2021-2022學(xué)年浙教版新九年級暑期數(shù)學(xué)講義-第十九講 圓內(nèi)接四邊形

第十九講圓內(nèi)接四邊形

3.6圓內(nèi)接四邊形

韓【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了搟圓內(nèi)接四邊形和四邊形的外接圓的定義；

2.掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

3.學(xué)會構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形及會解決和圓的其他性質(zhì)結(jié)合問題。

【基礎(chǔ)知識】

一、圓內(nèi)接四邊形

如果一個四邊形的各個頂點(diǎn)在同一個圓上，那么這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形

的外接圓.

二、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理

圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）.

要點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起

則/BAE等于（)

【答案】D

【解析】

由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)月角知，/BAE=ZC=45°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓內(nèi)接四邊形，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例2.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓弧上兩點(diǎn)，ZD=115°,貝叱CAB=（)

D.

A.55°B.45°C.35°D.25°

【答案】D

【分析】

由/D=1I5。，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可求得NB的度數(shù)，又由AB是半圓O的直徑，根據(jù)直徑所

對的圓周角是直角，即可得/ACB=90。，繼而求得答案.

【解析】

解：VZD=115°,

；.NB=180°-/D=65°,

?；AB是半圓。的直徑，

ZACB=90°,

二ZCAB=90°-ZB=25°.

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及徑所對的圓周角是直角.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的

應(yīng)用.

］例3.如圖所示，四邊形ABCD內(nèi)接于ZBOD=I40°,則NBCD等于（）

A.140°B.110°C.70°D.20°

【答案】B

【解析】

試題分析：VZBOD=140°,

3,

/.ZA=-ZBOD=70°,

ZC=180°-ZA=110°.

故選B.

考點(diǎn)：圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

例4.圓內(nèi)接四邊形ABCD,ZA,NB,NC的度數(shù)之比為3：4：6,則ND的度數(shù)為（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【答案】C

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)的性質(zhì)列式計算即可.

【解析】

解：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：ZA+ZC=ZB+ZD=180°,

設(shè)/A=3x,貝Ij/B=4x,ZC=6x,

則3x+6x=180°,解得:x=20°,

則NB=80°,ZD=180°-80°=100°.

故選：C

考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

［、1例5.如圖，圓O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BC=DC,/BOC=130。，則/BAD的度數(shù)是（

)

C.140°D.150°

【答案】B

【解析】

解：根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系由BC=DC得BC=Z）C，則NBOC=NCOD=130。，再利用周角定義計算出

ZBOD=100°,再根據(jù)圓周角定理得到NBCD=gNBOD=50。，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算

ZBAD=180°-ZBCD=180°-50°=130°.

故選B.

D

例6.如圖，四邊形A8CO內(nèi)接于點(diǎn)口是co上一點(diǎn)，且=連接CE并延長交A。

的延長線于點(diǎn)￡,連接AC,若AB=CD，則線段AC、CE的長度關(guān)系為（）

A.AC<CEB.AC=CEC.AC>CED.無法確定

【答案】B

【分析】

先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NCDE=NABC,再由圓周角定理得出NDCE=NBAC,根據(jù)ASA證明

△ABC^ACDE即可得出結(jié)論.

【解析】

?.?四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

.".ZCDE=ZABC,

DF=BC

.*.ZDCE=ZBAC,

在^ABC和ACDE中，

NCDE=NABC

<AB=CD

NDCE=ABAC

/.△ABC^ACDE

...AC=CE

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于與它不相鄰的內(nèi)對角是解答此題的關(guān)

鍵.也考查了圓周角定理及全等三角形的判定與性質(zhì).

例7.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，交的延長線于點(diǎn)〃，若BA平分NDBH,

AD=5,CH=4,則A//=()

A.2.5B.2>/2C.3D.2A/3

【答案】C

【分析】

連接AC,如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得到N1=NADC,N1=N2=N3,從而得到

N3=NAOC，所以AC=AO=5,然后利用勾股定理計算可得結(jié)果.

【解析】

解：連接AC.

：N1=N2=N3,Z\=ZADC,

，N3=ZADC，

二AC=A￡>=5,

?;AH±BC,CH=4,

.,.AH=3.

故選C.

