高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料03 數(shù)列教學(xué)案

【2013考綱解讀】

1.理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,

并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答

簡單的問題。

3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決

簡單的問題.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】

概念、，，””的關(guān)系|一|簡單.的遞推數(shù)列

.S數(shù)

等差數(shù)列~|一|通項(xiàng)、附〃項(xiàng)的和|一列

數(shù)的

列應(yīng)

等比數(shù)列|一|通項(xiàng)、前〃項(xiàng)的和I-用

數(shù)列求和一|裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法-

【重點(diǎn)知識(shí)整合】

一、等差數(shù)列與等比數(shù)列

1.S與&的關(guān)系

、，fs,刀=1，

在數(shù)列｛a｝中，S="+z2H---\~an,從而a

[S>5n—1JnN2.

2.等差數(shù)列性質(zhì)

如果數(shù)列｛aj是公差為d的等差數(shù)列，則

小\,r\,「!nn~n石i+2

z=r

(1)劣=包+(77-1)d,Sn2d=?

(2)對正整數(shù)力，n,p,q,劣+為=&+<3*^/+〃=0+q,劣+a=2&0%+z?=2p

3.等比數(shù)列性質(zhì)

如果數(shù)列｛aj是公比為q的等比數(shù)列，則

ai—qai—a?q

⑴a尸&尸，—ai—q

nn\,q=1.

(2)對正整數(shù)〃，n,p,q,a”a〃=@0為仁>勿+〃=77+<7，n=2p.

4.等差、等比數(shù)列S的性質(zhì)

若等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S,則S,即一￡,見一甌，…為等差數(shù)列；等比數(shù)列的前〃

項(xiàng)和為S,則在公比不等于一1時(shí)，￡,Sm,&四，…成等比數(shù)列.

5.等差、等比數(shù)列單調(diào)性

等差數(shù)列的單調(diào)性由公差d的范圍確定，等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)和公比的范圍確定.

二、數(shù)列求和及數(shù)列應(yīng)用

1.常用公式

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和，

1+2+3H——Fn=n—,

n±

13+23+-+/73=

2.常用裂項(xiàng)方法

1_1__1__

‘加+1n??+r

1JI__M

J'm+g?+<1s

，71_]/11、

1-2vt—1??+L15

31J11、

（）4二一112M+1/

七〃+1/"二L1_1_____l__gg

（??n?-1-2~nn-1-12,-1-'

3.數(shù)學(xué)求和的基本方法

公式法、分組法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法.

4.數(shù)列的應(yīng)用

等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、遞推數(shù)列模型.

【高頻考點(diǎn)突破】

考點(diǎn)一等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本運(yùn)算

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)公式4=8+(77-1)d4=打尸（o#0）

na\+an

L2小—I&\—da「anq

S⑴小，s—-…

前〃項(xiàng)和

nn-

—77al卜2d(2)q=l,Sn=nai

例1、設(shè)等比數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S.已知a2=6,6ai+a3=30,求a〃和S?.

解：設(shè)｛a｝的公比為°,

aq=6,

由題設(shè)得

6ai+ai(7=30.

31=3,0=2,

解得

0=2,q=3.

當(dāng)a=3時(shí)，q=2時(shí)，E〃=3X2"T,S=3X(2〃-1)；

當(dāng)a=2,0=3時(shí)，&=2X3"—，S=3"—l.

【變式探究】S為等差數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和，￡=&,&=1,則氏=.

解析：根據(jù)已知條件，得生+a+2+主=0，而由等差數(shù)列性質(zhì)得，6+禽=&+&5,

所以，01+包=0，又條=1，所以心=-1.

答案：-1.

考點(diǎn)二等差、等比數(shù)列的判定和證明

數(shù)列｛a｝是等差或等比數(shù)列的證明方法：

(1)證明數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列的兩種基本方法：

①利用定義，證明am—a.(〃eN*)為常數(shù)；

②利用中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2a0=a0T+a〃+i(〃22).

