高中數(shù)學(xué) B版 必修5 筆記 人教版

第一章解三角形

1.1解三角形及三角函數(shù)的應(yīng)用

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1.解三角形的的常用定理：

(1)內(nèi)角和定理：A+8+C=%結(jié)合誘導(dǎo)公式可減少角的個(gè)數(shù).

nhc

(2)正弦定理：--=--=--=2R(R指AABC外接圓的半徑)

sinAsinBsinC

(S=—absinC=—besinA=—tzesinB)

222

(3)余弦定理：/+/-2abcosC=c?2及其變形.

(4)勾股定理：RtMBC^a2+b2=c2

2.解三角形是指J知三角形中的部分元素運(yùn)用邊角的關(guān)系求得其他的邊角的問題.

三角函數(shù)的應(yīng)用是指用三角函數(shù)的理論解答生產(chǎn)、科研和日常生活中的實(shí)際應(yīng)用問題.

他的顯著特點(diǎn)是(1)意義反映在三角形的邊、角關(guān)系上，有直角三角形，也有斜三角形.(2)

函數(shù)模型多種多樣，有三角函數(shù)，有代數(shù)函數(shù)，有時(shí)一個(gè)問題中三角函數(shù)與代數(shù)函數(shù)并存.

解三角函數(shù)應(yīng)用題一般首先審題，三角函數(shù)應(yīng)用題多以“文字語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言”并用的方式,

要通過審題領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)的本質(zhì)，將問題中的邊角關(guān)系與三角形聯(lián)系起來(lái)，確定以什么樣的

三角形為模型，需要哪些定理或邊角關(guān)系列出等量或不等量關(guān)系的解題思路；其次，尋求變

量之間的關(guān)系，也即抽象出數(shù)學(xué)問題，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言等

方式來(lái)思考解決問題；再次，討論對(duì)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)對(duì)照討論變量的性質(zhì)，從而得到的是數(shù)

學(xué)參數(shù)值；最后，按題目要求作出相應(yīng)的部分問題的結(jié)論.

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.時(shí)各類定理的應(yīng)用要注意使用其變形逆用.同時(shí)充分利用方程的思想知道其中的部分量可求

出其他量.

2.三角函數(shù)的應(yīng)用主要是圖像和性質(zhì)的應(yīng)用.

3.三角形中元素關(guān)系的應(yīng)用與實(shí)際問題中的應(yīng)用關(guān)鍵是如何建立數(shù)模結(jié)構(gòu).

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

［例1］已知方程/+4辦+3。+1=0(a為大于1的常數(shù))的兩根為tana,tan/,

且a、1，］)，則tan212的值是.

錯(cuò)解：Vtan?,tan/7^^^Sx2+4ax+3a+l=0的兩個(gè)根

tana+tan1二-4ci，tana?tan/=3a+1

tancr+tan/7_-4a4

由tan(二+6)=-------------------------------r=一可得tan*=±2.

I-tana-tan[5I-(37a+1)32

錯(cuò)因：忽略了隱含限制tana,tan尸是方程/+45+3〃+1=0的兩個(gè)負(fù)根，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正解：*:a>\tana+tan/3=-4a<0,tana?tan/=3〃+1>o

/.tana,tan/7是方程/+4QX+3Q+1=0的兩個(gè)負(fù)根

又a>[3e

./tana+tan￡-4Q4a+￡、

由tan(二+/)=------------=—7------；=一可得tan——匕=-2.

''1-tanatan^l-(3a+l)32

答案:-2.

[例2]在A48C中，已知a,b,c是角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊，貝ij

①若a>%,則/(x)=(sinA-sinB)?x在R上是增函數(shù)：

@^a2-b2=(acosB+bcosA)2,則&ABC是RfA；

③cosC+sinC的最小值為-V2；

④若cosA=cos28,則A=B；

3

⑤若(l+tanA)(l+tan3)=2,則A+8=—萬(wàn)，其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是.