A

D

2\3

HBC

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理、勾股定理的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知條件準(zhǔn)確利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解是關(guān)

鍵.

［、1例8.如圖，OC過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,M是第三

象限內(nèi)08上一點(diǎn)，NBMO=120。，則。C的半徑長為（）

A.6B.5C.3D.372

【答案】C

【分析】

先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NOAB的度數(shù)，由圓周角定理可知/AOB=90。，故可得出NABO的度數(shù),

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出AB的長，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解析】

解：???四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，NBMO=I20。，

/.ZBAO=60°,

■:ZAOB=90°,

；.AB是。C的直徑，

/.ZABO=90°-ZBA0=90°-60°=30°,

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,

，0A=3,

，AB=2OA=6,

.??(DC的半徑長=3,故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)

是解答此題的關(guān)鍵.

例9.如圖，四邊形ABC。是菱形，經(jīng)過點(diǎn)A、C、D,與BC相交于點(diǎn)E,連接AC、AE.若ND

=80。，則NEAC的度數(shù)為()

C.30°D.35°

【答案】C

【分析】

根據(jù)四邊形A3CD是菱形，可求得NOCB的度數(shù)，從而求得/AC8的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，得

NAEB=ND,由三角形內(nèi)外角的關(guān)系，即可求得/E4c的度數(shù).

【解析】

:四邊形4BCC是菱形，ZD=80°,

，NACB=—/DCB=—(180°-ZD)=50°,

22

:四邊形AECZ)是圓內(nèi)接四邊形，

二ZAEB=ZZ)=80°,

二NEAC=ZAEB-ZACE=30°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到/AE8的度數(shù).

例10.如圖，點(diǎn)C、D、E、F、G均在以AB為直徑的OO上，其中NAGC=20°,NB莊=10°，

則NCO￡=()

D

A.115°B.120°C.135°D.150°

【答案】B

【分析】

利用圓周角定理求出NCGE,再利用圓內(nèi)接四邊形的的對角互補(bǔ)的性質(zhì)求解即可.

【解析】

解：如圖，連接BG,GE.

：AB是直徑，

.?./AGB=90。，

；NBFE=NBGE=10°,/AGC=20°,

ZCGE=90°-20°-10°=60°,

VZEGC+ZCDE=180°,

ZCDE=180°-60°=120°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知

識解決問題.

例11.如圖，在AABC中，NACB=90°,過5,C兩點(diǎn)的。。交AC于點(diǎn)O,交AB于點(diǎn)E，

連接E。并延長交O。于點(diǎn)尸.連接8尸，CF，若NEQC=135°,AE=2,BE=4,則CE的值為().

A.710B.2V2C.26D.3

【答案】A

【分析】

由四邊形BCDE內(nèi)接于。O知NEFC=/ABO45。，據(jù)此得AC=BC,山EF是。O的直徑知

NEBF=NECF=NACB=90。及/BCF=NACE,再根據(jù)四邊形BECF是。O的內(nèi)接四邊形知/AEC=NBFC,

從而證△ACE^ABCF得AE=BF,根據(jù)RtAECF是等腰直角三角形知￡尸=20,繼而可得答案.

【解析】

:四邊形8COE內(nèi)接于O。，且NEDC=135°,

ZEFC=ZABC=180°-ZEDC=45°，

ZACB=90。，

/?AABC是等腰三角形，

AC=BC,

又?:EE是OO的宜徑，

NEBF=ZECF=ZACB=90°，

：.ZBCF=ZACE,

:四邊形BECF是0。的內(nèi)接四邊形，

/.ZAEC=ZBFC,

：.^ACE=^BFC(ASA),

：■AE=BF，

RtABEF中，EF2=BF2+BE2=BE1+AE2=42+22=20,

RtAECF中,/EFC=45°,

：.CE=CF,

二CE2+CF2=2CF2=EF2=20>

ACF2=10-

CF-Vio，

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性

質(zhì)及勾股定理.

例12.已知是半徑為1的。。的一條弦，且A6=a<l,以A8為一邊在。。內(nèi)作等邊三角形

ABC,。為上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且。B=AB=a,DC的延長線交于點(diǎn)E,則AE的長為（）

A.叵aB.1C.—aD.a

22

【答案】B

【分析】

通過證4c三△Q4B.得A￡=OA,從而求出￡4的長.