(2)證明｛aj是等比數(shù)列的兩種基本方法：

①利用定義，證明d("CN*)為一常數(shù)；

3，n

②利用等比中項(xiàng)，即證明雙=4—1a+1(〃三2).

2n4

例2、已知數(shù)列｛a｝和｛4｝滿足國=出4+1=42+〃，b=a——+-

nnoy

(1)當(dāng)/=1時(shí)，求證：對于任意的實(shí)數(shù)A,數(shù)列｛a.｝一定不是等差數(shù)列；

(2)當(dāng)兒=一3時(shí)，試判斷數(shù)列｛4｝是否為等比數(shù)列.

2

解：⑴證明：當(dāng)哂=1時(shí)，6=1,O2=Z+La3=z(z+l)+2=x+x+2.

假設(shè)數(shù)列｛4)是等差數(shù)列，

由6+心=2位，得上二+上+3=2(1+1),

即上—1+1=0,/=-3?,.,?方程無實(shí)根.

故時(shí)于任意的實(shí)數(shù)3數(shù)列｛4｝一定不是等差數(shù)列.

e1,112〃|4

當(dāng)力=一片時(shí)，a+\=~~^n+n,b=a——-r~.

zznonyn

n+4

bn+\=

39

...當(dāng)”蘆7，數(shù)列出｝是以加一7薛首項(xiàng)，一㈱1公比的等比數(shù)列;

當(dāng)瞋=視1,數(shù)列｛既｝不是等比數(shù)列.

考點(diǎn)三等差、等比數(shù)列的性質(zhì)

等差數(shù)列等比數(shù)列

*

(1)若〃、〃、p、,且*

(1)若勿、〃、p、q￡N,且/+〃=0+0,

m+n=p+q,

貝!Ja?a=a?a

性貝mnpqn

mnpqn-m

質(zhì)(2)a=aq

(2)a=a+(〃一勿)dnm

nm

(3)5,5-5,S—S,…仍成等比數(shù)列(SWO)

mmn

(3)S,S—S,S—S,…仍成等差數(shù)列

mm

例3、等差數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為a”公差為d,前〃項(xiàng)和為S,則“小|aj”是“S的最小

值為S,且S無最大值”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：依題意，當(dāng)心6時(shí)，藪列｛久｝是遞噌的數(shù)列，無論S的取值如何，與的最小值

為$，且與無最大值；反過來，當(dāng)S1:的最小值為$，且S：無最大值時(shí)，如當(dāng)G=1，d=Q

時(shí)，此時(shí)工的最小值為$,且S”無最大值,但不滿足心⑷綜上所述，“心上「是黃的最小

值為$,且S：無最大值”的充分不必要條件.

答案：A

考點(diǎn)四數(shù)列求和

數(shù)列求和的方法技巧：

(1)轉(zhuǎn)化法：

有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾

個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.

(2)錯(cuò)位相減法：

這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列4｝

的前〃項(xiàng)和，其中｛a〃｝,｛4｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

(3)裂項(xiàng)相消法：

利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限

項(xiàng)的和.

例4、等比數(shù)列｛aj中，araz,as分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且功,如

a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛4｝滿足：-=a〃+(—1)氣n%,求數(shù)列｛4｝的前2〃項(xiàng)和甌.

解：(D當(dāng)公=3時(shí)，不合題意；

當(dāng)6=2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)8=6,8=1$時(shí)，符合題意；

當(dāng)6=10時(shí)，不合題意.

因此S=2,6=6,必=1$.所以公比g=3,

故4=2?3丁】.

(2)因?yàn)榧?4+(—

=2。3”=+(—l)fl(ln2—ln3)+(—

所以52*=歷+B+…+如

=2(1+3+—1+1—1+...+(—l)2B](ln2—ln3)+[—1+2—3+…+

(-1)2"2M]1H3

=2x+Mln3=3)+?ln3—1.

【變式探究】等比數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2ai+3a2=1,as=93236.

⑴求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)6〃=log3ai+log3a2H---Flogsa。，求數(shù)列｛<｝的前〃項(xiàng)和.

