高中數學必修第一冊課后限時訓練58 三角恒等變換

高中數學必修第一冊課后限時訓練58三角恒等變換

題組1

1.已知sina—cos則sin2a=（）

_14_111114

AA.25BR?25rC?25nD?25

解析：因為sina—cos

所以（sina—cosa）2=||,

即sin2a+cos2a_2sinacos,

即1—sin2a二|1.所以sin2a=-

答案：B

2.函數外）=慳嗚6嗚+3。一的最小正周期為（）

A.］B.7tC.2nD.4花

解析：由題意可知/U）」2sin］（sin|+cos5）—1I=|sinx—cosx|=V2|sin^x—^|.

結合函數?x）二加卜in［一J］的圖象，可得函數/（x）的最小正周期為兀，故選B.

答案：B

3.已知sin2a=|,則cos2（a+等于（）

1112

A-6B.§C.5D.-

解析：因為"+9=l+cos：（a+?=1+嗎2。+?=匕警=另

\4/LLLZb

所以選A.

答案：A

4.函數y=cos2（x—^1）+sin2（久+工）-1是（）

A.周期為2兀的奇函數B.周期為兀的偶函數

C.周期為無的奇函數D.周期為2兀的偶函數

解析：：,尸cos2（x-工）+sii?（x+"—1

l+cos（2x一看）1—cosQx+9）

2+2T

cos（2x一看）—cos（2x+^）

2

cos2xcos5+sin2xsin5—cos2xcosj+sin2xsin5

2

sin2x

-2，

?:函數的周期為:二兀，且sin(—2x)=—sin2x.故選C.

答案：C

5.若函數於)二1coscox一爭in①x(①>0)在區(qū)間［0,兀］內的值域為［-1,外則口的取值范圍為()

A.［|，才B,(0,1C,(0)|］D.(0,1］

解析：由題意可知/(x)=|coscox—^sincox=cos^a)x+以，且①>0，

當xefO,兀］時，於)《［一1,1］,

故—1Wcos(3%+<p

可得兀Wcox+卷<拳

解得故口的取值范圍為竹，［］.

答案：A

6.已知〃=^(sin160+cos16°),Z?=2cos214°—1,c=sin37°-sin67°+sin53°-sin23°,則a,6c的大

小關系為.

解析：：Z=cos45°sin160+sin45°cos16°=sin61°，b=cos28°=sin62°,c?=sin370cos230+cos

37°sin23°=sin60°,又函數產sinx在區(qū)間(0,內單調遞增，

?：c<a<B.

答案：c<a<b

7sin250°=

1+sinlO0-----------?

鋌析,sin250°_1-coslOO0_l-cos(90°+10°)_1+sinlO0_1

腫斫：1+sinlO0=2(l+sinl00)--2(l+sinl00)-=2(l+sinl0°)=2*

答案：百

8.已知函數火x)=acos(］—x)—cos2x,其中a>0,

(1)比較/)和熄)的大小;

(2)求函數於(在區(qū)間［一,，上的最小值.

解析：⑴因為詹)=］—g,

所以姆)-詹)=3+1)-倨-加+1

因為a>0,所以］+|>0,

所以庖啕?

(2)因為/(x)=Qsinx-cos2x=〃sinx—(1—2sin2x)=2sin2x+asinx~l,

設片sinx,xw［一］，外

所以尸2尸+。，-1,f￡［—1,1］,其圖象的對稱軸為直線，二—%

當t=—%—1,即a>4時，在，=—1時函數y取得最小值1—a；

當f=一?》-1,即0<〃<4B寸，在/=一￡時函數y取得最小值一j—1.

44o

綜上可知，當a>4時，函數,/(x)在區(qū)間［一5，皆上的最小值為1一。；當0<aW4時，函數於)在區(qū)間［一微，

，上的最小值為—1.

9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，角a,少的始邊均為x軸正半軸，終邊分別與圓。交于A,8兩點.若a

G信，。，尸吟，且點A的坐標為(一1,m).

⑴若tan2a=-求實數”?的值；

⑵若tanZAOB=-求sin2a的值.

解析：(1)由題意可得tan2a=二^羋-=

1-tanza3

角牟得tana=一2或tana=2.

