專題25 新定義綜合（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義含解析）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項匯編（全國用）

專題25新定義綜合（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義）考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1數(shù)列新定義（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全國新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江蘇卷2019·江蘇卷、2018·江蘇卷、2017·北京卷2017·江蘇卷、2016·江蘇卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)體系下，新定義類試題更綜合性的考查學(xué)生的思維能力和推理能力;以問題為抓手，創(chuàng)新設(shè)問方式，搭建思維平臺，引導(dǎo)考生思考，在思維過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法。題目更加注重綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，本題分值最高，試題容量明顯增大，對學(xué)科核心素養(yǎng)的考查也更深入。壓軸題命題打破了試題題型、命題方式、試卷結(jié)構(gòu)的固有模式，增強(qiáng)試題的靈活性，采取多樣的形式多角度的提問，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，新定義題型的特點是;通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移達(dá)到靈活解題的目的;遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義照章辦事”逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決，難度較難，需重點特訓(xùn)。考點2函數(shù)新定義（10年4考）2024·上海、2020·江蘇、2018·江蘇2015·湖北、2015·福建考點3集合新定義（10年3考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山東卷、2015·浙江卷考點4其他新定義（10年2考）2020·北京卷、2016·四川卷考點01數(shù)列新定義小題1．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．2．（2020·全國新Ⅱ卷·高考真題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．大題1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．2．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．3．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．4．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．5．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．6．（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.7．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，8．（2019·江蘇·高考真題）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．①求數(shù)列{bn}的通項公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時，都有成立，求m的最大值．9．（2018·江蘇·高考真題）設(shè)，對1，2，···，n的一個排列，如果當(dāng)s<t時，有，則稱是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示)．10．（2017·北京·高考真題）設(shè)和是兩個等差數(shù)列，記，其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．11．（2017·江蘇·高考真題）對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；（2）若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.12．（2016·江蘇·高考真題）記.對數(shù)列和的子集，若，定義；若，定義.例如：時，.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；（3）設(shè)，求證：.13．（2016·北京·高考真題）設(shè)數(shù)列A：，,…().如果對小于()的每個正整數(shù)都有＜，則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合.（1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則；（3）證明：若數(shù)列A滿足-≤1（n=2,3,…,N）,則的元素個數(shù)不小于-.14．（2016·上?！じ呖颊骖}）若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).（1）若具有性質(zhì)，且，，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知.求證：“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.15．（2016·上?！じ呖颊骖}）對于無窮數(shù)列{}與{}，記A={|=，}，B={|=，}，若同時滿足條件：①{}，{}均單調(diào)遞增；②且，則稱{}與{}是無窮互補數(shù)列．（1）若=，=，判斷{}與{}是否為無窮互補數(shù)列，并說明理由；（2）若=且{}與{}是無窮互補數(shù)列，求數(shù)列{}的前16項的和；（3）若{}與{}是無窮互補數(shù)列，{}為等差數(shù)列且=36，求{}與{}得通項公式．16．（2015·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值．考點02函數(shù)新定義小題1．（2015·湖北·高考真題）已知符號函數(shù)是上的增函數(shù)，，則A． B．C． D．2．（2015·福建·高考真題）一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗方程組：其中運算定義為：．現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定等于．大題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）對于一個函數(shù)和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．(1)對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；(2)對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調(diào)性．2．（2020·江蘇·高考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．3．（2018·江蘇·高考真題）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點”；（2）若函數(shù)與存在“點”，求實數(shù)的值；（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點”，并說明理由．考點03集合新定義小題1．（2020·浙江·高考真題）設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（