解：(1)設(shè)數(shù)列｛&｝的公比為名

由嗇=9勿戊得嗇=9W，所以

由條件可知0>0,故q=~

O

由2?+36=1,得勿]+36g=1,得

故數(shù)列｛〃"｝的通項(xiàng)公式為4=*.

（2）瓦1=10器4]+1唯公+...+10g3flM

=_（1+2+…+”尸-卓.

4.1_2_J1、

故工一-切+廠一弋―布/?

111II1-'…1、I11、1,11、、一2打

■~-Fz--1一一2[i1-T）+iv7—習(xí)）+…+1------TT/尸JFT-

bib2bnI，2，2y%?i+rn+1

所以敵列擊的前”項(xiàng)和為一由.

考點(diǎn)五數(shù)列與函數(shù)、不等式

例5、設(shè)6>0,數(shù)列｛a｝滿足4=6,a產(chǎn)列.

⑴求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵證明：對于一切正整數(shù)〃,2&^6+1+1.

解：（1）：6=?0,a=

n4-1十〃-1

1,1?-1

令C=~9貝UC=v+TC^-p

nQnuun

①當(dāng)匕=1時(shí)，Q=l+j-i，且Ci=L=J=l

Cl\D

?.?｛G｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

???G=l+(”-1)x1=小于是凸=?=%這時(shí)4=1;

4外

11，，1、廣，11,11

②當(dāng)6W1時(shí),+E=Z(C"T+E)'且C】+E=Z+E=^~-b

｛以十廿力是首項(xiàng)為7~,公比為）的等比數(shù)列，

\—bb—bb

?c+'=—____.（1）〃T由烏+，=_____i____得a=-~一b-

??以十1—6b-bY，出a〃十1—6-b\一

1,b=l

??3.n=\n~b6

l-bn

（2）證明:由⑴得，當(dāng)匕=1時(shí),4=1,24勁門+1=2且成立，

?1一■—H先］）3：1入力月

當(dāng)6=1時(shí),a^~—2j<6;I*1+lco：L^—<^^1+1,

l—bnn1—bn

而1—匕”=（1—6）（1+$+62+…

又方>0,

故只需證：2汕八36廣1+1）（1+6+炭+…+方丁】），保）

而（6"-：+1）（1+6+爐+.-.+/-二+6"-］）=（楞，+爐”-：++/-1）+（尸-：+力力-二+6+］）

=（2+1）+（中-】+6）+…+@丁】+方丁】）之26"+2/+…+2/=2就％

?'?（※:，式成立，原不等式成立.

【難點(diǎn)探究】

難點(diǎn)一等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的性質(zhì)

例1、（1）已知｛2｝為等差數(shù)列，其公差為一2,且切是為與卷的等比中項(xiàng)，S為｛a｝的

前〃項(xiàng)和，〃￡N*,則So的值為（）

A.-110B.-90C.90D.110

⑵設(shè)數(shù)列如是公差不為0的等差數(shù)列,囪=2且箕,氏,如成等比數(shù)列，則數(shù)列｛a｝

的前〃項(xiàng)和Sn=（）

n777n5力

A-T+TB-I+T

2

n3n2?

C.萬+t工-D.n+n

【答案】⑴D（2）A

【解析】（1）由￡=心?念，d——2,得［6—12>=

（6—4）（6—16）,解之得6=20,???$0=10x20+蘭產(chǎn)（一2）=110.

（2）根據(jù)6，包，63成等比數(shù)列求出公差.根據(jù)已知得（2+4?;=2（2+124,解得戶

故其前“項(xiàng)和只能是選項(xiàng)A.注意等差數(shù)列中$=-4樂+珈中，H=<

【點(diǎn)評(píng)】在等差數(shù)列問題中其最基本的量是其首項(xiàng)和公差，在解題時(shí)根據(jù)已知條件求出這

兩個(gè)量，其他的問題也就隨之解決了，這就是解決等差數(shù)列問題的基本方法，其中蘊(yùn)含著方

程思想的運(yùn)用.

