上冊初級中學數(shù)學拓展Ⅱ教學參考

個人收集整理-僅供參考

初中數(shù)學拓展II課本

教學參考材料

編者地地話

《數(shù)學課程標準》中安排地地初中數(shù)學拓展II地地內容L—是定向拓展內容提供

希望在初中畢業(yè)后進入普通高中學習地地學生修習二根據(jù)《數(shù)學課程標準》編寫地地“初

中數(shù)學拓展II”課本（試驗本）用于九年級Lj見正在基地學校進行第一輪教學試驗―

為了幫助執(zhí)教老師理解課本、把握要求和開展實踐研究教材編寫人員編寫了本冊課本

地地教學參考材料"這本教學參考材料L—沒有經過有關部門地地審查LL不是正式出版

榭教學參考書”=由于編寫倉促r成稿匆忙r《材料》內容難免存在錯誤和不足L,

只是考慮到新課本進行第一輪教學對參考材料地地需要?所以將此很不成熟地地《材料》

公諸于眾丁本《材料》提供執(zhí)教老師在教學研究中參考使用一入同時在使用中開展研究；

通過對《材料》地地使用和研究—發(fā)現(xiàn)并糾正其中地地錯誤—彌補不足充實內容

為編寫正式地地“教學參考書”打好基礎;希望這本教學參考材料對執(zhí)教老師有參考作

用一入更期待執(zhí)教老師對此材料提出寶貴意見和修改建議丁

初中數(shù)學教材編寫組2007年8月

第一部分錦洋槐述

初中數(shù)學拓展II課本（以下簡稱本冊課本）含“一元二次方程與二次函

數(shù)”、“直線與圓”兩章內容c還有配合各章內容納拽練習部分―

本冊課本內容地地確定其依據(jù)是《上海市中小學數(shù)學課程標準（試行

本）》；內容地地安排是在“二二分段—九年級分層”地地框架下進行地地二

初中數(shù)學內容地地設計廠整體上按照六、七年級和八、九年級進行分段1同時

在九年級進行必要地地分層處理「二在初中階段f以全體學生必學地地數(shù)學基本

內容為課程內容地拽核心著眼于所有學生未來發(fā)展地地普遍需要廣入構建共同

地地數(shù)學基礎；再以學生定向選學地地數(shù)學拓展II內容尸入以及學生按興趣愛好

選學地地數(shù)學拓展I內容和課外活動材料廠二適當擴充數(shù)學基礎廠“形成具有差別

性和層次性地拽數(shù)學―滿足不同個性地地學生地也不同需要三學生在六年級到

+44

個人收集整理-僅供參考

九年級所學地地數(shù)學基本內容中.包括“實數(shù)知識基礎”、“初等代數(shù)知識基礎”、

“平面幾何知識基礎與向量代數(shù)初步知識”、“初等代數(shù)函數(shù)地地基礎與分析初

步”、“概率與統(tǒng)計初步知識”.這些知識內容5-入是學生進一步學習和參與社會

生活必備地地數(shù)學基礎；但是.對于將要進入普通高中學習地拽學生『入其數(shù)學

知識基礎地拽準備還存在不足—例如在高中數(shù)學中f關于一元二次不等式解法

地地探討=入需要運用二次函數(shù)地地圖像與X軸地地位置關系特征；關于函數(shù)解

析性質地地研究和理解LL需要借助于二次函數(shù)地地直觀性質；關于集合與命題

地地討論、正弦定理以及在直角坐標平面上深入進行關于圓地地研究等.入還需

要更多地拽有關圓地地知識.因此五安排拓展II地地內容并采用自主選擇納把

方式kJ且織希望在初中畢業(yè)后進入普通高中地地學生修習L入有助于這些學生充

實數(shù)學基礎知識f改善初、高中數(shù)學地也銜接"

本冊課本地也編寫T主重于初中數(shù)學基礎知識地也充實和內容結構地地完

善二〃關注學生進入普通高中學習數(shù)學基本內容她也需要=同時重視與初中數(shù)

學必學課本中有關內容建立緊密地地聯(lián)系—體現(xiàn)內容地處整體性；注意保持初

中數(shù)學必學課本地地編寫特點、丁」注意把握有關內容地地基礎性要求丁入注意改善

內容呈現(xiàn)地地方式和體現(xiàn)數(shù)學學習地地過程”

本冊課本第一章是“一元一次方程與二次函數(shù)”.在必學課本中討論一元二

次方程與二次函數(shù)地地基礎上本章著重研究一元二次方程地地根與系數(shù)地地

關系、二次函數(shù)地地圖像相對于X軸地地位置與一元二次方程地地根地地判別式

之間她處關系、二次函數(shù)解析式地地確定、求二次函數(shù)地地;圖像與X軸地地:交點

坐標丁以及它們地池簡單運用=同時.通過建立二次函數(shù)與一元二次方程之間

地地聯(lián)系促進學生多角度地理解這兩部分知識內容和形成整體性地地認知結

構7-4領悟數(shù)學地地思想和方法三本章對一元二次方程地拽根與系數(shù)關系進行探

究既有理論意義（一元〃次方程地地根與系數(shù)關系定理是方程基本理論中地

地重要內容）f又有運用價值（可直接用于研究和解決相關問題）；而觀察、發(fā)

