高中數(shù)學-函數(shù)的零點與方程的解教學設計學情分析教材分析課后反思

《4.5.1函數(shù)的零點與方程的解》教學設計

一、教材分析：

本節(jié)內容是新版人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第一冊第四

章第五節(jié)函數(shù)的應用（二）中的第一節(jié)，是一節(jié)新授課，主要研究函

數(shù)零點的定義、函數(shù)零點的等價關系、函數(shù)零點存在定理，讓學生學

會用函數(shù)的圖象和性質研究函數(shù)的零點，進而解決求方程的解或解的

個數(shù)問題。

教材先通過一個思考，從研究不能用公式求解的方程出發(fā)，在二

次函數(shù)零點的基礎上，直接引出一般函數(shù)零點的概念，再通過二次函

數(shù)的零點存在的特征，導出一般函數(shù)零點存在定理，并用例1說明函

數(shù)零點存在定理的應用。這種從特殊到一般的抽象概括過程，易于學

生接受。函數(shù)是高中數(shù)學的核心概念，貫穿于高中數(shù)學的始終，函數(shù)

與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結點,

它從不同的角度，將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機的聯(lián)系在一起，本節(jié)課

就突出了函數(shù)的核心地位，并將重心放在了應用函數(shù)性質研究方程的

解上。

本節(jié)是在學生學習了基本初等函數(shù)及其相關性質，具備初步的數(shù)

形結合的能力基礎之上，利用函數(shù)圖象和性質來判斷方程的根的存在

性及根的個數(shù)，從而掌握函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，為

下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)學習奠定了重要的基礎，具

有承前啟后的作用。

二、課標分析

1

新課程標準對本節(jié)課的要求是結合學過的函數(shù)圖象與性質，了解

函數(shù)零點與方程解的關系；結合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解

函數(shù)零點存在定理.會判斷函數(shù)零點的個數(shù).

本節(jié)課既要體現(xiàn)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的應用，又要體現(xiàn)函數(shù)性質

的應用，既要利用函數(shù)的局部性質分析其整體性質，注重用函數(shù)特征

來判定方程的解的存在，又要體現(xiàn)用函數(shù)觀點研究方程的解的基本方

法，突出函數(shù)零點與方程解的有機聯(lián)系。通過函數(shù)的應用，突出數(shù)學

運算素養(yǎng)。在函數(shù)零點與方程的解的轉化過程中，逐步滲透化歸與轉

化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結合思想，以此幫助學生通過直觀想

象進一步領悟函數(shù)的本質。

素養(yǎng)要求是通過本節(jié)內容的學習，使學生體會轉化思想在研究函

數(shù)中的作用，提升學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算

素養(yǎng).

三、學情分析：

高一學生已經學習了函數(shù)的概念和一些基本初等函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)，具備解基本方程的的能力，也接觸過簡單的指數(shù)

方程、對數(shù)方程，并在解一元二次不等式中，已經初步了解了二次函

數(shù)的零點，已經形成了一定的函數(shù)與方程、數(shù)形結合的數(shù)學思想，具

備了一定的探究問題、解決問題的能力.這為繼續(xù)研究一般情況下方

程的根與函數(shù)的零點做好了鋪墊和準備.

但本班的學生，在基礎上比較薄弱，遇到新問題時，如何運用已

有知識，變換角度去探索新的解決問題的途徑的能力還有待提高，學

2

生的觀察、歸納、抽象能力也不高，需從學生已有的經驗出發(fā)，設計

問題情境，充分調動學生學習的積極性和主動性，讓學生成為課堂學

習的主人。

四、教學目標：

1.通過具體情境，讓學生感受到研究函數(shù)零點的必要性，激發(fā)學生的

探索精神；

2.通過具體實例，讓學生理解函數(shù)零點的本質含義、等價關系，并探

究發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點存在定理，提升學生嚴謹治學的數(shù)學思維能力，促進

學生直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)；

3.在問題解決中滲透數(shù)形結合、轉化與化歸、函數(shù)與方程這三大數(shù)學

思想；

教學重點：函數(shù)零點的概念、等價關系以及零點存在性的判定.

教學難點：準確理解零點的概念，靈活運用方程與函數(shù)思想解決問題.

教法學法：創(chuàng)設情境，以問題為核心，采用問題解決式教學法，引導

學生獨立思考、自主探究、小組合作。

五、教學過程：

【課前預習區(qū)】：

【探究1］判斷下列方程是否有實數(shù)根？若有，有幾個？

1.3x+2=02.x2-2x-3-03.lnx+2x-6=0

［設計意圖］:前兩題復習舊知，由第3題引起學生認知沖突，激起學

生求知欲望，引導學生轉換思想，讓學生體會研究函數(shù)零點的必要性.