【解析】

解：連接OE,OA,08,

AABC是等邊三角形，

：.AB=BC=AC=BD=a，ZCAB=ZACB=60°；

-.AB^BD-

??AB=BD，

：.ZAED=ZAOB-.

?：BC=AB=BD，

:.ZD=/BCD；

???四邊形石鉆。內(nèi)接于oo,

NEAB+ZD=180°,即ZEAC+60°+NO=180°；

又ZEC4+60°+=180°,

.-.ZECA=ZEAC,即"AC是等腰三角形；

在等腰AE4C和等腰△。鉆中，ZAEC=ZAOB,

-.AC=AB,

：.\EAC=\OAB-.

:.AE^OA=\.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)

等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大；能夠發(fā)現(xiàn)并證得AE4cM八。"是解答此題的關(guān)鍵.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.如圖，四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，已知NBOD=100。，則NBCD的度數(shù)為:)

C.100°D.130°

【答案】D

【解析】

試題分析：根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系，同弧所對的圓周角等于其所對的圓心角的一半，可得NA=50。，然

后由圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)可求得/C=180"NA=130。.

答案為D

考點(diǎn)：圓周角與圓心角的關(guān)系，及圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)

2.若四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則它的內(nèi)角NA，E>8,NC,NO的度數(shù)之比可能是（）

A.3：1：2：5B.1：2：2：3C.2：7：3：6D.1：2：4：3

【答案】D

【分析】

由圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得到兩對?角的和相等為180。，比值所占份數(shù)也相等，據(jù)此解題.

【解析】

解：???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

ZA+ZC=NB+ND=180°

即NA、NC比值的和與NB、NO比值的和份數(shù)相等，

故A、B、C均不符合題意；

ZA，DB,NC,NO的度數(shù)之比可能是1:2:4:3,故D符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的內(nèi)接四邊形，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

3.如圖，。。是△A8C的外接圓，NA=50°,E是邊的中點(diǎn)，連接OE并延長，交。0于點(diǎn)0,

連接8。，則NC8。的大小為（）

A

TO

BEXC

D

A.20°B.21°C.23°D.25°

【答案】D

【分析】

連接。C,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/BOC,根據(jù)垂徑定理的推論、直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案.

【解析】

解：連接C。，

ZA=50°,

AZCDB=180°-ZA=130°,

；E是邊BC的中點(diǎn),

，ODLBC,

:.BD=CD,

180°-130°…

：.ZCBD=/DCB=-------------=25°,

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的外接圓與外心，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題

意是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，四邊形A8CO內(nèi)接于。。，ZD=100°,CE_L48交。。于點(diǎn)E,連接08、0E,則N80E的度數(shù)

20°C.25°D.40°

【答案】B

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解析】

解：???四邊形A3C。內(nèi)接于G）。，ZD=100°,

ZABC=180°-Z￡>=80°,

,：CE1AB,

：.ZECB+ZABC=90°,

.".ZBCE=90o-80°=10°,

:在同圓或等圓中，圓周角是所對弧的圓心角的一半,

二NBOE=2/BCE=20°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義，圓周角定理，正確的識別圖形是解

題的關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,若NBOD=UO。，則NDAB的度數(shù)為（)

A.55°B.125°C.115°D.70°

【答案】B

【分析】

由圓周角定理：同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，可求出NC=！N8OO=55°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形

2

對角互補(bǔ)可求出ND45=180°—NC

【解析】

?.?Z5or）=iio。，

:.ZC=-ZBOD=55°（圓周角定理），

2

ZDAB=180°-ZC=180°-55°=125°（圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一

半；圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，經(jīng)過A，C,。三點(diǎn)的。。交于點(diǎn)E，連接4E，若

A.30B.36°C.45°D.60'

【答案】B

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到/DCB=(180°-ZD)=108。，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NAEB=ND=72。，

由三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【解析】

解：???四邊形A3CD是平行四邊形，ZADC=72°,

:.ZABC二ZADC=M.

???四邊形AECD是圓內(nèi)接四邊形，

ZAEC=180-ZADC=108%

.-.ZAEB=72°.

