第07講 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（9大考點）-2022-2023學年高一數(shù)學考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第07講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(9大考點)

考點一：一元二;欠不等式的概念及講析

考點二：一元二;欠不等式的解法

考點三：含有參數(shù)的一元二欠不等式的解法

考點四一元:以方程根慟'布I礴

考點五：一元二次不等式與二次函徵、一元二次方程關(guān)系

但考點考向

一、一元二次不等式的概念及形式

(D.概念：我們把只含有一個未知數(shù)，并且知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.

(2).形式：

①+bx+c>0(aWO)；②ax?+bx+c50(aWO)：

③ax?+8x+c<0(aW0)；@ax+6x+cW0(a#0).

二、一元二次不等式的解集的概念及三個“二次”之間的關(guān)系

(1).一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解，一元二次不等式的所有解組成的集合

叫做這個一元二次不等式的解集.

⑵)關(guān)于x的一元二次不等式a*2+6x+c>0(a/0)或af+Z^x+cVO(a#0)的解集；

若二次函數(shù)為/■(x)=ax2+"+c(aW0),則一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分別使二次函

數(shù)/Xx)的函數(shù)值為正值或負值時自變量x的取值的集合.

(3).三個“二次”之間的關(guān)系：

設(shè)f(x)=ax+bx+c(5>0),方程a*+Ax+c=O的判別式/=Z?2—4ac

判別式/

/>04=0zKO

=B—4ac

解不等式求方程f(x)=0的有兩個不等的實數(shù)有兩個相等的實數(shù)

沒有實數(shù)解

f{x}>0解解由，X2解Xi=X2

或f(x)<y

L

畫函數(shù)y=F(x)的

0的步驟

示意圖

oX.=X%

1L2J

得不{x[X<X[b

Ax)>o{x|xW一前R

等式或X>及}

的解

Xx)<03^1<XA2)00

集

U技巧方法

1.“三個二次”的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ)；一般可把aVO的情況轉(zhuǎn)化為a>0時

的情形.

2.在解決不等式a?+bx+c>0(或20)對于一切xGR恒成立問題時，當二次項系數(shù)含有字母時，

需要對二次項系數(shù)。進行討論，并研究當。=0時是否滿足題意.

3.含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題，常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在

區(qū)間上的最值來處理；二是先分離出參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單.

u考點精講

考點一：一元二次不等式的概念及辨析

一、單選題

1.(2022?江蘇?高一)關(guān)于X的不等式以2+bx+c<0的解集為(-3,1),則不等式法2+如+c<0的解集為()

A.。，2)：B.(-1,2)C卜;，1)D.1T」)

【答案】D

a>0

【解析】首先利用一元二次不等式和方程的關(guān)系，列出根與系數(shù)的關(guān)系-3+1=-^,得到的關(guān)系，

a

-3xl=-

代入不等式化簡求解.

a>0

【詳解】奴2+for+c、vO的解集是（-3』），.?「-3+1=—3,得6=2兄。=一3%

-3x1=-

a

則不等式bx2+or+c<0o2ax2+ax—3a<0f

3

即2f+>3<0,解得：

所以不等式的解集是（-1，i）.

故選：D

2.（2021.廣東廣雅中學高一階段練習）關(guān)于x的一元二次不等式4產(chǎn)+偽工+9<0與生/+打工+。2<。的解集

分別為尸、Q,則“"=%=旦”是“一，，的（）

a2b2c2

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次不等式性質(zhì)，若對應(yīng)二次函數(shù)的開口不同即便對應(yīng)系數(shù)-=*=立，解集也是不同,

a2b2c2

而解集相同，若解析為空，則對應(yīng)系數(shù)可以各不相同，據(jù)此即可得解.