）A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素C．若S有3個元素，則S∪T有5個元素D．若S有3個元素，則S∪T有4個元素2．（2015·山東·高考真題）集合，，都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運算：且．假設(shè)集合，，，其中實數(shù)，，，，，滿足：（1），；；（2）；（3）．計算．3．（2015·浙江·高考真題）設(shè)，是有限集，定義，其中表示有限集A中的元素個數(shù)，命題①：對任意有限集，，“”是“”的充分必要條件；命題②：對任意有限集，，，，A．命題①和命題②都成立B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立D．命題①不成立，命題②成立4．（2015·湖北·高考真題）已知集合，，定義集合，則中元素的個數(shù)為A．77 B．49 C．45 D．30大題1．（2018·北京·高考真題）設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對于集合A中的任意元素和，記M（）=．（Ⅰ）當(dāng)n=3時，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）當(dāng)n=4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當(dāng)相同時，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個數(shù)的最大值；（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，M（）=0．寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由．考點04其他新定義1．（2020·北京·高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（

）．A． B．C． D．2．（2016·四川·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點時，定義的“伴隨點”為，當(dāng)P是原點時，定義“伴隨點”為它自身，現(xiàn)有下列命題：①若點A的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點.②單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上．③若兩點關(guān)于x軸對稱，則他們的“伴隨點”關(guān)于y軸對稱④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線．其中的真命題是．專題25新定義綜合（數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義）考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1數(shù)列新定義（10年10考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全國新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江蘇卷2019·江蘇卷、2018·江蘇卷、2017·北京卷2017·江蘇卷、2016·江蘇卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)體系下，新定義類試題更綜合性的考查學(xué)生的思維能力和推理能力;以問題為抓手，創(chuàng)新設(shè)問方式，搭建思維平臺，引導(dǎo)考生思考，在思維過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法。題目更加注重綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性，本題分值最高，試題容量明顯增大，對學(xué)科核心素養(yǎng)的考查也更深入。壓軸題命題打破了試題題型、命題方式、試卷結(jié)構(gòu)的固有模式，增強(qiáng)試題的靈活性，采取多樣的形式多角度的提問，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，新定義題型的特點是;通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移達(dá)到靈活解題的目的;遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義照章辦事”逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決，難度較難，需重點特訓(xùn)?？键c2函數(shù)新定義（10年4考）2024·上海、2020·江蘇、2018·江蘇2015·湖北、2015·福建考點3集合新定義（10年3考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山東卷、2015·浙江卷考點4其他新定義（10年2考）2020·北京卷、2016·四川卷考點01數(shù)列新定義小題1．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.【詳解】對于A選項，，，所以，，A選項正確；對于B選項，取，，，而，則，即，B選項錯誤；對于C選項，，所以，，，所以，，因此，，C選項正確；對于D選項，，故，D選項正確.故選：ACD.2．（2020·全國新Ⅱ卷·高考真題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗即可【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，對于選項A，，不滿足；對于選項B，，不滿足；對于選項D，，不滿足；故選：C【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題.大題1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可；（2）根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗證結(jié)論；（3）證明使得原數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個，再使用概率的定義.