ZR4E=180°-72°—72°=36°.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

7.如圖，AC是圓內(nèi)接四邊形A8CO的一條對角線，點(diǎn)。關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E在邊8c上，連接AE.若

ZABC=64.則NAEC的度數(shù)為()

C.126°D.136°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，得出/D的度數(shù)，再由軸對稱的性質(zhì)得出NAEC的度數(shù)即可.

【解析】

解：：四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，

,ZD=180°-ZABC=I80°-64°=116°,

???點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E在邊8c上,

，ND=NAEC=116。，

故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)及軸對稱

性質(zhì).

8.如圖所示，四邊形ABCO為。0的內(nèi)接四邊形，延長A8與。。相交于點(diǎn)G,A01CD,垂足為點(diǎn)E,

連結(jié)8Z）,NG3C=64。，則NC6O的度數(shù)為（）

G

A.64°B.84°C.58°D.52°

【答案】D

【分析】

連接AC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NAQC=NGBC=64。，根據(jù)垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)得到

ZCW=2ND4E=52°,根據(jù)圓周角定理解答即可.

【解析】

解：連接AC,

四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，

二/ADC=NGBC=64。,

'：AOVCD,

：.DE=CE,ZDAE=26°,

：.AC=AD,

：.ZCAD=2ZDAE=52°,

山圓周角定理得，ZDBC=ZCAD=52°,

故選：D.

G

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的

內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C、D、E、F、G都在OO上，且/ACE=30。，ZBDF=20°,則/EGF為

()

A.130°B.100°C.140°D.120°

【答案】C

【分析】

連接AD,DE,由直徑所對的圓周角為90。，解得NEDF=40。，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)解題即可.

【解析】

解：如圖，連接AD,DE,

VAB是直徑，

/.ZADB=90°,

VZACE=ZADE=30°,ZBDF=20°,

/.NEDF=90°-20°-30°=40°,

VZEGF+ZEDF=I8O°,

,ZEGF=180°-40°=140°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直徑所對的圓周角是90。、圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知

識是解題關(guān)鍵.

10.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓0,DA^DC,NCBE=50。，Z4OD的大小為（）

A.130°B.100°C.20°D.10°

【答案】A

【分析】

先求出NABC的大小，根據(jù)內(nèi)接四邊形角度關(guān)系，得到/ADC的大小，從而得出NC的大小，最后利用圓

周角與圓心角的關(guān)系得/AOD的大小.

【解析】

ZCBE=50°

/.ZABC-130°

,??四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

ZADC=50°

VAD=DC

.?.在Z\ADC中，ZC=ZDAC=65°

，NAOD=2NC=I30。

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的性質(zhì)，主要是內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)和同弧對應(yīng)圓心角是圓周角2倍，解題中，我們要充分利

用圓的性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換，以便得到我們需要的角度.

11.如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于。。，AELCE交CB的延長線于點(diǎn)￡,若BA平分NDBE,

AD=5,CE=W,則AE=()

A.3B.372C.473D.26

【答案】D

【分析】

連接AC,如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得到N1=NC￡）AN2=N3,從而得到

Z3=ZCDA.所以AC=AO=5,然后利用勾股定理計算AE的長.

【解析】

連接AC，如圖，

?；BA平分NDBE，

.?./=/2，

-.?Zl=ZCDA,N2=N3,

：.Z3=ZCDA,

AC=AD=5，

?/AEICB，

.-.ZA￡C=90°>

AE=JAC?-CE?=、2-（而了=2百.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對

角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）.也考查了勾股定理.

12.如圖所示，在AAHC中，NACB=90°,過8,C兩點(diǎn)的00交AC于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)￡，連接E。

并延長交。。于點(diǎn)尸，連接見LCF,若NEDC=135°,CF=2血，則^^+^爐的值為（

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

【分析】

由所求4七2+8七2想到勾股定理，則需要將邊AE和邊BE放到同一個直角三角形中，邊BE已經(jīng)在

RSEF中,那只需證明出AE=BF,即可得到答案.

【解析】

解：四邊形E尸C。是。。的內(nèi)接四邊形，N￡DC=135°,

二ZCFE=180°-135°=45°.

