2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）下列各題均有四個選項，其中只有一個

是符合題意的.

1.如圖是某個幾何體的三視圖，該幾何體是（）

2.已知NA是銳角，tan/l=l,那么/A的度數(shù)是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.隨著國民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，我國涌現(xiàn)出一批規(guī)模大、效益高的企業(yè)，如大疆、國家核電、

華為、鳳凰光學(xué)等，以上四個企業(yè)的標(biāo)志是中心對稱圖形的是（）

4.如圖，AB為的直徑，弦COLA8于點E,連接AC,OC,OD,若NA=20°,則N

C.80°D.100°

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點4,8坐標(biāo)分別為（1,0）,（3,2）,連接A8,將線段AB平移

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后得到線段4B1,點A的對應(yīng)點A,坐標(biāo)為(2,1),則點B'坐標(biāo)為()

A.(4,2)B.(4,3)C.(6,2)D.(6,3)

6.二次函數(shù)y=f+bx+c的圖象如圖所示，若點A(0,yi)和8(-3,”)在此函數(shù)圖象

上，則yi與”的大小關(guān)系是()

A.y\>yzB.y\<yzC.yi=y2D.無法確定

7.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖中△A8C繞著一個點旋轉(zhuǎn)，得到△AEC,點C的對

應(yīng)點C所在的區(qū)域在1區(qū)~4區(qū)中，則點。所在單位正方形的區(qū)域是()

A.1區(qū)B.2區(qū)C.3區(qū)D.4區(qū)

8.如圖，拋物線y=-/+2x+"?交x軸于點A(a,0)和B(b,0),交y軸于點C,拋物

線的頂點為。，下列四個結(jié)論：

①點C的坐標(biāo)為(0,,〃)；

②當(dāng),〃=0時，△ABO是等腰直角三角形；

③若a=-\,則b=4；

④拋物線上有兩點P(xi,yi)和。(xi,”)，若且XI+X2>2,則yi>”.

其中結(jié)論正確的序號是()

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A.①②B.①②③C.①②④D.②③④

二、填空題(共8道小題，每小題2分，共16分)

9.己知拋物線y=?+c,過點(0,2),則c=.

10.如圖，已知正方形0ABe的三個頂點坐標(biāo)分別為A(2,0),B(2,2),C(0,2),

若反比例函數(shù)y=[(4>0)的圖象與正方形。ABC的邊有交點，請寫出一個符合條件的

11.如圖，正方形ABC。內(nèi)接于的半徑為6,則崩的長為

12.如圖，在△4BC中，NC=90°,/A=a,AC=20,請用含a的式子表示BC的長

13.如圖，PA,PB是。0的切線，切點分別是點A和B,AC是。。的直徑.若NP=60°,

PA=6,則BC的長為.

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14.平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別是4(2,4),B(3,0),在第一象限內(nèi)以原

1

點。為位似中心，把△OAB縮小為原來的一，則點4的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為

2-------------

15.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧AB,點。是這段弧所在圓的圓心，AB=40%點

C是油的中點，且CD=10,",則這段彎路所在圓的半徑為m.

16.如圖，拋物線y=f+2x+2和拋物線y=7-2x-2的頂點分別為點M和點N,線段

經(jīng)過平移得到線段P。，若點Q的橫坐標(biāo)是3,則點P的坐標(biāo)是,MN平移到PQ

掃過的陰影部分的面積是.

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三、解答題（共6道小題，每小題5分，共30分）

17.（5分）計算：sin300+2cos60°Xtan6O°-sin245°.

18.（5分）如圖，在RtzMBC中，NC=9O°,tanA=BC=2,求AB的長.

（1）將二次函數(shù)化成y=a（x-/?）2+A的形式；

（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出y=-/-2x+3的圖象;

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y>0時x的取值范圍.

20.（5分）下面是小東設(shè)計的“過圓外一點作這個圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。0及。O外一點P.

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求作：直線以和直線PB,使布切。0于點A,PB切。。于點5.

作法：如圖，

1

①連接0P,分別以點0和點P為圓心，大于5。尸的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于

點M,N；

②連接交0P于點。，再以點。為圓心，0Q的長為半徑作弧，交OO于點A和點

B；

③作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：；0P是。。的直徑，

：.NOAP=NOBP=°（）（填推理的依據(jù)）.