4

錯(cuò)解：③④⑤中未考慮0<C<乃.

錯(cuò)因：④中未檢驗(yàn).

正解：錯(cuò)誤命題③⑤.

①a>〃=sinA>sin8,sinA-sin5>0

/(x)=(sinA-sin8)x在R上是增函數(shù)。

@a2-b2=c2,a2=b2+c?,則AABC是R叢.

③sinc+cosc-V2sin(c+—),當(dāng)sin(c+—)=-1,最小值為-V2.

44

顯然0<c<乃,.得不到最小值為一72.

④cos2A=cos2B=>i>2A=2B,A=B

或2A=2乃一28,4=萬(wàn)-8,4+8=不(舍)，A=8.

⑤1+tanA+tan8+tanA?tanfi=2,1-tanA?tan6=tanA+tanB

tan4+tan81小14n71

--------------------L即Rrltxan(Az44-B)—1,A+8=—

1-tanA-tanB---------------------------------------------4

?二錯(cuò)誤命題是③⑤.

［例3］函數(shù)地尸,inxcosx的值域?yàn)開_____________

1+sinx+cos%

錯(cuò)解:V_2，-F_2

令后忽視從而且⑺=一.力

錯(cuò)因:t=sinx+cosxr*-1,7

克」，-心

正解:'V|_2

22J

［例4］(06年高考江蘇卷)cot200cos10°+V3sin10°tan700-2cos400=

【思路點(diǎn)撥】本題考查三角公式的記憶及熟練運(yùn)用三角公式計(jì)算求值

解：cot20°cos100+V3sinl00tan700-2cos40°

cot20°cos10°sin100sin700

-2cos40°

sin20°cos70°

cos20°cos10°+V3sin10°cos20°

-2cos40°

sin20°

cos20°(cos10°+V3sinl00)

-2cos40°

sin20°

2cos20°(cos10°sin300+sin100cos30。)

-2cos40°

sin20°

_2cos20°sin40°-2sin20°cos40°

sin20°

=2

【解后反思】方法不拘泥，要注意靈活運(yùn)用，在求三角的問題中，要注意這樣的口決“三看”即

（1）看角，把角盡量向特殊角或可計(jì)算角轉(zhuǎn)化，（2）看名稱，把一道等式盡量化成同一名稱或相近

的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切，（3）看式子，看式

子是否滿足三角函數(shù)的公式.如果滿足直接使用，如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱，就可

以使用.

［例5］在銳角AABC中，A<B<C,且B=60°,

,________________________/T_i

7(1+COS271)(1+cos2C)二號(hào)」，求證:a+V2Z?=2c.

解：VB=60°A+C=120°cos(A+Q=-—

又由已知J2cos2A?2cos?C=二L?銳角AABC中，cosA>0,cosC>0,

2

V3-1V3+1

/.cosAcosC=------sinAsinC=

44

.\cos(C-A)=^y即C-A=30°

；.A=45°B=60°C=75°

*7-4-

00

a+V2b=2R(sin45+-x/2sin60)=2?2R_=2?2Rsin75°=2c

4

［例6］如圖，在平面有點(diǎn)A、B、P、Q,其中|4理=百，］44=忸2|=|0同=1,設(shè)4醺8與

△PQB面積為S、T,求S?+T2的取值范圍.

解：設(shè)NBAP=aaG[0,-]

2

ZBQP=B,在△PAB,APBQ中

由余弦定理cosB=cosa-1

S2+T2=sina)2+(—sin3)2

22

3,1、27

=——(cosa———尸)+—

22A/38

當(dāng)cosa=1時(shí)，S'd有最小值』百一3

I7

當(dāng)cosa=一產(chǎn)時(shí)，S'+T?有最大值一

2738

［例7］已知函數(shù)段尸sin（3x+（p）,xeR,（其中3>0）的圖像與x軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為N

（6,0），又;（2+x尸拿2-x）?）<0,求這個(gè)函數(shù)的解析式.