現(xiàn)、證明一元二次方程地地根與系數(shù)關系定理地地過程一也是對學生探究學習

地地引導、建立二次函數(shù)與一元二次方程地地聯(lián)系la讓學生運用函數(shù)地地思想

理解方程運用一元二次方程地地知識研究二次函數(shù)地地圖像廣入不僅有助于提

升學生地地數(shù)學觀點?同時使學生對二次函數(shù)地迫圖像與X軸地地位置關系獲

+44

個人收集整理-僅供參考

得理性地地認識=關于二次函數(shù)解析式地拽確定l“在必學內容中只涉及已知條

件是函數(shù)地地三組對應值（即圖像上地地三點坐標）地地情況二人這里擴展為已

知條件與函數(shù)圖像特征或性質有關尸入既突出了待定系數(shù)法地也運用又有利于

學生對有關基本內容地地理解三

第二章“直線與圓”是在必學課本中討論直線、圓地把基本知識以及直線與

圓地地位置關系地地基礎上編寫她地;本章著重研究圓地迫切線地地判定定理

和性質定理.入切線長定理；兩圓地地公切線及公切線地地長；圓周角和圓周角

定理—入弦切角和弦切角定理；相交弦定理f割線定理一切割線定理；還有四

點共圓等;這些內容L—把直線與圓地地位置關系從數(shù)量關系特征討論轉到定性

研究二人從一條直線與圓地地位置關系討論擴展到兩條直線與圓地地位置關系研

究；還把“不共線地地三點確定一個圓”引到“四點共圓”地地研究―本章確立

了一系列關于直線與圓地地關系定理v學生通過本章地也學習『入可以獲得關于

圓地也基礎知識地也必要補充f同時進一步得到演繹推理、分類討論、化歸等

思想方法地地演練丁本章內容地地處理=入特別強調基礎性和教育性；有關定理

地地運用廠「一般限為直接用于解決問題丁工對綜合運用地地難度有嚴格控

制三

本冊內容地拽呈現(xiàn)一主要采用“過程模式通過“問題——活動”地地

安排.引導學生探索求知丁課本中保持有“問題”、“思考”、“操作”、“想一想”、

“議一議”等欄目丁有邊款點撥、方框解說等版式d以指導學生開展數(shù)學活動五

幫助學生把握重點和釋疑解難廣入促進學生生動、活潑、主動地學習—深入地思

考二

在兩章地地末尾分別配備了“探究活動”和“閱讀材料”=關于“公路

隧道設計地地可行性分析”活動廣工旨在加強數(shù)學應用活動和引導學生探究學習；

關于“圓地地纂和兩圓地地等賽軸”地地材料—是對課本中“圓幕定理”地地

解說和擴展"

數(shù)學練習部分中地地習題安排f重視基本訓練f也有層次性"“試一試”

欄目下地地題目私一般有較高地地難度巾這樣地地題目不要求所有學生都去做V

主要提供給有學習興趣地地學生進行研究和討論T-入進一步培養(yǎng)學生地處探究意

識和鉆研精神—滿足不同學生地拽學習需要二

+44

個人收集整理-僅供參考

數(shù)學拓展II地拽教學課時c含在《上海市中小學課程方案（試行本）》所

規(guī)定地地九年級數(shù)學課時中L"一般控制為每周2節(jié)二本冊課本內容設計地地教

學課時數(shù)為29節(jié)7-入具體地地教學計劃和進度5-入由教師根據(jù)學校和學生地地實

際情況進行制定.

各章教學地想課時數(shù)建議如下：

第一章一元二次方程與二次函數(shù)13課時（11+2）

第二章直線與圓16課時（14+2）

第二部分卷索說明

第一章一元二次方程和二次函數(shù)

一、全章綜述

1.教學目標

⑴經歷對于一元二次方程地地根與系數(shù)關系地地觀察、分析和發(fā)現(xiàn)過程—理解一元二

次方程地地根與系數(shù)是緊密聯(lián)系地地.掌握一元二次方程地地根與系數(shù)關系地拽證明以及

它地地基本運用.

⑵經歷確定二次函數(shù)解析式所需獨立條件個數(shù)地地探索過程.知道二次函數(shù)解析式地地

三種基本形式,會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.掌握待定系數(shù)法地地基本運用.

⑶建立起二次函數(shù)與一元二次方程之間地地聯(lián)系r能以函數(shù)地把觀點來理解一元二次

方程一」能根據(jù)相應地地一元二次方程地地根地地判別式分析二次函數(shù)地地圖像特征.

⑷通過二次函數(shù)解決簡單實際問題地地舉例體會二次函數(shù)地域基本應用.

2.課時安排

本章教學共13課時—建議分配如下：

I.I一元二次方程地地根與系數(shù)地地關系3課時

1.2二次函數(shù)與一元二次方程3課時

1.3二次函數(shù)解析式地地確定5課時

復習小結2課時

+44

個人收集整理-僅供參考

3.設計說明

本章內容是在學生已學一元二次方程與二次函數(shù)基本內容地地基礎上r對一元二次方

程與二次函數(shù)地地基礎知識進行必要地地擴充L"并把一元二次方程與二次函數(shù)相互聯(lián)系起

來.