?/所是。。的直徑，???ZEBF=/ECF=90°，

/.ZCEF=45°,AZCEF=ZCFE,：.CE=CF,

,:NACB=^EBF=90°

ZA+NEBC=4FBC+ZEBC=90°,

/.NFBC=ZA,

V四邊形BFCE是。。的內(nèi)接四邊形，

/.ZBFC+ZBEC=180°,

???ZAEC+ZBEC=180°

二ZBFC^ZAEC

在△BEC和AAEC中

'NFBC=NA

<ZBFC=ZAEC

FC=EC

AfiFC=AA￡C（AAS）

:.AE=BF

BF2+BE1=EF2=CF2+CE2.

；?AE2+BE2=2c產(chǎn)，

:CF=2V2，

，W+B爐=2x(20>=16.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理和圓的基本性質(zhì)，本題的解題關(guān)鍵是：利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)及鄰補(bǔ)角互補(bǔ)證

明角相等，再利用勾股定理得到答案.

二、填空題

13.如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，若/DAB=60。，則/BCD的度數(shù)是.

【答案】120°

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)解答即可.

【解析】

解：：四邊形ABCD是00的內(nèi)接四邊形，

.,,ZBCD+ZDAB=180°,又NDAB=60°,

,NBCD=120°,

故答案為120°.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，A.B.C.。都在。O上，ZB=130°,則NAOC的度數(shù)是

【答案】100°

【解析】

VZB=130°,.?./。=180°—130°=50°,

/.ZA(9C=2ZD=100o.

故答案為100°.

點(diǎn)睛：圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

15.如圖，在。0的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD,ZBCD=140°.若點(diǎn)E在上，則/E='

【答案】110

【分析】

由圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)可得/BAD的度數(shù)，然后連接BD,由題意可得/ADB的度數(shù)，進(jìn)而可求解.

【解析】

解：連接BD,如圖

???在。O的內(nèi)接四邊形ABCD中，ZBCD=140°,

???ZBAD=180°-ZBCD=40°，

180。一/84。

AB=AD,NAO3=

2

???NE=180?！猌ADB=110。.

故答案為no.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在。O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，ZCAD=30°,則NB+/E=.

【分析】

連接CE,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可得NB+NAEC=180。，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得

ZCED=ZCAD,然后求解即可.

【解析】

解析:連接CE.?.?五邊形ABCDE是。。的內(nèi)接五邊形，，四邊形ABCE是。。的內(nèi)接四邊形，,NB+NAEC

=180°.VZCED=ZCAD=30°,AZB+ZE=180°+30°=210°.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形

是解題關(guān)鍵.

17.如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C,D,E在上，若NAEC=40。，則/BDC的度數(shù)為.

【分析】

連接BE,所以NAEB=90。，得到NBEC=50。，再利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，得到NBDC=130。

【解析】

/.ZAEB=90°,

VZAEC=40°,

.,.ZBEC=90°-40o=50°,

ZCDB+ZBEC=180°,

，NBDC=130。，

故答案為130°

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的內(nèi)接四邊形、直徑所對圓周角為90。等圓的基本性質(zhì)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵

18.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于連接AC,若AC=A0，且〃4。=50°,則E>8的度數(shù)為

D

【答案】115°

【分析】

首先根據(jù)等腰三角形的頂角的度數(shù)求得底角ND的度數(shù)，然后利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)確定答案即可.

【解析】

?弧AC=MAD,且/DAC=50。，

；.AC=AD,

AZADC=ZACD=y(180°-50°)=65°,

.,.ZB=18O°-ZADC=180°-65°=115°,

故答案為：H5。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，難度不

大.

19.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AD、BC的延長線相交于點(diǎn)E,AB、DC的延長線相交于點(diǎn)F.若NA

=50°,NE=45°,則NF=°.

【答案】35

【解析】

【分析】

連結(jié)EF,如圖，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得/A+NBCD=180。，根據(jù)對頂角相等得NBCD=/ECF,則

ZA+ZECF=180°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得NECF+N1+N2=18O。，所以N1+/2=NA,再利用三角形內(nèi)角

和定理得到NA+NAEB+N1+N2+NAFD=18O。，然后解方程即可.

