高中數(shù)學電子課本選修4-5-北師大版

目錄

第一章不等關系與基本不等式...........................................(1)

§1不等式的性質(zhì).......................................................(1)

習題1—1........................................................(4)

§2含有絕對值的不等式.................................................(6)

習題1—2........................................................(9)

§3平均值不等式.......................................................(10)

習題1—3........................................................(14)

§4不等式的證明.......................................................(16)

習題1—4........................................................(22)

§5不等式的應用.......................................................(23)

習題1—5........................................................(24)

復習題一...............................................................(26)

第二章幾個重要的不等式.................................................(27)

§1柯西不等式.........................................................(27)

習題2—1........................................................(31)

§2排序不等式.........................................................(32)

習題2—2........................................................(34)

§3數(shù)學歸納法與貝努利不等式...........................................(36)

習題2—3........................................................(39)

復習題二...............................................................(41)

復習小結(jié)建議.............................................................(42)

附錄1部分數(shù)學專業(yè)詞匯中英文對照表.....................................(44)

附錄2信息檢索網(wǎng)址導引.................................................(45)

1.—?二.j

第一章不等關系與基本不等式

我們知道，和等量關系一樣,不等量關系也是現(xiàn)實世界中存在著

的基本數(shù)學關系，在數(shù)學研究和數(shù)學應用中起著重要作用.因而，不

等式是數(shù)學中的一類重要的研究對象和解決問題的重要工具，利用

它可以研究一些數(shù)學問題，解決很多生活中的實際問題.這一章我們

將在回顧和復習不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式的基礎上，了解

證明不等式的基本方法，為以后的學習作好準備.

§1不等式的性質(zhì)

1.1實數(shù)大小的比較

我們知道,任意兩個實數(shù)總可以比較大小，要么。>6,要么

要么a<b.因為實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，所以實數(shù)的

大小關系可以通過數(shù)軸上相應點的位置來確定，例如.點A表示實數(shù)

a，點B表示實數(shù)6（如圖1-1所示）.

若a>b,則點A在點B的右邊;反之，若點A在點B的右邊，則

a〉b；

若a=6,則A與B表示同一點；

若a<b,則點A在點B的左邊；反之，若點A在點B的左邊，則

a<Zb.

我們還知道，兩個數(shù)的不等關系也可以通過運算來表示：

a>b<=>a—。>0；

a<Zb<=>a—6V0；

a=b0a-6=0,

由此可見，要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差就可以了.

此外，當a>0,6>0時，我們還可以用求商的方法來比較兩個實

數(shù)的大小，這就是：

選修4一5不等式選講

當a+5工乂時,

f>l㈡a>b；

售VI=a<b；

b

㈡a=b.

yb-=l

例1比較(3z—2)(1+1)與(2z+5)(z—1)的大小.

解(3z—2)(z+1)—(2]+5)(之一1)

=(3]2+1—2)—(2/+3]—5)

=/-2z+3

=(x-l)2+2>0.

所以(3z—2)(z+l)>(2z+5)Cr—1).

例2已知a>0,0>0,試比較a%。與廠〃的大小.

解因為a>0,6>0,所以廢田均大于0?

黑=廢-%-=優(yōu)-%-儲-6=伐,b.

當a>6>0時故‘>1,此時aWVaW;

當a=6R0時，顯然abba—aabbi

當6>a>0時，0〈等Vl,a-6V0,故修此時

bX0!

abba<aabb.

綜上所述，對于任意a>0,6>0,總有abbu<aabb.

1.比較(a+l)(a2—a+1)與(a—D(a?+a+l)的大小.

2.設zWO,求證：(工2+1)2>d+工2+1.

3.比較(2工+5)(3工-4)與(3z—5)(2z+4)的大小.

1.2不等式的性質(zhì)

由我們學過的一些不等式，容易概括出不等式的下列性質(zhì):

性質(zhì)1如果那么Ya；如果6Va,那么a>6.

性質(zhì)2如果a>6,6>c,那么a>c.