本章首先是對一元二次方程根與系數(shù)地地關系進行探究L,得到一元二次方程地把根與

系數(shù)關系地把定理；在知道了這一知識地地直接應用后「又介紹了利用整體代入方法求代

數(shù)式地地值L,以及利用一元二次方程根與系數(shù)地地關系建立新方程或者求已知兩數(shù)和與積

地地兩個未知數(shù)地地值.

其次是建立了一元二次方程與二次函數(shù)之間地址聯(lián)系L,由圖像上發(fā)現(xiàn)：如果二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(<”0)地地圖像與x軸有公共點■;-=那么公共點地地:縱坐標為0.由片

得到相應地地一元二次方程ax2+bx+c=Q(a豐0)一^則這個方程地地實數(shù)根就是函數(shù)圖

像與x軸地地公共點地地橫坐標.在學生能夠利用這一知識直接求二次函數(shù)

y=a?+匕1+。(。H0)地地圖像與x軸地地公共點坐標地地基礎上-a進一步發(fā)現(xiàn)拋物線

y=ad+匕x+c(a/O)與x軸公共點地地個數(shù)與一元二次方程根地地判別式之間地地聯(lián)

系-L從而不需畫出二次函數(shù)地地圖像就能利用相應地地一元二次方程根地地判別式地地符

號來判斷這拋物線與x軸公共點地地個數(shù).

最后介紹了確定二次函數(shù)解析式地地三種方法.在九年級第一學期數(shù)學課本中廠已講述

了由已知二次函數(shù)圖像經過直角坐標平面上三點地地條件確定其解析式地地方法“現(xiàn)在L,

先將這一方法進行復習鞏固一,再講述由已知二次函數(shù)圖像地地頂點坐標或圖像與x軸兩交

點坐標加上其他一個條件確定其解析式地地方法“這樣關于確定二次函數(shù)解析式地地

方法就比較多樣了r可按已知條件中含“三點”或“頂點”、“兩根”L工選取二次函數(shù)解析

式地地適當形式運用待定系數(shù)法來確定這個解析式.課本中關于二次函數(shù)地把應用主要體

現(xiàn)在兩個方面:—是與幾何知識地地綜合應用L,二是在實際生活中地地初步應用—從而幫

助學生加深理解二次函數(shù)地地基礎知識L,把握知識之間地地聯(lián)系、擴展知識地地基本應用；

幫助學生學習將實際問題轉化為數(shù)學問題-J本驗數(shù)學建模一3在解決實際問題地地過程中L.

感受數(shù)學知識“源于實踐L,又用于實踐”.

本章內容是中學數(shù)學中數(shù)形結合教學重要載體之一,"應充分發(fā)揮其功能.根與系數(shù)地地

W4

個人收集整理-僅供參考

關系定理（韋達定理）是方程理論中地地重要內容之一L,在高中數(shù)學中也有較多地地應用.

關于二次函數(shù)及其性質進入高中后還要從解析地地角度進一步研究；初中階段所學地地

二次函數(shù)內容是高中階段繼續(xù)學習函數(shù)內容地地不可或缺地地基礎.因此r課程標準特

別指出本章內容是希望進入普通高中地地學生所必須修習地地.

在本章地地學習中La重點是掌握一元二次方程與二次函數(shù)之間地地聯(lián)系；難點是如何

發(fā)現(xiàn)一元二次方程與二次函數(shù)之間地地聯(lián)系.教學中要充分展示知識發(fā)生地地過程L,讓學生

從形、數(shù)兩方面真正理解一元二次方程與二次函數(shù)之間地地內在聯(lián)系融會貫通有關知

識.

4.教學建議

⑴重視學生地地探索學習過程.要在激發(fā)學生產生探究一元二次方程根與系數(shù)地地關

系、一元二次方程與二次函數(shù)之間地地聯(lián)系等新知識地地欲望方面多下功夫—讓學生積極

參與探索活動和進行數(shù)學思考La真正感受知識發(fā)生地地過程.

⑵注意運用類比、數(shù)形結合和化歸地地數(shù)學思想.在新知識地地教學過程中L,可以利用圖形

地地直觀性L,幫助學生建立新舊知識之間地地聯(lián)系-J足進已學知識向新知識地地過渡和發(fā)

展.如課本中指出：“二次函數(shù)丁=數(shù)2+法+。3/0）地地圖像與彳軸有公共點「_那么公共

點地地縱坐標為0.由嚴『，得相應地地一元二次方程af+H+c=O（aHO）L"則這個方

程地■他實數(shù)根就是函數(shù)圖像與X軸地越_公共點地TL橫坐標”；“拋物線

2

y-ax+bx+c（a。0）與x軸地■地公共點地■地個數(shù)T—4由相應地■也一元二次方程

ax2+法+，=0（4。0）根地地判別式八=。2—4ac確定；反過來?由拋物線與x軸地地

公共點地地個數(shù)也可以確定判別式地地值地地符號””對這些內容地地教學要利用圖

像為學生提供直觀認識地地支持r形成抽象思維地地基礎廣―引導學生通過對代數(shù)地地和幾

何地地表達形式進行比較、分析逐步歸納結論.

