高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點強化 5 解析幾何 第13講 圓錐曲線中的綜合問題教學(xué)案 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)教學(xué)案

第13講圓錐曲線中的綜合問題

考綱要求真題統(tǒng)計命題規(guī)律鎖定題型

分析近五年全國卷發(fā)現(xiàn)高考命題

2017年I卷T；2017年D卷T”；1.圓維曲線中的定值

a有以下規(guī)律：

問題

了解曲線與方程的2016年1卷勺,2016年D卷T”；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定

2.圓錐曲線中的最值、

對應(yīng)關(guān)系，了解圓錐2016年IH卷T.；2015年I卷T”；點、定值、最值、范圍以及存在性問

范圍問題

出線的簡單應(yīng)用.2015年II卷J；2014年I卷T8；題都是高考命題的熱點，難度較

3.圓錐曲線中的探索性

2013年I卷以高，突出了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化

問題

歸及分類討論思想的應(yīng)用.

題型1圓錐曲線中的定值問題

（對應(yīng)學(xué)生用書第43頁）

■核心知識儲備.........................................................

解析兒何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線

的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達式的值等與題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而

變化，而始終是一個確定的值.

■典題試解尋法.........................................................

【典題】已知橢圓G2+￥=l（a>?0）的離心率為乎，點（2,艱）在。上.

ab2V

（D求。的方程；

（2）直線/不過原點。且不平行于坐標軸，/與C有兩個交點4B,線段月6的中點為

M.證明：直線的斜率與直線1的斜率的乘積為定值.

［解］（1）由題意有""”=乎,4+4=1,

alab

解得3=8,Z/=4.

所以。的方程為不+?=L

o4

（2）證明：設(shè)直線/：y=kx+b（k^O,6W0）,A（x>,力），B（xi,㈤，欣x“，y》.

將y=kx+b代入不+7=1,得

o4

（2如+1）f+4處x+2〃-8=0.

X\+x2~2kbb

故Xv=y尸k?x.u+b—

2=2k2+l92/+T

于是直線〃川的斜率kmf=^=—

即km.k—

所以直線?！ǖ男甭逝c直線1的斜率的乘積為定值.

［類題通法］定值問題的常見方法

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

■對點即時訓(xùn)練........................................................

已知橢圓C：當(dāng)+￡=l（a>6>0）的左焦點為人（一道，0）,e=乎.

5uZ

（1）求橢圓。的方程；

⑵如圖13-1,設(shè)/?（揚，㈤是橢圓C上一動點，由原點。向圓5—8）2+5—%）2=4

引兩條切線，分別交橢圓于點只Q,若直線。。的斜率存在，并記為L,k2,求

證：左也為定值；

⑶在⑵的條件下，試問制「是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說

明理由.

［解］⑴由題意得，c=#,e=乎，解得a=2小,

???橢圓C的方程為杳+《=1.

⑵由已知，直線研y=k\x,OQ：y=k2x,且與圓7?相切,

.4劉一.加

=2,化簡得（應(yīng)—4）居一2xyok\+蘇一4=0,

71+居Q

同理，可得（岔一4）居-2加次&+/-4=0,

?,?看,人是方程（京一4）發(fā)一2照劉4+點-4=0的兩個不相等的實數(shù)根,

2Jb-4

???髭-4H0,J>0,4也=L「.

Ab—4

???點小，㈤在橢圓C上，,喘+卷=1,

即yo=6—

12

2-*i

⑶是定值18.

y=k\x

22

設(shè)P（X1,為），0（X2,㈤，聯(lián)立得12+i=i

212

M=TT正

解得，

212后

"TT點

2,212i+/

..^+y,=1+2A，

同理，可得.+4=12］；：￡.

121+居,121+后

由kxkz——得|+I制『=x；+y；+抬+貫=

1+2必十~1+2居

2

12

1+

121+后18+36必

1+2后1+2后18.

1+2

綜上：|CP|2+|W|2=18.

■題型強化集訓(xùn)

（見專題限時集訓(xùn)T3）

題型2圓錐曲線中的最值、范圍問題

（對應(yīng)學(xué)生用書第44頁）

■核心知識儲備

1.解決圓、圓錐曲線范圍問題的方法

（1）圓、圓錐曲線自身范圍的應(yīng)用，運用圓錐曲線上點的坐標的取值范圍.

（2）參數(shù)轉(zhuǎn)化：利用引入?yún)?shù)法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決.

(3)構(gòu)造函數(shù)法：運用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實根的分布等知識.

2.求最值的方法

(D代數(shù)法：設(shè)變量、建立目標函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.注意靈活運用配方法、

導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法等.

(2)幾何法：若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何

性質(zhì)來解決.

■典題試解尋法.........................................................

?1

【典題】如圖13-2,已知橢圓萬+/=1上兩個不同的點6關(guān)于直線了=帆+萬對稱.

圖13-2

(1)求實數(shù)0的取值范圍；

(2)求△/如面積的最大值(0為坐標原點).

【導(dǎo)學(xué)號:07804094)

［解］(1)由題意知“W0,可設(shè)直線46的方程為

ni

2'(\i\2b

由〈1消去必得,+7M-----x+Z/—l=0.