【詳解】由"===幺，若4%異號，

^^2C、

則--元二次不等式優(yōu)X+G<0與+^x+C2<0的解集不同，

則"幺=%=2"不是“。”的充分條件，

a2b2C2

反之當P=Q=0,

如f+x+lcO和/+犬+2<0,

止匕時—=口=9"不成立，

a2b2c2

則“幺=2=￡L,,不是“…’’的必要條件，

a,b2c2

故""=3=g"是“八?！奔炔怀浞忠膊槐匾獥l件，

a2b2c2

故選：D

二、填空題

222

3.（2021?全國?高一專題練習）一元二次不等式的一般形式：ax+hx+c>0,ax+hx+c<0fax+hx+c>0,

ax2+bx+c<0,其中存0,其中a,b,c均為

【答案】常數(shù)

【分析】根據(jù)一元二次不等式一般形式中參數(shù)的含義即可得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)一元二次不等式的一般形式的相關(guān)概念可知，式中的參數(shù)ab,c均為常數(shù)

故答案為：常數(shù).

考點二：一元二次不等式的解法

1.（2020?吉林省實驗高一期中）不等式x（4—x）<3的解集為（）

A.{x|x<l或x>3}B.{中<0或x>4}

C.{x[l<x<3}D.{x[0<x<4}

【答案】A

【解析】由題：等式x（4-x）<3化簡為：X2-4X+3>0

（x-l）（x-3）>0解得：x<l或x>3.故選：A

1,

2.—x+3x-5>0.

2

【解析】原不等式可化為/一6犬+10<0，因為6x+10=（x-3y+l>0恒成立，

所以原不等式無解，即原不等式的解集為0.

3.-2X2+3X-2<0；

（3丫7

【解析】原不等式可化為2/一3%+2>0,因為2——3x+2=2x--+」>0恒成立,

I4）8

所以原不等式的解集為R.

4.求下列不等式的解集.

8]

（1）3X2+5X-2<0；（2）-4%2+18X——>0；

4

⑶-X2+6x-9>0;⑷x2+x-l<0;

【解析】（1）因為3%2+5X-2=（X+2）（3X—1）,所以原不等式等價于（x+2）（3x-l）W0,

解得—所以原不等式的解集為1%-2<%<,,.

33

(2)原不等式可化為4f—18x+?W0,配方得(2x—<0,

9

nQn

=-

乂(2x--月20,所以(2x——y=0,解得x=—,所以原不等式的解集為｛x4

224

(3)原不等式可化為X2_6X+9<0.：△=(—6>-4x9=0,.?.原不等式的解集是。.

(4)VA=l-4x(-l)=5>0,又?.?/+%_1=0的兩個實數(shù)根為一工+@一且，

122■22

，原不等式的解集是"x|—1一^^<x<~~+~~,

2222

考點三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法

1.(2020?全國高一)函數(shù)/(幻=/+2(?！?)%+2在(—8,4]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】a<-3

【解析】因為函數(shù)/0)=/+2(。-1)8+2在(一叫4]上是減函數(shù)，

所以對稱軸》=一(。-1)24,即。〈一3.故答案為：a<-3

2.(2019?浙江省高一期末)若關(guān)于x的不等式/—火+人<o的解集是(一1,2),則。=,

b=?

【答案】1-2

—1+2=。

【解析】由題得V,,、c,，所以干1,於-2.故答案為(1).1(2).-2

(-1)-2=/?

3.解關(guān)于x的不等式/—(3a—1)x+(2a*2—2)>0.

【答案】原不等式可化為[x—g+l)][x-2(d—l)]>0,討論a+1與2(劉一1)的大小

(1)當a+1>2(a—1),即水3時,x>a+1或K2(a—1).

(2)當a+l=2(a—l),即a=3時，xWa+L

(3)當a+l〈2(a—1),即a>3時,x>2(a—1)或水a(chǎn)+1,

綜上:當上3時,解集為｛x|x〉a+l或集2Q-1)｝,

當a=3時，解集為｛x|xWa+l｝,

當&>3時，解集為｛x|彳>2(a-1)或K&+1｝.

4.(2019?北京市第十三中學高一期中)已知函數(shù)〃同=—幺+2%+1,

①函數(shù)的值域是.

②若函數(shù)在［-3,句上不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(F,2］(1,+?)

【解析】①/(%)=+2x+1,定義域為H,開口向下，/(x)=+2x+1=—(f—2x+1)+2

=一(%—1)2+242,所以函數(shù)的值域是

②因為〃x)=—(x-iy+2,時稱軸為x=l,若函數(shù)在［-3,句匕不是單調(diào)函數(shù)，

則a>l,故實數(shù)。的取值范圍是(1,+?).故答案為：①(-8,2］；②(1,+?)