J.PALOA,PBYOB.

'：0A,。8為。。的半徑，

：.PA,尸8是。0的切線.

4

21.（5分）如圖，A,B,C是。。上的點，siM=3，半徑為5,求BC的長.

22.（5分）課堂上同學(xué)們借助兩個直角三角形紙板進(jìn)行探究，直角三角形紙板如圖1所示，

分別為RtZ\ABC和其中乙4=/。=90°,AC=DE=2cm.當(dāng)邊AC與DE

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重合，且邊A8和。尸在同一條直線上時:

(1)如圖2在下邊的圖形中，畫出所有符合題意的圖形;

(2)求8尸的長.

四、解答題(共4道小題，每小題6分，共24分)

23.(6分)材料1：如圖1,昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當(dāng)今大跨度橋梁大多采用此種

結(jié)構(gòu).此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖2所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛

著主索，再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面承接橋

面的重量，主索幾何形態(tài)近似符合拋物線.

圖1

圖2

材料2：如圖3,某一同類型懸索橋，兩橋塔AO=BC=10"，間距AB為32加，橋面A3

水平，主索最低點為點尸，點尸距離橋面為2〃?；

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DC

為了進(jìn)行研究，甲、乙、丙三位同學(xué)分別以不同方式建立了平面直角坐標(biāo)系，如圖4：

圖4

甲同學(xué)：以QC中點為原點，DC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系；

乙同學(xué)：如圖5,以AB中點為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系:

圖5

丙同學(xué)：以點尸為原點，平行于AB的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

圖6

(1)請你選用其中一位同學(xué)建立的平面直角坐標(biāo)系，寫出此種情況下點C的坐標(biāo)，并求

出主索拋物線的表達(dá)式；

(2)距離點尸水平距離為4〃?和8機(jī)處的吊索共四條需要更換，則四根吊索總長度為多

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少米?

24.（6分）如圖，AB是。0的直徑，點C是圓上一點，點。是半圓的中點，連接CD交

。3于點E,點尸是AB延長線上一點，CF=EF.

（1）求證：FC是的切線；

（2）若CF=5,taM=與1求。。半徑的長.

25.（6分）如圖1,而是直徑AB所對的半圓弧，點P是法與直徑AB所圍成圖形的外部

的一個定點，AB=8aw,點C是腦上一動點，連接PC交AB于點D小明根據(jù)學(xué)習(xí)函

數(shù)的經(jīng)驗，對線段AD,CD,PD,進(jìn)行了研究，設(shè)A,。兩點間的距離為X。"，C,。兩

點間的距離為yic〃z,P,。兩點之間的距離為"c/n.

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)yi,經(jīng)隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探

究.下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整：

（1）按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點、畫圖、測量，分別得到了yi,"與x的幾組對

應(yīng)值：

x/cm0.001.002.003.003.204.005.006.006.507.008.00

y\/cm0.001.042.093.113.304.004.413.462.501.530.00

y21cm6.245.294.353.463.302.642.00m1.802.002.65

補(bǔ)充表格；（說明：補(bǔ)全表格時，相關(guān)數(shù)值保留兩位小數(shù)）

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(2)如圖2,在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點,

并畫出函數(shù)"的圖象：

圖2

(3)結(jié)合函數(shù)圖象解決問題：當(dāng)AO=2PO時，的長度約為.

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線瓜+c與y軸交于點A,將點A向右

平移2個單位長度，得到點B,點B在拋物線上.

(1)①直接寫出拋物線的對稱軸是;

②用含a的代數(shù)式表示6；

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫整點.點A恰好為整點，若拋物線在點4,8之間的部

分與線段48所圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)恰有1個整點，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出〃

的取值范圍.

五、解答題(共2道小題，每小題7分，共14分)

27.(7分)己知等邊△ABC,點。為8C上一點，連接AC.

(1)若點E是AC上一點，且CE=8￡),連接BE,8E與A。的交點為點P,在圖(1)

中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，直接寫出NAPE的大??；

(2)將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到AF,連接BF交AC于點。，在圖(2)中根

據(jù)題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段AQ和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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A

圖1圖2

28.(7分)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(-2,0)和點8(3,0),線段43和

線段A8外的一點P,給出如下定義：若45°WNAP8W90。時，則稱點尸為線段AB的

可視點，且當(dāng)出=PB時，稱點P為線段AB的正可視點.