【詳解】（1）首先，我們設(shè)數(shù)列的公差為，則.由于一個數(shù)列同時加上一個數(shù)或者乘以一個非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，得到新?shù)列，然后對進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題，第1小問相當(dāng)于從中取出兩個數(shù)和，使得剩下四個數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個數(shù)只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下兩個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對，如果下面兩個命題同時成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：命題1：或；命題2：.我們分兩種情況證明這個結(jié)論.第一種情況：如果，且.此時設(shè)，，.則由可知，即，故.此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下三個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果，且.此時設(shè)，，.則由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下四個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這里對②和③進(jìn)行一下解釋：將③中的每一組作為一個橫排，排成一個包含個行，個列的數(shù)表以后，個列分別是下面這些數(shù)：，，，.可以看出每列都是連續(xù)的若干個整數(shù)，它們再取并以后，將取遍中除開五個集合，，，，中的十個元素以外的所有數(shù).而這十個數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個數(shù).這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.至此，我們證明了：對，如果前述命題1和命題2同時成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.然后我們來考慮這樣的的個數(shù).首先，由于，和各有個元素，故滿足命題1的總共有個；而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.但這導(dǎo)致，矛盾，所以.設(shè)，，，則，即.所以可能的恰好就是，對應(yīng)的分別是，總共個.所以這個滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個.這就得到同時滿足命題1和命題2的的個數(shù)為.當(dāng)我們從中一次任取兩個數(shù)和時，總的選取方式的個數(shù)等于.而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個.所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足.這就證明了結(jié)論.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對新定義數(shù)列的理解，只有理解了定義，方可使用定義驗證或探究結(jié)論.2．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．【答案】(1)(2)不存在符合條件的，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）直接按照的定義寫出即可；（2）解法一：利用反證法，假設(shè)存在符合條件的，由此列出方程組，進(jìn)一步說明方程組無解即可；解法二：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，可知序列共有8項，可知：，檢驗即可；（3）解法一：分充分性和必要性兩方面論證；解法二：若，分類討論相等得個數(shù)，結(jié)合題意證明即可；若存在序列，使得為常數(shù)列，結(jié)合定義分析證明即可.【詳解】（1）因為數(shù)列，由序列可得；由序列可得；由序列可得；所以.（2）解法一：假設(shè)存在符合條件的，可知的第項之和為，第項之和為，則，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，故不存在符合條件的；解法二：由題意可知：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，假設(shè)存在符合條件的，且，因為，即序列共有8項，由題意可知：，檢驗可知：當(dāng)時，上式不成立，即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的.（3）解法一：我們設(shè)序列為，特別規(guī)定.必要性：若存在序列，使得的各項都相等.則，所以.根據(jù)的定義，顯然有，這里，.所以不斷使用該式就得到，必要性得證.充分性：若.由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).我們設(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個.上面已經(jīng)說明，這里，.從而由可得.同時，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，，即.情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.對該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；情況2：若，不妨設(shè).情況2-1：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；情況2-2：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會導(dǎo)致矛盾，所以對任意的都有.假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.則此時對任意，由可知必有.而和都是偶數(shù)，故集合中的四個元素之和為偶數(shù)，對該數(shù)列進(jìn)行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結(jié)果，且相對于序列也是無序的，（?。┤?