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湖南省懷化市洪江市達(dá)標(biāo)名校2024屆中考考前最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖,已知△ADE是△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得,其中點(diǎn)D在射線AC上,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,直線BC與直線DE交于點(diǎn)F,那么下列結(jié)論不正確的是()A.∠BAC=α B.∠DAE=α C.∠CFD=α D.∠FDC=α2.如圖,在菱形ABCD中,∠A=60°,E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),且∠EDF=∠A,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.AE=BF B.∠ADE=∠BEFC.△DEF是等邊三角形 D.△BEF是等腰三角形3.在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=2,D,E,F(xiàn)分別為AB,BC,AC中點(diǎn),連接DF,F(xiàn)E,則四邊形DBEF的周長(zhǎng)是(
)A.5 B.7 C.9 D.114.某工廠計(jì)劃生產(chǎn)210個(gè)零件,由于采用新技術(shù),實(shí)際每天生產(chǎn)零件的數(shù)量是原計(jì)劃的1.5倍,因此提前5天完成任務(wù).設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件個(gè),依題意列方程為()A. B.C. D.5.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C,D,E在⊙O上,若∠AED=20°,則∠BCD的度數(shù)為()A.100° B.110° C.115° D.120°6.下列調(diào)查中,最適合采用全面調(diào)查(普查)的是()A.對(duì)我市中學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間情況的調(diào)查B.對(duì)我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)情況的調(diào)查C.對(duì)我市中學(xué)生觀看電影《厲害了,我的國(guó)》情況的調(diào)查D.對(duì)我國(guó)首艘國(guó)產(chǎn)航母002型各零部件質(zhì)量情況的調(diào)查7.如圖是一個(gè)正方體展開圖,把展開圖折疊成正方體后,“愛”字一面相對(duì)面上的字是()A.美 B.麗 C.泗 D.陽(yáng)8.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+2x的頂點(diǎn)為A點(diǎn),且與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,P點(diǎn)為該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),則OP+AP的最小值為().A.3 B. C. D.9.下列所述圖形中,是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是()A.線段 B.等邊三角形 C.正方形 D.平行四邊形10.如圖,直線AB∥CD,AE平分∠CAB,AE與CD相交于點(diǎn)E,∠ACD=40°,則∠DEA=()A.40° B.110° C.70° D.140°二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.分解因式:x2-9=_▲.12.已知x(x+1)=x+1,則x=________.13.如圖,在⊙O中,直徑AB⊥弦CD,∠A=28°,則∠D=_______.14.如圖,在四邊形ABCD中,,AC、BD相交于點(diǎn)E,若,則______.15.如圖,小強(qiáng)和小華共同站在路燈下,小強(qiáng)的身高EF=1.8m,小華的身高M(jìn)N=1.5m,他們的影子恰巧等于自己的身高,即BF=1.8m,CN=1.5m,且兩人相距4.7m,則路燈AD的高度是___.16.請(qǐng)寫出一個(gè)一次函數(shù)的解析式,滿足過(guò)點(diǎn)(1,0),且y隨x的增大而減小_____.17.若點(diǎn)(,1)與(﹣2,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則=_______.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CP切⊙O于P,弦PD⊥AB于E,過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥CP于Q,交⊙O于H,(1)如圖1,求證:PQ=PE;(2)如圖2,G是圓上一點(diǎn),∠GAB=30°,連接AG交PD于F,連接BF,若tan∠BFE=3,求∠C的度數(shù);(3)如圖3,在(2)的條件下,PD=6,連接QC交BC于點(diǎn)M,求QM的長(zhǎng).19.(5分)如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直,垂足為D,AB,DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.(1)求證:AC平分∠DAB;(2)若BE=3,CE=3,求圖中陰影部分的面積.20.(8分)動(dòng)畫片《小豬佩奇》分靡全球,受到孩子們的喜愛.現(xiàn)有4張《小豬佩奇》角色卡片,分別是A佩奇,B喬治,C佩奇媽媽,D佩奇爸爸(四張卡片除字母和內(nèi)容外,其余完全相同).姐弟兩人做游戲,他們將這四張卡片混在一起,背面朝上放好.(1)姐姐從中隨機(jī)抽取一張卡片,恰好抽到A佩奇的概率為;(2)若兩人分別隨機(jī)抽取一張卡片(不放回),請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到B喬治的概率.21.(10分)如圖1,在菱形ABCD中,AB=,tan∠ABC=2,點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α(α=∠BCD),得到對(duì)應(yīng)線段CF.