概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版第2版）課件 張?zhí)斓?第4章 數(shù)字特征與極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）本章導(dǎo)學(xué)第4章數(shù)字特征與極限定理2而且在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨如果知道了隨機(jī)變量X

的分布，那么X

的全部概率特性或統(tǒng)計(jì)規(guī)律也就知道了.然而，在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)變量的分布往往不容易確定.機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，就夠了.案例導(dǎo)入3考察LED燈管的質(zhì)量:命.比較兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)精度：寸，還要考察每個(gè)零件尺寸與平均尺寸的偏離程度，偏離程度小意味著精度高.離的程度也是一個(gè)重要的數(shù)量特征.日?，F(xiàn)象舉例

常常關(guān)注的是LED燈管的平均壽

不僅要看生產(chǎn)零件的平均尺

這說(shuō)明隨機(jī)變量與其平均值偏

這說(shuō)明隨機(jī)變量的平均值是一個(gè)重要的數(shù)量特征.由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖4不能完整地描述隨機(jī)變量但能清晰地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.5還將介紹數(shù)字特征的重要應(yīng)用——極限定理本章將介紹常用的隨機(jī)變量數(shù)字特征隨機(jī)變量的平均取值01隨機(jī)變量取值與均值的平均偏離程度描述兩隨機(jī)變量間的某種關(guān)系的數(shù)0203——數(shù)學(xué)期望——方差——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容6請(qǐng)進(jìn)入本章第1講隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望??積分??級(jí)數(shù)預(yù)備知識(shí)——高等數(shù)學(xué)（微積分）學(xué)海無(wú)涯，祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第1講數(shù)學(xué)期望第4章數(shù)字特征與極限定理01數(shù)學(xué)期望的定義02隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望03數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)本講內(nèi)容問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)的技術(shù)好些？1001

數(shù)學(xué)期望的定義甲、乙兩工人用相同的設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,設(shè)??例1兩人各生產(chǎn)10組產(chǎn)品,每組中出現(xiàn)的廢品件數(shù)分別記為X、Y,廢品件數(shù)與相應(yīng)的組數(shù)記錄如下：甲的每組平均廢品數(shù)為乙的每組平均廢品數(shù)為從每組的平均廢品數(shù)看,乙的技術(shù)優(yōu)于甲!X0123組數(shù)4321Y012組數(shù)352X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.211用分布律表示01

數(shù)學(xué)期望的定義其和為X

的數(shù)學(xué)期望,記作E(X),即若無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則稱(chēng)12設(shè)X為離散型隨機(jī)變量.其分布列為??定義1??數(shù)學(xué)期望的定義01

數(shù)學(xué)期望的定義即若廣義積分絕對(duì)收斂,則稱(chēng)此積分為X

的數(shù)學(xué)期望記作E(X),13??數(shù)學(xué)期望的定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

的密度為??定義201

數(shù)學(xué)期望的定義14??前例01

數(shù)學(xué)期望的定義15X~P(λ),求E(X)

.??例201

數(shù)學(xué)期望的定義解01

數(shù)學(xué)期望的定義解設(shè)X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，求E(X).??例3X的密度函數(shù)為所以17解求下列連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：??例4(1)指數(shù)分布；(2)正態(tài)分布.01

數(shù)學(xué)期望的定義18則01

數(shù)學(xué)期望的定義分布期望0-1分布pB(n,p)npP(

)

(a,b)上的均勻分布E(

)N(,2)19??常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望01

數(shù)學(xué)期望的定義柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在!不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望！20??注意01

數(shù)學(xué)期望的定義??例5

在三種情形下，試問(wèn)的數(shù)學(xué)期望是否存在嗎？為什么？

??例6解01

數(shù)學(xué)期望的定義21設(shè)隨機(jī)變量的分布律分別為（1）因?yàn)榘l(fā)散，

所以的數(shù)學(xué)期望不存在。

01

數(shù)學(xué)期望的定義22（2）因?yàn)?/p>

發(fā)散，所以的數(shù)學(xué)期望不存在。

（3）因?yàn)槭諗?，所以的?shù)學(xué)期望存在。

23??應(yīng)用——平均利潤(rùn)問(wèn)題

??例7解因?yàn)閄服從指數(shù)分布,故分布函數(shù)為則設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為01