5.已知M是關(guān)于x的不等式2/+(3a—7)x+3+a—2a2<0的解集，且〃中的一個元素是0,求實數(shù)a的取值

范圍，并用a表示出該不等式的解集.

【答案】原不等式可化為(2x—a—1)(x+2a-3)<0,由x=0適合不等式得(a+1)(2a—3)>0,

3

所以a<—1或a>2.

a+15a+1

若水一1,則一2a+3—2=2(—a+l)>5,所以3—2a>2，

［a+1

此時不等式的解集是卜<K3—2a

3a+155a+1

若於5，由一2a+3—2=5（—a+l）＜一彳，所以3—2尿2,

a+l

此時不等式的解集是［x3—2水:

(a+1、3(己+

綜上，當水一1時，原不等式的解集為(丁，3—2#,當眇萬時，原不等式的解集為(3-2GTJ.

考點四：一元二次方程根的分布問題

一、單選題

1.(2022?甘肅慶陽?高一期末)關(guān)于x的方程-+(加-2)X+2〃L1=0恰有一根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，則實數(shù)加的

取值范圍是()

]_32

A.B.C.；，2)D.2

2522,3停|邛-何

【答案】D

【分析】把方程的根轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點問題，恰有一個零點屬于（0,1）,分為三種情況，即可得解.

【詳解】方程/+。W-2）》+2〃7-1=0對應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：f（x）=x2+（m-2）x+2m-1

因為方程/+。"-2次+2機-1=0恰有-根屬于（0,1）,則需要滿足：

17

①〃°）./⑴＜（），（2〃?—1）（3，〃-2）＜（）,解得：；＜'"＜（：

②函數(shù)“X）剛好經(jīng)過點（0,0）或者（1,0），另個零點屬于（0,1）,

把點（0,0）代入，（司=/+。"-2比+2,"-1,解得：根=g,

此時方程為x2-：x=0,兩根為o，p而不任（0,1），不合題意，舍去

2

把點（1,0）代入/（》）=/+（〃?-2）犬+2，”-1,解得：m=§，

此時方程為3Y-4x+l=0,兩根為1,p而：?0』），故符合題意；

③函數(shù)與x軸只有一個交點，橫坐標屬于（0,1）,

△=（〃?-2）"—4（2〃?-1）=0,解得〃7=6±2＞/7,

當機=6+2近時，方程x2+（m_2）x+2m-l=0的根為-2-77,不合題意；

若帆=6-2",方程/+。“-2）》+2，"-1=0的根為e-2,符合題意

綜上：實數(shù)，”的取值范圍為（；,|0卜-2近｝

故選：D

二、多選題

2.（2021?江蘇?海安高級中學高一階段練習）一元二次方程/一4》+機=0有正數(shù)根的充分不必要條件是（）

A.m=4B.m=5C.m=\D.機=—12

【答案】ACD

【分析】由題意利用充分條件、必要條件、充要條件的定義，逐一檢驗各個選項，從而得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)/（彳卜/-?+加，則二次函數(shù)/（X）的圖象的對稱軸為x=2.

當機=4時，方程即f_4x+4=（x-2）2=0,求得x=2,滿足方程有正根，

但由方程f-4%+%=0有正數(shù)根，可得〃2）=w-4M0,即

故機=4是方程d—4x+機=0有正數(shù)根的充分不必要條件，故A滿足條件;

當相=5時，方程即d-4x+5=（x-2）2=-l,求得xw0,不滿足方程有正實數(shù)根,

故〃?=5不是方程/-4%+根=0有正數(shù)根的充分條件，故排除B.

當,"=1時，方程即x2-4x+l=（x-2）z=3,求得工=2±百，滿足方程有正根，

但由方程』—4x+m=0有正數(shù)根，可得〃2）=m-440,即m44,

故帆=1方程M-叔+加=0有正數(shù)根的充分不必要條件，故C滿足條件；

當m=-12時，方程即/-4》-12=0,求得》=-2,或x=6,滿足方程有正根，

但由方程f-4x+〃?=0有正數(shù)根，可得/（2）=〃L440,即加44,

故m=-12方程/一4%+加=0有正數(shù)根的充分不必要條件，故D滿足條件，

故選：ACD.