(1)求證:BE=DF;(2)當(dāng)t=秒時(shí),DF的長(zhǎng)度有最小值,最小值等于;(3)如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q,當(dāng)t為何值時(shí),△EPQ是直角三角形?22.(10分)如圖,在△ABC中,AD、AE分別為△ABC的中線和角平分線.過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE于點(diǎn)H,并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F,連接DH,求證:DH=BF.23.(12分)如圖①,一次函數(shù)y=x﹣2的圖象交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)C.(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)如圖②,若點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PD∥x軸交AB于點(diǎn)D,PE∥y軸交AB于點(diǎn)E,求PD+PE的最大值;(3)如圖③,若點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上,且∠AMB=∠ACB,求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).24.(14分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1.sin∠A=,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),延長(zhǎng)PD至E,使DE=PD,連接EB、EC.(1)求證;四邊形PBEC是平行四邊形;(2)填空:①當(dāng)AP的值為時(shí),四邊形PBEC是矩形;②當(dāng)AP的值為時(shí),四邊形PBEC是菱形.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、D【解析】
利用旋轉(zhuǎn)不變性即可解決問(wèn)題.【詳解】∵△DAE是由△BAC旋轉(zhuǎn)得到,
∴∠BAC=∠DAE=α,∠B=∠D,
∵∠ACB=∠DCF,
∴∠CFD=∠BAC=α,
故A,B,C正確,
故選D.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)不變性解決問(wèn)題,屬于中考??碱}型.2、D【解析】
連接BD,可得△ADE≌△BDF,然后可證得DE=DF,AE=BF,即可得△DEF是等邊三角形,然后可證得∠ADE=∠BEF.【詳解】連接BD,∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠ADB=∠ADC,AB∥CD,
∵∠A=60°,
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°,
同理:∠DBF=60°,
即∠A=∠DBF,
∴△ABD是等邊三角形,
∴AD=BD,
∵∠ADE+∠BDE=60°,∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°,
∴∠ADE=∠BDF,
∵在△ADE和△BDF中,,
∴△ADE≌△BDF(ASA),
∴DE=DF,AE=BF,故A正確;
∵∠EDF=60°,
∴△EDF是等邊三角形,
∴C正確;
∴∠DEF=60°,
∴∠AED+∠BEF=120°,
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°,
∴∠ADE=∠BEF;
故B正確.
∵△ADE≌△BDF,
∴AE=BF,
同理:BE=CF,
但BE不一定等于BF.
故D錯(cuò)誤.
故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.3、B【解析】試題解析:∵D、E、F分別為AB、BC、AC中點(diǎn),∴DF=BC=2,DF∥BC,EF=AB=,EF∥AB,∴四邊形DBEF為平行四邊形,∴四邊形DBEF的周長(zhǎng)=2(DF+EF)=2×(2+)=1.故選B.4、A【解析】
設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件x個(gè),則實(shí)際每天生產(chǎn)零件為1.5x個(gè),根據(jù)提前5天完成任務(wù),列方程即可.【詳解】設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件x個(gè),則實(shí)際每天生產(chǎn)零件為1.5x個(gè),由題意得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程,解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù),找出合適的等量關(guān)系,列方程即可.5、B【解析】
連接AD,BD,由圓周角定理可得∠ABD=20°,∠ADB=90°,從而可求得∠BAD=70°,再由圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到∠BCD=110°.【詳解】如下圖,連接AD,BD,∵同弧所對(duì)的圓周角相等,∴∠ABD=∠AED=20°,∵AB為直徑,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-20°=70°,∴∠BCD=180°-70°=110°.故選B【點(diǎn)睛】本題考查圓中的角度計(jì)算,熟練運(yùn)用圓周角定理和內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵.6、D【解析】