解:vf(2+x)=f(2-x)

，f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，又x軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為N(6,0)

—=6-2=4,即7=16,/.co=—=—,

4T8

■7T3乃

將N(6,0)代入f(x)=sin(&x+(p)得:sin(—+<p)=0,

84

得:(p=2k/r+—或(p=2k;r+——(keZ),

44

?,-f(0)<0,.-.q)=2k;r+2(keZ),滿足條件的最小正數(shù)(p=笆，

44

/.所求解析式f(x)=sin(

［例8］已知AABC的周長(zhǎng)為6,|就,而,而|成等比數(shù)列，求

(1)AABC的面積S的最大值;

(2)BA-8C的取值范圍.

解設(shè)依次為a,b,c,則a+b+c=6,b2=ac,

22

由余弦定理得cosB=a+c'-bQ~+C—CIC

2ac2ac

故有0<84C,又6=病<竺^=生也，從而0<bW2

322

(1)所以S=Lacsin8=L/sin8wL.22?sin2=百，B|JSmax=#)

2223

八、?a2+c2-b'(a+c)2-2ac-b~

(2)所以8A?8C=accos8=------------------=--------------------------

22

_2

(6-/?r-3/r=(/?+3)+27

■,-0<h<2,:.2<BABC<IS,

四、典型習(xí)題導(dǎo)練

BAA

1.在RtAABC中,C=90°，則sinAcos2(45°——)-sin一cos一

222

A.有最大值,和最小值0B.有最大值,但無(wú)最小值

44

C.即無(wú)最大值也無(wú)最小值D.有最大值,但無(wú)最小值

2

JI

2.要得到y(tǒng)=sin2x的圖像，只需將y=cos（2x--）的圖像（)

4

JIJIJI

A.向右平移一B.向左平移一C.向右平移一

884

3.電流強(qiáng)度I（安）隨時(shí)間t（秒）變化的函數(shù)

1=A-sin?f+g（4>0,ty*0）的圖像如圖

所示，則當(dāng)/=」-秒時(shí)，電流強(qiáng)度是安.

50

4.在4ABC中,sin4singsinC=」4QABC的形狀

2228

為?

5.直角三角形的周長(zhǎng)為定值2/,則斜邊的最小值是

6.如果方程X2-4XCOS0+2=0與方程2x2+4xsin20-1=0有一根，互為倒數(shù)求?值,

其中0<0<JT.

7T

7.如圖，已知一半徑為1,圓心角為一的扇形中，有一個(gè)一邊在半經(jīng)上的內(nèi)接矩形ABCD,

3

求該矩形的最大面積.

jr

8.在AA8C中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)a+c=2b,A-C--,求sinB

3

的值.

第二章數(shù)列

2.1數(shù)列概念

知識(shí)清單

1.數(shù)列的概念

（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；

數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作乙，在數(shù)列第?個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)）,

在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號(hào)為〃的項(xiàng)叫第〃項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作/；

數(shù)列的一般形式：ax,a2,a3,……,4,……,簡(jiǎn)記作｛a“｝。

(2)通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列｛%｝的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么

這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

例如，數(shù)列①的通項(xiàng)公式是=n(n<7,〃eN+),

數(shù)列②的通項(xiàng)公式是=—(neN+

n

說明：

①｛4｝表示數(shù)列，%表示數(shù)列中的第〃項(xiàng)，a“=/(〃)表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；

—]〃—2k--1

②同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，4=(—1)"=4伙eZ)；③

+1,n-2k

不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1,1.4,1.41,1.414,……

(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：

序號(hào)：123456

項(xiàng)：456789

上面每一項(xiàng)序號(hào)與這?項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函

數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N.(或它的有限子集)的函數(shù)/(〃)當(dāng)自變量〃

從1開始依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值/(1),/(2),/(3),……，/(?),…….通常用來(lái)

