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文檔簡介

第三章函數(shù)

3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.1.1函數(shù)及其表示方法教學(xué)設(shè)計

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具,

在解決實際問題匯總發(fā)揮重要作用。函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生建立

完整的函數(shù)概念,不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具,也把函數(shù)理解為實數(shù)集合

之間的對應(yīng)關(guān)系;能用代數(shù)運算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì);在現(xiàn)實問題中,能利用函數(shù)構(gòu)建模型,

解決問題。

【教學(xué)目標】

1、在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上,用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概

念,體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用。了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域和

值域。

2、在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法)表示函數(shù),理解函數(shù)

圖象的作用。

3、通過具體實例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用。

【核心素養(yǎng)】

1、數(shù)學(xué)抽象:兩個變量關(guān)系中提出函數(shù)概念.

2、直觀想象:用圖像法表示函數(shù)

3、數(shù)學(xué)運算:對函數(shù)的定義域、值域的計算。

4、數(shù)據(jù)分析:函數(shù)定義域和應(yīng)用數(shù)據(jù)的有效性。

【教學(xué)重點】

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.

2.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).

【教學(xué)難點】

1、求函數(shù)的定義域和值域

回顧初中所學(xué)的函數(shù),在情境與問題中感受高中函數(shù)表達方式與初中的不同。

一、函數(shù)的概念

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些函數(shù)的知識,例如已經(jīng)總結(jié)出:在一個變化過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量;

在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應(yīng),

那么就稱y是x的函數(shù).

再例如,我們知道y=2x是正比例函數(shù),y=-3x-l是一次函數(shù),y=-2是反比例函數(shù),y=x?+2x-3是二次

函數(shù),等等。

【情境與問題】

(1)國家統(tǒng)計局的課題組公布,如果將2005年中國創(chuàng)新指數(shù)記為100,近些年來中國創(chuàng)新指數(shù)的

I方法

情況如下表所示。

:同,

20082009201020112012201320142015

中國創(chuàng)新指數(shù)116,5125.5131.8139.6148.2152.6158.217、摩]

沿B

以y表示年度值,i表示中國創(chuàng)新指數(shù)的取值,則i是y的的函數(shù)嗎?如果

是,這個函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示?

(2)利用醫(yī)療儀器可以方便地測量出心臟在各時刻的指標值,據(jù)此可以描繪出心電圖,如下【值組

圖所示。醫(yī)生在看心電圖時,會根據(jù)圖形的整體形態(tài)來給出診斷結(jié)果(如根據(jù)兩個峰值的間距來得出

心率等).

值得注意的是,這種函數(shù)的表示中,自變量與因變量用什么字母來表示是無關(guān)緊要的,例如函數(shù)

f(x)=2x+1,xeR與y=2s+l,seR

應(yīng)該看成同一個函數(shù).習(xí)慣上,人們總用X表示自變量,y表示因變量.

更一般地,如果兩個函數(shù)表達式表示的函數(shù)定義域相同,對應(yīng)關(guān)系也相同(即對自變量的每一個值,

兩個函數(shù)表達式得到的函數(shù)值都相等),則稱這兩個函數(shù)表達式表示的就是同一個函數(shù).例如

y=&,xeR與g(x)=|x|,xeR

表示同一個函數(shù).

在表示函數(shù)時,如果不會產(chǎn)生歧義,函數(shù)的定義域通常省略不寫,此時就約定:函數(shù)的定義域就是使

得這個函數(shù)有意義的所有實數(shù)組成的集合。

在上述約定下,以下表達式都可以表示函數(shù)f(x)=2x+l,xeR:

f(x)=2x+l,

y=2x+l.

【典型例題】

例1求下列函數(shù)的定義域:

111

(1)f(x)=,(2)g(x)=-^-----

Vx+1xx+2

解(1)因為函數(shù)有意義當且僅當

x+l>0

解得X>-1,所及函數(shù)的定義域為

(-1,+oo)

(2)因為函數(shù)有意義當且僅當

x#0

x+2/)

解得X/)且x力-2,因此函數(shù)的定義域為

(-00,-2)U(-2,0)U(0,+oo)

以下都是求函數(shù)定義域常用的依據(jù):

(1)分式中分母不能為零;

(2)二次根式中的被開方數(shù)要大于或等于零.

例2設(shè)函數(shù)g(x)=日的值域為S,分別判斷-血和3是否是S中的元素.

解由于VTHK)恒成立,所以而無解,因此-啦WS.

當Jx+1=3時,可解得x=8,即g(8)=3,所以3ds.

例2的解法,實質(zhì)上是在用方程判斷一個數(shù)是否屬于函數(shù)的值域.

1

例3已知f(x)=不!

(1)求f(-1),f(0)和f(2);

(2)求函數(shù)f(x)的值域.

【嘗試與發(fā)現(xiàn)】

*=3

判斷方程

f(4)=7317714

1,

f(o)=^-=i

o+l

9/

5

(2)(方法一)因為xK),所以X2+G1恒成立,從而可知

又因為當x的絕對值逐漸變大時,函數(shù)值會逐漸接近于0,但不會等于0,因此所求函數(shù)的值域為(0,

1

(方法二)假設(shè)t是所求值域中的元素,則關(guān)于x的方程蕨彘演,即應(yīng)該有解,反一1

即胡法QW1.因此所求值域為(0,1].

例3(2)中的方法一實質(zhì)上用的是不等式的性質(zhì).