數(shù)學(xué)期望的定義為參數(shù)的指數(shù)分布,工廠規(guī)定,出售的設(shè)備若在售出

一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換,若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元.求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望.Y-200100P設(shè)Y表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利,則分布律為廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望24??售出一臺(tái)設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺(tái)設(shè)備需花費(fèi)300元01

數(shù)學(xué)期望的定義25在一個(gè)人數(shù)為N的人群中普查某種疾病，為此要??例801

數(shù)學(xué)期望的定義抽驗(yàn)N個(gè)人的血.如果將每個(gè)人的血分別檢驗(yàn)，則共需檢檢驗(yàn)N次.為了能減少工作量，一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出一種方方法：按

k個(gè)人一組進(jìn)行分組，把同組

k個(gè)人的血樣混合后檢驗(yàn)，如果這混合血樣呈陰性反應(yīng)，就說(shuō)明此k個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng)，此k個(gè)人都無(wú)疾病，因而此k個(gè)人只要檢驗(yàn)1次就夠了，相當(dāng)于每個(gè)人檢驗(yàn)1/k次，檢驗(yàn)的工作量明顯減少.如果這混合血樣呈陽(yáng)性反應(yīng)，就說(shuō)明此k個(gè)人中至少有一個(gè)人的血呈陽(yáng)性反應(yīng)，則再對(duì)此

k個(gè)人的血樣分別進(jìn)行檢驗(yàn)，因而此

k個(gè)的血要檢驗(yàn)1+k次，相當(dāng)于每個(gè)人檢驗(yàn)1+k/k次，這時(shí)增加了檢驗(yàn)次假設(shè)該疾病的發(fā)病率為p，且得此病相互獨(dú)立，試問(wèn)此種方法能否減少平均檢驗(yàn)次數(shù)？2601

數(shù)學(xué)期望的定義Xp

1/k

1+k/k

所以每人平均驗(yàn)血次數(shù)為由此可知，只要選擇k使或就可減少驗(yàn)血次數(shù)，而且還可適當(dāng)選取k使其達(dá)到最小.解令X為該人群中每個(gè)人需要的驗(yàn)血次數(shù)，則X的分布列為01數(shù)學(xué)期望的定義02隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望03數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)本講內(nèi)容02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望28假如需要計(jì)算的不是X的期剛剛我們介紹了數(shù)學(xué)期望,如果已知隨機(jī)變量X的分布,我們可以求出X的期望.望,而是X的某個(gè)函數(shù)的期望,比如說(shuō)g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？現(xiàn)在提出一個(gè)問(wèn)題：(常數(shù)k>0),求F的數(shù)學(xué)期望.每臺(tái)儀器進(jìn)貨價(jià)500元,銷(xiāo)售價(jià)1000,若賣(mài)不出去廠家設(shè)某經(jīng)銷(xiāo)商進(jìn)了三臺(tái)儀器,銷(xiāo)售量X的分布律為??例9設(shè)風(fēng)速V是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從(0,a)上的均??例10勻分布,而飛機(jī)某部位受到的壓力F是風(fēng)速V的函數(shù)：按200元回購(gòu),求利潤(rùn)Y的數(shù)學(xué)期望.02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望29

一種方法是:因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量,故應(yīng)有概率使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?分布,它的分布可以由X的分布求出來(lái).了g(X)的分布,就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來(lái).布,一般是比較復(fù)雜的.

一旦我們知道02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望30是否可以不求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出,答案是肯定的.公式的重要性在于:g(X)的分布,而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望31

若無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則絕對(duì)收斂,則若廣義積分

(1)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散r.v.X

的概率分布為設(shè)連續(xù)r.v.X的密度為f(x)02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望32絕對(duì)收斂,則若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則若廣義積分(2)Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散r.v.(X,Y)的概率分布為設(shè)連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y)

02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望33每臺(tái)儀器進(jìn)貨價(jià)500元,銷(xiāo)售價(jià)1000,若賣(mài)不出去廠家按200元回購(gòu),求利潤(rùn)Y的數(shù)學(xué)期望.設(shè)某經(jīng)銷(xiāo)商進(jìn)了三臺(tái)儀器,銷(xiāo)售量X的分布律為??例9解02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望34(常數(shù)k>0),求F的數(shù)學(xué)期望.設(shè)風(fēng)速V是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從(0,a)上的均勻分??例10V的概率密度為解布,而飛機(jī)某部位受到的壓力F是風(fēng)速V的函數(shù)：02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望35其他YX1210.250.3220.080.35求設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)