【探究2】填寫下表，并觀察“二次方程的根”與“對應函數(shù)圖象與

3

X軸交點坐標”有什么關系？

［設計意圖］:通過表格與圖象，借助具體的二次函數(shù)，剖析一元二次

方程的根與對應的二次函數(shù)圖象與X軸交點的橫坐標之間的關系，并

復習二次函數(shù)的零點，進一步體會”二次方程的根”、“函數(shù)的零點”、

“函數(shù)圖象與X軸的交點的橫坐標”的關系，為函數(shù)零點的概念推廣

做好鋪墊.

【課堂互動區(qū)】

一、概念建構

函數(shù)的零點：對于函數(shù)y=/(x)，我們把使/(X)—的實數(shù)X叫做函數(shù)

y=/(x)的零點.

小結：(1)函數(shù)的零點，從數(shù)的角度看，就是對應方程的;

從形的角度看，就是函數(shù)圖象與—軸交點的

4

(2)等價關系：函數(shù)y=/(x)有零點=方程/(x)=0有

。函數(shù)y=/(x)的圖象

思考：零點是點嗎？

題型一求函數(shù)的零點

【例1】、函數(shù)y=l+，的零點是()

x

A.(―1,0)B.x=-1C.x=1

D.x=0

規(guī)律方法探究函數(shù)零點的兩種求法

(1)：求方程/(x)=O的根；(2)：函數(shù)圖象

與x軸交點的橫坐標

【訓練1］：設函數(shù)f(x)=2-,—4,g(x)=1—log2(x+3),則函數(shù)f(x)

的零點與g(x)的零點之和為.

［設計意圖］:由定義鞏固所學的零點定義以及轉化的思想。

二、零點存在定理的探究

問題1：觀察下列甲、乙兩圖，小王要從A地，步行去B地，請問哪

種情況中小王一定要渡過這條小河？

問題2：將小河抽象成x軸，A、B兩抽象為A、B兩點.上述問題就抽

5

象為一個數(shù)學問題：當A、B兩點與x軸有怎樣的位置關系時，AB間

的一段連續(xù)不斷的函數(shù)圖象與x軸一定有交點？

?A?B

-----------------------------------------------------?X

問題3：假設A、B間這段連續(xù)不斷的函數(shù)為尸f(x),A、B兩點的坐

標分別為(a,f(a)),(6,f(6)),那么，A、B兩點在x軸的兩側，

如何用數(shù)學符號(式子)來表示？

f(a).冷

f(b)..........跖

問題4：一般地，如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間&句上的圖象是一條連續(xù)不

斷的曲線，且有/(a)./(》)<(),那么，函數(shù)y=/(x)在(a,b)內一定有零

點嗎？若有，有幾個？

［設計意圖］:通過問題組的設置，讓學生從生活問題抽象出數(shù)學問題,

借助圖象探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點存在定理，并引導學生用數(shù)學語言表述.

函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［“向上的圖象是一

條的曲線，并且有,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)

間伉。)內至少有一個零點,即存在ce(a,h),使得〃c)=0,這個c也

就是方程/(x)=0的解.

［設計意圖］:讓學生感受數(shù)學文化，提高學習的積極性和主動性.

6

辨析題：

(1)若函數(shù)y=/(x)滿足則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,。)內

有零點.(2)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(〃力)內有零點，則一定有

W(b)<0.

(3)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,可上連續(xù)，且有"a)./?<0,則函

數(shù)產/(%)在區(qū)間(9)內只有一個零點.

［設計意圖］:通過辨析題加深學生對于零點存在定理的理解.第(1)

題讓學生體會“函數(shù)圖象連續(xù)不斷”這個條件不可少，第(2)題讓

學生進一步理解“函數(shù)零點存在定理給出了函數(shù)有零點的一個充分條

件，而不是必要條件"，第(3)題讓學生思考：在零點存在定理原有

條件基礎上再增加一個什么條件，就可以判斷函數(shù)y=/(x)在區(qū)間內

(a,?只有一個零點？從而得到零點存在定理的推論，也為例3中根據(jù)

函數(shù)單調性進一步確定零點個數(shù)做好鋪墊.

題型二判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間

【例2］觀察下表，判斷函數(shù)y=3/+6x-l在定義域內是否有零點？

為什么？

X-2-1012

y-109-10-18107

思考：方程力5+6-1=0有實數(shù)解嗎？

［設計意圖］:檢驗學生對函數(shù)零點存在定理的準確應用，并進一步滲

透方程和函數(shù)的相互轉化思想，為例3的解決提供思路.

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規(guī)律方法函數(shù)零點存在定理的應用

首先看函數(shù)在區(qū)間［a,6］上的圖象是否,再看是否

有.若Aa)?<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,6)內必有

零占

【訓練2】：函數(shù)/*)=2工+3尢的零點所在的一個區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.