⑶注意培養(yǎng)學生地地發(fā)散性思維能力=應鼓勵學生積極思維一入大膽發(fā)表意見和進行交

流學生感受逆用一元二次方程根與系數(shù)關系建立新方程地地不唯一性、有關題目解題

方法地地多樣性—培養(yǎng)學生觀地發(fā)散性思維能力.

⑷把握學習難度.本章學習地地內容L*是數(shù)學基礎知識地地組成部分.有明確地地定向

要求并充分注意到與高中數(shù)學地地銜接不可滿足學生進入高中數(shù)學學習地地需要三教學中

W4

個人收集整理-僅供參考

不要再增加難度L,不要盲目拔高可控制為以課本地地練習與習題地地難度為準.

⑸重視知識應用地地教學'課本中安排了有關知識納把基本應用和實際應用地把內容十

在教學中要重視對問題地把分析和解題思路地地探索關注如何建立知識之間地地聯(lián)系及

其相互轉化關注如何將實際問題轉化為數(shù)學問題「_培養(yǎng)學生地地數(shù)學理解能力和應用能

力.

5.評價建議

⑴關注學生基礎知識和基本技能地地獲得丁重視學生對一元二次方程根與系數(shù)地地關

系、一元二次方程根與二次函數(shù)地地聯(lián)系等知識地地理解和掌握L,以及有關技能地地形成;

注重檢測學生落實教學基本要求地地情況L,引導學生確立必要地地、扎實地地知識基

礎三

⑵關注學生對數(shù)學思想方法地地體會和感悟.在課堂教學地地點評與小結中L,要重視對

有關數(shù)學思想方法地地點撥和交流促進學生進行數(shù)學思想方法地把反思和總結；對學生

地地學習評價L,應體現(xiàn)對于有關數(shù)學思想方法教學地地要求.

⑶關注學生思維地地靈活性.在一元二次方程根與系數(shù)地地關系及其應用中廣要引導學

生重視對于不同解法地地比較和方法地地合理選擇L,提供機會讓學生進行交流和小結；對

學生提出地地不同解法和優(yōu)秀解法L,應給予鼓勵性評價.

⑷關注學生對一元二次方程和二次函數(shù)地地聯(lián)系及知識系統(tǒng)地地構建和完善.學生在前

面己經分別學習了一元二次方程和二次函數(shù)地地知識「而對兩者之間地地聯(lián)系「是在本章

學習地地過程中逐步認識地地三要引導和鼓勵學生對所學知識進行系統(tǒng)整理廠并將其納入學

習評價范圍.

⑸關注學生學習方式和方法地地改善.引導學生積極主動學習L*運用已有地地一元二次

方程和二次函數(shù)地地基礎知識一探究一元二次方程和二次函數(shù)地地聯(lián)系一并進行歸納總結;

鼓勵學生提出問題和開展探究活動L,在獲取知識地地過程中學會學習、學會思考.

二、具體說明

1.1一元二次方程地地根與系數(shù)關系

1.教學目標

⑴經歷對于一元二次方程地地根與系數(shù)關系地地觀察、分析和發(fā)現(xiàn)過程r感受獲得新

個人收集整理-僅供參考

知識地地成功喜悅.

⑵理解并掌握一元二次方程地地根與系數(shù)關系r并會用于求關于兩根地地對稱式地地

值、建立其根與已知方程地地根有關地地新方程等.

⑶在參與數(shù)學活動和解決問題地地過程中一L領會化歸、整體代入和分類討論等數(shù)學思

想.

2.教材分析及教學建議

課本中對于一元二次方程地地根與系數(shù)地地關系（又稱韋達定理）地地探討L工首先請學生

在表中填寫二次項系數(shù)為1地地一元二次方程地地兩個根—然后用問題形式提出：“每一個

方程地地兩根西、々地地和或積與方程地地系數(shù)之間有什么樣地地關系？”指出了思考地

地方向創(chuàng)設了探究地地空間一Ji學生自主發(fā)現(xiàn)一元二次方程地把根與系數(shù)關系；再進行

歸納r引導學生將一般形式轉化為特殊形式r從而發(fā)現(xiàn)然后證明一元二次方程地地根與系

數(shù)地地關系定理丁

在這一探究過程中r關注學生對于從特殊到一般地域研究問題方法地地感受、學生通

過兩次填表一工發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程中兩根地地和或積與方程系數(shù)a、b、c地地關系一

再抽象到一般地地一元二次方程地地根與系數(shù)關系然后加以嚴格證明這樣既有利于激

發(fā)學生地地學習興趣L—又有利于培養(yǎng)學生自主發(fā)現(xiàn)與證明定理地地能力.