代替/(〃)，其圖象是一群孤立點(diǎn)。

(4)數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)

之間的大小關(guān)系分：?jiǎn)握{(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。

(5)遞推公式定義：如果已知數(shù)列｛4｝的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)凡與它的前一項(xiàng)a,-

(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。

5(〃=1)

(6)數(shù)列｛?"｝的前”項(xiàng)和S”與通項(xiàng)冊(cè)的關(guān)系：4

S“—S3心2)

課前預(yù)習(xí)

1.根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式:

(1)1,3,5,7...；

22-132-142-152-1

(2),----------,------

2345

1111

(3)

1*22*33*44*5

2.數(shù)列｛a“｝中，已知a“=~~~一-(〃eN+),

⑵用上面的數(shù)列｛4｝,通過等式a=%-an+i構(gòu)造新數(shù)列也｝,寫出力,并寫出｛〃｝

的前5項(xiàng)。

5.（05廣東，14）設(shè)平面內(nèi)有〃條直線（〃23）,其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三

條直線不過同一點(diǎn).若用/（?）表示這〃條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則/（4）=；當(dāng)〃>4

時(shí)，/（〃）=（用〃表示）。

6.（2003京春理14,文15）在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡

的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi)。

年齡（歲）303s404550556065

收縮壓（水銀柱毫米）110US12012513013S(一)14S

舒張壓（水銀柱毫米）707375788083（一）88

2.2等差數(shù)列

知識(shí)清單

1、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一

個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表

示。用遞推公式表示為an-h=N2）或an+l-a?^d（n>1）。

2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a“=%

說明：等差數(shù)歹U(通常可稱為AP數(shù)列)的單調(diào)性：4>0為遞增數(shù)列，4=0為常數(shù)列，4<0

為遞減數(shù)列。

3、等差中項(xiàng)的概念：

定義：如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做。與力的等差中項(xiàng)。其中A=小

2

a,A,匕成等差數(shù)列

2

4,等差數(shù)列的前〃和的求和公式：S?=嗎*。="4+迎二Dd?

22

5、等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)在等差數(shù)列｛%｝中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；

(2)在等差數(shù)列｛2｝中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是AP,

女口：,。3，。5'a：,??????；。3，。8，。13，8，?

Z7一0

(3)在等差數(shù)列｛。“｝中，對(duì)任意機(jī)，nwN「a=a+(?-m)d,d------(mn)；

nmn-m

(4)在等差數(shù)列｛”“｝中，若m,n,p,qeN+且m+n=p+q,貝ij%,+a“=%,+4；

說明：設(shè)數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且公差為d,

C

(I)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2〃項(xiàng)，則①S奇—S偶=nd：②上='；

s偶。〃+1

S4n

(H)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2“一1項(xiàng)，則①S偶一S奇=%=a中；②』=——。

S仙n—\

6、數(shù)列最值

(1)q>0,d<0時(shí)，S?有最大值；4<0,d>0時(shí)，Sn有最小值；

(2)S“最值的求法：①若已知S“，可用二次函數(shù)最值的求法(〃eN+)；②若已知可，則

Aa>0[a<0

S〃最值時(shí)〃的值(nwNQ可如下確定<〃n或<"no

[?！?1<0b?+i20

課前預(yù)習(xí)

1.(01天津理,2)設(shè)S是數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，且￡=值則｛&｝是()

A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列

C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列

2.（06全國(guó)I）設(shè)｛4｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若q+%+/=15，%。2a3=80,則

a｝i+a]2+a]3=（）

A.120B.105C.90D.75

3.（02京）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,

則這個(gè)數(shù)列有（）

A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)

4.（01全國(guó)理）設(shè)數(shù)列｛4｝是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的

首項(xiàng)是（）

A.1B.2C.4D.6

5.（06全國(guó)II）設(shè)S是等差數(shù)列｛a｝的前"項(xiàng)和，若區(qū)=,，則盤=

§63Sl2

6.（00全國(guó)）設(shè)｛為｝為等差數(shù)列，S,為數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和，已知S=7,Ss=75,A為

數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，求T“。

n

7.（98全國(guó)）已知數(shù)列（AJ是等差數(shù)列,*1,7+/+…+兒=100.