(1)①如圖1,在點PM3,6),尸2(-2,-5),23(2,2)中，線段AB的可視點是；

②若點P在y軸正半軸上，寫出一個滿足條件的點尸的坐標(biāo)：.

(2)在直線y=x+8上存在線段AB的可視點，求〃的取值范圍；

(3)在直線y=-x+m上存在線段AB的正可視點，直接寫出，"的取值范圍.

圖1備用圖

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2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）下列各題均有四個選項，其中只有一個

是符合題意的.

1.如圖是某個幾何體的三視圖，該幾何體是（）

主視圖左視圖

△

俯視圖

A.長方體B.圓錐C.圓柱D.三棱柱

【解答】解：俯視圖是三角形的，因此這個幾何體的上面、下面是三角形的，主視圖和

左視圖是長方形的，且左視圖的長方形的寬較窄，因此判斷這個幾何體是三棱柱，

故選：D.

2.已知NA是銳角，tanA=l,那么/A的度數(shù)是（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【解答】解：YNA是銳角，tan4=l,

.?.NA的度數(shù)是:45°.

故選：C.

3.隨著國民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，我國涌現(xiàn)出一批規(guī)模大、效益高的企業(yè)，如大強(qiáng)、國家核電、

華為、鳳凰光學(xué)等，以上四個企業(yè)的標(biāo)志是中心對稱圖形的是（）

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

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B、是中心對稱圖形，故本選項正確；

C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

。、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：B.

4.如圖，AB為。。的直徑，弦CQLAB于點E,連接AC,OC,0D,若NA=20°,則/

C。。的度數(shù)為()

【解答】解：???弦C￡)_LAB,

：.BD=BC,

ZBOD=ZBOC=2ZA=2X20°=40°,

AZCOD=400+40°=80°.

故選：C.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點力，8坐標(biāo)分別為(1,0),(3,2),連接4B,將線段A8平移

后得到線段Ab,點A的對應(yīng)點4坐標(biāo)為(2,1),則點片坐標(biāo)為()

A.(4,2)B.(4,3)C.(6,2)D.(6,3)

【解答】解：(1,0)平移后得到點A'的坐標(biāo)為(2,1),

...向右平移I個單位，向上平移了1個單位，

：.B(3,2)的對應(yīng)點坐標(biāo)為(4,3),

故選：B.

6.二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象如圖所示，若點A(0,yi)和8(-3,”)在此函數(shù)圖象

上，則yi與"的大小關(guān)系是()

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A.yi>y2B.y\<y2C.y\—y2D.無法確定

【解答】解：點A(0,yi)和8(-3,”)在拋物線對稱軸x=-2的兩側(cè)，且點A比

點B禺對稱軸要逃，因此yi>)明

故選：A.

7.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖中△ABC繞著一個點旋轉(zhuǎn)，得到△ABC,點C的對

應(yīng)點C所在的區(qū)域在1區(qū)Y區(qū)中，則點。所在單位正方形的區(qū)域是()

A.1區(qū)B.2區(qū)C.3區(qū)D.4區(qū)

【解答】解：如圖，連接A4'、BB',分別作A4'、BB'的中垂線，兩直線的交點P

即為旋轉(zhuǎn)中心，

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由圖可知，線段AB和點C繞著P點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,

...點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后所得對應(yīng)點C'落在4區(qū)，

故選：D.

8.如圖，拋物線y=-/+2x+"?交x軸于點A(a,0)和BCh,0),交y軸于點C,拋物

線的頂點為。，下列四個結(jié)論:

①點C的坐標(biāo)為(0,m)；

②當(dāng)機(jī)=0時，△A3。是等腰直角三角形；

③若a--\,則b—4；

④拋物線上有兩點P(xi,yi)和。(也，”)，若xi<1<也,且XI+X2>2,則yi>".