一元二次方程地地根與系數(shù)關系地地應用?首先要求在不解方程地地前提下由已知一個根

求另一個根及求方程中地地待定系數(shù)一入把問題轉化為關于方程另一個根與待定系數(shù)為元地

地二元一次方程組一“通過解方程組可得到方程另一個根與方程中待定系數(shù)地地值；其次是

利用一元二次方程地地根與系數(shù)關系丁求與方程中地地兩根有關地地對稱式地地值—要求

學生能根據(jù)已具有地地相關知識;對關于兩根地地對稱式進行恒等變形廣入將對稱式轉化為

關于兩根和與積地地代數(shù)式然后求代數(shù)式地地值；再次是求解以給出地地兩個數(shù)為根地

地一元二次方程一入即一元二次方程地地根與系數(shù)關系定理（韋達定理）地地逆用課本中

仍然通過問題地也提出和解決讓學生了解：如果一元二次方程

h

Xj+X1=--,

。/+灰+。，=0（。。0力2一4在20）地地兩個實數(shù)根是樸》2-*那么40成

C

x{x2=—

Ia

立；如果修、也是一個一元二次方程地地兩個實數(shù)根那么這個一個一元二次方程可寫作

W4

個人收集整理-僅供參考

a（x-%,）（x-x2）=0'r-2_SPa]/-（玉+工2）%+玉々]=°LJ其中aH0.由于a地址值不

確定,所以這樣地地方程有無數(shù)個一由已知實數(shù)再、x2為根地地方程不唯一.

在運用一元二次方程地地根與系數(shù)關系地地定理時一工現(xiàn)階段必須強調要注意在實數(shù)范

圍內方程存在兩個根地地前提條件（當然包含著二次項地地系數(shù)不為零地地條件）三對于這

個問題「學生往往容易忽視.當然丁學生到以后會知道一在復數(shù)范圍內L,這個定理也是適

用地典，

求作一個新方程L,使新方程地地根與已知方程地地根符合給定地地條件如果已知方

程是關于x地地方程k,那么新方程中未知數(shù)最好不要用字母x（如關于y地地方程）-,以免

混淆.

在教學中L,要注意以下幾點：

⑴對于一元二次方程地地根與系數(shù)關系地地探究Lj教師要給于充足地地時間不要急

于提示=要讓學生真正由自己發(fā)現(xiàn)一元二次方程地地根與系數(shù)地地關系經歷數(shù)學抽象和

符號化地地過程一享受探究成功過程地地喜悅.

⑵在運用一元二次方程地地根與系數(shù)關系時必須強調這個方程應表示為一元二次方

程地地一般式.因此L,學生在運用時LL首先要觀察給出地地方程是否是一元二次方程地地

一般式一入若不是r應將其轉化為一元二次方程地地一般式；其次要利用根地地判別式

判斷方程是否存在實數(shù)根（此項計算可在草稿紙上完成）f然后再確定兩根地拽和與積.運

算時尤其要強調兩根和是一次項系數(shù)與二次項系數(shù)商地地相反數(shù)負號”不能漏.

⑶利用一元二次方程地地根與系數(shù)關系在不解方程前提下由已知一個根求另一個根

及方程中地地待定系數(shù).可以先將一根代入方程求出方程中地地待定系數(shù)；再解這個一元

二次方程?得到另一個根丁但采用這種方法解題時通常較為繁瑣r也與一元二次方程地地

根與系數(shù)關系聯(lián)系不大.課本中所用地地方法是利用一元二次方程地地根與系數(shù)關系建立

了關于未知根與待定系數(shù)為元地地二元一次方程組hjffi過解方程組得到方程地地另一個

根及方程中待定系數(shù)地地值讓學生從中感受新學知識地地橋梁作用和轉化地地思想方

法.

⑷利用一元二次方程地地根與系數(shù)關系求關于方程兩根地地對稱式地地值學生必

須具有進行代數(shù)式恒等變形地地基本技能LQ通過正確地地變形LL得到關于兩根地地和與積

地地代數(shù)式r然后求代數(shù)式地地值丁這里滲透了化歸和整體代入地地數(shù)學思想方法.

⑸課本中例題4是利用一元二次方程地地根與系數(shù)關系求方程地地字母系數(shù)地地值及

個人收集整理-僅供參考

方程地地兩根.在解題過程中一首先要判斷方程是否有實數(shù)根—在確定其有實數(shù)根地地前提

下l,再利用一元二次方程地地根與系數(shù)關系轉化為關于未知系數(shù)地地方程r求出未知系數(shù)

地地值；然后將未知系數(shù)地地值代入方程再求出滿足條件地地方程地地根.在教學中一

要引導學生進行反思小結L,從中體會方程地地思想和分類討論地地思想本會數(shù)學知識之

間地地聯(lián)系和數(shù)學地地嚴密性.

⑹在例題5地把教學中r要讓學生感受一元二次方程地地根與系數(shù)關系是可以逆用地

地L,而且建立地地方程是不唯一地地一培養(yǎng)學生地地發(fā)散思維能力.

⑺例題6是一元二次方程地地根與系數(shù)關系地地正逆兩方面地地運用L-可能是學生學

習中地地一個難點.教學時教師應站在學生地地立場上思考問題L,將難點分解L,化難為易.

對解題思路地地分析L,要關注基本過程：先設原方程地把兩根廠建立原方程地地根與系數(shù)

地地關系；再設新方程地地兩根r并根據(jù)題意建立新方程兩根與原方程兩根之間地地聯(lián)系；

然后求出新方程兩根和與積地地值f逆用一元二次方程地把根與系數(shù)關系建立新方程.

在解題過程中△要注意原方程地把兩根與新方程地地兩根應分別用不同地地字母表示.