性質(zhì)3如果a>6,那么a+c>6+c.

2

第一章不等關系與基本不等式

性質(zhì)3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原

不等式同向.

利用性質(zhì)3可以得到：

如果a+6>c，那么a>c—b.

也就是說，不等式中任何一項改變符號后，可以把它從不等式一

邊移到另一邊.

推論如果a>6,c>d,那么a+c>6+d.

證明因為

所以a+c>6+c.①

因為c>d,

所以b+c>b+d.②

由①②得a+c>6+d.

性質(zhì)4如果a>6,c>0,那么ac>6c；如果a>6,cVO,那

么ac<bc.

推論1如果a>6>0,c>d>0,那么ac>bd.

證明因為a>6,c>0,由性質(zhì)4可得ac>6c；

同理，因為c>d,6>0,所以有bc>bd.

于是，由性質(zhì)2可知ac>bd.

在推論1中，若c=a"=6,可得

推論2如果a>6>0,那么公>62.

一般地，可以得到

推論3如果a>6>0,那么(〃為正整數(shù)).

推論4如果。>6>0,那么。>>加(〃為正整數(shù)).

這三個推論均可證明.

思考交癱

如果ac>6c,是否一定能得出?>6?

例1已知a>6,c〈d,求證a—c>6—d.

證明因為cVd,兩邊同乘一1,得一c>—d.

因為a>6,所以a+(—c)>6+(—d),即a~c>b—d.

例2已知專Va〈胃，一gVgV于，求a+3和a—P的取值

范圍.

3

選修4-5不等式選講

解因為f<a<f

由性質(zhì)3的推論，得5+(一青)〈&+伊蕾+￡,

即一/a+儼樣，這是a+/3的取值范圍.

由性質(zhì)4可得一，所以方+(—￡)<“+(

即一備Va一/q，這是a—R的取值范圍.

由思考交流

1.如果。2>〃,是否一定能得出。>6?為什么?

2.如果a>6,是否一定能得出公>62?為什么?

練習

1.設a>6>0,求證：

ab

2,若a>6,cVd,試比較2a—3c與2b—3d的大小.

22

3.如果7nx—"<〃力-7n3，且；nV幾，求證：力>—(m+mn+n).

習題1—1

A組

1.設

(D把g,6c,ca按從大到小的順序排成一列；

⑵把3、按從大到小的順序排成一列.

2.若a+6<0,6>0,試把用一。,6,一6按從小到大的順序排成一列.

3.試比較了2+4與4H的大小.

4.甲、乙兩家旅行社對家庭旅游實行優(yōu)惠政策，甲旅行社提出：如果戶主買一張全票，那么其余家

庭成員都可以享受五五折優(yōu)惠.乙旅行社提出：家庭旅游按照集體票計算,一律按七五折優(yōu)惠.

如果這兩家旅行社的原票價相同，那么哪家旅行社的家庭旅游價格更優(yōu)惠呢？

5.設工)1,求證:工3)才2__H+L

6.設a>6.c>d,H>0,求證:d—azVc—

4

第一章不等關系與基本不等式

|7.求證：

⑴若a>6>0,則

(2)若a>b>0,c>d>0,則點.

■8.若8VzV12,2?10,求工+?,工一》及宗的取值范圍.

19.證明：

(Da"-6"=(a—6)(a"74-a"-264--+a6w_2+6"-1)；

(2)不等式性質(zhì)4的推論3.

B組

1.如果春》亍，那么，從y”能否推出a>c?并且加以討論.

2.利用不等式性質(zhì)4的推論1證明:如果a,6,c,d都是正數(shù)，且a>6,V,那么年冷.

3.設a>0,6>0,c>0,aK6,6Kc,c￥a,且a,6,c滿足a+6>c,求證：

a3+〃+c3+3afec>2(a+6)c2.

4.證明不等式性質(zhì)4的推論4.