難點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和的性質(zhì)

例2(1)已知數(shù)列｛a｝滿足log3a+l=log3a+i(〃WN*)且/+&+a=9,則念+@7

+㈤的值是（）

1

A.-5B.一二

5

1

C.5D.7

5

（2）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝,2H3=5,8H9=10,貝1J31?2.....@9=

【分析】（1）根據(jù)數(shù)列滿足：ogw4+l=：ogw4-】（力且0+&+%=9可以確定數(shù)列｛4｝

是公比等于3的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可通過必+%+恁=9求出名+?

+G的值.（2）根據(jù)等比中項(xiàng)求解.

【答案】（1）A（2）250/

【解析】由log必+1=1崢4-1（代＞0,得4-]=3%,所以數(shù)列｛4｝是公比等于3的

等比數(shù)列，的+?+8=

@+oi+a6）x3W=3S,所以log｝as+a-+ag）=-log：35=-5.

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)知6位包=9徑）,2=丞=5,aqag=（aq）q=咫=10，所以

=50T,所以?…,差=4號(hào)=（值出產(chǎn)=250班.

【點(diǎn)評(píng)】等比數(shù)列中有關(guān)系式2=不一"（如心*）,其中g(shù)為公比，這個(gè)關(guān)系式可以看做推

為

廣的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，聯(lián)a產(chǎn)am（Tlm,〃GN*）,當(dāng)勿=1時(shí)就是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

難點(diǎn)三等差、等比數(shù)列的綜合問題

例3、成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等

比數(shù)列伍｝中的"、"、bs.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列｛M的前n項(xiàng)和為S”求證：數(shù)歹"S+|1是等比數(shù)列.

【分析】（1）由條件可以先求得數(shù)列｛4｝的第三項(xiàng)，進(jìn)而借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

bn,（2）充分結(jié)合等比數(shù)列的定義不難證明.

【解答】（1）設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為a—4a,a+d.

依題意，得a—d+a+a+d=15.解得a=5.

所以伉｝中的如口助依次為7—410,18+4

依題意，有（7—中（18+初=100,解得d=2或d=-13（舍去）.

故｛4｝的第3項(xiàng)為5,公比為2.

5

由k=bi?22,即5=6i?22,解得bi=~.

所以｛4｝是以a為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

其通項(xiàng)公式為bn=--2〃T=5?2“7.

2—2〃

455

(2)證明：由(1)得數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S=———=5?2〃-2-彳，即3+彳=5?25

1—z44

2

所以S+MI，七!=*S=2.

因止匕［s+||是以I為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.

難點(diǎn)四數(shù)列求和及其應(yīng)用

例4、在數(shù)1和100之間插入〃個(gè)實(shí)數(shù)，使得這〃+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n

+2個(gè)數(shù)的乘積記作北，再令為=建北，

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=tana,tana+i,求數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和Sn.

【分析】本題考查等比和等差數(shù)列，時(shí)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算，兩角差的正切公式等基本知識(shí),

考查靈活運(yùn)用基本知識(shí)解決問題的能力，運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新思維能力.

【解答】⑴設(shè)小Z…，小:構(gòu)成等比數(shù)列，其中h=l，4-2=100,則

?…/_]寸月一2，①

=r>j-2,tn-r...,tz,^i9②

①X②并利用CT-=1叭1型91+2),得

Z^=(fi%-2)?(f偏-1)?…乜-心》(k2八)=1。*"F「?4=lg-="+2，位1.

(2)由題意和(1)中計(jì)算結(jié)果，知

^=tan(n+2)-tan(M+3)>?!>b

另一方面，利用tanl=tan[(hhl)-k]=磐,

」l+tanA：+l-tan/r

/日，一八,tanA：+l-taut

得tan(H-l)tan『----廣；------1.

所以S產(chǎn)之產(chǎn)耳an(計(jì)D-tan^vF哼產(chǎn)一；

k]L3<-3Ltani-

tan?i+3-tan3

=”

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí).本題兩問中的方法都是值得注意的，

在第一問中采用的是倒序相乘法，這類似數(shù)列求和中的倒序相加法；第二問采用的裂項(xiàng)相消

法和兩角差的正切公式結(jié)合在一起，這在近年來的高考試題中是不多見的，這與我們平時(shí)見

到的裂項(xiàng)相消法有較大的不同，但基本思想是把不能使用公式直接求和的問題轉(zhuǎn)化為可以逐

項(xiàng)相消的問題，基本思想就是裂項(xiàng).