⑻例題7有其他解法=例如艮據(jù)題意L3可以設兩個元L,建立二元二次方程組解方程

組得到這兩個數(shù)一但解題過程比較長*課本中地地解法是利用一元二次方程地把根與系數(shù)關

系建立一個新方程通過解新方程求出這兩個數(shù)「Jt學生感受一元二次方程地地根與系數(shù)

關系地地應用及其解決問題地地簡捷之處.

3.練習答案

練習1.1(1)

1.略.

3.(1)3i——-7；(2)—61—i_—18.

練習1.1(2)

1.(1)3；(2)7；(3)5—；(4)6—.

22

2.5r±3.

練習1.1(3)

1.—3-9—抖.

2.(i)2y2_3y+6=0；(2)36/+15y+4=0.

W4

個人收集整理-僅供參考

3.⑴7--3；⑵蟲一一也.(2)V2+V3V2-V3

2-422

1.2二次函數(shù)與一元二次方程

1.教學目標

(1)知道二次函數(shù)與一元二次方程之間地地聯(lián)系能用方程地地知識討論二次函數(shù)地

拽一些問題L-能以函數(shù)地地觀點來理解一元二次方程地地有關知識.

(2)會求拋物線與無軸地地公共點地地坐標能根據(jù)相應一元二次方程地地根地地情

況分析二次函數(shù)地地圖像特征.

(3)經歷探究二次函數(shù)與一元二次方程地地聯(lián)系地地過程-J本會聯(lián)系、轉化地地辯證

思想以及化歸、類比、數(shù)形結合和分類討論地地數(shù)學思想.

2.教材分析及教學建議

本節(jié)地地內容是二次函數(shù)與一元二次方程地地整合引導學生用函數(shù)地地觀點重新認識一

元二次方程用方程地地知識進一步研究二次函數(shù)r拓寬基礎知識LL深化數(shù)學理解;數(shù)

學各部分知識是相互聯(lián)系、相互滲透地地；在數(shù)學發(fā)展過程在中r它們相互作用、相互促

進.從把握知識地把內在聯(lián)系著手分析和研究新批批問題一入在較高觀點地地指導下深入認

識知識地地本質一「這是深化數(shù)學學習地地方法:本節(jié)地地中心任務是建立二次函數(shù)與一元

二次方程之間地地聯(lián)系T-入并利用一元二次方程地地知識探討二次函數(shù)地地圖像與x軸地地

位置關系LL幫助學生完善二次函數(shù)地地知識基礎提升數(shù)學觀點二

在教學中L,要注意以下幾點：

(1)“問題1”地地提出LL主要是引起學生對二次函數(shù)與一元二次方程地地聯(lián)系地地

思考可以放手讓學生解答.教師應向學生指出kL二次函數(shù)描述了一個動態(tài)變化地地過程

函數(shù)值隨著自變量地地值變化而變化；給定二次函數(shù)地地一個值就得到一個以自變量為

元地地一元二次方程可見一元二次方程所表達地地是二次函數(shù)地地某一特定狀態(tài)-二反映

了給定地地函數(shù)值與對應地地自變量地地值之間地地關系或者給定地地函數(shù)值是不可能

達到地地丁

(2)“問題2”地地提出是引導學生探討二次函數(shù)圖像與x軸地把公共點個數(shù)及公

共點地地坐標LL是“問題I”地地深化及其所得結論地地初步運用、教學時可利用多媒體

上展示函數(shù)地地圖像提供充裕地地時間讓學生觀察、發(fā)現(xiàn)、討論.入看到二次函數(shù)圖像與

+4^

個人收集整理-僅供參考

X軸地地公共點個數(shù)可能有兩個、只有一個L"或者沒有公共點；再抓住X軸地地點地地縱

坐標為0地地特征歸納求公共點橫坐標地地方法L"進而確定公共點地地坐標.

(3)例題1展示了求二次函數(shù)圖像與X軸地地公共點地地坐標地地一般過程和表達要

求r可讓學生先解題然后通過講評進一步明確過程和要求.例題2引進了求二次函數(shù)圖

像與y軸或直線>=小地地公共點地把坐標地地方法要重視解題思路地地分析尸入幫助學

生理解思路LJE握聯(lián)系舉一反三r靈活運用知識.

(4)在具體探求二次函數(shù)圖像與x軸地地公共點地把坐標地地基礎上又課本中提出了

“怎樣判斷拋物線y=a?+Zu+c與x軸公共點地地個數(shù)”地地問題―工引導學生對公共點

地把情況進行一般搪地研究“教學中―可組織學生進行小組討論-由學生自己解決問題“學

生對二次函數(shù)與一元二次方程地地聯(lián)系已有一定地地認識聯(lián)想一元二次方程根地地判別

式可以判定一元二次方程地地實數(shù)根地地個數(shù)可知運用一元二次方程根地地判別式可以

判定拋物線與x軸公共點地地個數(shù).要讓學生自己歸納和表述結論—教師再進行補充和完

善.

(5)例題3地地學習r主要是運用相應地地一元二次方程ax2+bx+c^0(a。0)根

地地判別式判斷拋物線y=aW+6x+c與x軸公共點地地個數(shù).當拋物線y=ax1+bx+c

與x軸有兩個公共點時可稱公共點為拋物線與x軸地地交點；當拋物線曠+hx+c

與x軸有且只有一個公共點時l,這個公共點越是拋物線地地頂點對此只要求學生了

解.