的分布律為??例11解02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望36求E(X),E(-3X+2Y),E(XY).設(shè)(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布,其中A為x軸,y軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域.??例12解其他02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3702

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望38設(shè)市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為X噸,

其中??例13設(shè)組織n噸貨源,利潤(rùn)為Y,

解X~U[200,400],每出售一噸可賺300元,售不出去,則每噸需保管費(fèi)100元,問(wèn)應(yīng)該組織多少貨源,才能使平均利潤(rùn)最大？其他02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望39故n=350時(shí),E(Y)最大n=3504002

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望??例14解設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為求E(X),E(Y),E(XY)其他02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望41某工廠每天從電力公司得到的電能X(單位：千瓦)??例15設(shè)工廠從電力公司得到的每千瓦電能可取得300元利潤(rùn),如工廠用電量超過(guò)電力公司所提供的數(shù)量,就要使用自備發(fā)電機(jī)提供的附加電能來(lái)補(bǔ)充,使用附加電能時(shí)每千瓦只能取得100元利潤(rùn).問(wèn)一天中該工廠獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望是多少？02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望42服從[10,30]上的均勻分布,該工廠每天對(duì)電能的需要量Y(單位：千瓦)服從[10,20]上的均勻分布,其中X與Y相互獨(dú)立.設(shè)Z為一天中該工廠獲得的利潤(rùn),由題意解即而(X,Y)的密度函數(shù)為其他02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望43即該工廠一天中獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望是4333元.故02

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4401數(shù)學(xué)期望的定義02隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望03數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)本講內(nèi)容03

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)46(1)設(shè)C是常數(shù),則E(C)=C,

D(C)=0;(4)設(shè)X、Y獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y),(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(2)若C是常數(shù),則E(CX)=CE(X),

D(CX)=C2

D(X);（諸Xi獨(dú)立時(shí)）??推廣??推廣由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求的數(shù)學(xué)期望E(Y)已知隨機(jī)變量??例16解由于X服從正態(tài)分布則03

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)47??例17設(shè)一電路中電流與電阻是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)試求電壓的數(shù)學(xué)期望.解因?yàn)镮與R相互獨(dú)立,所以根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),有變量,其概率密度分別為其他其他03

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)48學(xué)海無(wú)涯,祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第3講協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第4章數(shù)字特征與極限定理51前面我們介紹了一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差,對(duì)于二維隨機(jī)變量,除每個(gè)分量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系,我們現(xiàn)在要討論的就是反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第3講

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計(jì)算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)本講內(nèi)容稱(chēng)為X,Y的協(xié)方差.記為若D(X)>0,D(Y)>0,稱(chēng)為X,Y的記為協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念53??定義01

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系,但它還受X與Y本身度量單位的影響.54??解釋為了克服這一缺點(diǎn),對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,從而引入了相關(guān)系數(shù)的概念.01

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計(jì)算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)本講內(nèi)容cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì),可得cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)即=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)計(jì)算協(xié)方差的簡(jiǎn)單公式5602

協(xié)方差的計(jì)算設(shè)離散型隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為

YX-10100.070.180.1510.080.320.20求X與Y的相關(guān)系數(shù)57??例102

協(xié)方差的計(jì)算由于解5802

協(xié)方差的計(jì)算從而X與Y的相關(guān)系數(shù)的聯(lián)合分布律為設(shè)保險(xiǎn)公司對(duì)投保人的汽車(chē)保險(xiǎn)和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)分別設(shè)定了免賠額(單位：元),現(xiàn)任選一位同時(shí)投保汽車(chē)保險(xiǎn)和財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)的客戶(hù),X表示其汽車(chē)保單的免賠額,Y表示其財(cái)產(chǎn)保單的免賠額,隨機(jī)變量

YX01002001000.20.10.22500.050.150.3求cov(X,Y),59??例202

協(xié)方差的計(jì)算

YX

01002001000.20.10.20.52500.050.150.30.50.250.250.56002

協(xié)方差的計(jì)算6102

協(xié)方差的計(jì)算設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度62??例3其他求02