5

選修4一5不等式選講

§2含有絕對值的不等式

2.1絕對值不等式

設。是任意一個實數(shù)，在數(shù)軸上lai表示實數(shù)。對應的點與原點

0的距離，|z—a|的幾何意義是實數(shù)z對應的點與實數(shù)a對應的點

之間的距離.

因為|工+封=上一（一a）|,所以|z+a|的幾何意義是實數(shù)z對

應的點與實數(shù)一。對應的點之間的距離.

,定理對任意實數(shù)a和6,有

|a+6|&|a|+16|.

下面我們用幾何和代數(shù)的不同方法證明這個定理.

證法一在數(shù)軸上，|a+”表示實數(shù)a?對應的點（記為A）與實數(shù)

一。對應的點（記為B）的距離AB,|a|表示點A與原點。的距離

AO,161表示原點O與點B的距離0B.根據(jù)“平面上（包括數(shù)軸）的任

意三點所連成的三條線段中，任何兩條線段的長度之和不小于第三條

線段的長度”可知

AB&AO+OB,

于是，得到

|a+6K|a|+16|.

證法二因為一,一仍|464|6|,

所以一（|a|+|6|+|6],

即|a+6K|a|+|6|..

思考交流

1.當a,6滿足什么條件時，上述定理中的不等式等號成立?

2.在上述定理中，以一6代替仇,將得到怎樣的結(jié)論？

3.設。,6是任意實數(shù),求證：1。|一|“4|。+6|.

6

第一章不等關系與基本不等式

利用上述定理，可以證明許多含有絕對值的不等式.

例1求證:對任意實數(shù)a,6,息有|a—6|《有一c|+|c—

證明記a",c分別對應數(shù)軸上的A,B,C三點，則AB=

\a-b\,AC=\a-c\,CB=\c-b\，根據(jù)“平面上(包括數(shù)軸)的任意

三點所連成的三條線段中,任何兩條線段的長度之和不小于第三條線

段的長度”可知

ABWAC+CB,

即\a--c|+\c-b\.

根據(jù)上面所證明的定理,本題還可以這樣證明

\a-b\=|(a-c)+(c—6)|4|a-c|+|c—b\.

例2若IA—a|〈專，|B—61V專,求證：|(A+B)—(a+6)|Ve.

證明|(A+B)-(a+6)|=|(A-a)+(B-6)|<

一

|Aa|+|B—61V乙乙

例3設aWO,求證:包""'laL|6|.問題與思考

\a\

試討論例3中等

證明分兩種情況：

號成立的條件.

(l)|a|&|6|,結(jié)論顯然成立.

⑵當㈤時

因為Id一"|)|八|一⑻

=\a\2—\b\2

=(|a|+|6|)(|a|—|6|)

>|a|(|a|—|5|),

所以'“團'121。|一仍1.

練習

1.求證：|a+6+c|&|a|+|6|+|c|.

2.已知|川〈］，|y|■，求證：［22一3y|Va.

3.已知IR—AIR-B|V-1■，求證：|(工一》)一(A—B)|VG

7

選修4-5不等式選講

2.2絕對值不等式的解法

例4解不等式1了一3|&2.

解法一原不等式可化為-24了一3<2.

即產(chǎn)7E2,①

［1一342.②

=1解不等式①，可得解集{川］解不等式②，可得解集

5*HIW5},如圖1-2所示.

圖1-2所以，原不等式的解集是(川14y5}.

2、一生、解法二這個不等式解的幾何意義是:在數(shù)軸上,到實數(shù)3對應

-----r的點的距離小于或等于2的點，如圖1-3所示.也可以說，這些點都

力,,在以實數(shù)3對應的點為圓心,2為半徑的圓內(nèi)或圓上.

所以，這個不等式的解為3-2&咨3+2,即1《工45,

從而，原不等式的解集是{川14工45〉.

例5解不等式|3—2川45.

解原不等式可化為一5&3-2z&5,

即］3—24一5,①

(3—2145.②

?。海?，，|一解不等式①,可以得到解集{工|工&4},解不等式②，可以得到解

-101234x集任|工》一1},如圖1-4所示.