C.①②④D.②③④

【解答】解：①???拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,“)，

:?C(0,m),

故①正確；

②當(dāng)機(jī)=0時，拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為(0,0)、(2,0),

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對稱軸方程為x=l,

...△A3。是等腰直角三角形，

故②正確；

③當(dāng)4=-1時，拋物線與X軸的一個交點坐標(biāo)為（-1,0）,

?對稱軸X=l,

.??另一個交點坐標(biāo)為（3,0）,

:.b=-3,

故③錯誤；

④觀察二次函數(shù)圖象可知：

當(dāng)XI<1VQ,且xi+r>2,則yi>".

故④正確.

故選：C.

二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）

9.已知拋物線y=/+c,過點（0,2）,則c=2.

【解答】解：?.?拋物線>=/+。，過點（0,2）,

.,.0+c=2,

:?c=2,

故答案為：2.

10.如圖，已知正方形0ABe的三個頂點坐標(biāo)分別為A（2,0）,B（2,2）,C（0,2）,

若反比例函數(shù)y=[*>0）的圖象與正方形OABC的邊有交點，請寫出一個符合條件的

k值k=l（滿足條件的左值的范圍是0VZW4）.

九

3-

2CB

1-

-10123x

【解答】解：?.?反比例函數(shù)）=9（k>0）的圖象與正方形OABC的邊有交點，

JX

.?.把8（2,2）代入），=：得，k=4,

滿足條件的k值的范圍是0<%W4,

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故％=1（答案不唯一），

故答案為：％=1（滿足條件的％值的范圍是0<kW4）.

II.如圖，正方形A8C。內(nèi)接于。0,。0的半徑為6,則福的長為3TT

【解答】解：連接OB,0C,則0C=0B=6,ZBOC=90°,

...磯?的弧長為——rtX6=3n,

故答案為31T.

12.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZA=a,AC=20,請用含a的式子表示BC的長20tana

B

【解答】解：在△ABC中，NC=90°,

tanA=福

所以BC=AClanA=20tana.

故答案為20tana.

13.如圖，PA,PB是O。的切線，切點分別是點A和'AC是。。的直徑.若NP=60°,

%=6,則BC的長為2布.

C

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【解答】解：連接AB,

'：PA,PB是的切線，

：.PA^PB,

VZP=60°,

△必B為等邊三角形，

，AB=B4=6,ZB4B=60°,

'.'PA是OO的切線，

勿C=90°,

：.ZCAB=30Q,

：AC是。。的直徑，

；./ABC=90°,

在RtzMBC中，8c=4B?tan/C4B=6x整=2次,

故答案為：2a.

14.平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別是A(2,4),B(3,0),在第一象限內(nèi)以原

點。為位似中心，把△。"縮小為原來《則點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為52).

【解答】解：以原點。為位似中心，把△。的縮小為原來疇A⑵4),

A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為(2x1,4x1),即(1,2),

故答案為：(1,2).

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15.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧AB,點。是這段弧所在圓的圓心，AB=40,”，點

C是油的中點，且8=10機(jī)，則這段彎路所在圓的半徑為

：.AD=DB=20m,

在RtZXA。。中，OA2=01^+AD2,

設(shè)半徑為，得：2=(r-10)2+202,

解得：r=25m,

.??這段彎路的半徑為25〃?.

故答案為：25.

16.如圖，拋物線y=/+2x+2和拋物線y=/-2r-2的頂點分別為點M和點N,線段MN

經(jīng)過平移得到線段P。，若點Q的橫坐標(biāo)是3,則點P的坐標(biāo)是(1,5),MN平移

【解答】解：如圖，連接PM，QN,MQ、PN.

由y=/+2x+2=(x+1)2+1,y=/-2x-2=(x-1)2-3,知M(-1,1),N(1，-

3).

?點。的橫坐標(biāo)是3,點。在拋物線y=7-2x-2上，

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."=32-2X3-2=1.

：.Q(3,1).

二線段MN先向上平移4個單位，然后向右平移2個單位得到線段PQ.

二點P的坐標(biāo)是(1,5),

:.PNLMQ,且PN與相互平分，

平行四邊形PMNQ是菱形.

11

根據(jù)平移的性質(zhì)知，S陰影部分=5菱形PMNQ=^PN?MQ=XX4X8=16.

三、解答題（共6道小題，每小題5分，共30分）

17.（5分）計算：sin300+2cos60°Xtan600-sin2450.