難點(diǎn)五數(shù)列應(yīng)用題的解法

例5、某個(gè)集團(tuán)公司下屬的甲、乙兩個(gè)企業(yè)在2010年1月的產(chǎn)值都為a萬元，甲企業(yè)

每個(gè)月的產(chǎn)值比前一個(gè)月的產(chǎn)值增加的數(shù)值相等，乙企業(yè)每個(gè)月的產(chǎn)值比前一個(gè)月的產(chǎn)值增

加的百分?jǐn)?shù)相等，到2011年1月兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)值又相等.

(1)到2010年7月，試比較甲、乙兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)值的大小，并說明理由；

(2)甲企業(yè)為了提高產(chǎn)能，決定用3.2萬元買一臺(tái)儀器.從2011年2月1日投放使用，

從啟用的第一天起連續(xù)使用，第〃天的維修保養(yǎng)費(fèi)為管一元(〃dN*),求前〃天這臺(tái)儀器的

日平均耗資(含儀器的購置費(fèi))，并求日平均耗資最小時(shí)使用了多少天?

【分析】（1）甲企業(yè)的各個(gè)月份的產(chǎn)值組成等差數(shù)列，乙企業(yè)各個(gè)月份的產(chǎn)值組成等比

數(shù)列，在這兩個(gè)各有十三項(xiàng)的數(shù)列中其第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)相等，比較的是中間項(xiàng)的大小，根

據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念和基本不等式進(jìn)行比較大小；（2〕前“天的維修費(fèi)用之和加上

購買儀器的費(fèi)用除以“即為日均耗費(fèi)，使用基本不等式求其最值以及取得最值時(shí)的”即可.

【解答】（1）甲企業(yè)的產(chǎn)值比乙企業(yè)的產(chǎn)值要大.

設(shè)從2010年1月到2011年1月甲企業(yè)每個(gè)月的產(chǎn)值分別是a”6,…，am乙企業(yè)每

個(gè)月的產(chǎn)值分別記為如史，…，如.由題意｛4｝成等差數(shù)列，｛瓦｝成等比數(shù)列.二.a-=4ai

又。]=瓦，々】三=瓦3，1?4-=f一=>—6卯=>/瓦如=加,

即2010年7月甲企業(yè)的產(chǎn)值大.

⑵設(shè)一共用了刀天，則〃天的平均耗資為〃5）,

〃+49

5+10\n

3.2X10―

2-3.2X104779.9

則戶（力-n-+20+~

n

當(dāng)且僅辛F/時(shí)兒）取得最小值，此時(shí)片800,

故日平均耗資最小時(shí)使用了800天.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列模型、等差數(shù)列模型的實(shí)際應(yīng)用，并與基本不等式進(jìn)行交

匯.數(shù)列在.實(shí)際問題中有著極為廣泛的應(yīng)用，數(shù)列的應(yīng)用問題在高考中雖然不是主流，但

并不排除在高考中考查數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的可能。

【歷屆高考真題】

[2012高考試題】

、選擇題

1.【2012高考真題重慶理1】在等差數(shù)列｛a,J中，a2=l,%=5貝U｛%｝的前5項(xiàng)和

A.7B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】因?yàn)樯?1,4=5,所以a1+%=生+/=6,所以數(shù)列的前5項(xiàng)和

a=$&+%)=50+%)=2*6=15.選B.