（I）求數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)b“；

（II）設(shè)數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)a?=U（l+—）,記S是數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和，試比較S,與Llgb⑹

bn2

的大小，并證明你的結(jié)論。

8.（02上海）設(shè)｛4｝（/?GN*）是等差數(shù)列，S,是其前〃項(xiàng)的和，且W=S>&,則

下列結(jié)論埼送的是（）

A.d<0B.&=0C.&>￡D.S與S均為S,的最大值

9.（94全國(guó)）等差數(shù)列｛a〃｝的前而項(xiàng)和為30,前2卬項(xiàng)和為100,則它的前3勿項(xiàng)和為（）

A.130B.170C.210D.260

疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.數(shù)列的概念應(yīng)注意幾點(diǎn)：（1）數(shù)列中的數(shù)是按定的次序排列的，如果組成的數(shù)相同

而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列；（2）同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)；（3）數(shù)列

看做一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集（｛1,2,3,…，n｝）的函數(shù).

2.一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通常不是唯一的.

[5,（?=1）,

3.數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)的和S.與間的關(guān)系：*《1〉若④適合

EFI（n>2）.

a.（n22），則%不用分段形式表示，切不可不求ai而直接求a”.

4.從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a?=a,+(n-l)d=d-n+a「d,a。是關(guān)于n的一

次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)(n,%)均勻排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定一條

直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定個(gè)等差數(shù)列.

5、對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式的理解：等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式可變形為

2n

Sn-y/7+(tZ]~~)>若令A(yù)=g,B=a,—y,貝IjS"=Arf'+Bn.

6、在解決等差數(shù)列問題時(shí)，如已知，a.,a”，d,Sn,n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。

經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]已知數(shù)列1,4,7,10,3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3.(1)指出這個(gè)數(shù)列的通

項(xiàng)公式；(2)指出1+4+-+(3n-5)是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之和.

錯(cuò)解：(1)a?=3n+7;

(2)1+4+-+(3n-5)是該數(shù)列的前n項(xiàng)之和.

錯(cuò)因：誤把最后一項(xiàng)(含n的代數(shù)式)看成了數(shù)列的通項(xiàng).(1)若令n=l,ai=10H1,顯然3n+7

不是它的通項(xiàng).

正解：(1)a?=3n-2;

(2)1+4+…+(3n—5)是該數(shù)列的前n—1項(xiàng)的和.

[例2]已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)之和為①S“=2〃2_〃②S“=〃2+〃+1

求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

22

錯(cuò)解：①an=2n-n-2(n-1)+(/?-1)=4/i-3

22

②an=H+n+l-(n-1)-(n-1)-1=2n

錯(cuò)因：在對(duì)數(shù)列概念的理解上，僅注意了a=Sn—Se與的關(guān)系，沒注意a二S1.

正解：①當(dāng)及=1時(shí)，a]=S[=1

22

當(dāng)〃22時(shí),an=2n—n—2(n—l)4-(n—1)=4n—3

經(jīng)檢驗(yàn)〃=1時(shí)卬=1也適合，「.。〃二4〃-3

②當(dāng)〃=1時(shí)，a]=S[=3

當(dāng)〃22時(shí)，氏+〃+1—(〃-I)2—(〃-1)—1=2〃

._f3(〃=1)

??ci—<

"[2n(〃>2)

［例3］已知等差數(shù)列［“｝的前n項(xiàng)之和記為S.，SuFlO,SM=70,則SM等于

錯(cuò)解:Sso=S10?2d.d=30,Sio=S：w+d=100.