圖1-4所以，原不等式的解集是{8一1&K4}.

從以上的例子可以看到:解含有絕對值的不等式，關鍵在于利用

絕對值的意義設法去掉絕對值符號，把它轉(zhuǎn)化為一個或幾個普通不

等式或不等式組.掌握了這一點，就不難解其他一些較復雜的含有絕

對值的不等式.

例6解不等式Iz+l|+|z—2|25.

解這個不等式解的幾何意義是:數(shù)軸上到一1對應的點的距離

與到2對應的點的距離之和不小于5的點.

-2-1023x

圖1-5

因為一1與2對應的點之間的距離是3,3V5,從圖1-5可見,

一2對應的點到一1與2對應的點的距離之和等于5,3對應的點到

最小一1與2對應的點的距離之和也等于5.-2左側(cè)的點以及3右側(cè)

8

第一章不等關系與基本不等式

的點到一1與2對應的點的距離之和都大于5.

所以不等式的解集是{用工《一2或/>3}.

2學思考交S3

你能否根據(jù)絕對值的意義解例6.

解下列不等式：

(1)4|3x-l|-K0s(2)2|2x-l|>l；

(3)|N—11+|工一3|&4；(4)|力+10|一|z—2]>8.

習題1—2

A組

1.求證：

(1)|a+6|+I。一6|22|a|；(2)|a+6|一|a—6|<2|6|.

2.⑴已知|N-A|O,求證：|K|V|A|十廠；

(2)已知|N—A|Vc,|y-A|Vc,求證：|N-y|V2c.

3.已知|z-VI,求證：|(x2—x)—(a2—a)|<2(|a|+1).

4-證明不等式:用需i4肖留印

5.解下列不等式：

(1)|2—3?r|v,；(2)14x4-31—1140；

(3)|2N+5|>7；(4)2|3N—11—5>0；

(5)|x—11+1x+21^4.

B組

1.解不等式E+19I—I工一98I4100.

2-求使不等式|制一31<壺成立的最小正整數(shù)〃.

3.解不等式12z+l|+13]一21>5.

9

選修4—5不等式選講

§3平均值不等式

圖1-6是2002年北京國際數(shù)學家大會的會徽圖，它由4個全等

的直角三角形拼接而成.

2

令AF=a,BF=6,則AB,ua'+fe,而S正方形ABCD＞4S^ABF,

即々2+加＞4a?6,所以1+從）2a6.

當AF—BF時,正方形EFGH縮為一■點,S正方形ABCD=4S/VIBF.

圖1-6

于是,我們得到如下結(jié)論：

定理1對任意實數(shù)a,仇有。2十〃》2a6,（此式當且僅當a=b

時取“=”號）.

這個定理我們也可以通過不等式（。-6）2）0得到.

由定理1還可以推得：

定理2對任意兩個正數(shù)。,6,有空＞右次此式當且僅當°=6

時取“=”號）.

證明由定理1有（石￥+（布）2＞西?"，

所以茄，

即乙

顯然,此式當且僅當a=b時取"=”號.

我們稱咿為正數(shù)a與6的算術平均值，為正數(shù)a與6的幾

乙

何平均值.因此，定理2又可敘述為:兩個正數(shù)的算術平均值不小于它

們的幾何平均值.

交流

試根據(jù)圖1-7給出定理1的幾何解釋.

AOCB

圖1-7例1設a,6,c為任意實數(shù),求證:a2+g2+c2＞a6+6c+ca,此式

當且僅當a=6=c時取“=”號.

10

第一章不等關系與基本不等式

證明由定理1可知,公+〃)2a6,

〃+~>2反，

c2+a2^2ca.

以上三式當且僅當a=b=c時同時取“=”號.將這三個同向不等

式的兩邊分別相加，得

2(a2+62+cz)^2(a6-H6cH-ca),

所以a2H-62+c2^a6+6c4-ca.

此式當且僅當a=b=c時取"=”號.