2.12012高考真題浙江理7】設(shè)S“是公差為d(dWO)的無窮等差數(shù)列｛a0｝的前n項(xiàng)和，

則下列命題錯(cuò)誤的是

A.若d<0,則數(shù)列｛S?｝有最大項(xiàng)

B.若數(shù)列｛S?｝有最大項(xiàng)，則d<0

C.若數(shù)列｛SC是遞增數(shù)列，則對任意“eN*,均有S.〉0

D.若對任意nwN*,均有Sn>Q,則數(shù)列｛S?｝是遞增數(shù)列

【答案】C

【解析】選項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：一1,0,1,2,3,….滿足數(shù)列｛SJ是遞增

數(shù)列，但是S〃>0不成立.故選C。

3.[2012高考真題新課標(biāo)理5]已知｛4｝為等比數(shù)列，%+%=2，生4=一8,則

+〃10=()

(A)7⑻5(C)-5.(D)-7

【答案】D

【解析】因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，所以的4=%%=-8,又4+%=2，所以

=4,a7=—2或=-2,ci]—4.右=4,Qq——2,角牛彳導(dǎo)a1——8,Go=1,

41+%o=—7；若(=—2,%=4,解得——8,q=1,仍有%+60——7,綜上

選D.

jYl兀

4.[2012高考真題上海理18]設(shè)Q〃=—sin——cl,Sn=ai.+a2z.+—\-anit,在

n25

風(fēng),邑,…,So。中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是()

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析】當(dāng)時(shí)，an>0>當(dāng)26S〃S49時(shí)，<7,<0?但其絕對值要小于10〃024

時(shí)相應(yīng)的值，當(dāng)51sn<74Bj,,a^>0,當(dāng)76w”099時(shí)，a*V。，但其絕對值要小于510〃盤4

時(shí)相應(yīng)的值，二當(dāng)1W“口00時(shí)，均有S,>0.

5.[2012高考真題遼寧理6]在等差數(shù)列｛aj中，己知a+a=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和凡=

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】2

【解析】在等差數(shù)列中，4+1]=%+為=16,，%=生乂手4a=88。

6.12012高考真題四川理12]設(shè)函數(shù)/(x)=2x-cosx,{%}是公差為差的等差數(shù)列,

8

/(%)+/(/)+…+/(%)=5%，貝|][/(。3)「一%。5=()

c12八1213。

A、0B、—nC、-7iD、—n

16816

【答案】D

【解析】/(q)-/(a;)------/(a)=(2o5~cos^)-(2a-cosa)^------(2a:-cosa)=5^>

即

TT

2(q+生+…+生)一(cosq+cos%+…+cos%)=5；r,而｛%｝是公差為二的等差數(shù)列,

8

代入2(q+生+…+生)一(cosax+cos生+…+cos生)=5",即10生一[cos(a3一；)

?TT-^rr^rr

+cos(a；一一)+co皿+cosQ+二)+cosQ+—)]=51，

'8'84

:(2cosj+2cos1■+Dcos%不是的倍數(shù)，

2+

10a3=a3=—.[f(?3)]—=(2x——0)"—(——

13萬..?

=---，故選D.

16

7.[2012高考真題湖北理7]定義在(-oo,0)(0,+oo)上的函數(shù)/(x),如果對于任意給

定的等比數(shù)列｛〃"｝,｛/(()｝仍是等比數(shù)列，則稱/(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義

在(-8,0)(0,y)上的如下函數(shù)：

①/(x)=尤2；②/(%)=2'；③/(x)=；④f(x)=InI.rI.

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)"的f(x)的序號(hào)為

①②B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【解析】等比數(shù)列性質(zhì)，①/(qMq一.1=畤7二=[a：i「=/*(a?+1

②〃=24-*工2g=U

③f(S.)=他a”?|=而丁=/論”J；

④/'(4)1/(4+J=In,Jink-JhIlnR"J「=/論一).選c

8.【2012高考真題福建理2】等差數(shù)列｛aj中，5+期=10,a4=7,則數(shù)列｛aj的公差為

A.1B.2C.3D.4

【答案】B.

【解析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知％="幺=5,又?.?%=7,，2=。4一。3=2

9.12012高考真題安徽理4】公比為次等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且％4=16,

則叫246=()

(A)4(B)5(C)6(D)7

【答案】B

【解析】生=16=a：=16Oa-=4n=a,xg"=32<=>log；=5.