【解答】解：sin30°+2cos60°Xtan60°-sin2450

=4+2x*xV3—（￥產(chǎn)，

=V3.

18.（5分）如圖，在RtzMBC中，/C=90°,tanA=BC=2,求AB的長.

【解答】解：?.?在RtAABC中,NC=90°,

..BC1

..tanA=^=T

,:BC=2,

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21

一，AC=6.

AC3

VAB2=AC2+BC2=40,

：.AB=2V10.

19.(5分)己知二次函數(shù)y=-x2-2x+3.

(1)將二次函數(shù)化成y=a(x-〃)2+k的形式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出)，=-/-2x+3的圖象;

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出)，＞0時x的取值范圍.

【解答】解：(1)y=-*-2x+3

=-(/+2r+l-1)

2

=-(JC+1)+4；

(2)拋物線的頂點坐標(biāo)為(-1,4),

當(dāng)x=0時，y=-x1-2x+3=3,則拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0,3)；

當(dāng)y=0時，-2x+3=0,解得xi=l,X2=-3,則拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(-3,

0),(1,0)；

如圖，

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20.（5分）下面是小東設(shè)計的“過圓外一點作這個圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。0及（3。外一點尸.

求作：直線網(wǎng)和直線P8,使心切OO于點A,PB切于點B.

作法：如圖，

①連接OP,分別以點。和點P為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于

點M，N；

②連接MN,交0尸于點Q,再以點。為圓心，0。的長為半徑作弧，交。。于點A和點

B；

③作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：：0P是OQ的直徑，

.?.NOAP=/OBP=90°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）.

：.PA1.OA,PBA.OB.

,：OA,OB為。。的半徑，

：.PA,P8是。。的切線.

第22頁共38頁

（2）完成下面的證明.

證明：:OP是。。的直徑，

...NOAP=/OBP=90°（直徑所對的圓周角是直角），

：.PALOA,PBA.OB.

,：OA,08為的半徑，

：.PA,尸3是。0的切線.

故答案為90,直徑所對的圓周角是直角.

21.（5分）如圖，A,B,C是。。上的點，sitL4=g半徑為5,求BC的長.

【解答】證明：方法I：連接08，OC,過點O作OO_LBC,如圖1

第23頁共38頁

A

事』

圖1圖2

?：OB=OC,且OD_LBC,

1

，ZBOD=ZCOD=?NBOC,

1

VZA=^ZBOC,

4

:"B0D=4A,sinA=sinN8QD=1,

???在RtZ^OQ中，

：.sinZBOD=^=^,

*：OB=5,

BD4

/.—=BO=4,

55

?:BD=CD,

???5C=8.

方法H：作射線8。，交OO于點。，連接OC,如圖2.

???3。為oo的直徑，

：.ZBCD=90°,

VZBDC=NA,

4

.,.sinA=sinZBDC=^,

???在RtZiBOC中，

RC4

sinZBDC=前=耳.

VOB=5,BD=10,

e￡￡_4

??=1,

105

：.BC=S.

22.（5分）課堂上同學(xué)們借助兩個直角三角形紙板進(jìn)行探究，直角三角形紙板如圖I所示，

分別為RtZXABC和RtADEF,其中乙4=/。=90°,AC=DE=2cm.當(dāng)邊AC與DE

第24頁共38頁

重合，且邊A8和。尸在同一條直線上時:

(1)如圖2在下邊的圖形中，畫出所有符合題意的圖形;

(2)求8尸的長.

【解答】解：(1)補(bǔ)全圖形如圖：

(2)情況I,如圖1：

.在RtZXAC尸中，ZF=ZACF=45°,

.'.AF=AC=2cm.

?在RtZSACB中，ZB=30°,

：.BC=A,AB=2V3.

：.BF=(2A/3+2)cm.

情況H,如圖2：

?在RtZXACF中，ZF=ZACF=45°,

.'.AF=AC=2cfn.

???在中，ZB=30°,

；.BC=4,AB=2V3.

：.BF=(2V3-2)cm.

四、解答題(共4道小題，每小題6分，共24分)

23.(6分)材料1：如圖1,昌平南環(huán)大橋是經(jīng)典的懸索橋，當(dāng)今大跨度橋梁大多采用此種

結(jié)構(gòu).此種橋梁各結(jié)構(gòu)的名稱如圖2所示，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間，懸掛

著主索，再以相應(yīng)的間隔，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面承接橋

第25頁共38頁

面的重量，主索幾何形態(tài)近似符合拋物線.