協(xié)方差的計(jì)算63其他02

協(xié)方差的計(jì)算64解設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）在區(qū)域上服從均勻分布，求??例4因?yàn)閰^(qū)域D的面積為所以(X,Y)的概率密度為則02

協(xié)方差的計(jì)算65同理故02

協(xié)方差的計(jì)算66解

習(xí)題課??例567解設(shè)X,與Y為兩隨機(jī)變量,且已知求:??例6的數(shù)學(xué)期望;02

協(xié)方差的計(jì)算（2）（3）的方差.（1）(1)(2)6802

協(xié)方差的計(jì)算(3)設(shè)(X,Y)~N(

1,

2;

12,

22;

)利用二維正態(tài)分布及協(xié)方差相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式可得二維正態(tài)分布的數(shù)字特征6902

協(xié)方差的計(jì)算70解

習(xí)題課??例7設(shè)隨機(jī)變量

服從區(qū)間

上的均勻分布，令

，求01協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念02協(xié)方差的計(jì)算03協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)本講內(nèi)容存在常數(shù)a,b(a≠0),使P(Y=aX+b)=1,即X和Y以概率1線性相關(guān)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)7203

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)若稱(chēng)X,Y不相關(guān).顯然,若X與Y獨(dú)立,

cov(X,Y)=0,反之,X與Y之間沒(méi)有線性關(guān)系并不表示沒(méi)有關(guān)系！顯然是不相互獨(dú)立的X,Y不相關(guān)73??例803

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)因?yàn)槿?X,Y)服從二維正態(tài)分布,X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)相關(guān)系數(shù)含義及重要結(jié)論7403

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)若X~N(0,1)且Y=X2,問(wèn)X與Y是否不相關(guān)？是否相互獨(dú)立？75解??例9因?yàn)閄~N(0,1),密度函數(shù)為偶函數(shù),于是由得這說(shuō)明X與Y是不相關(guān)的,但Y=X2顯然,X與Y是不相互獨(dú)立的.所以03

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)利用性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算

因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以則由協(xié)方差的性質(zhì)設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布思考：還有其他方法嗎？76解??例10已知其中a,

b為常數(shù),求U和V的相關(guān)系數(shù)03

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

則由協(xié)方差的性質(zhì)7703

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)利用性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算將一枚硬幣重復(fù)擲??次,X與Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則X與Y的相關(guān)系數(shù)等于78解??例11所以所以03

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)79證明設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度證明:??例1203

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)（2）X與Y不獨(dú)立.（1）X與Y不相關(guān);（1）關(guān)于X與Y的兩個(gè)邊緣概率密度分別為8003

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)于是8103

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)同理故從而有(1)(2)即X與Y不相關(guān);即X與Y不獨(dú)立.學(xué)海無(wú)涯,祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）第4講大數(shù)定律與中心極限定理第4章數(shù)字特征與極限定理84概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究?jī)?nèi)容是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性是通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)才呈現(xiàn)出來(lái)的.研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象,常常采用極限方法,利用極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛,其中最重要的有兩種:大數(shù)定律與中心極限定理.第4講

大數(shù)定律與中心極限定理01切比雪夫不等式02大數(shù)定律03中心極限定理本講內(nèi)容設(shè)隨機(jī)變量

X的期望E(X)與方差D(X)存在,則對(duì)于任意實(shí)數(shù)

>0,或理論價(jià)值證明大數(shù)定律等等實(shí)用價(jià)值估計(jì)概率切比雪夫不等式8601

切比雪夫不等式由切比雪夫不等式可以看出,若方差越小,則事件由此可體會(huì)方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.87{|X-E(X)|<}的概率越大,即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.01

切比雪夫不等式某車(chē)間生產(chǎn)一種電子器件,月平均產(chǎn)量為9500只,方差為10000只,試估計(jì)車(chē)間月產(chǎn)量為9000至10000只之間的概率．設(shè)X表示車(chē)間月產(chǎn)量,則由切比雪夫不等式可得車(chē)間月產(chǎn)量為9000至10000只之間的概率超過(guò)0.96.88??例1解01

切比雪夫不等式設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈,夜晚時(shí)每盞燈開(kāi)燈的概率均為0.7,假定所有電燈的開(kāi)或關(guān)是相互獨(dú)立的,試用切比雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)在6800到7200盞之間的概率.