錯(cuò)因:

將等差數(shù)列中S.,S2m—S”,S3.-S編成等差數(shù)列誤解為S”S2m>S30成等差數(shù)列.

10%+2=1。22

正解:由題意：<30x29得％=

30%+--------a=70

2

40x30

代入得So=404+x40d=120。

42

［例4］等差數(shù)列｛4｝、曲,｝的前n項(xiàng)和為S.、T,?若&=J"1(〃eN+),求”;

Tn4〃+27b1

錯(cuò)解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故山題意令aF7n+l;bn=4n+27.

a1_7x7+1_10

^--4x7+27

錯(cuò)因：誤認(rèn)為——=―-

T〃bn

正解：.?.生=%+%=_7x13+1=92

b7%+〃7ri34x13+2779

［例5］已知一個(gè)等差數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式an=25-5n,求數(shù)列｛|an|｝的前n項(xiàng)和;

錯(cuò)解：山為20得n<5

???｛〃〃｝前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù),

Sn=a1+a2+a3+ai+a5=50(n<5)

當(dāng)nN6時(shí)，Sn=Ia?|+|a7I+Ia?I+???+Ia?I=-------'""------

2

50,n<5

???Sn=<(20—5〃)(〃一5),

--------------------,n>6

I2

錯(cuò)因：一、把n45理解為n=5,二、把“前n項(xiàng)和”誤認(rèn)為“從n?6起”的和.

〃(45-5〃)

n<5

2

正解:

(20-5〃)("-5)?50

n>6

2'-

［例6］已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,

由此可以確定求其前〃項(xiàng)和的公式嗎？

解：理由如下：由題設(shè)：S1°=310$20=1220

102+454=3104=4

得：4

20%+190d=1220［d=6

2

：.Sn=4/1+x6=3?+n

"2

［例7］已知：*=1024+lg2(lg2=0.3010)neN+(1)問前多少項(xiàng)之和為最

大？（2）前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最?。?/p>

an=1024+(l-n)lg2>0=></?<-^+1n3401<n<3403

解：（1）

an+1=1024-n1g2<0lg2lg2

n=3402

（2）S“=1024“+2（；1）（一愴2）=o

當(dāng)S0=0或S”近于0時(shí)其和絕對(duì)值最小

令：S“=0即1024+33二?(一館2)=0

得："生+1。6804.99

1g2

'/nwN+，n=6805

［例8］項(xiàng)數(shù)是2n的等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)為?！昂蚢“+1是方程/-px+q=0的兩根，求證此

數(shù)列的和$2.是方程愴2%一（愴〃2+lgp2）lgx+（］g〃+［gp）2=。的根。（S2“>0）

證明：依題意a“+%+i=p

c2n(a

aaa=}

?\+2n=%+n+\P**S2n=-"—二叩

V1g2X-(1gH24-1gp2)1gX+(1gn+1gp)2=0

2

J.(Igx-lgn/?)=0/.x=np=S2n(獲證)。

典型習(xí)題導(dǎo)練

1.已知q=3且?！?S.T+2",求an及Sn。

2.設(shè)6=加*反1+反^+--+”(〃+1)，求證：＜9；匕

3.求和：1+」一+——+?■?+-------------

1+21+2+31+2+3+…+”

4.求和：(IO。？-992)+(982-972)+---+(42-32)+(22-12)

5.已知a,6,c依次成等差數(shù)列，求證：一姐從一行一"依次成等差數(shù)列.

