．（8分）如圖，小亮父親想用長80m的柵欄．再借助房屋的外墻圍成一個矩形的羊圈ABCD，已知房屋外墻長50m，設(shè)矩形ABCD的邊AB＝xm，面積為Sm2．（1）用x的代數(shù)式表示BC的長；（2）寫出S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍；（3）當(dāng)AB，BC分別為多少米時，羊圈的面積最大？最大值是多少？解析：解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（80﹣2x）m；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，∵，∴，∴，∴15≤x＜40∴S＝﹣2x2+80x，（15≤x＜40）；（3）∵S＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，∵15≤x＜40，∴當(dāng)x＝20時，S有最大值為800，∴即當(dāng)AB＝20m，BC＝40m時，面積S有最大值為800m2．21．（10分）△ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示．（1）作△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C1．（2）將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標(biāo)（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）解析：解；（1）如圖所示：（2）如圖所示：（3）如圖所示：作出A1關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′C2，交x軸于點P，可得P點坐標(biāo)為：（，0）．22．（10分）閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．如圖所示．在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線：y＝（x﹣a）2+b經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部．（1）寫出點M（2，3）任意兩條特征線；（2）若點D有一條特征線是y＝x+1，則求此拋物線的解析式．解析：解：（1）∵點M（2，3），∴點M（2，3）任意兩條特征線為y＝3，y＝x+1；（2）點D有一條特征線是y＝x+1，∴b﹣a＝1，∴b＝a+1∵拋物線解析式為y＝（x﹣a）2+b，∴y＝（x﹣a）2+a+1，∵四邊形OABC是正方形，且過D點的垂直于x軸的直線為正方形的對稱軸，D（a，b），∴B（2a，2a），∴（2a﹣a）2+b＝2a，將b＝a+1代入得到a＝2，b＝3；∴D（2，3），∴拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+3．23．（12分）在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小麥同學(xué)發(fā)現(xiàn)“兩個整數(shù)a、b的和c為定值，則積s有最大值”．（1）例如：c＝10，探究過程如下：當(dāng)兩個整數(shù)a、b中有一個為負(fù)整數(shù)，則s＜0；當(dāng)兩個整數(shù)a、b中有一個為0時，則s＝0；當(dāng)兩個整數(shù)a、b都為正整數(shù)時，則s＞0．通過計算1×9，2×8，3×7，4×6，5×5的值，經(jīng)過比較可以得到s的最大值為25；（2）小麥同學(xué)提出，當(dāng)c的絕對值比較大時，用上述方法耗時耗力，同學(xué)們進(jìn)一步探討，得到兩個可行方法．方法一、把（1）中步驟編程，用計算機代替人去計算，可解決耗時耗力問題；方法二、構(gòu)造二次函數(shù)．例如：c＝100，s＝ab＝a（100﹣a）＝﹣a2+100a，二次函數(shù)開口向下，對稱軸方程為即a＝50，所以當(dāng)a＝50時，s有最大值為2500．（3）利用上述方法，c＝﹣10，當(dāng)a＝﹣5時，s有最大值為25．（4）利用上述方法，c＝101，當(dāng)a＝50或51時，s有最大值為2550．解析：解：（1）1×9＝9，2×8＝16，3×7＝21，4×6＝24，5×5＝25，∴s的最大值為25，故答案為：25；（2）根據(jù)題意得，當(dāng)a＝50時，s＝﹣a2+100a＝﹣2500+5000＝2500，故答案為：2500；（3）當(dāng)c＝﹣10時，s＝ab＝a（﹣10﹣a）＝﹣a2﹣10a＝﹣（a+5）2+25，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝﹣5時，s最大，最大值為25，故答案為：﹣5，25；（4）當(dāng)c＝101時，s＝ab＝a（101﹣a）＝﹣a2+101a＝﹣（a﹣）2+，∵﹣1＜0，a為整數(shù)，∴當(dāng)a＝50或51時，s有最大值，