3.（2021.湖南?長沙市實驗中學高一期中）已知關(guān)于x的方程?+（相一3）x+/n=0,下列結(jié)論正確的是（）

A.方程必+（加一3）x+m=0有實數(shù)根的充要條件是mW{團依<1或加>9}

B.方程/+（加一3）x+m=0有一正一負根的充要條件是〃?￡{m\m<0]

C.方程/+（機-3）X+〃2=O有兩正實數(shù)根的充要條件是{w|0<w<l}

D.方程/+（加一3）x+〃z=0無實數(shù)根的必要條件是{m\m>\}

【答案】BCD

【分析】根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和充要條件和必要條件的定義，依次判斷每個選項的正誤得到答案.

【詳解】方程/+（〃?-3）x+,〃=0有實數(shù)根的充要條件是△=（機-3）2-4WN0,解得他G（fo』k[9,一），A

錯誤；

方程3）x+〃?=0有一正一負根的充要條件是=-4根>0,解得切<…⑼，B正確；

m<0

△=（加一3）'—4m>0

方程x2+（,〃-3）x+m=0有兩正實數(shù)根的充要條件是?m>Q,解得mw（O,l],C正確；

3-m>0

方程/+（桁-3）x+,”=0無實數(shù)根的充要條件是△=（機-3）2-4〃?<0>解得〃好0,9）,

（1,9）=（1,+00）,故必要條件是所任{”極>1},故D正確.

故選：BCD.

三、填空題

4.（2022?全國?高一專題練習）方程f-（2-a）x+5-。=0的兩根都大于2,則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】-5<a4T

【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布即可求解.

【詳解】解：由題意，方程/一（2—a）x+5—a=。的兩根都大于2,

令"X）=%2—（2—a）x+5—a,

>0[a2>16

可得</（2）>0,即5+5>0,解得一5<aV—4.

2-a-2-a>4

------>2

I2

故答案為：—5<a<—4.

5.（2022?全國?高一專題練習）方程如2-（根-1卜+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)有兩個不同的根，則根的取值范圍為

【答案】m>3+2正

m>0

<加-1<]

【分析】令/（尤）=儂2-（m—1卜+1,即可得到f（o）=i,依題意可得,解得即可;

/0）>o

A>0

【詳解】解：令:（力=32-（加一1卜+1,圖象恒過點（0,1）,

方程儂2_5_1》+1=。在區(qū)間（0#內(nèi)有兩個不同的根,

m>0

八加一1,m>0

0<------<1

2mn,〃？>1，解得，*>3+20?

/(l)>0(///-1)'-4，“>0

A>0

故答案為：%>3+20

6.（2022?全國?高一專題練習）己知方程f—（2a+l）x+a（a+l）=0的兩根分別在區(qū)間（0,1）,（1,3）之內(nèi)，則

實數(shù)〃的取值范圍為

【答案】（0,1）.

【分析】求出方程的解，然后由解滿足的條件求參數(shù)范圍.

（詳解】方程x?-（2a+l）x+a（a+1）=0=（x—a）[x—（a+1）]=0

方程兩根為%=。,%2=。+1，

-0<。<1

若要滿足題意，則〈?,，解得Ovavl,

[1V4+1<3

故答案為：（0,1）.

7.（2022?全國?高一專題練習）若方程2x（丘-4）-/+6=0有兩個不相等的實根，則左可取的最大整數(shù)值是

【答案】1

【分析】方程化為（2左一1）爐—8》+6=0,有兩個不相等的實根即A>0,解不等式即可求出答案.

【詳解】方程化為（2Z—1）/—8X+6=0,

由A=64-24（2左一1）>0,kx；解得k<g,

所以％最大整數(shù)值是1.

故答案為：I.

四、解答題

8.（2022?全國?高一專題練習）求實數(shù)〃，的范圍，使關(guān)于x的方程金+2（〃?一1）%+2a+6=0.

（1）有兩個實根，且一個比2大，一個比2小；

（2）有兩個實根外夕，且滿足0<a<l<￡<4；

（3）至少有一個正根.