圖1

材料2：如圖3,某一同類型懸索橋，兩橋塔AO=BC=10，〃，間距A3為32皿，橋面A3

水平，主索最低點為點P,點尸距離橋面為2〃?；

甲同學(xué)：以。C中點為原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系；

乙同學(xué)：如圖5,以A8中點為原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系;

第26頁共38頁

圖5

丙同學(xué)：以點P為原點，平行于A8的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

）A

圖6

（1）請你選用其中一位同學(xué)建立的平面直角坐標(biāo)系，寫出此種情況下點C的坐標(biāo)，并求

出主索拋物線的表達(dá)式；

（2）距離點P水平距離為4,”和8初處的吊索共四條需要更換，則四根吊索總長度為多

少米？

【解答】解：當(dāng)選擇甲同學(xué)的坐標(biāo)系時，

（1）由圖可知，點C的坐標(biāo)為（16,0）,

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a/+c（a#0）,

由題意可知，C點坐標(biāo)為（16,0）,P點坐標(biāo)為（0,-8）,

[162xa+c=0

1=-8'

解得[”強(qiáng)，

（c=-8

，主索拋物線的表達(dá)式為尸導(dǎo)2,8;

（2）x=4時，y=得x4~-8=—學(xué)＞此時吊索的長度為10—字=,（帆）,

由拋物線的對稱性可得，x=-4時，此時吊索的長度也為T”，

2

同理，x=8時，y=^x82-8=-6,此時吊索的長度為10-6=4（加），

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X=-8時，此時吊索的長度也為4/77,

55,

V--+4+4=13(米)，

2+2

四根吊索的總長度為13米.

當(dāng)選擇乙同學(xué)的坐標(biāo)系時，

(1)由圖可知，點C的坐標(biāo)為(16,10),

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=/+c(aW0),

由題意可知，C點坐標(biāo)為(16,10),P點坐標(biāo)為(0,2)

fl62xQ+c=10

Q=2

解得卜=克.

=2

...主索拋物線的表達(dá)式為y=拉+2；

[「5

(2)x=4時，y=^2X42+2=此時吊索的長度為3小，

由拋物線的對稱性可得，x=-4時，此時吊索的長度也為|〃?，

同理，x=8時，)=奈+2=4,此時吊索的長度為4機(jī)，

x=-8時，此時吊索的長度也為4m,

55,

,.,-+-4-4+4=13(米)，

22

四根吊索的總長度為13米.

當(dāng)選擇丙同學(xué)的坐標(biāo)系時，

(1)由圖可知，點C的坐標(biāo)為(16,8),

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=o?(a#0)

162Xa=8,

1

解得a—22，

...主索拋物線的表達(dá)式為丫=焉/;

1115

(2)x=4時，y-X42=此時吊索的長度為7+2=:(加),

由拋物線的對稱性可得，x=-4時，此時吊索的長度也為|加，

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同理，x=8時，尸*x8?=2,此時吊索的長度為2+2=4(〃?)，

x=-8時，此時吊索的長度也為4〃?，

55,

V-+-+4+4=13(米),

22

四根吊索的總長度為13米.

24.(6分)如圖，A8是。0的直徑，點C是圓上一點，點力是半圓的中點，連接C￡＞交

08于點E,點尸是AB延長線上一點，CF=EF.

(1)求證：FC是。。的切線；

(2)若CF=5,tanA=發(fā)求半徑的長.

【解答】(1)證明：如圖，連接

???點。是半圓的中點，

/.ZAOD^ZBOD=90°,

：.ZODC+ZOED=90°,

'：OD=OC,

：.N0DC=N0CD.

又,：CF=EF,

：.NFCE=NFEC.

,/NFEC=AOED,

；.NFCE=/0ED.