，不妨設(shè)，則，①當(dāng)，則，分別執(zhí)行個序列、個序列，可得，為常數(shù)列，符合題意；②當(dāng)中有且僅有三個數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個序列、個序列可得，即，因為為偶數(shù)，即為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，則，分別執(zhí)行個序列，，，，可得，為常數(shù)列，符合題意；③若，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，因為，可得，即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；④當(dāng)中有且僅有兩個數(shù)相等，不妨設(shè)，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，且，可得，即轉(zhuǎn)為②，可知符合題意；⑤若，則，即，分別執(zhí)行個、個，可得，且，可得，即轉(zhuǎn)為③，可知符合題意；綜上所述：若，則存在序列，使得為常數(shù)列；（ⅱ）若存在序列，使得為常數(shù)列，因為對任意，均有成立，若為常數(shù)列，則，所以；綜上所述：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵在于對新定義的理解，以及對其本質(zhì)的分析.3．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．【答案】(1)，，，(2)(3)證明見詳解【分析】（1）先求，根據(jù)題意分析求解；（2）根據(jù)題意題意分析可得，利用反證可得，在結(jié)合等差數(shù)列運算求解；（3）討論的大小，根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.【詳解】（1）由題意可知：，當(dāng)時，則，故；當(dāng)時，則，故；當(dāng)時，則故；當(dāng)時，則，故；綜上所述：，，，.（2）由題意可知：，且，因為，且，則對任意恒成立，所以，又因為，則，即，可得，反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則，則，又因為，則，假設(shè)不成立，故，即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.（3）因為均為正整數(shù)，則均為遞增數(shù)列，（ⅰ）若，則可取，滿足使得；（ⅱ）若，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因為，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得；（ⅲ）若，定義，則，構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，則，可得，這與相矛盾，故對任意，均有.①若存在正整數(shù)，使得，即，可取，即滿足，使得；②若不存在正整數(shù)，使得，因為，且，所以必存在，使得，即，可得，可取，滿足，使得.綜上所述：存在使得．4．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見解析．(3)證明見解析．【分析】（1）直接利用定義驗證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；（3）時，根據(jù)和的個數(shù)易得顯然不行，再討論時，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類討論驗證不行即可．【詳解】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；當(dāng)時,數(shù)列，滿足，，，，，，，，．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個負(fù)數(shù)（恰21個），這表明中僅一個負(fù)的，沒有0，且這個負(fù)的在中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨為形式，若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，①或，②這2種情形，對①：，矛盾，對②：，也矛盾，綜上，當(dāng)時，數(shù)列滿足題意，．【點睛】關(guān)鍵點睛，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項（可以是一項）之和能表示從到中間的任意一個值．本題第二問時，通過和值可能個數(shù)否定；第三問先通過和值的可能個數(shù)否定，再驗證時，數(shù)列中的幾項如果符合必然是的一個排序，可驗證這組數(shù)不合題．5．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．【答案】（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；．【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項，然后討論計算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實數(shù)的值.【詳解】(1)因為所以，因為所以所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①，由性質(zhì)③，因此或，或，若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因為或，所以或.若，則，不滿足，舍去.當(dāng)，則前四項為:0，0，0，1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，當(dāng)時：若，則，利用性質(zhì)③：，此時可得：；否則，若，取可得：，而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.同理可得：，有；，有；，又因為，有即當(dāng)時命題成立，證畢.綜上可得：，.(3)令，由性質(zhì)③可知：，由于，因此數(shù)列為數(shù)列.由（2）可知:若；，，因此，此時，，滿足題意.【點睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”，“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.6．（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)：①對于中任意兩項，在中都存在一項，使；②對于中任意項，在中都存在兩項．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見解析.【分析】(Ⅰ)根據(jù)定義驗證，即可判斷；(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗證，即可判斷；(Ⅲ)解法一：首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，然后證明，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列，之后證得成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.【詳解】(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；(Ⅱ)具有性質(zhì)①；具有性質(zhì)②；(Ⅲ)解法一首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項，設(shè)，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿足，存在，滿足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.