由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確,但所費(fèi)人力、物力和時(shí)間較多,而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似.由此,對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行辨析即可.【詳解】A、對(duì)我市中學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間情況的調(diào)查,人數(shù)眾多,意義不大,應(yīng)采用抽樣調(diào)查,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、對(duì)我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)情況的調(diào)查,人數(shù)眾多,意義不大,應(yīng)采用抽樣調(diào)查,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、對(duì)我市中學(xué)生觀看電影《厲害了,我的國(guó)》情況的調(diào)查,人數(shù)眾多,意義不大,應(yīng)采用抽樣調(diào)查,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、對(duì)我國(guó)首艘國(guó)產(chǎn)航母002型各零部件質(zhì)量情況的調(diào)查,意義重大,應(yīng)采用普查,故此選項(xiàng)正確;故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別,選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對(duì)象的特征靈活選用,一般來(lái)說(shuō),對(duì)于具有破壞性的調(diào)查、無(wú)法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大,應(yīng)選擇抽樣調(diào)查,對(duì)于精確度要求高的調(diào)查,事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.7、D【解析】
正方體的表面展開圖,相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形,根據(jù)這一特點(diǎn)作答.【詳解】解:正方體的表面展開圖,相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形,“愛”字一面相對(duì)面上的字是“陽(yáng)”;故本題答案為:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字,注意正方體的空間圖形是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】
連接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,解方程得到-x2+2x=0得到點(diǎn)B,再利用配方法得到點(diǎn)A,得到OA的長(zhǎng)度,判斷△AOB為等邊三角形,然后利用∠OAP=30°得到PH=AP,利用拋物線的性質(zhì)得到PO=PB,再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求解.【詳解】連接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,如圖當(dāng)y=0時(shí)-x2+2x=0,得x1=0,x2=2,所以B(2,0),由于y=-x2+2x=-(x-)2+3,所以A(,3),所以AB=AO=2,AO=AB=OB,所以三角形AOB為等邊三角形,∠OAP=30°得到PH=AP,因?yàn)锳P垂直平分OB,所以PO=PB,所以O(shè)P+AP=PB+PH,所以當(dāng)H,P,B共線時(shí),PB+PH最短,而BC=AB=3,所以最小值為3.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和最短途徑的解決方法是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】
根據(jù)中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】解:A、線段,是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;
B、等邊三角形,是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)符合題意;
C、正方形,是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意;
D、平行四邊形,不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形,故本選項(xiàng)不符合題意.
故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,圖形兩部分折疊后可重合,中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.10、B【解析】
先由平行線性質(zhì)得出∠ACD與∠BAC互補(bǔ),并根據(jù)已知∠ACD=40°計(jì)算出∠BAC的度數(shù),再根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù),進(jìn)而得到∠DEA的度數(shù).【詳解】∵AB∥CD,∴∠ACD+∠BAC=180°,∵∠ACD=40°,∴∠BAC=180°﹣40°=140°,∵AE平分∠CAB,∴∠BAE=∠BAC=×140°=70°,∴∠DEA=180°﹣∠BAE=110°,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義,解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、(x+3)(x-3)【解析】
x2-9=(x+3)(x-3),故答案為(x+3)(x-3).12、1或-1【解析】方程可化為:,∴或,∴或.故答案為1或-1.13、34°【解析】分析:首先根據(jù)垂徑定理得出∠BOD的度數(shù),然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠D的度數(shù).詳解:∵直徑AB⊥弦CD,∴∠BOD=2∠A=56°,∴∠D=90°-56°=34°.點(diǎn)睛:本題主要考查的是圓的垂徑定理,屬于基礎(chǔ)題型.求出∠BOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.14、【解析】
利用相似三角形的性質(zhì)即可求解;【詳解】解:∵AB∥CD,∴△AEB∽△CED,∴,∴,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定,解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì).15、4m【解析】