75

【答案】1，（2）--<m<--,（3）m<-l

54

【分析】設(shè)曠=/（可=/+2（m-1卜+2〃?+6,一元二次方程根的分布主要從對稱軸、判別式、端點值、開

口方向這幾個方面來確定.

（1）設(shè)）=/（x）=x2+2（m-l）x+2m+6.

依題意有/（2）<0,即4+4（6—1）+2機+6<0,得m<-l.

（2）設(shè)^=f（x）-x2+2（m-l）x+2m+6.

f（0）=2m+6>0

依題意有./（lj=4〃?+5<0,解得一（〈加

/（4）=10w+14>0'

（3）設(shè)?=/（x）=x2+2（/M-1）X+2/H+6.

方程至少有一個正根，則有三種可能：

A>0m<一1或加>5

①有兩個正根，此時可得，/(0)>0,即?m>-3.,.—3<77?W—1.

m<\

----^>0

,-2

②有一個正根，一個負根，此時可得/（0）<0,得〃z<-3.

6+2加=0

③有?個正根，另一根為0,此時可得，2（加_］）<（），，"=一工

綜上所述，得mW-1.

9.（2022?江蘇?圖一）命題P：關(guān)于x的方程x?+x+〃z=0有兩個相異負根；命題g:3xe（0,+co）,

x2-3/nr+9<0.

（1）若命題夕為假命題，求實數(shù)”的取值范圍；

（2）若這兩個命題有且僅有一個為真命題，求實數(shù)〃?的取值范圍.

【答案】（D（F,2］：（2）］。,；］（2,+oo）

O

【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為對Vx?0,”），V—3g+9之0為真命題，分離變量可得則可得

x

3/n<6,進而求得結(jié)果；

（2）由（1）可知9為真時用的范圍；由一元二次方程根的分布可求得〃為真時團的范圍；根據(jù)兩個命題

一真一假可分類討論得到結(jié)果.

⑴若命題4為假命題，則對D尤￡（0,+8）,f—3/nr+9N0為真命題；

9

/.3/nr<x2+9,即3“<x+—；

x

x+—>2lx--=6（當且僅當x=2,即x=3時取等號），.?.3%46,解得：m<2,

xxxx

???實數(shù)機的取值范圍為（F,2］.

（2）由（1）知:若命題q為真命題，則〃z>2：

fA=1—4m>01

若命題"為真命題，則〈八，解得：0<根<:；

［加>04

若P真夕假，則0<，"<!；若。假4真，則，">2；

4

綜上所述：實數(shù)用的取值范圍為(0,)1(2,+8).

考點五：一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程關(guān)系

一、多選題

1.(2021?全國?高一單元測試)已知函數(shù)凡￥)=/+以+伙〃>0)有且只有一個零點，則()

A./一從“

B.。2-|—>4

b

C.若不等式/+辦一旅0的解集為⑴，X2),則工優(yōu)2>0

D.若不等式N+or+bvc的解集為⑴，功，且以/一口|=4,則C=4

【答案】ABD

【分析】由題設(shè)可得△=屋一仍=0,根據(jù)不等式的性質(zhì)、基本不等式判斷A、B,利用一元二次不等式的解

集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系判斷C、D.

【詳解】由於)=/+or+伙〃>0)有且只有?個零點，故可得△=*—4方=0,即〃2=4〃>0.

A,*—浜*等價丁?〃一4h+420,顯然(。一2)2沙，故正確；

B,a2+-=4b+->2.4b--=4,當且僅當46=：>0,即匕=；時，等號成立，故正確；

bb\bb2

C,由己知得：xiX2=-b<01故錯誤；

D,由已知得：c=0的兩根為制，無2,貝ijlx-己1=+w)2_4芯%2_J的_4(。_o)=2&=4,

故可得。=4,故正確.

故選：ABD.

二、填空題

2.(2022?全國?高一■專題練習)已知不等式or?+Zzx+c>0的解集是{工1。<工</},a>(),則不等式

ex2+bx+a>0的解集是.