：%￡信，IT),?*tana--

又角a的終邊與圓O交于點A(—1,/w),

口門?

?.J.ana--m，即—m=-1.?/7/=-1.

—1—1/N

皿。-強)二

(2)S*tanZAO^=tan(a—y?)=tan(a一工)

cos(a-^)]

又sin2(a-勻+cos2(a—工)=1，

..(TT\3(11、4

cos^--)=-

51

?:訊2戊_2)=2sin(a-^)cos(a-，)=cos(2a-2)=2cos2(a-令)-1

.：sin2a=sin[(2a—+^j=sin(2a-cos2+cos^2a—防嗎=7—；：".

題組2

1.在△"(?中，sinAsin^=cos2|,則下列等式一定成立的是()

A.A=BB.A=CC.B=CD.A=B=C

解析：：?C=7U—(A+B),

ZsinAsini?=cos2|-=1+^osC=，-|cos(A+B)=1—^(cosAcosB-sinAsinB).

?：；cosAcos8+gsinAsinB=g.

?：cos(A—8)=1.

:'OvAv兀,0<8<兀,?：—7U<4—8<兀

?：A—3=0.?:A=8.

答案：A

2.已知tanQ+6)=3,貝!Jsin20—2cos20=()

443

-c

A.B.5--5D.4-

解析「‘磷+9）=氏導，「曲弓.

sin20—2cos232sin6cos。-2cos2。2tan0—2__4

..sin2。-2cos2。=

1siMe+cos2。taMe+l5.

答案：B

3.已知函數/U）=3sincoxcos①式一4cos2o>x（①>0）的最小正周期為兀，且犬。）=^，則/（。一］）二（

13

D.~2

解析：由題意可得心)=3sincoxcoscox—4cos2cox

3

=-sin2a)x-2(1+cos2cox)

二|sin(2s—9)—2(其中tan(p=

故危)max=|-2=g,

SQ

於)min=-2-2=-2,

因為購耳，所以當時，函數於）取得最大值.

-9

即/

---

又因為函數的周期為兀，所以當x=e—1時，函數y（x）應取得最小值—A02

答案：B

4.己知tan（a一份=?’tanQ—￡）=則tan（a—2）=

1717

c

A.-4B.-8-8D.4-

解析：："an?",tan償一￡)1

2

21

3.2.1

?：lan(a-=

加時…一?？泛谌羯阬+|xi8*

答案：C

cos2a券，則sinacosa=

5.若一

Siiln(a+?

解析.,?cos2a題.cos2a—sin2aV2

廨加.』僅+曠3?.75~3

-y(sina+cosa)

即(cosa-sina)(sina+cosa)V2

/2~3,

■y(sina+cosa)

Zcosa-sina=1.

?:兩邊平方,得1—2sinacosa=^,

4

即sinacosa=-.

答案：5

71,4.

6.已知aWO,sina+貝ijlana=

*(l4.

解析：因為0<tt<—,所以4<。+可V2,

又因為sin(a+：)=%

所以cosher+；3

所以tan(a+4

3,

4

所以tana=tan[(a+9T=吊

7

答案:I

7.已知函數於)=2cos?x+2百sinxcosx.

⑴求7U)的單調遞增區(qū)間;

(2)若應r)在區(qū)間［-，上的值域為［0,3］,求機的取值范圍.

解析：(1)/(x)=2cos2x+2V3sinxcosx

=cos2x+V3s:in2x+1=2sin(2x+卷)+1,

由2版TW2x+?W2E+?(keZ),

ZoZ

得hr—gWx<ht+］（kGZ）,所以火x）的單調遞增區(qū)間是pnr—三，kn+^j（^GZ）.

⑵由⑴知於)=2sin(2x+看)+1.

由回一『m]>知2vqe卜於2m+3-

要使得危）在區(qū)間［一，向上的值域為［0,3］,即產sin（2%+習在區(qū)間［一,6］上的值域為卜：，1］.

故3W2〃2+?W?,即提WmWj

26662

8.如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（A8C0的池底水平鋪設污水凈化管道（管道構成R3FHE,

，是直角頂點）來處理污水.管道越長，污水凈化效果越好.設計