設(shè)路燈的高度為x(m),根據(jù)題意可得△BEF∽△BAD,再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊正比例整理得DF=x﹣1.8,同理可得DN=x﹣1.5,因?yàn)閮扇讼嗑?.7m,可得到關(guān)于x的一元一次方程,然后求解方程即可.【詳解】設(shè)路燈的高度為x(m),∵EF∥AD,∴△BEF∽△BAD,∴EFAD即1.8x解得:DF=x﹣1.8,∵M(jìn)N∥AD,∴△CMN∽△CAD,∴MNAD即1.5x解得:DN=x﹣1.5,∵兩人相距4.7m,∴FD+ND=4.7,∴x﹣1.8+x﹣1.5=4.7,解得:x=4m,答:路燈AD的高度是4m.16、y=﹣x+1【解析】
根據(jù)題意可以得到k的正負(fù)情況,然后寫出一個(gè)符合要求的解析式即可解答本題.【詳解】∵一次函數(shù)y隨x的增大而減小,∴k<0,∵一次函數(shù)的解析式,過(guò)點(diǎn)(1,0),∴滿足條件的一個(gè)函數(shù)解析式是y=-x+1,故答案為y=-x+1.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,寫出符合要求的函數(shù)解析式,這是一道開放性題目,答案不唯一,只要符合要去即可.17、.【解析】
∵點(diǎn)(a,1)與(﹣2,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴b=﹣1,a=2,∴==.故答案為.考點(diǎn):關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)證明見解析(2)30°(3)QM=【解析】試題分析:(1)連接OP,PB,由已知易證∠OBP=∠OPB=∠QBP,從而可得BP平分∠OBQ,結(jié)合BQ⊥CP于點(diǎn)Q,PE⊥AB于點(diǎn)E即可由角平分線的性質(zhì)得到PQ=PE;(2)如下圖2,連接OP,則由已知易得∠CPO=∠PEC=90°,由此可得∠C=∠OPE,設(shè)EF=x,則由∠GAB=30°,∠AEF=90°可得AE=,在Rt△BEF中,由tan∠BFE=可得BE=,從而可得AB=,則OP=OA=,結(jié)合AE=可得OE=,這樣即可得到sin∠OPE=,由此可得∠OPE=30°,則∠C=30°;(3)如下圖3,連接BG,過(guò)點(diǎn)O作OK⊥HB于點(diǎn)K,結(jié)合BQ⊥CP,∠OPQ=90°,可得四邊形POKQ為矩形.由此可得QK=PO,OK∥CQ從而可得∠KOB=∠C=30°;由已知易證PE=,在Rt△EPO中結(jié)合(2)可解得PO=6,由此可得OB=QK=6;在Rt△KOB中可解得KB=3,由此可得QB=9;在△ABG中由已知條件可得BG=6,∠ABG=60°;過(guò)點(diǎn)G作GN⊥QB交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,由∠ABG=∠CBQ=60°,可得∠GBN=60°,從而可得解得GN=,BN=3,由此可得QN=12,則在Rt△BGN中可解得QG=,由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分線,由此可得QM:GM=QB:GB=9:6由此即可求得QM的長(zhǎng)了.試題解析:(1)如下圖1,連接OP,PB,∵CP切⊙O于P,∴OP⊥CP于點(diǎn)P,又∵BQ⊥CP于點(diǎn)Q,∴OP∥BQ,∴∠OPB=∠QBP,∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠QBP=∠OBP,又∵PE⊥AB于點(diǎn)E,∴PQ=PE;(2)如下圖2,連接,∵CP切⊙O于P,∴∴∵PD⊥AB∴∴∴在Rt中,∠GAB=30°∴設(shè)EF=x,則在Rt中,tan∠BFE=3∴∴∴∴∴在RtPEO中,∴30°;(3)如下圖3,連接BG,過(guò)點(diǎn)O作于K,又BQ⊥CP,∴,∴四邊形POKQ為矩形,∴QK=PO,OK//CQ,∴30°,∵⊙O中PD⊥AB于E,PD=6,AB為⊙O的直徑,∴PE=PD=3,根據(jù)(2)得,在RtEPO中,,∴,∴OB=QK=PO=6,∴在Rt中,,∴,∴QB=9,在△ABG中,AB為⊙O的直徑,∴AGB=90°,∵BAG=30°,∴BG=6,ABG=60°,過(guò)點(diǎn)G作GN⊥QB交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則∠N=90°,∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°,∴BN=BQ·cos∠GBQ=3,GN=BQ·sin∠GBQ=,∴QN=QB+BN=12,∴在Rt△QGN中,QG=,∵∠ABG=∠CBQ=60°,∴BM是△BQG的角平分線,∴QM:GM=QB:GB=9:6,∴QM=.點(diǎn)睛:解本題第3小題的要點(diǎn)是:(1)作出如圖所示的輔助線,結(jié)合已知條件和(2)先求得BQ、BG的長(zhǎng)及∠CBQ=∠ABG=60°;(2)再過(guò)點(diǎn)G作GN⊥QB并交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,解出BN和GN的長(zhǎng),這樣即可在Rt△QGN中求得QG的長(zhǎng),最后在△BQG中“由角平分線分線段成比例定理”即可列出比例式求得QM的長(zhǎng)了.19、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)連接OC,如圖,利用切線的性質(zhì)得CO⊥CD,則AD∥CO,所以∠DAC=∠ACO,加上∠ACO=∠CAO,從而得到∠DAC=∠CAO;(2)設(shè)⊙O半徑為r,利用勾股定理得到r2+27=(r+3)2,解得r=3,再利用銳角三角函數(shù)的定義計(jì)算出∠COE=60°,然后根據(jù)扇形的面積公式,利用S陰影=S△COE﹣S扇形COB進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:(1)連接OC,如圖,∵CD與⊙O相切于點(diǎn)E,∴CO⊥CD,∵AD⊥CD,∴AD∥CO,∴∠DAC=∠ACO,∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO,∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB;(2)設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OEC中,∵OE2+EC2=OC2,∴r2+27=(r+3)2,解得r=3,∴OC=3,OE=6,∴cos∠COE=,∴∠COE=60°,∴S陰影=S△COE﹣S扇形COB=?3?3﹣.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì):圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線,必連過(guò)切點(diǎn)的半徑,構(gòu)造定理圖,得出垂直關(guān)系.簡(jiǎn)記作:見切點(diǎn),連半徑,見垂直.也考查了圓周角定理和扇形的面積公式.20、(1);(2)【解析】