6.在等差數(shù)列｛%｝中，出+。13=40，貝1J?8+?9+?|0=()。

A.72B.60C.48D.36

7.已知｛%｝是等差數(shù)列，且滿足am=〃，%=m｛m*〃)，則am+n等于-

8.已知數(shù)列|一成等差數(shù)列，且應(yīng)=-口,小=—"，求&的值。

%+2J67

2.3等比數(shù)列

知識(shí)清單

1.等比數(shù)列定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)舉，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)帶教，那么這

個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示(q*0),即：

an+l：/=q(qH0)數(shù)列對(duì)于數(shù)列(1)(2)(3)都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2,5,

(注意：”從第二項(xiàng)起“、“常數(shù)”4、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零)

2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：p"T(G.“HO)。

說明：(1)山等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比d=l時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等

差數(shù)列；(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若｛%｝為等比數(shù)列，則2=

an

3.等比中項(xiàng)

如果在a與6中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與匕的等比中項(xiàng)

（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。

4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

-一般地，設(shè)等比數(shù)列。1，的，。3,…，氏，…的前n項(xiàng)和是S"=%+。2+。3+…+。"，當(dāng)4H1時(shí)，

S,="（1-q"）或s"=蟲Z4￡；當(dāng)q=i時(shí)，S“=叫（錯(cuò)位相減法）.

\-q\-q

說明：（1）和%,%,%S“各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是二,

通項(xiàng)公式中是q"T不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)qwl,必要時(shí)應(yīng)討論q=l的情況。

5.等比數(shù)列的性質(zhì)

①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果。,是等比數(shù)列的第〃項(xiàng)，《“是等差數(shù)列的第機(jī)項(xiàng)，且

m<n,公也為q,則有an=。，"廣"；

②對(duì)于等比數(shù)列｛%｝，若〃+〃?=w+v,則%?a=a-a,也就是：

—

______________________________A______________________________

a

%?%="2?=。3?冊(cè)-2=……，如圖所示："1'。2，。3,…,Q一2，%1,，n0

a2a?-i

③若數(shù)列｛““｝是等比數(shù)列，S“是其前n項(xiàng)的和，kwN*,那么臬，S2k-Sk,SvS2k成等

此數(shù)列。

如下圖所示：

+。2+。3+???+ak+ak+{+---+a2k+a2k+1+---+a3k

_________/\\________________________________/

■S2k-*SkS3k~S2k

課前預(yù)習(xí)

1.在等比數(shù)列｛《｝中，的=12,q=啦，則％9=.

2.2+百和2—G的等比中項(xiàng)為（）.

（A）l（5）-1（Q±l（02

3.在等比數(shù)列｛%｝中，a2=-2,a5=54,求6,

4.在等比數(shù)列｛4｝中，為和《0是方程2x2+5x+l=0的兩個(gè)根，則知“=（）

（A）-"|（B）^~（C）—；（"）g

5.在等比數(shù)列｛4｝,已知%=5,a9al0=100,求

6.(2006年遼寧卷)在等比數(shù)列｛4｝中，q=2,前"項(xiàng)和為S"，若數(shù)列｛6,+1卜也是等比數(shù)

列，則S“等于()

A.2"+,-2B.3〃C.InD.3n-1

7.(2006年北京卷)設(shè)/(〃)=2+24+27+2|°+?一+23向°(“6"),則/(〃)等于()

797?

A.-(8"-1)B.-(8n+,-l)C.-(8),+3-1)D.-(8,,+4-1)

7777

8.(1996全國(guó)文，21)設(shè)等比數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和為S,若W+&=2W,求數(shù)列的公比g；

9.(2005江蘇3)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛aj中，首項(xiàng)&=3,前三項(xiàng)和為21,則a,+

ai+as=()

(A)33(B)72(C)84(D)189

10.(2000上海，12)在等差數(shù)列｛a”｝中，若aio=O>則有等式ai+az+…+a戶ai+a?+…+&9

-?(/7<19,〃GN)成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地:在等比數(shù)列｛4｝中，若&=1,則有等式成

立。

疑難知識(shí)導(dǎo)析

1.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0,因此q也不為0.

2.對(duì)于公比q,要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.

3.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果?個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)

起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，

這時(shí)可以說此數(shù)列從.第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列.

nH

4.在已知等比數(shù)列的ai和q的前提下，利用通項(xiàng)公式a.,=aiq,可求出等比數(shù)列中的任一

項(xiàng).