【答案】

I尸a)

【分析】根據(jù)一元二次不等式與二次方程之間的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】由不等式江+法+‘>()的解集是{x[a<x</?}(a>0),可知：

a，用是一元二次方程ar?+云+c=o的實數(shù)根，且。<0；

hr

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：a+B=-匕,ap=-,

aa

b

所以不等式cV+for+q>?；癁?rx2+-x+l<0,即：加d-(a+A)x+l<0；

aa

化為3f(4x-i)<o；

又a(P，a)0,.??￡>/〉0；

，不等式CX2+〃X+"O的解集為：｛號

故答案為:

3.（2022?河南安陽?高一期末）二次函數(shù)/（力=依2+版+0?的部分對應(yīng)值如下表:

X-4一3-234

y2112505

則關(guān)于x的不等式??+m+c<0的解集為.

【答案】（—1,3）

【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)得到二次函數(shù)的對稱軸，即可得到/'（3）=/（-1）=0,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得

解；

【詳解】解：???/（-2）=/（4）,.?.對稱軸為x=l,

.??”3）=/（T）=0，

又：/（x）在（9』）上單調(diào)遞減，在。,內(nèi)）上單調(diào)遞增，

加+版+<;<0的解集為（T3）.

故答案為：（—1,3）

4.（2022?全國?高一）已知二次函數(shù)y=/+6x+c圖象如圖所示則不等式加一*+3Mo的解集為.

【答案】1］口［3,~)

【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)二次函數(shù)的圖象，求得參數(shù)。,c,再求一元二次不等式即可.

【詳解】根據(jù)二次函數(shù)法+c的圖象可知，一1,2為方程/+取+c=0的兩根，

故一1+2=-。,一lx2=c,a|J^=-l,c=-2,

則屬2一5+340即一V+2X+340，也即x2-2x-320，

(x-3)(x+l)>0,解得xN3或xW-l.

故不等式解集為

故答案為：(―8,-1］7［3,+00).

5.(2022?寧夏銀川?高一期末)已知函數(shù)/*)=*2+0￥+仇。,661<),設(shè)A={M/(x)Wa},

若A=3*0成立，則實數(shù)。的最大值是

-4

【答案】y

【分析】設(shè)不等式/+?+后。的解集為［%,回，從而得出韋達定理，由/(/(x))4。可得為4/(同4々，要

2

使4=8=［和對，即不等式々的解集為［芭,引，則可得為W/(x)n“n=匕一(，以及士氏是方程

〃x)-X2=0的兩個根，再得出其韋達定理，比較韋達定理可得出鄉(xiāng)=。，從而求出士，b與。的關(guān)系，代入

2

%得出答案，

z\222

【詳解】f［x)-x1+ax+b-［x+—\+b-—,則f^x)>b-^-

由題意設(shè)集合A=［X1，w］,即不等式/的解集為A,七］

所以不%是方程/+也+8-。=0的兩個不等實數(shù)根

貝|］4=片_4(b-q)>(),x)+x2--a,XyX2-b-a

則由/(/W)4a可得%4f(x)4%,

由4=8=［芭,々］,所以不等式％4/(力4々的解集為［內(nèi)，W］

所以斗7(力*=。-9

玉,受是方程〃*)-%=0,即/+公+8-三=0的兩個不等實數(shù)根，

所以X+冗2=—。,%X2=b-X2

故=〃，X=-2a,則人=〃—2。~，

則A—cr-4（a-2ci~-。）=9a~>0,則aw0

由—即—2aSa—2"—幺，即二/一。40,解得04a43

4443

44

綜上可得0<。4；,所以。的最大值為:

33

4

故答案為：—

6.（2022?全國?高一專題練習）設(shè)不等式V-2ar+a+2Vo的解集為A,若A={x|14x43},則a的取值范圍

為.

【答案】-l<a<y

【分析】根據(jù)給定條件按集合A是否是。分類討論，再借助一元二次方程根的情況列式求解作答.

【詳解】因不等式父-2ar+a+2Vo的解集為A,旦Aq{x|14x43},

則當A=0時，A=4a2-4(a+2)<0,解得：-l<a<2,止匕時滿足Aq{x|14xM3},BP-l<a<2,

當AK0時，不妨令A(yù)={x|X|4占），則一元二次方程/-2依+。+2=0在{x|lVx<3}上有兩個

根X|,X?,

△=4<32-4(6/+2)>0a<3

l2-2a+a+2>0

I2-2a+a+2>0

于是有解4a2_4(a+2)N0得a4-l或aN2,解,3?-24?3+“+220得：

32-2a-3+a+2>05

14a43

l<a<3\<a<3

貝帝24a4*綜合得：-l<a<y,

所以〃的取值范圍為一<“4曰.