令X表示在夜晚同時(shí)開(kāi)著的電燈數(shù)目,則X服從89??例2解由切比雪夫不等式可得n=10000,p=0.7的二項(xiàng)分布,這時(shí)01

切比雪夫不等式這個(gè)概率的近似值表明,在10000盞燈中,開(kāi)著的燈數(shù)在6800到7200的概率大于0.95.90由切比雪夫不等式可得而實(shí)際上,此概率可由二項(xiàng)分布求得精確值為0.99999.由此可知,切比雪夫不等式雖可用來(lái)估計(jì)概率,但精度不夠高.01

切比雪夫不等式設(shè)X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為－2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為－0.5,則由切比雪夫不等式91??例3解01

切比雪夫不等式設(shè)n次伯努利試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率由切比雪夫不等式可得92??例4解01

切比雪夫不等式均為0.70,要使事件A出現(xiàn)的頻率在0.68到0.72之間的概率

不小于0.90,問(wèn)至少要進(jìn)行多少次試驗(yàn)？9301

切比雪夫不等式欲使只要解得即至少要進(jìn)行5250次試驗(yàn)才能滿(mǎn)足要求.01切比雪夫不等式02大數(shù)定律03中心極限定理本講內(nèi)容

大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大數(shù)定律的客觀背景：大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率產(chǎn)品的廢品率大數(shù)定律9502

大數(shù)定律頻率具有穩(wěn)定性.

在大量的隨機(jī)現(xiàn)象中,隨機(jī)事件的

大量的隨機(jī)現(xiàn)象的

概率論中用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象96大數(shù)定律平均結(jié)果具有穩(wěn)定性.平均結(jié)果的穩(wěn)定性大數(shù)定律（lawoflargenumber).的一系列定理,稱(chēng)為02

大數(shù)定律大數(shù)定律為概率論所存在的基礎(chǔ)——“概率是頻率的穩(wěn)定值”提供了理論依據(jù),它以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性.97它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn),也成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ).02

大數(shù)定律設(shè)

nA

是n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率,則有或依概率收斂即頻率p.伯努利大數(shù)定律9802

大數(shù)定律給概率的統(tǒng)計(jì)定義提供了理論依據(jù)在概率的統(tǒng)計(jì)定義中,事件A

發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率.如命中率等在n

足夠大時(shí),可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱(chēng)為依概率穩(wěn)定.伯努利大數(shù)定律的意義99??理論價(jià)值??實(shí)用價(jià)值02

大數(shù)定律則有或且具有相同相互獨(dú)立,設(shè)隨機(jī)變量序列且相互獨(dú)立同分布,設(shè)隨機(jī)變量序列切比雪夫大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律100的數(shù)學(xué)期望和方差具有數(shù)學(xué)期望02

大數(shù)定律

具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.算術(shù)均值數(shù)學(xué)期望近似代替.可被平均數(shù)法則定理的意義101當(dāng)

n

足夠大時(shí),算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù).02

大數(shù)定律

設(shè)總體X~E(2),(X1,……,Xn)為獨(dú)立同分布樣本,則n→∞時(shí),因此根據(jù)大數(shù)定律有依概率收斂于102??例5依概率收斂于______因?yàn)閄1,X2,……,Xn獨(dú)立同分布,所以因?yàn)閄12,X22,……,Xn2也獨(dú)立同分布,02

大數(shù)定律01切比雪夫不等式02大數(shù)定律03中心極限定理本講內(nèi)容104中心極限定理的客觀背景觀察表明,如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成,而每一個(gè)因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.在實(shí)際問(wèn)題中,常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.03

中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布,則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,列維-林德伯格中心極限定理[獨(dú)立同分布的中心極限定理]且有期望和方差：105??定理一03

中心極限定理它表明:當(dāng)n充分大時(shí),n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和或者平均值近似服從正態(tài)分布.即n足夠大時(shí),Yn的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的分布函數(shù)記近似近似服從近似服從106??注03

中心極限定理設(shè)Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…則對(duì)任一實(shí)數(shù)x,有Yn