【解析】

:四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

.?./A+/BCD=180。，

而/BCD=NECF,

,,.ZA+ZECF=180°,

VZECF+Z1+Z2=18O°,

.,.Zl+Z2=ZA=50°

■:ZA+ZAEF+ZAFE=180°,

即NA+NAEB+N1+N2+/AFD=18O°

NAFD=35°

故答案為35

【點(diǎn)睛】

此題重點(diǎn)考察圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,Zl+Z2=64°,Z3+Z4='

【答案】64

【分析】

由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得ZDAB+NDCB=180=NCD4+ZCBA=180°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、

角的和差以及三角形內(nèi)角和進(jìn)行解答即可.

【解析】

解：如圖

D

B

???四邊形ABCD接于。0,

:.NDAB+ZDCB=180",ZCDA+NCBA=180°

又「△AOC為等腰三角形，

Zl+Z2+Z3+Z4+2Z5=180°，

VZ1+Z2=64°,

AZ3+Z4=l80°-64°-2Z5=116°-2Z5,+

VZ1+Z2+ZB=18O°,ZB+ZD=180°,

.*.ZB=Z1+Z2=64°

AZO=2ZD=128°

在等腰三角形AOC中，

T2Z5=180°-Z0=l80°-l28°=52°

二Z3+Z4=116°-2Z5=ll6°-52°=64°

故答案為64;

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形的相關(guān)知識，其中理解圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)

鍵.

21.如圖，在四邊形ABCQ中，ZBA￡>=ZCZM=90°,CD=2AB,過A、B、。三點(diǎn)的O。分別交BC、

CD于點(diǎn)E、尸下列結(jié)論：①DF=CF；②AB=BE；③AE=A￡>.其中所有正確結(jié)論的序號是.

B

【答案】①③

【分析】

連接BF、AF、EF,利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NBED=NABF=90。，得到四邊形ABFD是矩形，所

以產(chǎn)，然后根據(jù)CD=2AB,證明①正確，結(jié)論②不能夠確定，證明&AADF=及AAEF(HL),

得到結(jié)論③正確.

【解析】

解：如圖，連接BF、AF、EF,

"?ZBAD=ZCDA=90°,

二ZBFD=ZABF=90。,

四邊形ABFD是矩形，

二AB=DF,

?/CD=2AB，

ACF^AB,即=故①正確，

ZBAD=ZCDA=90°,

；?AB//CD,

,:AB=CF,

二四邊形ABCF是平行四邊形，

:.AF//BC,

二ZAEB二NFAE，

?*-AB=FE，

,??不能確定AB與AD的大小關(guān)系，

不能確定ZAFB=ZEAF=ZAEB=30°,

???不能確定ZBAE=ZEAF，

二AB=BE不能確定，故②錯誤，

AB=FE，

???AB=EF=DF-

'：ZA￡F+Z￡>=180°.

二ZAEF=90°,

在RtAADF和Rt^AEF中,

AF=AF

FD=FE'

：.Rt^ADF三Rt^AEF(HL),

AD^AE，故③正確.

故答案是：①③.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

22.在AABC中，AC=BC,ZC=90°,在AABC外有一點(diǎn)A/,且肱則NAMC的度數(shù)是

【答案】135。、45°

【分析】

由NC=90°,可知4、C、B、M四點(diǎn)共圓，AB為圓的直徑，則N40C是弦AC所對的圓周角,

此時需要對M點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論，點(diǎn)M分別在直線AC的兩側(cè)時，根據(jù)同弧所對的圓周角相等和圓內(nèi)

接四邊形對角互補(bǔ)可得兩種結(jié)果.

【解析】

解：：在AABC中，AC^BC,ZC=90°,

/.NBAC=N4CB=45°,

:點(diǎn)”在ZVLSC外，且

即ZAMB=90°

,/ZAA/B+ZC=180°

.?.A、C、B、M四點(diǎn)共圓，

①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在直線AC的左側(cè)時,

ZAMC+ZABC=\SQ0,

/.ZAMC=180°-ZABC=180°-45°=135°；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在直線AC的右側(cè)時，

AC=AC'

；?ZAMC=ZABC=45°.

故答案為：135?；?5。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)和同弧所對的角相等，但解題的關(guān)鍵是要先根據(jù)題意判斷出A、C、B、

M四點(diǎn)共圓.

三、解答題

23.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。O,ZBOD=140°,求/BCD的度數(shù).

【答案】110°

【分析】

先根據(jù)圓周角定理得到/A=L/BOD=70。，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求/BCD的度數(shù).