第二種情況：若，由①知存在實數(shù)，滿足，由的定義可知：，另一方面，，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.其次，證明：利用性質(zhì)②：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列的前項成等比數(shù)列，不妨設(shè)，其中，（的情況類似）由①可得：存在整數(shù)，滿足，且（*）由②得：存在，滿足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入（**）式，從而.總上可得，數(shù)列的通項公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.解法二：假設(shè)數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)②：取，此時，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，然后利用性質(zhì)①：取，則，即數(shù)列中必然存在一項的值為，下面我們來證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而，然后利用性質(zhì)①：取，則數(shù)列中存在一項，下面我們用反證法來證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類似的可知則存在，滿足，即由②可知：，若，則，與假設(shè)矛盾；若，則，與假設(shè)矛盾；若，由于為正整數(shù)，故，則，與矛盾；綜上可知，假設(shè)不成立，則.同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當(dāng)數(shù)列中的項數(shù)均為負(fù)數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項要么恒正要么恒負(fù)，不會同時出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列的綜合運用，等比數(shù)列的證明，數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.7．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，【答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）根據(jù)定義得，再根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡得，最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果；（2）根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，即得；（3）根據(jù)定義得，利用立方差公式化簡得兩個方程，再根據(jù)方程解的個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，解得結(jié)果【詳解】（1）（2），（3）假設(shè)存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對于給定的，存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列，且或有兩個不等的正根.可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則有兩個不等正根，設(shè).①

當(dāng)時，，即，此時，，滿足題意.②

當(dāng)時，，即，此時，，此情況有兩個不等負(fù)根，不滿足題意舍去.綜上，【點睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項求通項、一元二次方程實根分步，考查綜合分析求解能力，屬難題.8．（2019·江蘇·高考真題）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．①求數(shù)列{bn}的通項公式；②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時，都有成立，求m的最大值．【答案】（1）見解析；（2）①bn=n；②5.【分析】（1）由題意分別求得數(shù)列的首項和公比即可證得題中的結(jié)論；（2）①由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，據(jù)此即可確定其通項公式；②由①確定的值，將原問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.（2）①因為，所以．由得，則.由，得，當(dāng)時，由，得，整理得．所以數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n.②由①知，bk=k，.因為數(shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0.因為ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.當(dāng)k=1時，有q≥1；當(dāng)k=2，3，…，m時，有．設(shè)f（x）=，則．令，得x=e.列表如下：xe(e，+∞)+0–f（x）極大值因為，所以．取，當(dāng)k=1，2，3，4，5時，，即，經(jīng)檢驗知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5．【點睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力．9．（2018·江蘇·高考真題）設(shè)，對1，2，···，n的一個排列，如果當(dāng)s<t時，有，則稱是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù)．例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為2．記為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù)．（1）求的值；（2）求的表達(dá)式(用n表示)．【答案】（1）2