二、函數(shù)的表示方法

前面我們所接觸到的函數(shù)y=f(x)中,絕大多數(shù)f(x)都是用代數(shù)式(或解析式)來表示的,例如f

(x)=2x+l,這種表示函數(shù)的方法稱為解析法.

前面給出的關(guān)于中國創(chuàng)新指數(shù)的函數(shù),實際上是用列表的形式給出了函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,這種表示函數(shù)

的方法稱為列表法.如果將這個函數(shù)記為i=f(y),則從表格中可以看出

f(2013)=152.6,f(2015)=171.5

另外,如果將這個函數(shù)的定義域記為D,值域記為S,則有

D={2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015),

S=H165125.5,131.8,139.6,148.2252.635821765}

前面給出的與心電圖有關(guān)的函數(shù),實際上是用圖的形式給出了函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.

一般地,將函數(shù)y=f(x),xeA中的自變量x和對應(yīng)的函數(shù)值y,分別看成平面直角坐標系中點的橫

坐標與縱坐標,則滿足條件的點(x,y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖像,即

F={(x,y)|y=f(x),xeA).

這就是說,如果F是函數(shù)y=f(x)的圖像,則圖像上任意一點的坐標(x,y)都滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x);

反之,滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)的點(x,y)都在函數(shù)的圖像F上.

用函數(shù)的圖像表示函數(shù)的方法稱為圖像法.

從理論上來說,要作出一個函數(shù)的圖像,只需描出所有點即可.但是,很多函數(shù)的圖像都由無窮多個點

組成,描出所有點并不現(xiàn)實.因此,實際作圖時,經(jīng)常先描出函數(shù)圖像上一些有代表性的點,然后再根據(jù)有

關(guān)性質(zhì)作出函數(shù)圖像,這稱為描點作圖法.

例如,我們知道,一次的數(shù)y=-x+l的圖像是一條直線,又易知圖像過點(0,1)和(1,0),所以容

易作出其圖像如下圖所示.

【典型例題】

例4北京市自2014年5月1日起,居民用水實行階梯水價:年用水量不超過1801n3的部分,水價為5元/irf;

超過180m3但不超過260m3的部分,水價為7元/n?.如果北京市一居民年用水量為xnP,其要繳納的水費為

f(x)元。假設(shè)gxW260,試寫出f(x)的解析式,并作出f(x)的圖像.

解如果xe[0,180],則f(x)=5x;

如果xe(180,260],按照題意有

f(x)=5x80+7(x-180)=7x-360.

因此

f(x)=5x,xe[0,180J

7x-360,xe(180,260]

注意到f(x)在不同的區(qū)間上,解析式都是一次函數(shù)的形式,因此y=f(x)在每個區(qū)間上的圖像都是

直線的一部分,又因為

f(180)=5x180=900,

f(260)=7x60-360=1460,

由此可作出函數(shù)圖像如下所示.

如果一個函數(shù),在其定義域內(nèi),對于自變量的不同取值區(qū)間,有不同的對應(yīng)方式,則稱其為分段函數(shù).

【嘗試與發(fā)現(xiàn)】

函數(shù)Dx£Q

=0,x《Q被稱為秋利克雷函數(shù),你能說出這個函數(shù)的定義域、值

例5段x為仕總一個頭數(shù),y是個超江x的最大整數(shù),判斷區(qū)神對回天東是否是出數(shù)。如果是,I乍出這個函

數(shù)的圖像;如果不是,說明理由。

【嘗試與發(fā)現(xiàn)】

依照題意填寫下表,然后判斷對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)。

6.895x—1.5

因為任何一個實數(shù)x,都必定在某個形如[n,n+1)的區(qū)間內(nèi).因此給定一個x,有唯一的y與之對應(yīng),

所以這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)。

由上可看出,在每一個區(qū)間[n,n+1)內(nèi),函數(shù)的圖像是直線的一部分,由此可作出這個函數(shù)的圖像如

下圖所示。

例5中的函數(shù)通常稱為取整函數(shù),記作

y=[x],

其定義域是旦,值域是萬一'一'—」

這個函數(shù)早在18世紀就被“數(shù)學(xué)王子”高斯提出,因此也被稱為高斯取整函數(shù).

在以后的學(xué)習(xí)中,我們還會碰到值域只有一個元素的函數(shù),這類函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù).也就是說,常

數(shù)函數(shù)中所有自變量對應(yīng)的函數(shù)值都相等.例如f(x)=7,xeR是一個常數(shù)函數(shù),它的值域是山,圖像是

一條垂直于y軸的直線.

例6已知函數(shù)y=《,指出這個函數(shù)的定義域、值域,并作出這個函數(shù)的圖像.

解函數(shù)的定義域為[0,+oo).由y=4在yK)時有解可知,函數(shù)的值域為[0,+8).

通過描點作圖法,可以作出這個函數(shù)的圖像如下圖所示.

由上可以看出,函數(shù)可以通過多種方式表示,而且函數(shù)的解析式也具有多種形式.在確定函數(shù)的解析式

時,可以借助方程或方程組的知識,使用待定系數(shù)法完成,如例7所示.

例7已知二次函數(shù)的圖像過點(-1,4),(0,1),(1,2),求這個二次函數(shù)的解析式.

解設(shè)函數(shù)解析式為y=ax?+bx+c(a#)),則

a-b+c=4,

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