1mJm

y=—x+b

Im

1V2

因為直線y=-—x+b與橢圓w+y=l有兩個不同的交點，

mL

4

所以J=-262+2+->0.①

m

、門、一

設(shè)材r為的,,中,點，則ri“/滔2m哀b，了m哀b\)

代入直線方程尸儂+<,解得仁一空.②

LAm

由①②得m<一幸或勿>幸.

⑵令t=￥邛

7

—2tA+2t2+-

則!AB\=yjr+1?

且。到直線48的距離d=

設(shè)△/(/的面積為S(t),所以51)=g/冽?

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

故△/緲面積的最大值為當(dāng).

［類題通法］

在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系時，常涉及弦長、中點、面積等問題.一般是先聯(lián)立

方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用設(shè)而不求，整體代入的技巧進行求解.

易錯警示：在設(shè)直線方程時，若要設(shè)成/=履+0的形式，注意先討論斜率是否存在；

若要設(shè)成的形式，注意先討論斜率是否為0.

■對點即時訓(xùn)練.........................................................

如圖13-3,點￡為圓5+1)2+/=16的圓心，N為圓月上一動點，且“(1,0),機P

分別是線段AM上的點，且滿足加5?國V=0,FiN=2F￡

圖13-3

(1)求動點〃的軌跡￡的方程；

(2)過點K的直線/(與“軸不重合)與軌跡￡交于4C兩點，線段4C的中點為C,

連接例并延長交軌跡E于點以。為坐標原點)，求四邊形力紀的面積S的最小值.

［解］(1)由題意，知劭0垂直平分“小

所以I,如I+I磔I=4.

所以動點M的軌跡是以A（—1,0）,"（1,0）為焦點的橢圓,

且長軸長為2a=4,焦距2c=2,

所以a=2,c—1,6=3.

軌跡￡的方程為■+曰=1.

⑵設(shè)力（汨，yi）,。（如%）,G（xo,yo）.

設(shè)直線〃'的方程為x="+L與橢圓方程聯(lián)立，

可得（4+3/）/+6my—9=0,

g”?6.9

所以必+再=一屋畝'7,72=-4+3^-

由弦長公式可得|"1=護力"一切J"：

乂%=一1面’所以小奇，-4+37

直線外的方程為y^~~x,與橢圓方程聯(lián)立得V=所以

43/27、、4+3〃孑-1

通.點8到直線〃的距離"產(chǎn)

“4+3病y/l+zn'

點0到直線的距離d=^=j=?「

所以Snwaisc=^AC\（d+4）=6A卬2—23,當(dāng)且僅當(dāng)勿=0時取得最小

值3.

■題型強化集訓(xùn).................................................

（見專題限時集訓(xùn)THT,）

題型3圓錐曲線中的探索性問題（答題模板）

（對應(yīng)學(xué)生用書第45頁）

圓錐曲線中的存在性（探索性）問題主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）探索點是否存在；

（2）探索曲線是否存在；（3）探索命題是否存在.涉及這類命題的求解主要是研究直線

與圓錐曲線的位置關(guān)系問題.（2015?全國I卷T20、2015?全國H卷T20）

■典題試解尋法.................................................

【典題】（本小題滿分12分）（2015?全國I卷）在直角坐標系X。中,

殳

曲線C：尸今與直線/：y=kx+aa>0交于必A兩點.①

(1)當(dāng)k=0時，分別求C在點廨口A處的切線方程

(2)y軸上是否存在點只使得當(dāng)女變動時，總有|曲如QNO/N③?說明理由.

［審題指導(dǎo)］

題眼挖掘關(guān)鍵信息

看到直線與曲線C相交，

①

想到設(shè)點、聯(lián)立方程、消元，表示z+用，為型的值.

看到曲線上某點處的切線，

②

想到利用導(dǎo)數(shù)法求切線斜率；

看到兩角相等，

③

想到把角的相等轉(zhuǎn)化為直線斜率的關(guān)系.

［規(guī)范解答］(1)由題設(shè)可得〃(25，a),N(—2至a),

或以一2，^,a),a).2分

C在點、(2y/h,a)處的切線方程為y—a=/^(x—2y［^),

即y—a=0.4分

2

尸作在=-2—處的導(dǎo)數(shù)值為一,，

C在點(一2，^,a)處的切線方程為y—a=~ypt(x+2y［a),即q^x+y+a=O.

故所求切線方程為Fx-y一a=?；騀x+y+a=0?6分

⑵存在符合題意的點.證明如下：

設(shè)P(0,〃為符合題意的點，做為，必)，以如㈤，直線掰7W的斜率分別為左,

人將尸4才+a代入。的方程，得V—4Ax—4a=0.8分

故小+數(shù)=4A,小尼=一42

從而⑥

X\X2

2kx\Xi+a—b汨+尼ka+b

X\X2a

當(dāng)b=—a時，有4+左=0.則直線制/的傾斜角與直,線RV的傾斜角互補，故

=4OPN,?