(1,2)

［設計意圖］:鞏固判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間的方法

題型三判斷函數(shù)零點的個數(shù)

【例3】判斷函數(shù)/'(x)=lnx+2x-6零點的個數(shù).

［設計意圖］:運用函數(shù)零點存在定理，從“數(shù)”的角度，并結合單調

性，來判斷函數(shù)的零點個數(shù)；運用GeoGebra軟件畫出函數(shù)的圖象，

從“形”的角度，來判斷函數(shù)零點的個數(shù).從而借助函數(shù)思想，解決

本節(jié)課的初始問題.

規(guī)律方法判斷函數(shù)零點個數(shù)的四種常用方法

(1)利用方程根，轉化為，有幾個不同的實數(shù)根就有幾個

零占

(2)畫出函數(shù)y=*x)的圖象，判定它與個數(shù)，從而判定

零點的個數(shù).

(3)結合單調性，利用，可判定尸/'(才)在(a,

6)上零點的個數(shù).

(4)轉化成函數(shù)圖象的問題.

【訓練3】函數(shù)/'(x)=lnx—工的零點的個數(shù)是()

x

A.0B.1C.2D.3

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［設計意圖］:進一步鞏固函數(shù)零點存在定理.

課堂小結：本節(jié)課你學到了哪些知識和方法?

知識：函數(shù)的零點，零點的等價條件，零點存在定理

思想方法：數(shù)形結合，函數(shù)與方程，轉化與化歸

【課堂鞏固區(qū)】素養(yǎng)訓練

1.(2015年會考)函數(shù)/'(x)=f—x的零點有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

2.(2018年會考)函數(shù)/*(x)=l-k)g2X的零點是()

1

A.(2,0)B.2C.—D.1

乙

3.函數(shù)f(x)=ln矛+第一3的零點所在的大致區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,e)C.(2,3)D.(3,

4)

【課后思考區(qū)】

1、若八幻是定義域為R的奇函數(shù)，且了⑶在(0,+8)上有一個零點，則

/(X)的零點個數(shù)為()A.3

B.2C.1D.不確定

2.思考題：由訓練2可知函數(shù)/'(x)=2,+3x在區(qū)間(-1,0)上有零點，那

么能否把零點所在的區(qū)間繼續(xù)精確呢？

作業(yè)：

A組：分層251頁1-5B組：分層251頁6-10

［設計意圖］:作業(yè)分為A,B組，A組習題是針對本節(jié)課的內容進行復

習練習，B組題目難度較大，照顧學有余力同學，實踐作業(yè)，豐富學

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生的知識面，提高學生的數(shù)學思維品質.

說明：本節(jié)課的課件和學案借鑒了青島六十六中劉彩梅老師的設計。

《4.5.1函數(shù)的零點與方程的解》學情分析

高一學生已經學習了函數(shù)的概念和一些基本初等函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)，具備解基本方程的的能力，也接觸過簡單的指數(shù)

方程、對數(shù)方程，并在解一元二次不等式中，已經初步了解了二次函

數(shù)的零點，已經形成了一定的函數(shù)與方程、數(shù)形結合的數(shù)學思想，具

備了一定的探究問題、解決問題的能力.這為繼續(xù)研究一般情況下方

程的根與函數(shù)的零點做好了鋪墊和準備.

但本班的學生，在基礎上比較薄弱，遇到新問題時，如何運用已

有知識，變換角度去探索新的解決問題的途徑的能力還有待提高，學

生的觀察、歸納、抽象能力也不高，需從學生已有的經驗出發(fā)，設計

問題情境，充分調動學生學習的積極性和主動性，讓學生成為課堂學

習的主人。

《4.5.1函數(shù)的零點與方程的解》效果分析

1、在課前案中，由學生熟知的一次函數(shù)，二次函數(shù)入手，還有一個

超越方程，超出學生范圍，反而觸動學生的好奇心，帶著疑問引入課

題。

效果分析:激發(fā)學生的學習函數(shù)零點的興趣，激發(fā)學生的求知欲，比

較成功。

2、由lnx+2x-6=0引入，中間探究完函數(shù)零點存在定理之后，例題3

10

又回歸主題，用兩種方法展示解題過程，并且充分應用了GeoGebra

軟件畫圖，展示了三個圖像，直觀明了的解決了學生的疑惑。

效果分析:將直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)展示的淋漓盡致，課程設計合理美

妙，回扣主題，學生意猶未盡。

3、在探究函數(shù)零點存在定理時，每一個環(huán)節(jié)教師都是把問題拋給學

生，讓學生自主發(fā)覺問題，并自己解決，充分發(fā)揮學生的主體地位。

從探索定理內容，到例題的講解再到練習題的完成，都是教師在引導

著學生在完成。

效果分析：學生積極反應，配合老師，氣氛活躍，樂在其中。

4、例題和練習題，做到舉一反三。

效果分析:展示不同應用方向的例題讓學生加深對知識理解，選擇合

適簡單的方法，一題多解、一題多變，舉一反三，提高運算能力、邏

輯推理能力等學科素養(yǎng).