2

【解析】

,?ZBOD=140°,

.*.ZA=-ZBOD=70°,

2

AZBCD=1800-ZA=110°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半.也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

24.如圖，四邊形A8C。是。。的內(nèi)接四邊形，平分/AOC，連結(jié)OC,OCLBD.

(1)求證：AB=CD；

(2)若NA等于66。，求NAD3的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)33°

【分析】

(1)根據(jù)圓周角定理得到AB=BC，根據(jù)垂徑定理得到8C=8,根據(jù)圓周角定理證明結(jié)論；

(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到"8=114。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NBDC,根據(jù)角平分線的

定義解答.

【解析】

解：(1)證明：?.?DB平分/ADC，貝iJ/A8￡>=NCB￡>

AB=BC，

\OC±BD,

BC=CD，

■■AB=CD>

AB=CD：

(2)?.?四邊形ABC。是O。的內(nèi)接四邊形,

?.ZBCO=180o-ZA=114°,

BC=CD，

BC-CD，

ZBDC=-x(180°-114°)=33°,

2

,.DB平分NADC,

ZADB=ZBDC=33°.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對

角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，AB是。。的直徑，D,E為。。上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BO并延長至點(diǎn)C,使得C￡>=B￡>,

連接AC交。。于點(diǎn)F,連接AE,DE,DF.

(1)證明：Z￡=ZC；

(2)若NE=55。，求NBO尸的度數(shù).

【答案】(1)詳見解析；(2)110°.

【分析】

(1)連接AD,利用直徑所對的圓周角為直角，可得再根據(jù)故AZ>垂直平分BC,根

據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，可得：AB=AC,再根據(jù)等邊對等角和同弧所對的圓周角

相等即可得到NE=NC：

(2)根據(jù)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：四邊形的外角等于它的內(nèi)對?角，可得NCFD=NE=55。，再利用外角的性質(zhì)

即可求出N8OE

【解析】

（1）證明：連接AO,如圖所示:

「AB是。。的直徑，

AZADB=90°,即AO_L8C,

?:CD=BD,

???4D垂直平分3C,

.9.AB=AC,

???NB=NC,

??,NB=/E,

：.NE=NC；

(2)解：???四邊形AED尸是。。的內(nèi)接四邊形,

AZAFD=180°-ZE,

VZCFD=180°-NAFD,

：.ZCFD=ZE=55°,

由(1)得：Z￡=ZC=55°,

???/BDF=ZC+ZCFD=550+55°=110°.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是（1）直徑所對的圓周角是直角、垂直平分線的性質(zhì)和同弧所對的圓周角相等；（2）內(nèi)接四

邊形的性質(zhì).

26.已知，。。中，AB=BC，。是。。上的點(diǎn)，OCYBD.

(1)如圖①,求證AB—CD；

(2)如圖②,連接AB，BC,CD,DA，若NA=70。，求NBCD,的大小.

【答案】（1）見解析；(2)ZBCD=110°；ZADB=35°

【分析】

（1）利用垂徑定理證明BC=CD，再根據(jù)AB=BC即可證明AB=CD：

（2）先利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出N8CO的大小，再根據(jù)垂徑定理和同弧所對的圓周角相等即可求

出ZBCD和ZADB的大小.

【解析】

解：（I）;。。中，OC±BD.

BC=CD

?/AB=BC>

AB=CD

(2)?.?四邊形ADCB是圓內(nèi)接四邊形，

:.ZA+ZBCD=\SO0.

ZBCD=180°-ZA=180°-70°=110°.

???。。中，OC±BD,

BC=CD

180°-ZBCD180°-110°

：.NCDB=NCBD==35°.

22

AB=BC，

:.ZADB=ZCDB=35°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查垂徑定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及圓周角和弧長的關(guān)系，屬于簡單題型.

27.已知AB是。。的直徑.

(1)如圖①，BC=CM=MN，ZMON=35°,求/AON的大小；

(2)如圖②，E,F是。O上的兩個點(diǎn)，ADLEF于點(diǎn)D,若NDAE=20。，求NBAF的大小.