~N(np,np(1-p))(近似)即n

足夠大時(shí),棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理[二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布]107??定理二03

中心極限定理由中心極限定理近似設(shè)有50臺(tái)接收機(jī),每臺(tái)接收機(jī)收到的呼叫次數(shù)服從泊松分布??(0.05),求50臺(tái)接收機(jī)收到的呼叫次數(shù)總和大于3次的概率.108??例603

中心極限定理解近似服從則EXi=0.9,DXi=1.92，由中心極限定理109

??例7設(shè)Xi表示第i輛車(chē)的氮氧化物排放量,03

中心極限定理解一臺(tái)儀器同時(shí)收到50個(gè)信號(hào)????(??=1,2,?,50)

,設(shè)它們相互獨(dú)立且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布,記110??例8解求因?yàn)閃i~U(0,10),所以近似服從正態(tài)分布則03

中心極限定理

得某單位有200臺(tái)電話(huà)分機(jī),每臺(tái)分機(jī)使用外線的概率為0.2,假定每臺(tái)分機(jī)是相互獨(dú)立的,問(wèn)要安裝多少條外線,才能以95%以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？設(shè)有X部分機(jī)同時(shí)使用外線，則有其中設(shè)有N條外線.由題意有由棣莫弗-拉普拉斯定理有111??例9查表得即即至少要安裝50條外線.03

中心極限定理解112某個(gè)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端,每個(gè)終端有10%的時(shí)間要與主機(jī)交換數(shù)據(jù),如果同一時(shí)刻有超過(guò)20臺(tái)的終端要與主機(jī)交換數(shù)據(jù),系統(tǒng)將發(fā)生數(shù)據(jù)傳送堵塞.假定各終端工作是相互獨(dú)立的,問(wèn)系統(tǒng)發(fā)生堵塞現(xiàn)象的概率是多少？設(shè)X為同時(shí)與主機(jī)交換數(shù)據(jù)的終端數(shù),??例10解則X～B(120,0.1)由棣莫弗—拉普拉斯定理,X近似服從即X近似服從則03

中心極限定理113??例11解03

中心極限定理

每袋味精的凈重為隨機(jī)變量，平均重量為100克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克.一箱內(nèi)裝200袋味精，求一箱味精的凈重大于20500克的概率?設(shè)箱中第i

袋味精的凈重為Xi,則Xi

獨(dú)立同分布，且E(Xi)=100，D(Xi)=100，

由中心極限定理得，所求概率為：=0.0002故一箱味精的凈重大于20500克的概率為0.0002.115??例12解03

中心極限定理

設(shè)X為一次射擊中命中的環(huán)數(shù)，其分布列為求100次射擊中命中環(huán)數(shù)在900環(huán)到930環(huán)之間的概率.XP109876

0.80.10.050.020.03

設(shè)Xi

為第i

次射擊命中的環(huán)數(shù)，則Xi

獨(dú)立同分布，且E(Xi)

=9.62，D(Xi)

=0.82，故=0.9997903

中心極限定理學(xué)海無(wú)涯,祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）本章小結(jié)第4章數(shù)字特征與極限定理01知識(shí)點(diǎn)歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議本講內(nèi)容120原點(diǎn)矩中心矩一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征協(xié)方差相關(guān)系數(shù)數(shù)字特征的應(yīng)用數(shù)字特征大數(shù)定律切比雪夫不等式方差及標(biāo)準(zhǔn)差中心極限定理定義性質(zhì)重要分布的數(shù)字特征定義性質(zhì)定義性質(zhì)定義性質(zhì)01

知識(shí)點(diǎn)歸納01知識(shí)點(diǎn)歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議本講內(nèi)容理解隨機(jī)變量數(shù)字特征(數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù))的概念,會(huì)運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì),并掌握常用分布的數(shù)字特征；122??(1)??(2)??(3)會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望；了解切比雪夫不等式、伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律、列維-林德伯格定理和棣莫弗-拉普拉斯定理,并會(huì)用相關(guān)定理近似計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率.02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議123原點(diǎn)矩中心矩一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征

數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征協(xié)方差相關(guān)系數(shù)數(shù)字特征的應(yīng)用數(shù)字特征大數(shù)定律切比雪夫不等式方差及標(biāo)準(zhǔn)差中心極限定理定義性質(zhì)重要分布的數(shù)字特征定義性質(zhì)定義性質(zhì)定義性質(zhì)會(huì)求數(shù)字特征會(huì)做近似計(jì)算02