5（2）n≥5時，【詳解】分析：（1）先根據(jù)定義利用枚舉法確定含三個元素的集合中逆序數(shù)為2的個數(shù)，再利用枚舉法確定含四個元素的集合中逆序數(shù)為2的個數(shù)；（2）先尋求含n個元素的集合中逆序數(shù)為2與含n+1個元素的集合中逆序數(shù)為2的個數(shù)之間的關(guān)系，再根據(jù)疊加法求得結(jié)果.詳解：解：（1）記為排列abc的逆序數(shù)，對1，2，3的所有排列，有，所以．對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置．因此，．（2）對一般的n（n≥4）的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個：12…n，所以．逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，所以．為計算，當(dāng)1，2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進(jìn)原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置．因此，．當(dāng)n≥5時，，因此，n≥5時，．點睛：探求數(shù)列通項公式的方法有觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.尋求相鄰項之間的遞推關(guān)系，是求數(shù)列通項公式的一個有效的方法.10．（2017·北京·高考真題）設(shè)和是兩個等差數(shù)列，記，其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）若，，求的值，并證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：或者對任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列．【答案】（1）見解析（2）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）分別代入求，觀察規(guī)律，再證明當(dāng)時，，所以關(guān)于單調(diào)遞減.所以，從而得證；（Ⅱ）首先求的通項公式，分三種情況討論證明.試題解析：（Ⅰ），.當(dāng)時，，所以關(guān)于單調(diào)遞減.所以.所以對任意，于是，所以是等差數(shù)列.（Ⅱ）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則.所以①當(dāng)時，取正整數(shù)，則當(dāng)時，，因此.此時，是等差數(shù)列.②當(dāng)時，對任意，此時，是等差數(shù)列.③當(dāng)時，當(dāng)時，有.所以對任意正數(shù)，取正整數(shù)，故當(dāng)時，.【名師點睛】近幾年北京卷理科壓軸題一直為新信息題，本題考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學(xué)生對新的信息的理解和接受能力，本題考查數(shù)列的有關(guān)知識及歸納法證明，即考查了數(shù)列（分段形函數(shù)）求值，又考查了歸納法證明和對數(shù)據(jù)的分析研究，考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力，本題屬于拔高難題，特別是第二問難度較大，適合選拔優(yōu)秀學(xué)生.11．（2017·江蘇·高考真題）對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；（2）若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.【答案】（1）見解析（2）見解析【詳解】試題分析：（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)得，即得，再根據(jù)定義即可判斷；（2）先根據(jù)定義得，，再將條件集中消元：，，即得，最后驗證起始項也滿足即可．試題解析：證明:（1）因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，從而，當(dāng)時，，所以，因此等差數(shù)列是“數(shù)列”.（2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，當(dāng)時，，①當(dāng)時，.②由①知，，③，④將③④代入②，得，其中，所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.在①中，取，則，所以，在①中，取，則，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.點睛:證明為等差數(shù)列的方法：①用定義證明：為常數(shù)）；②用等差中項證明：；③通項法：為關(guān)于的一次函數(shù)；④前項和法：．12．（2016·江蘇·高考真題）記.對數(shù)列和的子集，若，定義；若，定義.例如：時，.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；（3）設(shè)，求證：.【答案】（1）（2）詳見解析（3）詳見解析【詳解】（1）由已知得.于是當(dāng)時，.又，故，即.所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為，，所以.因此，.（3）下面分三種情況證明.①若是的子集，則.②若是的子集，則.③若不是的子集，且不是的子集.令，則，，.于是，，進(jìn)而由，得.設(shè)是中的最大數(shù)，為中的最大數(shù)，則.由（2）知，，于是，所以，即.又，故，從而，故，所以，即.綜合①②③得，.【考點】等比數(shù)列的通項公式、求和【名師點睛】本題有三個難點：一是數(shù)列新定義，利用新定義確定等比數(shù)列的首項，再代入等比數(shù)列通項公式求解；二是利用放縮法求證不等式，放縮的目的是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列的性質(zhì)，以算代征；三是結(jié)論含義的應(yīng)用，實質(zhì)又是一個新定義，只不過是新定義的性質(zhì)應(yīng)用.13．（2016·北京·高考真題）設(shè)數(shù)列A：，,…().如果對小于()的每個正整數(shù)都有＜，則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合.（1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則；（3）證明：若數(shù)列A滿足-≤1（n=2,3,…,N）,則的元素個數(shù)不小于-.【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）關(guān)鍵是理解“G時刻”的定義，根據(jù)定義即可寫出的所有元素；（Ⅱ）要證，即證中含有一元素即可；（Ⅲ）當(dāng)時，結(jié)論成立.只要證明當(dāng)時結(jié)論仍然成立即可.試題解析：（Ⅰ）的元素為和.（Ⅱ）因為存在使得，所以.記，則，且對任意正整數(shù).因此，從而.（Ⅲ）當(dāng)時，結(jié)論成立.以下設(shè).由（Ⅱ）知.設(shè).記.則.對，記.如果，取，則對任何.從而且.又因為是中的最大元素，所以.從而對任意，，特別地，.對.因此.所以.因此的元素個數(shù)p不小于.【考點】數(shù)列、新定義問題.【名師點睛】數(shù)列的實際應(yīng)用題要注意分析題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型，數(shù)列的綜合問題涉及的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如：求和或應(yīng)用)、特殊到一般思想(如：求通項公式)、分類討論思想(如：等比數(shù)列求和，或)等.14．（2016·上?！じ呖颊骖}）若無窮數(shù)列滿足：只要，必有，則稱具有性質(zhì).（1）若具有性質(zhì)，且，，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）設(shè)是無窮數(shù)列，已知.求證：“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.【答案】（1）．（2）不具有性質(zhì)．