10.【2012高考真題全國卷理5】已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S“，a5=5,S*=15,則數(shù)列

的前100項(xiàng)和為

9999101

(B)---(C)----(D)

101100W0

【答案】A

【解析】由%=545=15,得%=l,d=l，所以?！?1+(〃—1)=〃，所以

]_]_J__1

anan+1n(n+1)nn+1

11111100

一?.二-------1-----------------------------------=1------

I選A.

ClyCl?^100^101223100101101101

二、填空題

n.【2012高考真題.浙江理13】設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”。

若1$2=3@2+2,$4=3a4+2,貝!JQ—O

【答案】I

【解析】將S:=3a,+2,S4=3a4+2兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化成用%、q表示的式子.

即，'''世5,:>兩式作差得：+巧/=36式了—1)>即：

I巧+多，+/g-+qy=。日7+2

lqz-?-3=0)解之得：或？=-1(舍去).

12.12012高考真題四川理16］記［劃為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如，［2］=2,口.5］=1,

rar

Xn+［一］

［-0.3］=-lo設(shè)。為正整數(shù)，數(shù)列｛七｝滿足苞=。，x?+1=［—「J］("eN*),現(xiàn)有下

列命題：

①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列｛七｝的前3項(xiàng)依次為5,3,2；

②對數(shù)列｛%?｝都存在正整數(shù)k,當(dāng)nNk時(shí)總有％=々；

③當(dāng)〃之1時(shí)，xn>Va-1；

④對某個(gè)正整數(shù)左，若則%=［&］。

其中的真命題有。(寫出所有真命題的編號(hào))

【答案】①③④

5+23+自

［解析］當(dāng)。=5時(shí)，Xj-a-5x2=—°工=3,演=［—『一］=2，故①正確；同

樣驗(yàn)證可得③④正確，②錯(cuò)誤.

13.12012高考真題新課標(biāo)理16］數(shù)列｛%｝滿足。用+(-貝U｛a,J的前

60項(xiàng)和為

【答案】1S30

【解析】由a—+(-=2〃-1得,

j=(-I)%,+2n+l=(-嚴(yán)4+2n-l］+2?+l

=一%+(-1)”(2〃-1)+2〃+1,

即a—+4=(一1)黑2%—1)+2〃+1,也有a.+a?i="(一1)"(2〃+1)+2力+3,兩

式相加得an+a.+a.+々一=—2(-1)'：+4n+41設(shè)左為整數(shù)，

貝Ua#1+4至+1+a狀-3+4冊-4=-2(-1)"+4(4^r+1)+4=16k+10,

1414

于是S柳=y(a4i+1++a4k-3+a杭-4)=Y(16/c+'10)=1830

X-0￡-0

14.12012高考真題遼寧理14］已知等比數(shù)列｛a“｝為遞增數(shù)列，且

aj=aw,2(an+an+2)=5an+l,則數(shù)列｛a0｝的通項(xiàng)公式a〃=。

【答案】2"

［解析］：%=。1。，一(qq)=qg，-q=g,-.a1=q：

?.?2(4+41!_2)=5<2"”:24(1+0-)=5&必:2(1+不)=5必解得9=2或9=：(舍去)，二生=

15.12012高考真題江西理12］設(shè)數(shù)列｛aj,｛bj都是等差數(shù)列，若%+仇=7,

a3+b3=21,貝!!a5+b5=。

【答案】35

【解析】設(shè)數(shù)列｛4｝,｛〃｝的公差分別為d,b,則由生+仇=21，得

6+4+23+1)=21,即2S+d)=21—7=14,所以Z?+d=7,

所以。5+4=弓+A］+4(Z?+d)-7+4x7-35o

16.［2012高考真題北京理10］已知｛4｝等差數(shù)列5“為其前n項(xiàng)和。若％=^,S2=a3,

則a2=o

【答案】分=1,=

?44

【解析】因?yàn)镾：=生=q+%=生=q+q+d=q+2d=W=q=彳，

所以生=q+d=1,Sn=>zax+n（n-Y）d=：■/+；?%

17.12012高考真題廣東理11】已知遞增的等差數(shù)列｛aj滿足ai=l,生=為？—4,則a?=.