(1)直接利用求概率公式計(jì)算即可;(2)畫樹狀圖(或列表格)列出所有等可能結(jié)果,根據(jù)概率公式即可解答.【詳解】(1);(2)方法1:根據(jù)題意可畫樹狀圖如下:方法2:根據(jù)題意可列表格如下:弟弟姐姐ABCDA(A,B)(A,C)(A,D)B(B,A)(B,C)(B,D)C(C,A)(C,B)(C,D)D(D,A)(D,B)(D,C)由列表(樹狀圖)可知,總共有12種結(jié)果,每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,其中姐姐抽到A佩奇,弟弟抽到B喬治的結(jié)果有1種:(A,B).∴P(姐姐抽到A佩奇,弟弟抽到B喬治)【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率,列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解決問(wèn)題用到概率公式:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.21、(1)見解析;(2)t=(6+6),最小值等于12;(3)t=6秒或6秒時(shí),△EPQ是直角三角形【解析】
(1)由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE,結(jié)合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△BCE即可得;(2)作BE′⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于E′.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E′時(shí),由DF=BE′知此時(shí)DF最小,求得BE′、AE′即可得答案;(3)①∠EQP=90°時(shí),由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°,根據(jù)AB=CD=6,tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE;②∠EPQ=90°時(shí),由菱形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD知EC與AC重合,可得DE=6.【詳解】(1)∵∠ECF=∠BCD,即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE,∴∠DCF=∠BCE,∵四邊形ABCD是菱形,∴DC=BC,在△DCF和△BCE中,,∴△DCF≌△BCE(SAS),∴DF=BE;(2)如圖1,作BE′⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于E′.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E′時(shí),DF=BE′,此時(shí)DF最小,在Rt△ABE′中,AB=6,tan∠ABC=tan∠BAE′=2,∴設(shè)AE′=x,則BE′=2x,∴AB=x=6,x=6,則AE′=6∴DE′=6+6,DF=BE′=12,時(shí)間t=6+6,故答案為:6+6,12;(3)∵CE=CF,∴∠CEQ<90°,①當(dāng)∠EQP=90°時(shí),如圖2①,∵∠ECF=∠BCD,BC=DC,EC=FC,∴∠CBD=∠CEF,∵∠BPC=∠EPQ,∴∠BCP=∠EQP=90°,∵AB=CD=6,tan∠ABC=tan∠ADC=2,∴DE=6,∴t=6秒;②當(dāng)∠EPQ=90°時(shí),如圖2②,∵菱形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD,∴EC與AC重合,∴DE=6,∴t=6秒,綜上所述,t=6秒或6秒時(shí),△EPQ是直角三角形.【點(diǎn)睛】此題是菱形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,考查菱形的性質(zhì),三角形全等的判定定理,等腰三角形的性質(zhì),最短路徑問(wèn)題,注意(3)中的直角沒(méi)有明確時(shí)應(yīng)分情況討論解答.22、見解析.【解析】
先證明△AFC為等腰三角形,根據(jù)等腰三角形三線合一證明H為FC的中點(diǎn),又D為BC的中點(diǎn),根據(jù)中位線的性質(zhì)即可證明.【詳解】∵AE為△ABC的角平分線,CH⊥AE,∴△ACF是等腰三角形,∴AF=AC,HF=CH,∵AD為△ABC的中線,∴DH是△BCF的中位線,∴DH=BF.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵是證明H點(diǎn)為FC的中點(diǎn),然后利用中位線的性質(zhì)解決問(wèn)題.本題中要證明DH=BF,一般三角形中出現(xiàn)這種2倍或關(guān)系時(shí),常用中位線的性質(zhì)解決.23、(1)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=;C(1,0);(2)當(dāng)m=2時(shí),PD+PE有最大值3;(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)或(,).【解析】
(1)先求出A、B的坐標(biāo),然后把A、B的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)的解析式,解方程組即可得到結(jié)論;(2)先證明△PDE∽△OAB,得到PD=2PE.設(shè)P(m,),則E(m,),PD+PE=3PE,然后配方即可得到結(jié)論.(3)分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)M在在直線AB上方時(shí),則點(diǎn)M在△ABC的外接圓上,如圖1.求出圓心O1的坐標(biāo)和半徑,利用MO1=半徑即可得到結(jié)論.②當(dāng)點(diǎn)M在在直線AB
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