5、課后案進一步鞏固提高所學知識，應用所學知識。

效果分析:及時訓練、鞏固提高，及時總結歸納思路方法。

《4.5.1函數(shù)的零點與方程的解》教材分析

本節(jié)內容是新版人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第一冊第四

章第五節(jié)函數(shù)的應用（二）中的第一節(jié)，是一節(jié)新授課，主要研究函

數(shù)零點的定義、函數(shù)零點的等價關系、函數(shù)零點存在定理，讓學生學

會用函數(shù)的圖象和性質研究函數(shù)的零點，進而解決求方程的解或解的

個數(shù)問題。

教材先通過一個思考，從研究不能用公式求解的方程出發(fā)，在二

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次函數(shù)零點的基礎上，直接引出一般函數(shù)零點的概念，再通過二次函

數(shù)的零點存在的特征，導出一般函數(shù)零點存在定理，并用例1說明函

數(shù)零點存在定理的應用。這種從特殊到一般的抽象概括過程，易于學

生接受。函數(shù)是高中數(shù)學的核心概念，貫穿于高中數(shù)學的始終，函數(shù)

與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結點,

它從不同的角度，將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機的聯(lián)系在一起，本節(jié)課

就突出了函數(shù)的核心地位，并將重心放在了應用函數(shù)性質研究方程的

解上。

本節(jié)是在學生學習了基本初等函數(shù)及其相關性質，具備初步的數(shù)

形結合的能力基礎之上，利用函數(shù)圖象和性質來判斷方程的根的存在

性及根的個數(shù)，從而掌握函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，為

下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)學習奠定了重要的基礎，具

有承前啟后的作用。

測評練習

3.（2015年會考）函數(shù)/'（x）=f—X的零點有（）

B.0個B.1個C.2個D.3個

4.（2018年會考）函數(shù)/'（才）=1-log2%的零點是（）

1

A.(2,0)B.2C.—D.1

乙

3.函數(shù)f(x)=lnx+f—3的零點所在的大致區(qū)間為（)

A.(0,1)B.(1,e)C.(2,3)D.(3,

4)

12

4若/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且/(x)在(0,+8)上有一個零點，則

f(x)

的零點個數(shù)為()

A.3B.2C.1D.不確

定

5函數(shù)/(x)=2,+3x在區(qū)間(-1,0)上有零點，那么能否把零點所在的區(qū)

間繼續(xù)精確呢？

《4.5.1函數(shù)的零點與方程的解》教后反思

高一數(shù)學組

近期，我在高一十班，講授了一節(jié)《4.5.1函數(shù)的零點與方程的

解》。課雖然已講完，但還有很多感受和反思。

本節(jié)課是人教版A版必修一第四章第五節(jié)第一課時的內容，是在

學生學習了幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的背景下進行的，為下一課

時用二分法求方程的近似解做鋪墊。最新課標要求學生結合學過的函

數(shù)圖象與性質，了解函數(shù)零點與方程解的關系；了解零點存在性定理、

會判斷函數(shù)零點的個數(shù)。素養(yǎng)要求學生體會轉化思想在研究函數(shù)中的

作用，提升學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)。

本節(jié)課分為以下幾個環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)一:課前預習區(qū)：探究一和探究

二，是學生在課前需要完成的，探究一用lnx+2%-6=0有幾個解來

引出今天的主題，同時也布下懸念：探究二，復習一元二次方程、二

次函數(shù)以及圖像，引出零點的概念。也就是進入課堂互動區(qū)：一、概

13

念建構，由特殊到一般，引出函數(shù)零點的概念，順便強調零點是否是

點，數(shù)形結合，引出三個等價關系，順理成章引出求零點的方法，緊

接著進入題型一求函數(shù)的零點，例1學生一起回答，后小結，訓練1

學生板書并講解，鍛煉學生的自我學習能力，增加學習興趣。這時回

歸剛上課的問題ln%+2%-6=0可以如何解決？引出定理的研究(二、

定理探究)這里采用問題串的形式，從過馬路的實際問題出發(fā)，以四

個問題連續(xù)啟發(fā)引導學生得到函數(shù)零點存在定理，學生們覺得很新奇,

對這部分數(shù)學知識產生了極大的學習興趣。之后，三個辨析題讓學生

體會定理的四個關鍵詞，“區(qū)間、連續(xù)不斷、f(a)-f(b)〈