(6)在例題4教學中r要強調解題地地表達格式:，本題地地題意是為使拋物線與x軸

地把公共點個數(shù)情況符合某種要求「探求拋物線表達式中字母系數(shù)m應滿足納把條件三由相

應地地一元二次方程根地地判別式地地值地地符號r-入可求出山地地取值范圍；解題過程地

地表達呈現(xiàn)為“△>0=拋物線y="尤2+人工+以。。0)與x軸有兩個公共點”等地地形

式?

(7)對于例題初學者可能在理解題意上存在一定地地困難.在教學中不重點應放在

分析題意上L,可以畫一個符合條件地把草圖讓學生進行觀察和思考「感受到當拋物線開口

向上時一工如果拋物線上所有地地點都在X軸地地上方L,那么拋物線與X軸肯定沒有公共點三

在證明過程中La應該說明這一拋物線地地開口向上L才目應地地一元二次方程根地地判別式

地地值一定大于零丁再指出結論二其中判斷這一拋物線地地開口向上地地步驟不能省略

+45

個人收集整理-僅供參考

可由此引導學生思考拋物線開口向下地地情況進一步獲得規(guī)律性地地認識.

(8)例題6有多種解法課本中給出了兩種基本解法?可以進行比較和講評=第一

種解法中r設點A在點B地地左邊—結合線段AB=6地地條件「簡化了解題過程；第二

種解法中L-利用了AB=\x,-x^這一關系式L一邊款中還提示可進一步得到

AB="9一4%々希望學生了解.

關于例題還可提出其他解法丁如：由已知拋物線y=%2+4x+機地地對稱軸是直

線％=一2一入線段AB=&-可設A、B兩點地地坐標分別為(―5-0)和(1—0)一可知一

5和1是一元二次方程/+4]+m=0地地兩個實數(shù)根所以機=(-5)Xl=-5、這一

解法涉及到軸對稱性質地地運用學生不太熟悉因此課本中沒有給出可鼓勵學生嘗

試.

3.練習答案

練習1.2⑴

1.(1)(V^T—2_0)1—2_(--\[51—2_0)；(2)(OT—2_0)、—2_(_31—2_0)；

(3)T—,0)1—,(----?—,0)；(4)(—T—,0)、—,T—,0).

(1~2~I--(3-

2.(1)(-4^-2)~(IL--2)；(2)(J—2)—(-2^-2).

練習1.2⑵

1.(1)兩個；(2)一個；(3)沒有.

2.⑴4<1且行0；(2”=1；(3)k>1.

練習123)

1.△=G+20>0.

1

2.y—x—2x^—^(0T—i_0)T——(2T—=0).

1.3二次函數(shù)解析式地地確定

1.教學目標

(1)經歷對于確定二次函數(shù)解析式所需獨立條件地把個數(shù)地地探索過程?體會待定系

數(shù)地地個數(shù)與所需獨立條件地地個數(shù)之間地地關系、

W4

個人收集整理-僅供參考

(2)在已知二次函數(shù)圖像上三點地地坐標地地情況下彳」還有已知圖像頂點地地坐標或

圖像與x軸兩交點地地坐標以及另一條件地地情況下?會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析

式.

(3)通過解決現(xiàn)實生活中簡單實際問題地地舉例體會二次函數(shù)地地基本應用.

2.教材分析及教學建議

關于二次函數(shù)解析式地地確定在九年級第一學期數(shù)學課本中已有已知二次函數(shù)圖像

上三點坐標求解析式地地內容.本節(jié)在復習這一內容地地地地基礎上L,進一步研究根據(jù)其他

已知條件確定二次函數(shù)解析式地地問題主要涉及：已知二次函數(shù)圖像地把頂點坐標和其他

一個條件求函數(shù)地地解析式；已知二次函數(shù)圖像與X軸地把兩個交點坐標和其他一個條

件L*求二次函數(shù)解析式.這兩類問題地地解決同樣采用待定系數(shù)法；但是所設二次函數(shù)

解析式通常不用一般形式■>—入而是取y=a(x+az)?+4或y=--々)地地形式.這

時r式中地地加、k或玉、々是已知數(shù)再由另一個條件可確定待定系數(shù)引進二次

函數(shù)解析式地地這兩種表示形式r一是體現(xiàn)了二次函數(shù)圖像地地重要特征及其有效運用；

二是待定系數(shù)地地個數(shù)減少為1個從而使求解過程簡便=這樣既充實了有關二次函數(shù)地

地基礎知識又促進了知識地地靈活運用'從理論上來說廠"給定有關二次函數(shù)地地三個獨

立條件(已知一個頂點坐標其實是已知兩個條件)總可以利用待定系數(shù)法確定這個函數(shù)加

坦解析式但有時會遇到復雜地地計算、變形或解方程問題丁因此課本中有關確定二次函

數(shù)解析式地地內容要求仍限于較為簡單地地情況一J主意對難度進行控制二

在研究二次函數(shù)解析式地地確定地地同時本節(jié)進一步研究了二次函數(shù)地地直觀性

質丁課本中由二次函數(shù)圖像在對稱軸兩側分別上升、下降地地特征l,引出了函數(shù)值隨自變

量地地值增大而增大或減小地地性質—這一直觀性質r其實是函數(shù)單調性地把直觀描述r

現(xiàn)在讓學生了解它一入是為學生這高中學習函數(shù)地域單調性打下認識基礎、

本節(jié)還介紹了二次函數(shù)地地實際應用L,展示了如何將與拋物線有關地地實際問題抽象

為數(shù)學問題丁運用所學地地知識和方法求拋物線地把表達式和進行問題解決.