定理3對任意三個正數(shù)a,6,c,有。3+63+?3>3"。(此式當且

僅當a=6=c時取"=”號).問題與思考

證明因為對任意兩個正數(shù)。,仇如果那么a2>〃；如果你可以用其他方

aVd那么。2<乩這說明(a—6)與(公一〃)同號,所以有法證明這個定理嗎？

(a—6)(a2—62)^0,

即a3+63-(ad2+6a2)^0,

所以a^b^al7+ba2,

同理63+c3^6c2+c62,

c3+/+ac2.

將這三個同向不等式的兩邊分別相加，可得

2(a3+63+c3)>a(62+/)+6(c2+a2)+c(a2+〃)

,26c+6,2ca+c,2ab

=6abc,

所以a3+63+c3^3a6c.

顯然,此式當且僅當a=b=c時取"=”號.

定理4對任意三個正數(shù)a,6,c,有里號(此式當且僅

當a=6=c時取"=”號).

證明由定理2可得(如>+(泅P+(石)323數(shù)?力?耨，

從而a+6+c23%6c,

即吐

O

顯然,此式當且僅當a=b=c時取"=”號.

類似于定理2,我們可以將定理4敘述為：三個正數(shù)的算術平均

值不小于它們的幾何平均值.

11

選修4一5不等式選講

當a,6,c不全為正數(shù)時,不等式吟土/反是否一定成立?

O

例2已知a,6,c都是正數(shù),求證：

(a+6+c)(a6+6c+ca)>9a6c.

證明因為區(qū).十。雙,

0

所以a+6+c)3y/abc.

同理a6+6c+ca>3Jab、be?ca,

即a6+6c+ca>3

將這兩個不等式的兩邊分別相乘,即可得

(a+6+c)(a6+6c+ca)》9a加.

一般地?對n個正數(shù)小，做，…，6(〃>2),我們把數(shù)值

分別稱為這〃個正數(shù)的算術平均值與幾

何平均值，且有

。1+。2+???+?！?、y------------

----------------------------------1a2???%.

此式當且僅當m=念=一=冊時取“=”號，即〃個正數(shù)的算術平

均值不小于它們的幾何平均值.

1.已知z,y都是正數(shù)，求證:2?+二)2.

工y

2.已知z>0,求證：7—z—■—&1.

x

3.已知a,b,c都是正數(shù)，且。慶=1,求證：/+63+/>3.

例3(1)已知z>2,求函數(shù)的最小值；

JCLt

(2)已知都是正數(shù)且zy=3,求2z+y的最小值.

解(1)因為z>2,所以z—2>0,

y=JH—J=(z-2)-1—%+2

X—LX-2

12

>2J（z-2）?￡+2=4.

當且僅當工一2=三即z=3時取“=”號.

JC乙

因此z=3時，函數(shù)》=Z+▲取得最小值4.

（2）因為都是正數(shù)，且zy=3,

所以2z+y>2〃K=2而.

當且僅當2z=y即2/=3,Z=4時取“=”號.

因此，當丁=夠,尸歷時&+?的值最小，最小值是2痣.

乙

例4已知0VzV4.5,當n取什么值時,興（9一2幻的值最大?

最大值是多少？

解由題可知/（912］）=1?z?（9—2z）.

因為0VzV4.5,所以h和（9-2工）都是正數(shù)，由定理2可知

工+十9-21）*….（9_2工）,

0

即斐2（9—21）43,

所以〃（9-2z）&27.

此式當且僅當z=9—2z（即工=3）時取“=”號.

因此，當工=3時,/（9一2"的值最大，最大值是27.

例5一農(nóng)戶計劃圍造養(yǎng)鴨場,采用了以下兩種圍造方案：

（1）該農(nóng)戶用長為100m的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)鴨場，問:怎樣

圍法才能使養(yǎng)鴨場的面積最大？最大面積是多少？

（2）若該農(nóng)戶利用一面院墻圍出6間面積均為100rrf的養(yǎng)鴨場（如

圖卜8所示），怎樣圍才能使所用籬笆料的長度最短（精確到0.1m）.