5.在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用a“=ad-”可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).

6.等比數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式a“=ad”可改寫為%=幺p".當(dāng)q>0,且qWl時(shí)，y=qx

q

是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而>=幺<、是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列｛aj

q

的圖象是函數(shù)y=曳-qx的圖象上的一群孤立的點(diǎn).

q

7.在解決等比數(shù)列問題時(shí)，如已知，a,,a,?d,Sn,n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。

經(jīng)典例題導(dǎo)講

［例1］已知數(shù)列｛外,｝的前n項(xiàng)之和S?=aq"（。力0應(yīng)力1均為非零常數(shù)），則｛?！埃秊椋ǎ?。

A.等差數(shù)列

B.等比數(shù)列

C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

+]

錯(cuò)解：：?！?1=Sn+1-Sn=aq"-aq"=aq'\q-1)

4=S“-S,i=aqn~\q-\)

：.^-=q(常數(shù))

.?.｛4｝為等比數(shù)列，即B。

錯(cuò)因：忽略了=S“—S’-中隱含條件n>l.

正解：當(dāng)n=l時(shí),ai=Si=aq;

當(dāng)n>l時(shí)，.?.a〃=S〃—Sx=Q/T(q—l)

：.^-=q(常數(shù))

但???二=q-1wq

%

；.｛%｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C。

［例2］已知等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和記為S”，S,o=lO,S30=70,則S”等于.

錯(cuò)解：S3o=Sio,q2.q"=7,q=±-^71Sio=S30?q=±70^7.

錯(cuò)因:是將等比數(shù)列中s.,S&-S.,S3"-s加成等比數(shù)列誤解為S”SMS3"成等比數(shù)列.

正解：由題意：得，1一4

佩?）=70［/°=2或/。=-3（舍去）

I1—q

=200.

l-q

［例3］求和：a+a2+a3+,,e+an.

錯(cuò)解：a+a2+a3+--*+an=-~.

a

錯(cuò)因：是(1)數(shù)列｛3｝不一定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式(2)用

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)討論q是否等于1.

正解：當(dāng)a=0時(shí)，a+a2+a3+-"+an=0;

當(dāng)a=l時(shí)，a+a2+a'+…+a”=n;

當(dāng)aW1時(shí)，a+a2+a'+…+a”=--------.

\-a

［例4］設(shè)a,b,c,d均為非零實(shí)數(shù)，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,

求證：a,b,c成等比數(shù)列且公比為4。

證明：

證法一：關(guān)于d的二次方程(力+^卜=2風(fēng)2+°”+。2+°2=o有實(shí)根，

AA=4/>2(?+c)2-4(?2+b2\h2+c2)>0,：.-(b2-acf

則必有：――如=0,即〃=碇，.?.非零實(shí)數(shù)a也c成等比數(shù)列

設(shè)公比為4，則6=c=a/代入

｛ci~+a/-卜2_2aq(a+aq-V+a~q-+u~—0

?.?(42+1,2*0,即12—2qd+q2=0,即1=4*0。

證法二：???(/+b2k2_2。(4+,卜+。2+，=o

：.(a2d2-2ahd+h2)+(l)2d2-2bcd+c2)^0

：.(ad-b)2+(bd-c)2=0,:.ad=b,且bd=c

bc

-a也c,d非零,：.-=-=d.

ab

［例5］在等比數(shù)列｛a｝中，%=3,求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。

解:636465db7=血b/b2b6X她?4

2

Vh4=帥［=b2b6=b3b5,：.前七項(xiàng)之積(32丫X3=3?=2187

［例6］求數(shù)列｛nx(｝前〃項(xiàng)和

解：5,=lx—+2x—+3x-+........+nx-①

";2482"

—S=lx—+2x—+3x—+…+(〃-I)x—+〃x——-(2)

2"48162"2,,+l

11n

兩式相減：—s=—+—+—+x

2"248