（3）見解析．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)已知條件，得到，結(jié)合求解即可．（2）根據(jù)的公差為，的公比為，寫出通項公式，從而可得．通過計算，，，，即知不具有性質(zhì)．（3）從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明．試題解析：（1）因為，所以，，．于是，又因為，解得．（2）的公差為，的公比為，所以，．．，但，，，所以不具有性質(zhì)．[證]（3）充分性：當(dāng)為常數(shù)列時，．對任意給定的，只要，則由，必有．充分性得證．必要性：用反證法證明．假設(shè)不是常數(shù)列，則存在，使得，而．下面證明存在滿足的，使得，但．設(shè)，取，使得，則，，故存在使得．取，因為（），所以，依此類推，得．但，即．所以不具有性質(zhì)，矛盾．必要性得證．綜上，“對任意，都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”．【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列、充要條件的證明、反證法【名師點睛】本題對考生的邏輯推理能力要求較高，是一道難題.解答此類題目時，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識及反證法是基礎(chǔ)，靈活應(yīng)用已知條件進(jìn)行推理是關(guān)鍵.本題易錯主要有兩個原因，一是不得法，二是對復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維及推理能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.15．（2016·上海·高考真題）對于無窮數(shù)列{}與{}，記A={|=，}，B={|=，}，若同時滿足條件：①{}，{}均單調(diào)遞增；②且，則稱{}與{}是無窮互補數(shù)列．（1）若=，=，判斷{}與{}是否為無窮互補數(shù)列，并說明理由；（2）若=且{}與{}是無窮互補數(shù)列，求數(shù)列{}的前16項的和；（3）若{}與{}是無窮互補數(shù)列，{}為等差數(shù)列且=36，求{}與{}得通項公式．【答案】（1）與不是無窮互補數(shù)列；（2）；（3），．【詳解】（1）因為，，所以，從而與不是無窮互補數(shù)列．（2）因為，所以．?dāng)?shù)列的前項的和為．（3）設(shè)的公差為，，則．由，得或．若，則，，與“與是無窮互補數(shù)列”矛盾；若，則，，．綜上，，．16．（2015·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合的元素個數(shù)的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（III）8．【分析】（Ⅰ），利用可求得集合的所有元素為6，12，24；（Ⅱ）因為集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由，2，，可歸納證明對任意，是3的倍數(shù)；（Ⅲ）分是3的倍數(shù)與不是3的倍數(shù)討論，即可求得集合的元素個數(shù)的最大值．【詳解】解：（Ⅰ）若，由于，2，，．故集合的所有元素為6，12，24，；（Ⅱ）因為集合存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由，2，，可歸納證明對任意，是3的倍數(shù)．如果，的所有元素都是3的倍數(shù)；如果，因為，或，所以是3的倍數(shù)；于是是3的倍數(shù)；類似可得，，，都是3的倍數(shù)；從而對任意，是3的倍數(shù)；綜上，若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，則集合的所有元素都是3的倍數(shù)（Ⅲ）對，，2，，可歸納證明對任意，，3，因為是正整數(shù)，，所以是2的倍數(shù)．從而當(dāng)時，是2的倍數(shù)．如果是3的倍數(shù)，由（Ⅱ）知，對所有正整數(shù)，是3的倍數(shù)．因此當(dāng)時，，24，，這時的元素個數(shù)不超過5．如果不是3的倍數(shù)，由（Ⅱ）知，對所有正整數(shù)，不是3的倍數(shù)．因此當(dāng)時，，8，16，20，28，，這時的元素個數(shù)不超過8．當(dāng)時，，2，4，8，16，20，28，，有8個元素．綜上可知，集合的元素個數(shù)的最大值為8．考點：1.分段函數(shù)形數(shù)列通項公式求值；2.歸納法證明；3.數(shù)列元素分析.考點02函數(shù)新定義小題1．（2015·湖北·高考真題）已知符號函數(shù)是上的增函數(shù)，，則A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：本題是選擇題，可以用特殊法，符號函數(shù)，是上的增函數(shù)，，不妨令，則，，所以A不正確，B正確，，C不正確，D正確；對于D，令，則，，所以D不正確；故選B．考點：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【思路點睛】符號函數(shù)或者說函數(shù)的新定義問題是高考中一類?？碱}目，此類題目一般難度不是很大，但想做出來也是很復(fù)雜的．所以做此類題目一定要弄清楚新定義函數(shù)的意思，然后根據(jù)函數(shù)的意義及性質(zhì)，逐步進(jìn)行解題．此題中新定義的函數(shù)，是分段函數(shù)的形式，且給了我們另一個函數(shù)以及與的關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)代入即可得到所求答案．2．（2015·福建·高考真題）一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗方程組：其中運算定義為：．現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗方程組可判定等于．【答案】．【詳解】由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運算后為，不同數(shù)字運算后為．由可判斷后個數(shù)字出錯；由可判斷后個數(shù)字沒錯，即出錯的是第個或第個；由可判斷出錯的是第個，綜上，第位發(fā)生碼元錯誤．考點：推理證明和新定義．大題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）對于一個函數(shù)和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．(1)對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；(2)對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調(diào)性．【答案】(1)證明見解析(2)存在，(3)嚴(yán)格單調(diào)遞減【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由題得，利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到，再證明直線與切線垂直即可；（3）根據(jù)題意得到，對兩等式化簡得，再利用“最近點”的定義得到不等式組，即可證明，最后得到函數(shù)單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故對于點，存在點，使得該點是在的“最近點”．