高考數(shù)一輪復(fù)習(xí) 8.5 橢　圓限時(shí)集訓(xùn) 理

限時(shí)集訓(xùn)(五十)橢圓(限時(shí)：50分鐘滿(mǎn)分：106分)一、選擇題(本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分)1．(·上海高考)對(duì)于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的 ()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，一直線過(guò)F1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則△ABF2的周長(zhǎng)為()A．32 B．16C．8 D．43．已知橢圓：eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m等于()A．4 B．8C．4或8 D．以上均不對(duì)4．(·臺(tái)州模擬)已知橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，它的一個(gè)頂點(diǎn)為M(0,1)，離心率e＝eq\f(\r(6),3)，則橢圓的方程為()A.eq\f(x3,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D.eq\f(x2,3)＋y2＝15．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的短軸的長(zhǎng)為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(6)C．4eq\r(2) D．4eq\r(3)6．已知P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的一點(diǎn)，M、N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5 B．7C．13 D．157．以橢圓上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)所連接的線段為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．相交C．相離 D．無(wú)法確定 8．(·新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)F1、F2是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝eq\f(3a,2)上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分)9．(·溫州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過(guò)F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_(kāi)_______．10．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與曲線x2＋y2＝a2－b2恒有公共點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是________．11．一個(gè)正方形內(nèi)接于橢圓，并有兩邊垂直于橢圓長(zhǎng)軸且分別經(jīng)過(guò)它的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．12．(·江西高考)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)_______．13．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若F1A→＝5F2B→，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是eq\a\vs4\al().14．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2).過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．若＝3，則k＝________.三、解答題(本大題共3個(gè)小題，每小題14分，共42分)15．已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為eq\f(4\r(5),3)和eq\f(2\r(5),3)，過(guò)P點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程．16．已知橢圓G：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，右焦點(diǎn)為(2eq\r(2)，0)．斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(－3,2)．(1)求橢圓G的方程；(2)求△PAB的面積．17．(·重慶高考)如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)B1作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．答案[限時(shí)集訓(xùn)(五十)]1．B2.B3.C4.D5.D6.B7.A8．C9．解析：根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵e＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，根據(jù)△ABF2的周長(zhǎng)為16得4a＝16，因此a＝4，b＝2eq\r(2)，所以橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝110．解析：由題意知，以半焦距c為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2所以eq\f(\r(2),2)≤eq\f(c,a).又eq\f(c,a)<1，所以eq\f(\r(2),2)≤e<1.答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))11．解析：設(shè)橢圓的焦距為2c則2a＝(eq\r(5)＋1)c，∴e＝eq\f(2,\r(5)＋1)＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)12．解析：依題意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).答案：eq\f(\r(5),5)13．解析：根據(jù)題意設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(c，d)．F1、F2分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，可得＝(m＋eq\r(2)，n)，＝(c－eq\r(2)，d)．∵＝5，∴c＝eq\f(m＋6\r(2),5)，d＝eq\f(n,5).∵點(diǎn)A，B都在橢圓上，∴eq\f(m2,3)＋n2＝1，eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋6\r(2),5)))2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,5)))2＝1．解得m＝0，n＝±1，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，±1)．答案：(0，±1)14．解析：根據(jù)已知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，可得a2＝eq\f(4,3)c2，則b2＝eq\f(1,3)c2，故橢圓方程為eq\f(3x2,4c2)＋eq\f(3y2,c2)＝1，即3x2＋12y2－4c2＝0.設(shè)直線的方程為x＝my＋c，代入橢圓方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則根據(jù)＝3，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根據(jù)韋達(dá)定理y1＋y2＝－eq\f(2cm,m2＋4)，y1y2＝－eq\f(c2,3m2＋4)，把－y1＝3y2代入得，y2＝eq\f(cm,m2＋4)，－3yeq\o\al(2,2)＝－eq\f(c2,3m2＋4)，故9m2＝m2＋4，故m2＝eq\f(1,2)，從而k2＝2，k＝±eq\r(2).又k>0，故k＝eq\r(2).答案：eq\r(2)15．解：設(shè)兩焦點(diǎn)為F1、F2，且|PF1|＝eq\f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq\f(2\r(5),3).由橢圓定義知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，即a＝eq\r(5).由|PF1|>|PF2|知，|PF2|垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱(chēng)軸，所以在Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(1,2).可求出∠PF1F2＝eq\f(π,6)，2c＝|PF1|·coseq\f(π,6)＝eq\f(2\r(5),\r(3))，從而b2＝a2－c2＝eq\f(10,3).所以所求橢圓方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(3y2,10)＝1或eq\f(3x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1.16．解：(1)由已知得c＝2eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).解得a＝2eq\r(3)，又b2＝a2－c2＝4.所以橢圓G的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1))得4x2＋6mx＋3m2設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中點(diǎn)為E(x0，y0)，則x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(3m,4)，y0＝x0＋m＝eq\f(m,4).因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝eq\f(2－\f(m,4),－3＋\f(3m,4))＝－1.解得m＝2.此時(shí)方程①為4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3eq\r(2).此時(shí)，點(diǎn)P(－3,2)到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝eq\f(|－3－2＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以△PAB的面積S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,2).17．解：(1)如圖，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2為直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝eq\f(c,2).結(jié)合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,5)eq\r(5).在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝eq\f(1,2)·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝eq\f(c,2)·b＝b2.由題設(shè)條件S△AB1B2＝4，得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為x＝my－2.代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1＋y2＝eq\f(4