故答案為：—1<“4日

三、解答題

7.（2022?湖南?高一課時練習）已知機<〃，試寫出兩個一元二次不等式，使它們的解集分別為:

⑵（九〃）.

【答案】（l）x?-（/〃+〃）x+加">。（答案不唯一）

（2）x2-（〃z+/）x+〃”?<0（答案不唯一）

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集的兩個端點為對應(yīng)方程的兩個實數(shù)根，結(jié)合韋達定理可得答案.

（I）一元二次不等式的解集為（3,w）=（〃,y）,則加，〃為對應(yīng)的方程的兩個實數(shù)根，

由韋達定理可設(shè)不等式為Y+其中

則x?-（加+”）為+加〃>0滿足條件

（2）一元二次不等式的解集為（八，?），則加，”為對應(yīng)的方程的兩個實數(shù)根，

由韋達定理可設(shè)不等式為Y機+“卜+〃?〃<0,其中

則/一（,"+〃）彳+?7"<0滿足條件

8.（2021?全國?高一專題練習）利用函數(shù)y=》2—2x—3的圖象說明當），>0、產(chǎn)0、y=0時x的取值集合分別

是什么？這說明二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有何關(guān)系？

【分析】結(jié)合一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的知識進行求解.

【詳解】y=x2—2x—3的圖象如圖所示.

函數(shù)）,=/—2x—3的值滿足），>0時自變量x組成的集合，亦即二次函數(shù)y=N—3的圖象在x軸上方時

點的橫坐標x的集合｛x|x<T或x>3｝；

同理，滿足）y。時x的取值集合為｛x[T<x<3｝,

滿足y=0時x的取值集合，亦即y=/—2r-3圖象與x軸交點橫坐標組成的集合｛—1,3｝.

這說明：方程加+汝+。=0（存0）和不等式ax2+Z>x+c>0（a>0）或ar2+bx+c<0（a>0）是函數(shù)y=or2+bx+c（存0）

的一種特殊情況，

也就是當y=0時，函數(shù)），=謂+灰+<?（對0）就轉(zhuǎn)化為方程，

當y>0或.y<0時，就轉(zhuǎn)化為一元二次不等式.

考點六：一元二次不等式恒成立問題

一、單選題

1.（2022?四川資陽?高一期末）若xeR,ax2+ax-1<0,則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.（TO）B.（Y,0]C.H，0）D.[Y,0]

【答案】B

fa<0

【分析】分兩種情況討論：。=0和人八，解出實數(shù)”的取值范圍，即得.

[A<0

【詳解】對xwR,ax2+ax-1<0,

當〃=0時，則有—IvO恒成立；

[（2<0

當avO時，貝日2,解得

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是（Y,。].

故選：B.

2.（2021.徐州市第三十六中學（江蘇師范大學附屬中學）高一階段練習）若對于任意x4"?,"?+H,都有

/+,加_1<。成立，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.[利B/-卓。）

21「五一

C.--,0D.---,0

【答案】B

【分析】由函數(shù)/。)=丁+,加-1為開口向上的二次函數(shù)，要使任意xe[m,〃z+l],都有/>(x)<0恒成立，只需

/(〃?)<0,/(m+1)<0.即可求出答案.

【詳解】由題可得f(x)=x2+m-l<0對于xe[見加+1]恒成立，即｛,/。")=?；一：°'、

f(m+1)=2H廠+3m<0,

解得:_巫<加<0.

2

故選：B.

二、填空題

3.(2022.陜西漢中.高一期末)若關(guān)于尤的一元二次不等式2/+?>0對于一切實數(shù)尤都成立，則實數(shù)&

O

的取值范圍為.

【答案】(-6,6)

【分析】由判別式小于o可得.

【詳解】由題意△=^-4x2x]<0,

o

故答案為：(-石，百).