【答案】2"-1

【解析】由4=022-4得到1+2』=（1+〃）2—4,即/=4,應(yīng)為顯｝是遞增的等差

數(shù)列，所以d=2,故q=2〃—1。

18.【2012高考真題重慶理12】lim—

iVn2+5n-n

【答案】|

［解析］%、—二軀=:=-

J與，+5%-n（/丁+5n一切（J>廣+5汽+瓊

?2-??

19.【2012高考真題上海理6】有一列正方體，棱長組成以1為首項(xiàng)、,為公比的等比

2

數(shù)列，體積分別記為匕，區(qū),…，匕，…，則口111（匕+匕+…+匕）=。

ns

Q

【答案】-O

7

【解析】由題意可知，該列正方體的體積構(gòu)成以1為首項(xiàng)，』為公比的等比數(shù)列,

8

；.匕+匕+…+匕=T父〃8（1—1）,.?.所舊+匕+…+匕）8

1178n~87

1-----

8

a.=HCO8—+1

20.【2012高考真題福建理14］數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式2，前n項(xiàng)和為S”,

則$2012=

【答案】301S.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)1=。。5：》的周期是4,所以數(shù)列｛a*｝的每相鄰四項(xiàng)之和是一個(gè)常

數(shù)6,所以導(dǎo)012=^^x6=3018.

三、解答題

21[2012高考江蘇20](16分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列｛為｝和｛"｝滿足:

a,,+bn,“eN*,

anl

+d+b：

b

(1)設(shè)?！?1=1+」~,neN*,求證：數(shù)列<”,是等差數(shù)列;

an

(2)設(shè)么+1=&?％,TIGN*,且｛4｝是等比數(shù)列，求4和乙的值.

%

\rhVI

「?數(shù)列’3''是以1為公差的等差數(shù)列.

.?.1<%=普當(dāng)」(0。(*)

設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,由%>0知q>0,下面用反證法證明q=l

n

若q>l,則當(dāng)〃>log“變時(shí)，an+1-axq>-J1,與(*)矛盾。

qax

若0<qV1,則。1二竺>〃2>1，；?當(dāng)〃Alog,,時(shí)，%+1V1，與（*）矛盾。

q4q

二?綜上所述，4=1?！?%N*）,1<o

又???%1=&?%=正?，（〃eN*）,.?.｛￡｝是公比是它的等比數(shù)列。

若為w則—>1,于是bi<b2<b3o

見+〃±a,小2-%

又由an+\即見=

+第-1

bvbv4中至少有兩項(xiàng)相同，與4<b2Vb3矛盾。工二立。

=

=82v2o

【解析】（1）根據(jù)題設(shè)4厘=和埼1=1+3,求出如=J1-2，

f、2f、2

th'1?'

從而證明也=1而得證.

（2）根據(jù)基本不等式得到1v4“=、三事,用反證法證明等比數(shù)列｛aj的

+b；

公比g=l.從而得到％=6的結(jié)論，再由如=0?二=走?4知色｝是公比是

46

走的等比數(shù)列.最后用反證法求出4=6、=近.

用

22.12012高考真題湖北理18】（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛4｝前三項(xiàng)的和為-3,前三項(xiàng)的積為8.

（I）求等差數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式；

（II）若4，%，q成等比數(shù)列，求數(shù)列1｝的前”項(xiàng)和.

【答案】(I)設(shè)等差數(shù)列｛《｝的公差為%則生=q+d,q=q+2d,

由題意屋生-"17解得J"；或;：=「'

101gl_rf)(q-2d)=S.|d=T|d=3.

所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得

j=2-3(〃-1)=-3花—5,或a1t=-4-3(力-1)=3打一7.

故4,=一3打一5,或4,=3打一7.

(II)當(dāng)為=-3〃+5時(shí)，a2,a3,%分別為一1,-4,2,不成等比數(shù)列;

當(dāng)為=3〃-7時(shí)，a2,a3,%分別為-1,2,-4,成等比數(shù)列，滿足條件.