（2）由題設(shè)可得，則，因為均為上單調(diào)遞增函數(shù)，則在上為嚴(yán)格增函數(shù)，而，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，此時，而，故在點處的切線方程為.而，故，故直線與在點處的切線垂直．（3）設(shè)，，而，，若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，設(shè)，則既是的最小值點，也是的最小值點，因為兩函數(shù)的定義域均為，則也是兩函數(shù)的極小值點，則存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因為函數(shù)在定義域R上恒正，則恒成立，接下來證明，因為既是的最小值點，也是的最小值點，則，即，③，④③④得即，因為則，解得，則恒成立，因為的任意性，則嚴(yán)格單調(diào)遞減.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是結(jié)合最值點和極小值的定義得到，再利用最值點定義得到即可.2．（2020·江蘇·高考真題）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明詳見解析【分析】（1）方法一：根據(jù)一元二次不等式恒成立問題的解法，即可求得的表達(dá)式；（2）方法一：先由，求得的一個取值范圍，再由，求得的另一個取值范圍，從而求得的取值范圍.（3）方法一：根據(jù)題意可得兩個含參數(shù)的一元二次不等式在區(qū)間上恒成立，再結(jié)合放縮，即可利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）[方法一]:判別式法由可得在R上恒成立，即和，從而有即，所以，因此，．所以．[方法二]【最優(yōu)解】：特值+判別式法由題設(shè)有對任意的恒成立.令，則，所以.因此即對任意的恒成立，所以，因此.故.（2）[方法一]令，.又.若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.當(dāng)時，，符合題意.當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，則，即，符合題意.綜上所述，.由當(dāng)，即時，在為增函數(shù)，因為，故存在，使，不符合題意.當(dāng)，即時，，符合題意.當(dāng)，即時，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：特值輔助法由已知得在內(nèi)恒成立；由已知得，令，得，∴(*)，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時在內(nèi)恒成立；由在內(nèi)恒成立，由(*)知，∴，∴，解得.∴的取值范圍是.（3）[方法一]：判別式+導(dǎo)數(shù)法因為對任意恒成立，①對任意恒成立，等價于對任意恒成立.故對任意恒成立.令，當(dāng)，，此時，當(dāng)，，但對任意的恒成立.等價于對任意的恒成立.的兩根為，則，所以.令，構(gòu)造函數(shù)，，所以時，，遞減，.所以，即.[方法二]：判別式法

由，從而對任意的有恒成立，等價于對任意的①，恒成立．（事實上，直線為函數(shù)的圖像在處的切線）同理對任意的恒成立，即等價于對任意的恒成立．

②當(dāng)時，將①式看作一元二次方程，進(jìn)而有，①式的解為或（不妨設(shè)）；當(dāng)時，，從而或，又，從而成立；當(dāng)時，由①式得或，又，所以．當(dāng)時，將②式看作一元二次方程，進(jìn)而有．由，得，此時②式的解為不妨設(shè)，從而．綜上所述，．[方法三]【最優(yōu)解】：反證法假設(shè)存在，使得滿足條件的m，n有．因為，所以．因為，所以．因為對恒成立，所以有．則有，

③，

④解得．由③+④并化簡得，．因為在區(qū)間上遞增，且，所以，．由對恒成立，即有

⑤對恒成立，將⑤式看作一元二次方程，進(jìn)而有．設(shè)，則，所以在區(qū)間上遞減，所以，即．設(shè)不等式⑤的解集為，則，這與假設(shè)矛盾．從而．由均為偶函數(shù)．同樣可證時，也成立．綜上所述，．【整體點評】（1）的方法一利用不等式恒成立的意義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，使用判別式得到不等式組，求解得到；方法二先利用特值求得的值，然后使用判別式進(jìn)一步求解，簡化了運算，是最優(yōu)解；（2）中的方法一利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，使用分類討論思想分別求得的取值范圍，然后取交集；方法二先利用特殊值進(jìn)行判定得到，然后在此基礎(chǔ)上，利用導(dǎo)數(shù)驗證不等式的一側(cè)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得不等式的另一側(cè)也成立的條件，進(jìn)而得到結(jié)論，是最優(yōu)解；（3）的方法一、方法二中的分解因式難度較大，方法三使用反證法，推出矛盾，思路清晰，運算簡潔，是最優(yōu)解.3．（2018·江蘇·高考真題）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“點”；（2）若函數(shù)與存在“點”，求實數(shù)的值；（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點”，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點”．【詳解】分析：（1）根據(jù)題中“S點”的定義列兩個方程，根據(jù)方程組無解證得結(jié)論；（2）同（1）根據(jù)“S點”的定義列兩個方程，解方程組可得a的值；（3）通過構(gòu)造函數(shù)以及結(jié)合“S點”的定義列兩個方程，再判斷方程組是否有解即可證得結(jié)論.詳解：解：（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，此方程組無解，因此，f（x）與g（x）不存在“S”點．（2）函數(shù)，，則．設(shè)x0為f（x）與g（x）的“S”點，由f（x0）與g（x0）且f′（x0）與g′（x0），得，即，（*）得，即，則．當(dāng)時，滿足方程組（*），即為f（x）與g（x）的“S”點．因此，a的值為．（3）對任意a>0，設(shè)．因為，且h（x）的圖象是不間斷的，所以存在∈（0，1），使得，令，則b>0．函數(shù)，則．由f（x）與g（x）且f′（x）與g′（x），得，即（**）此時，滿足方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個“S點”．因此，對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點”．點睛：涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.考點03集合新定義小題1．（2020·浙江·高考真題）設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，