解（1）設圍成的矩形養(yǎng)鴨場的長和寬分別為zm和ym,其面

圖1-8

積為SnA那么z+y=100+2=50,S=Hy因為

即后425,所以S4625.

此式當且僅當z=y時取"=”號，因此，當養(yǎng)鴨場圍成正方形時，

其面積最大，最大面積是625nA

（2）設每間養(yǎng)鴨場的長和寬分別為zm和ym,則

S=6H3=600（m2）.

13

選修4一5不等式選講

設L為所用籬笆料的總長度，則

L=6z+8y.

為此,L=6z+8y>24^=2建=806(m2).

當且僅當6H=8y，且xy=100時“=”成立.

即x=y/3^11.5(m)，3/=5/3弋8.7(m)時，有L的最小值

8073^138.6(m).

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■I

1.已知z>0,當/取什么值時，4zH~~^的值最??？最小值是多少？

x

2.已知0<zV2,當z取什么值時，函數(shù)義工)=/工(3—工)的值最大?放大值是多少？

3.已知夕為銳角，。取什么值時，tan8+cot6的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

4.已知z>0,當n取什么值時，22+為的值最??？最小值是多少？

習題1—3

14

第一章不等關系與基本不等式

10.將邊長為a的正方形白鐵片，在它的四角各剪去一個小正方形（剪去的四

個小正方形全等）.然后彎折成一只無蓋的盒子.問：剪去的小正方形邊長

為多少時，制成的盒子容積最大？

（第10題）

B組

1.設都是正數(shù)，且_r_yz=l,求證：

（1+土+y）（l+y+z）（l+z+z）>27.

2.a,b都是正數(shù)，求證：（a+6）（a2+b2）（a3+63?8a363.

3.已知工>y>0,且zy=1,求手芋的最小值及相應的工,y的值.

4.已知a>0且a#l,函數(shù)/殳）=1。&（z+1）在區(qū)間（-1,+8）上遞減，求證:對于任意實數(shù)

11>0,12>0,恒有

十"（與一D+人工2—D4/（紅垮二2）.

15

選修4一5不等式選講

§4不等式的證明

不等式的性質(zhì)和基本不等式是證明不等式的理論依據(jù).但是由

于不等式的形式多樣，因此不等式的證明方法也很多.下面舉例說明

幾種常用的證明方法.

比較法

我們已經(jīng)知道。>決=>。-6>0,。<伙=>。一。<0.因此要證明a>

6,只要證明a-b>0即可.這種方法稱為求差比較法.

例1求證：212+3>].

證明因為（2/+3）—z=2^—z+3=2（%—

所以2/+3>1.

由例1可見用求差比較法證明不等式的步驟是:作差，變形，判

斷符號，下結(jié)論.

例2已知a>0,6>0,求證:a"+64>a36+a63.

證明（々4+。4）—（々36+a。3）=（〃4—^36）+（64—。吩）

=/（。-6）—63（a—6）

=（足一〃）（Q-6）

=（a-6）2（a2+a6+〃）,

因為a>0,6>0,故a2+a6+62>0.

又（。-6）2>0,所以（〃-6）2（/+/+62）30,

即/+64>a36+a護，當且僅當a=6時取“=”.

由于〃>6>0=+>1且a>0,6>0,因此當a>0,6>0時要證明

b

a>6,只要證明/>1即可,這種方法稱為求商比較法.

例3已知:a>6>c>0,求證:廢6好>（a6c）呼1.

證明因為卓』?中盧晨中

（abc）3

=。寧+寧6寧+寧c寧+寧

16

第一章不等關系與基本不等式

且a>6>0,所以。-6>0,佯>1,故修）3>1.

b\b/

同理可證一>1.

所以傳）-（3）-伶）->L從而相。展Xa^c）*".

求差比較法與求商比較法統(tǒng)稱為比較法.

分析法

例4求證：0■+病〈漏.