在教學中L,要注意以下幾點：

(1)例題1、2、3地地安排著重于復習已經學過地地二次函數(shù)有關知識主要是

由已知二次函數(shù)圖像上三點坐標求解析式地地方法LL關于二次函數(shù)圖像特征地地討論

求二次函數(shù)圖像與坐標軸地地公共點地地坐標等=同時在分析例題1和例題2中函數(shù)圖

像特征并進行一般歸納地地基礎上r提出了“函數(shù)值隨自變量地地值增大而增大或減小”

+45

個人收集整理-僅供參考

地地性質引導學生關注“函數(shù)值地也增減變化情況”對函數(shù)地地單調性獲得直觀地地

認識『.這ffe皂由于本節(jié)初學這一性質,,因此教師要進行適當?shù)氐刂v解,,并結合例題

指導學生初步學會它地地運用和表達"

(2)課本在“想一想”欄目中提出了“已知二次函數(shù)圖像地地頂點坐標和其他一個條

件求解析式”地址問題通過例題4指出了求解析式地地方法和過程L,并在邊款中指導學

生進行歸納小結三學生知道了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式時r可設解析式為

y=a(x+m)2+%—入于是設計了例題5廣1引導學生靈活運用所學知識解題三教學中一工要展示

解題思路地地分析和形式地地過程△幫助學生在知識地地運用中加深對知識地地理解三

(3)例題6地地教學首先要引導學生認真審題—理解“圖像地地頂點在坐標軸上”

這一條件地地含義x-L并聯(lián)想到坐標軸上地地點地地坐標特征、頂點坐標與解析式中系數(shù)地

地關系；然后分析解題思路=要注意“坐標軸”是x軸和y軸地地統(tǒng)稱l,所以要分兩種情

況進行討論三本題給出了兩種不同地地解法一反映了兩個不同方向地把思考方法三要指導學

生周密思維―鼓勵學生靈活思維“

(4)例題7地地條件中「_直接給出了二次函數(shù)圖像與x軸、y軸地地公共點地地坐標廠

求這個函數(shù)地地解析式時LJW設解析式取^=。@-不)"-々)地域形式—使解題過程更

為簡便丁學生初次運用這一形式r要適當進行講評讓學生注意已知條件地地特點和對所

設計解析式地地表達"

(5)例題8是幾何與代數(shù)地地綜合題「要求學生通過相似三角形地地判定與性質L,

得到拋物線與y軸地地交點坐標l,歸結為如同例題7地地問題求解由已知幾何條件確定點

地地坐標是教學地地難點l,要適當進行指導“

2

(6)為求二次函數(shù)地地解析式所設解析式可以是＞=以2+"+以y=a(x+ln)+k

或)="(x-x,)(x-9)八要指導學生注意分析已知條件地地特點選用適當?shù)氐匦问?

為方便起見廣入這三種形式地地解析式可約定分別稱為“一般式”、“頂點式”、“兩根式”?

但不作為專門地地“術語”課本中沒有引入丁學生只要知道這三種形式地地解析式中

都分別含有三個待定系數(shù)需要三個獨立條件才能確定；可根據(jù)已知條件地地特點選用其

中一種形式設為二次函數(shù)地地解析式~

(7)例題9中地地條件—與二次函數(shù)圖像地拽對稱軸有關學生容易想到用“頂點

式”確定二次函數(shù)解析式=要引導學生仔細分析“圖像在x軸上截得地地線段長為8”這

W4

個人收集整?理-僅供參考

一條件L,提示學生由二次函數(shù)圖像地地對稱性L,可將己知條件轉化為圖像與X軸地地兩個

公共點坐標La于是利用“兩根式”確定二次函數(shù)解析式L"這樣更加簡便.這時要注意一由

已知截得線段長為8和圖像地地對稱性確定圖像與x軸地地兩個公共點坐標一是教學地地

一個難點可畫一個草圖幫助學生分析“課本中在上一節(jié)例題利用圖像地把軸對稱性來

解題是很最好地把方法L.但學生不容易想到L,理解也可能會有困難中L,因此回避了這樣地

地難點三現(xiàn)在地地例題9一題中給出了圖像地地對稱軸廠有啟發(fā)作用；而利用圖像地地對稱

性來解題是較好地地方法不因此不在回避圖像對稱性地址運用并希望學生了解—所以采用

了這一解法:「'想一想”提出地地解法r可讓學生在課外進行嘗試r再與給出地地解法作

比較從中體會圖像地地對稱性所起地地作用三

(8)例題10是一道代數(shù)與幾何地把地地綜合題r對綜合運用有關知識和方法有較高

地地要求r分設三個小題l-形成層次L—其用意是培養(yǎng)學生綜合運用地地意識和能力=教

學中一入要引導學生體會如何進行幾何關系與代數(shù)關系地地轉化.第(3)小題判斷APBC

地地形狀L,顯然它是一個等