4.(2021?湖北?石首市第一中學高一階段練習)已知。>兒關(guān)于x的不等式以2+2x+h〉0對于一切實數(shù)x

恒成立，又存在實數(shù)%,使得以；+2而+匕=0成立，則土々最小值為.

a-b

【答案】2夜

【分析】由。^+2犬+匕20對于??切實數(shù)x恒成立，可得。>0,且A40：再由士q,eR,使ar(：+2%+力=0

成立，可得ANO,進而可得而的值為1,將上直可化為上々=(。-〃)+二一，利用基本不等式可得結(jié)

a-ba-ha-b

果.

【詳解】因為辦2+2x+〃N0對于一切實數(shù)4恒成立，

所以。>0,且△=4-4a640,所以a〃之1；

再由*,eR,使/2+2/+匕=0成立，

可得△=4-4ab>0,所以abW1,

所以必=1,

因為即a-b>0,所以立互=心心工土辿=(“")+二一220，

a-ba-ba-b

2

當且僅當。-6=告，即"6=&時，等號成立，

a-b

所以的最小值為2近，

a-b

故答案為：2夜

三、解答題

5.(2021?四川成都?高一期末)己知函數(shù)/。)="謂+3mx+2,〃?eR.

(1)若加=1,求不等式/。)<0的解集；

(2)若不等式/?>0對一切實數(shù)x都成立，求m的取值范圍.

【答案】⑴{42<工<-1},(2)0?)

【分析】(1)直接解一元二次不等式即可，

(2)由題意可得如，3m+2>0對一切實數(shù)x都成立，然后分加=0和加力0兩種情況求解

(1)當機=1時，f(x)=x2+3x+2,

由f(x)<0,得爐+3，+2<0,

(x+l)(x+2)<0,解得

所以不等式的解集為{止2<》<-1}

(2)由題意可得加+3如+2>0對一切實數(shù)x都成立，

當機=0時，2>0恒成立，符合題意，

當〃件0時，因為+37nv+2>0對一切實數(shù)x都成立，

f"?>08

所以A=(3『8a<。’解得°<\，

8

綜上

9-

即也的取值范圍為0,1j

6.(2022?湖南常德?高一期末)己知二次函數(shù)〃力=如2+桁+。"，b,c為實數(shù))

⑴若，(力<。的解集為(1，2),求不等式。2+法+。<0的解集；

(2)若對任意xeR,〃>0時，f(x)20恒成立，求牛的最小值；

(3)若對任意xeR,2x+24/(x)42x2-2x+4恒成立，求而的最大值.

【答案】⑴卜(2)1,⑶g

【分析】(I)根據(jù)?元二次不等式的解與元二次方程的根之間的關(guān)系即可求解.

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得。>0力>082-4ac40,進而根據(jù)基本不等式即可求解.

⑶取x=l得a+"c=4,根據(jù)判別式小于0可得c=a+2,進而可得a,c,b的關(guān)系，根據(jù)基本不等式即

可求解

(1)依題意知，a>0,且方程加+6x+c=0的兩根為1，2

bc

由根與系數(shù)間的關(guān)系得-2=3,￡=2,則。=-3a,c=2a.

aa

故不等式cd+bx+a=2a2-3ax+a=a(2x2-3x+l)=a(2x-l)(x-l)<0

解得：1<X<1,即原不等式的解集為卜ig<尤

(2)因為x￡R,。>0時，f(X)2。恒成立，

a>0,Z>>0,b2-4ac<0,4ac>b2?即。>0,

所以竺￡之也2^=1(當且僅當a=c=A時等號成立)

bbb2

(3)令1=1,則4<a+〃+cK4,所以。+/?+c=4.

對任意xeR,2x4-2<ax1+bx+c,恒成立，

所以"2+(b-2)x+c—220恒成立.

所以〃>0且△=S—2)2—4a(c—2)=(a+c—2)2—4a(c—2)=(〃-c+2)2<0

所以c=a+2,此時2〃+辦=2,

因此生蟲丫=_1,當且僅當力=1時等號成立，此時c=(,(或

22(2J222

"=〃(2-2a)=2々(1一〃)=一2(〃一()<-^)

驗證，2f—2x+4-/(x)=2Y—2x+4-1-x2+xd—J-—x~—3XH———(x-1)20成立