證明因為療+用和RG都是正數(shù)，

要證明"+疝V276,

只需證明（4+"）2V（g）2成立，

即只需證明12+2735<24,

即只需證明2局V12,

即只需證明，需V6,

即只需證明35<36,

因為35<36顯然成立，所以4+"vR6成立.

例5已知|a|Vl,161Vl，求證：|空4〈I.

|1十QO|

證明要證明:骷乳VI,

只需證明|a+6|<|l+a6|,

只需證明（a+6）2?l+a6）2,

即只需證明a2+2a6+62<l+2a6+a262,

即只需證明a2+62<l+a262,

即只需證明1+a262~a2一/》。，

即只需證明(a2-l)(62-l)>0,

因為|a|Vl,161Vl，故/〈1,加〈1.

所以（a?—1）（加一1）>0成立.

從而岑<1成立.

在例4的證明過程中，從所要證明的結(jié)論入手向已知條件反推

直至達到已知條件為止，這種證法稱為分析法.即“執(zhí)果索因”的證明

17

選修4—5不等式選講

方法.它也是證明不等式的一種重要的基本方法.

1.用比較法證明(X—l)(x—3X(x-2)2.

2,當a>6>0時，用比較法證明優(yōu)〃>(")中.

3.用分析法證明2々+舟

4.已知a>0,b>0且a>6,用分析法證明石一后

綜合法

例6已知a>6,且,求證:_r>a+b.

證明因為az+b2>6z+a2,

由不等式的性質(zhì)3可得

ax-6z>q2—b2,

(a-6)xXa_6)(a+6).

依題設條件。>仇所以6>0,不等式①的兩邊同乘正數(shù)當,

即可得到x>a+b.

在例6的證明過程中，從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)(或

已知證明過的不等式)，推出了所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)す钡姆?/p>

法.這種證明不等式的方法稱為綜合法.它是證明不等式的又一重要

的基本方法.

例7已知a,h,c是不全相等的正數(shù),求證：

a(d2+c2)+6(/+a2)+c(a2+〃)>6a6c.

證明因為a,6,c都是正數(shù)，

所以〃+C2>26C,

所以a(62+c2?2a&c,

同理6(/+a2))2abe,

c(a2+62)^2a6c.

又因為a,6,c不全相等，故

a(62+c2)+6(c2+a2)+c(a24-62)>6a6(?.

放縮法

例8已知〃GN+，求證：2，篦+1—2/V..

18

第一章不等關系與基本不等式

證明因為2X/^+T-2^=_￡,

vn+1+v^

<-1-

^n~\~4n

1

F

從例8的證明中可以看到，有時可以通過縮小(或放大)分式的

分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，

這種證明不等式的方法稱為放縮法.

例9若為自然數(shù))，且一仇求

R

證:Y售1.

證明由已知得b<Za—cr=—[a--^+：.

令/(z)=一(工一+1，則/(外在(0,寺內(nèi)為增函數(shù).

又OVaV：號，所以/(a)</(1).

=6-10?-1_1

一丁訐T

1.已知a>0,6>0,求證：(a+6)(看+卷)》4.

2.已知〃>0,求證：3"+烏>3兩

n

3.已知a>2,用放縮法證明不等式：10gtt(a—1)?k>&(a+l)Vl.

4.用放縮法證明J+/+J+…H7<2(T?EN+).

1Z3n

例10已知a>0,6>0,求證:名鏟

證明如圖1-9所示，在正方形ABCD中有兩個邊長各為a,6

19

選修4一5不等式選講

的矩形AHOF和矩形ECGO,顯然有AC&AO+OC.即

屁，(a+6)2&」3+-+-/a2+62,

-j2{aJrb')^2^a1-Vb1,

&(a+b)

2~~

故得產(chǎn)件，當且僅當。=6時"=”成立.

圖1-9通過構(gòu)造幾何圖形,利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的方法

稱為幾何法.

例11已知OVaV^,利用幾何法證明不等式sinaVaVtana.

證明如圖1-10所示，單位圓。O中NAOB=