教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議學(xué)海無(wú)涯,祝你成功！概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）習(xí)題課第4章數(shù)字特征與極限處理126

習(xí)題課解??例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

，其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，求E(X).X的概率密度為則令，故.因?yàn)?，，?27

習(xí)題課??例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

，其中Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，求E(X).解X的概率密度為則令，則128例1和例2的題型相同，隨即變量X的分布函數(shù)都用標(biāo)準(zhǔn)??方法歸納

習(xí)題課正態(tài)分布的分布函數(shù)

表示，求X的期望.

首先，求出X的概率密度

f(x)，f(x)是用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

表示的;其次，求出X的期望E(X)，計(jì)算過(guò)程中要用到

的和.性質(zhì)129解

習(xí)題課??例3設(shè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，且X的概率分布為，Y的概率密度為其他.（1）求；（2）求Z=X+Y的概率密度.（1）（2）記Z的分布函數(shù)為

，那么.130

習(xí)題課當(dāng)z<0時(shí)，；

131132解

習(xí)題課??例4設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為.在給定

的條件下,隨機(jī)變量Y服從均勻分布.求.根據(jù)Y的分布函數(shù)可以求出Y的概率密度函數(shù)為其他.133

習(xí)題課因此，??方法歸納本題是第二章習(xí)題課例5的續(xù)，都是2014年考研題的一個(gè)

大題.這也是離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量混合的題型，在第二章習(xí)題課例5中，將離散型隨機(jī)變量

X的兩個(gè)取值分別代入，求出Y的分布函數(shù)；概率密度函數(shù)，再利用數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計(jì)算.本題將分布函數(shù)求導(dǎo)得到

Y的.134解

習(xí)題課??例5設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),求.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為.則135??方法歸納

習(xí)題課本題是隨機(jī)變量函數(shù)期望定理的應(yīng)用:求解隨機(jī)變量函數(shù)的期望，用函數(shù)的取值乘以原隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，再求積分.136解

習(xí)題課??例6設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且EX與EY存在，記，，求=

.（A）.（B）.（C）.（D）.因?yàn)樗?，，故?yīng)選B.137解

習(xí)題課??例7設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為

，Y表示X被3除的余數(shù)，求E(Y).由題意知，Y所有可能的取值為0,1,2.則；.因此，；138??方法歸納

習(xí)題課

本題解題的關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量Y與X之間的關(guān)系，因Y表示X被3除的余數(shù)，{Y=2}對(duì)應(yīng){X=3n+2}，再利用X的概率分布進(jìn)行計(jì)算.{Y=0}對(duì)應(yīng){X=3n}、{Y=1}對(duì)應(yīng){X=3n+1}、故有139解

習(xí)題課??例8設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）服從

，求.由于（X,Y）服從二維正態(tài)分布，且，則X與Y相互獨(dú)立.因此，??方法歸納本題用到了二維正態(tài)分布一個(gè)結(jié)論：對(duì)于服從二維正態(tài)分布的隨機(jī)變量（X,Y），X與Y不相關(guān)等價(jià)于X與Y相互獨(dú)立..140解

習(xí)題課，??例9設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量且X1與X2相互獨(dú)立,且方差均存在，X1與X2的概率密度分別為

與，隨機(jī)變量Y1的概率密度為，隨機(jī)變量.則（A）.，（B）.，（C）.，（D）.，141

習(xí)題課故.又因?yàn)?，，則.故，應(yīng)選D.142解

習(xí)題課??例10設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為，，若，求.由題意知，解之得.因此，X的方差為143解

習(xí)題課??例11設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X的概率分布為，Y服從參數(shù)為λ的泊松分布.令Z=XY.（1）求

；（2）求Z的概率分布.（1）由題意知，，

，.所以，.144

習(xí)題課（2）Z的所有可能取值為全體整數(shù)值，且，對(duì)于，有145??方法歸納要求解Z的概率分布，首先要確定Z的取值范圍，因X的取值為

習(xí)題課，，即時(shí)，需要一定的技巧，根據(jù)X、Y的取值不妨設(shè)