：.ZFCE+Z0CD=Z0ED+Z0DC=90°,

即FCA.OC,

是。。的切線；

(2)解：VtanA=

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25.（6分）如圖1,而是直徑A3所對的半圓弧，點P是腦與直徑AB所圍成圖形的外部

的一個定點，AB=8a〃，點C是砂上一動點，連接PC交A2于點。.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函

數(shù)的經(jīng)驗，對線段AO,CD,PD,進(jìn)行了研究，設(shè)A,。兩點間的距離為xc7〃，C,0兩

點間的距離為yic/n,P,。兩點之間的距離為

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，分別對函數(shù)），1,”隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探

究.下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整：

（1）按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點、畫圖、測量，分別得到了”與x的幾組對

第30頁共38頁

應(yīng)值:

x/cm0.001.002.003.003.204.005.006.006.507.008.00

y]/cm0.001.042.093.113.304.004.413.462.501.530.00

y21cm6.245.294.353.463.302.642.00m1.802.002.65

補(bǔ)充表格；(說明：補(bǔ)全表格時，相關(guān)數(shù)值保留兩位小數(shù))

(2)如圖2,在同一平面直角坐標(biāo)系，中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點,

并畫出函數(shù)”的圖象：

圖2

(3)結(jié)合函數(shù)圖象解決問題：當(dāng)時，4力的長度約為4.54.

【解答】解：(1)通過取點、畫圖、測量，可得機(jī)=1.73,

(2)如圖

圖2

第31頁共38頁

(3)..,當(dāng)A￡>=2P￡>,

：.PD=^AD,

在(2)中圖象中作出y=%的圖象，并測量兩個函數(shù)圖象交點得：40=4.54,

故答案為：4.54.

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，拋物線)，="2+康+《.與>軸交于點4,將點A向右

平移2個單位長度，得到點8,點8在拋物線上.

(1)①直接寫出拋物線的對稱軸是直線x=l；

②用含〃的代數(shù)式表示/>;

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫整點.點A恰好為整點，若拋物線在點A,8之間的部

分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)恰有1個整點，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出。

的取值范圍.

【解答】解：(1)①'.乂與B關(guān)于對稱軸x=l對稱，

???拋物線對稱軸為直線x=l,

故答案為直線x=l;

②:拋物線y=cv^+hx+c與y軸交于點A,

???A(0,c)

點A向右平移2個單位長度，得到點8(2,c),

???點8在拋物線上，

/.4〃+2/?+c=c,

??力=-2a.

(2)方法一：如圖1,若t/>0,

VA(0,c),B(2,c),

二區(qū)域內(nèi)(不含邊界)恰有1個整點。的坐標(biāo)為(1,c-1),則理另一個整點E(1,c

-2)不在區(qū)域內(nèi)，

,把x=1代入拋物線y—ax2+bx+c得y—a+b+c--a+c,

???根據(jù)題意得卜一lAc-a,解得lVaW2,

—2<c—a

如圖2,若aVO,

同理可得卜+1<c-a,解得-2?-1

+22C—Q

第32頁共38頁

綜上，符合題意的〃的取值范圍為-2<a<-1或l<aW2.

方法二：；AB=2,點A是整點，

點C到AB的距離大于1并且小于等于2.

???點C到AB的距離表示為c-a,減去c的差的絕對值,

...lV|c-a-c|W2,即lV|aW2,

五、解答題（共2道小題，每小題7分，共14分）

27.（7分）已知等邊△ABC,點。為BC上一點，連接AD

（1）若點E是AC上一點，且CE=B￡）,連接BE,BE與A。的交點為點P,在圖（1）

中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，直接寫出/APE的大??；

（2）將AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到AF,連接8尸交AC于點Q,在圖（2）中根

據(jù)題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段AQ和C。的數(shù)量關(guān)系，并證明.

第33頁共38頁

A

圖1圖2

【解答】（1）補(bǔ)全圖形圖1,

(AB=BC

證明：在△ABO和△BEC中，乙48。=4c=60。

BD=CE

:?△ABgABEC(SAS)

：.ZBAD=ZCBE.

:/APE是△A8P的一個外角,

???NAPE=NBAD+NABP=NCBE+/ABP=ZABC=60°；

(2)補(bǔ)全圖形圖2,AQ=^CD,

AB=BC

證明：在△ABD和△BEC中，(乙4BD=4c=60。

BD=CE

：./\ABD^/\BEC(SAS)

:?/BAD=/CBE,

???ZAPE是△ABP的一個外角，