圖①圖②

【答案】(1)75°；(2)20°

【分析】

(1)根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系求出NMON=NMOC=NBOC=35。，再求出答案即可；

(2)根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NAEF,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NAEF+NABF=180。，求出NABF,

根據(jù)圓周角定理求出/AFB=90。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可.

【解析】

解：0)?：BC=CM=MN，ZMON=35°,

.,.ZMON=ZMOC=ZBOC=35°,

AZAON=180°-ZMON-ZMOC-NBOC=180°-35°-35°-35°=75°：

(2)連接BF,

二ZADE=90°,

ZDAE=20°,

NAEF=ZADE4-NDAE=110°,

?.?四邊形AEFB為圓內(nèi)接四邊形，

ZABF+ZAEF=180°,

，ZABF=70°,

VAB是。O的直徑，

.,.ZAFB=90°,

ZBAF=180°-ZAFB-ZABF=20°.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是圓心角與弧之間的關(guān)系，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

28.如圖，在△A3C中，4。=8。，口是人8上一點(diǎn),。0經(jīng)過點(diǎn)人、（2、口,交8（：于點(diǎn)￡,過點(diǎn)口作。尸//5。,

交。O于點(diǎn)F,求證：

（1）四邊形DBCF是平行四邊形

（2）AF=EF

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【分析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明NB4c=/8,利用平行線證明NM尸=4,利用圓的性質(zhì)證明

NBAC=/CFD,再證明BD//CF,即可得到結(jié)論；

（2）如圖，連接AE，利用平行線的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)Z4M=/3,再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明

ZEAF=ZB,從而可得結(jié)論.

【解析】

證明：（1）???AC=6C，

；.ZBAC=NB,

-.DF//BC,

：.ZADF=ZB,

又4BAC=NCFD,

ZADF=ZCFD,

：.BD//CF,

，四邊形DBCF是平行四邊形.

(2)如圖，連接AE

\ZADF=AB，ZADF=ZAEF

:.NAEF=NB

???四邊形AECF是QO的內(nèi)接四邊形

Z￡CF+ZE4F=180°

\-BDHCF

NEC戶+N8=180°

:.AEAF=AB

:.ZAEF=ZEAF

：.AF=EF

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的判定，圓的基本性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

29.如圖，A8是OO的直徑，圓內(nèi)接四邊形ACDE的邊CO與直徑A3交于點(diǎn)凡點(diǎn)G在。上延長線上,

E4平分NCEG.

(1)求證：ABA.CD.

（2）若AC=CE,AE=9,8尸=1,求^ACE的面積.

【答案】（1）見解析；（2）27

【分析】

（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NACD=NAEG,再山NAEG=NAEC得到NACD=NA￡C,可得

AD=AC＞再根據(jù)垂徑定理證明A5LCD；

（2）連接AD0D,根據(jù)AC=CE推出AE=DC，再證明AACE也△C4D,得到S》CE=，計

算出CD求出ACAD的面積即可.

【解析】

解：（1）；四邊形ACDE是。。內(nèi)接四邊形，

/.ZACD=ZAEG,

???E4平分NCEG,

二ZAEG=ZAEC,

：.ZACD=ZAEC,

：?AD=AC'

■：AB為直徑，

二ABLCD.

（2）連接A。，OD,

?*-AC=CE'

,:AC=A。，

?*-CE=AD<

AZEAC^ZDCA,CE-DE=AD-DE-

?,AE=DC,

:.AE=DC,

.??在AACE與△(“￡>中，

AC=AC

<CE=AD,

AE=DC

???AACE/△C4O(SSS),

S&ACE=S/XC40，

VAF=9,BF=l，

：.AB=10,

OD=OB=5,

：.O尸=4,

r)F=752-42=3-

；?DC=3x2=6,

/.S^CAD=~CDxAF=gx6x9=27,

S?CE=27.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧、弦、圓心角的關(guān)系，垂徑定理，解題的

關(guān)鍵是綜合相應(yīng)條件，將弧、角和邊進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

30.如圖，是O。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,點(diǎn)G為弧BC上一動點(diǎn)，CG與AB的延長線交于點(diǎn)

F,連接OD,GB,BD.

(1)判定Z48與NCGO的大小關(guān)系，并說明理由,

(2)求證：GB平分NDGF.

（3）在G點(diǎn)運(yùn)動過程中，當(dāng)G￡