所以點尸(0,一而符合題意.12分

［閱卷者說］

易錯點防范措施

④忽視導(dǎo)數(shù)法求切

明確求切線斜率的方法，導(dǎo)數(shù)法求曲線上某點

線斜率導(dǎo)致思路不

處的導(dǎo)數(shù)就等于該點處切線的斜率.

清.

⑤忽視直線的形式表示直線方程時無特殊要求一般采用直線的

及解答題的得分點一般式，結(jié)論性、總結(jié)性的語句是得分點，一

失分.定不能省.

當(dāng)式子中未知數(shù)較多時要注意消元，如此處把

⑥忽視化簡、消元致

力，必代換為為，X2,再利用根與系數(shù)的關(guān)系

錯.

求解.

⑦忽視轉(zhuǎn)化致思路把條件轉(zhuǎn)化為熟知的知識，進而利用根與系數(shù)

不清.的關(guān)系，知/羽片/用V轉(zhuǎn)化為“網(wǎng)+限=0.

［類題通法］

1.定點問題的解法：

(1)直線過定點：化為y—yo=A(x—8)，

當(dāng)X—XD=0時與A'無關(guān).

(2)曲線過定點：利用方程/"(X,力=0對任意參數(shù)恒成立得出關(guān)于x,y的方程組，

進而求出定點.

2.存在性問題的解題步驟：

一設(shè)：設(shè)滿足條件的元素(點、直線等)存在；

二列：用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組；

三解：解方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線等)存在；否則，元素(點、

直線等)不存在.

■對點即時訓(xùn)練.........................................................

已知橢圓G2+S=l(a>6>0)的離心率為以原點。為圓心，橢圓C的長半軸

3b0

長為半徑的圓與直線2%-72/+6=0相切.

（1）求橢圓。的標準方程；

（2）已知點46為動直線尸％（x-2）GtrO）與橢圓「的兩個交點，問：在x軸上是

否存在定點反使得面+￡4?/媯定值？若存在，試求出點月的坐標和定值；若不存

在，請說明理由.

【導(dǎo)學(xué)號：07804095）

[解]（1）由e=*，得￡=*，即c=^a,①

3a33

又以原點。為圓心，橢圓。的長半軸長為半徑的圓為/+/=/，且該圓與直線2%一

*y+6=0相切，

|6|I-

所以a=/『=乖,代入①得c=2,

所以I）=a—c=2,

22

所以橢圓。的標準方程為1+^=1.

得（1+3好）/一121—+12必一6=0.

12—12^—6

設(shè)力（汨，yi）,8（x2,度），所以XI+E=]+31,才1質(zhì)=]+3。.

根據(jù)題意，假設(shè)X軸上存在定點￡（外0）,

使得畫+必?AB=（EA+A吩?EA=EA?"為定值,

則￡4?EB—（x\-m,珀?（XLm,y2）=（為一必）（熱―4+幾丹=（妙+1）小矛2—（2/+

3^-12勿+102+著一6

勿）（為+就+（4尸+/?）—,__

07

要使上式為定值，即與A無關(guān)，只需3加2-12勿+10=3（布-6）,解得勿=可,

fff5

此時，EA+EA?AB=m-6=--,

所以在x軸上存在定點石，0）使得歐+口?/我定值，且定值為一方

■題型強化集訓(xùn)

（見專題限時集訓(xùn)L）

三年真題I驗收復(fù)習(xí)效果

(對應(yīng)學(xué)生用書第46頁)

22

1.(2017?全國I卷)已知橢圓G當(dāng)+￡=l(a>6>0)四點A(l,1),8(0,1),

ab

月(一1,平，當(dāng)中恰有三點在橢圓C上.

(1)求。的方程.

(2)設(shè)直線/不經(jīng)過2點且與C相交于4B兩點.若直線與直線28的斜率的和

為一1,證明：/過定點.

[解](1)由于月，月兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知橢圓。經(jīng)過月，月兩點.

1113

又由知，橢圓。不經(jīng)過點A,

aba4b

所以點烏在橢圓。上.

苗=4,e2

因此1]3解得爐=]故橢圓c的方程為7+/=1.

匕十誦j

.?.動圓圓心M的軌跡，的方程為/=4x.

(2)證明：設(shè)直線為4與直線88的斜率分別為人,左.

如果/與“軸垂直，設(shè)/：x=t,由題設(shè)知t#0,且|力<2,可得/,8的坐標分別

為。，卜，則二-1,得t=2,

不符合題設(shè).

從而可設(shè)/：y=kx+m5印1).

v2

將_/=履+加代入彳+/=1得(4分+1)刀2+84磔+4君一4=0.

由題設(shè)可知4=16(4建一/+1)>0.

設(shè)力(由，/1),8(及，%)，則為+旭

4/?—4

yi—1?J^—1

而k\+k2—

X\X2

kxi+m-1?4尼+歷―1

X\x2

2kx\Xi+in-1X]+x2

xix2

由題設(shè)左+々2=—1,

故(24+DM熱+(/〃-1)(小+及)=0.

4/-4./-8km

即(iX

24+1)?^rr+(f?IT+T=01

￡+1

解得k=~2~,

當(dāng)且僅