2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={1,?1}，B={1,0,?1}，則集合C={a+b|a∈A,b∈B}中元素的個數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.52.已知復(fù)數(shù)z=2?ii，則z的虛部為(

)A.2 B.2i C.?2 D.?2i3.“a=1”是“函數(shù)f(x)=2x?a2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，m，12，14，21，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的25，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是(

)A.4 B.6 C.8 D.125.過坐標原點O向圓C：x2+y2?4x?2y+4=0作兩條切線，切點分別為M，NA.34 B.43 C.36.菱形ABCD中，AC=2，BD=4，點E在線段CD上，則AB?AE的取值范圍是(

)A.[2,3] B.[0,1] C.[0,2] D.[?3,2]7.為了預(yù)測某地的經(jīng)濟增長情況，某經(jīng)濟學(xué)專家根據(jù)該地2023年1～6月的GDP的數(shù)據(jù)y(單位：百億元)建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗回歸方程為y=0.4x+a，其中自變量x指的是時間1月2月3月4月5月6月編號x123456y百億元yyy11.1yy參考數(shù)據(jù)：i=16yiA.經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點(3.5,11)

B.a=9.6

C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測值為14.4百億元

D.相應(yīng)于點(8.油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，陽光照射油紙傘在地面形成了一個橢圓形影子(春分時，北京的陽光與地面夾角為60°)，若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點位置，則該橢圓的離心率為(

)A.2?3 B.2?1 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sinx?|cosx|，則(

)A.f(x)是奇函數(shù) B.f(x)的最小正周期為π

C.f(x)的最小值為?12 D.f(x)在10.設(shè)函數(shù)f(x)=2x3?3axA.當(dāng)a>1時，f(x)有三個零點

B.當(dāng)a<0時，x=0是f(x)的極大值點

C.存在a，b，使得x=b為曲線y=f(x)的對稱軸

D.存在a，使得點(1,f(1))為曲線y=f(x)的對稱中心11.半正多面體(semiregular?solid)亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．傳統(tǒng)的足球，就是根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)而制成，最早用于1970年的世界杯比賽．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構(gòu)成(如圖所示)，若這個二十四等邊體的棱長都為2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.MQ⊥平面AEMH B.異面直線BC和EA所成角為60°

C.該二十四等邊體的體積為4023 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.二項式(2x+1x13.某中學(xué)1600名學(xué)生參加一分鐘跳繩測試，經(jīng)統(tǒng)計，成績X近似服從正態(tài)分布N(150,σ2)，已知成績小于130的有300人，則可估計該校一分鐘跳繩成績X在150～17014.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosC═ccosB，則1tanA+1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且sinC+3cosC=3ab．

(1)求角B；

(2)若a+c=2，b=3，16.(本小題15分)

人工智能研究實驗室發(fā)布了一款全新聊天機器人模型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進行對話.在測試聊天機器人模型時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則聊天機器人模型的回答被采納的概率為85%；如果輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤，則聊天機器人模型的回答被采納的概率為50%．

(1)在某次測試中輸入了8個問題，聊天機器人模型的回答有5個被采納.現(xiàn)從這8個問題中抽取3個.以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%．

(i)求聊天機器人模型的回答被采納的概率；

(ii)若已知聊天機器人模型的回答被采納，求該輸入的問題沒有語法錯誤的概率．17.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，B1C1，C1D1的中點．

(1)求直線B1D與平面EFG所成角的正弦值；

(2)求平面C18.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1=1,a3=43+1，其前n項和為Sn，數(shù)列{bn}19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?1x．

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；

(3)若f(x)>ax，其中a>0，且a≠1參考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.D

7.D

8.A

9.AC

10.AD

11.BCD

12.448

13.500

14.2715.解：(1)∵sinC+3cosC=3ab=3sinAsinB，∴sinBcinC+3sinBcosC=3sinA=3sin(B+C)，

整理得sinBsinC=3cosBsinC，C∈(0,π)，sinC≠0，

∴sinB=3cosB，即tanB=3，B∈(0,π)，16.解：(1)易知的所有可能取值為0，1，2，3，

P(ξ=0)=C50C33C83=156，

ξ0123P115155E(ξ)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158．

(2)(i)記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，

記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，

記“C?atGP7的回答被采納”為事件C，

則P(A)=0.9，P(B)=0.1，P(C|B)=0.517.解：如圖建系，

因為正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，B1C1，C1D1的中點，

所以D(0,0,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，

E(2,1,0)，F(xiàn)(1,2,2)，G(0,1,2)，

則DB1=(2,2,2)，EF=(?1,1,2)，EG=(?2,0,2)，

(1)設(shè)平面EFG的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?EF=?x+y+2z=0n?EG=?2x+2z=0，

令z=1，則x=1，y=?1，

所以n=(1,?1,1)，

設(shè)直線B1D與平面EFG所成角的正弦值為θ，

則sinθ=|cos<n,DB1>|=|n?DB1||n|?|DB1|=|2?2+2|22+2218.解：(1)證明：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

若a1=1,a3=43+1，則d=a3?a12=23，

則Sn=na1+n(n?1)d2=n+3n(n?1)=3n2?(3?1)n，

故bn=Snn=3n?(3?1)，

故當(dāng)n≥2時，則有bn?bn?1=3；

(2)根據(jù)題意，假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項am、ak、an構(gòu)成等比數(shù)列(m∈N19.解：(1)由題意f(1)=e?1，即切點為(1,e?1),f′(x)=xex?ex+1x2,k=f′(1)=1，

所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x?1+e?1，即y=x+e?2；

(2)由f′(x)=(x?1)ex+1x2，設(shè)g(x)=(x?1)ex+1，則g′(x)=xex，

所以當(dāng)x<0時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，又g(0)=0，

所以對于任意的x≠0有g(shù)(x)>0，即f′(x)>0，

因此f(x)在(?∞,0)單調(diào)遞增，在(0,+∞)單調(diào)遞增，

即?(x)=ex?x?1，則?′(x)=ex?1，

所以x<0時，?′(x)<0，?(x)單調(diào)遞減，

所以?(x)>?(0)=0，即ex?1>x，即ex?1x<1，x>0時，?′(x)>0，?(x)單調(diào)遞增，

所以?(x)>?(0)=0，即ex?1>x，即ex?1x>1，所以f(x)是其定義域上的增函數(shù)．

(3)由(2)可知，x<0時，f(x)<1，所以ax<1，故a>1