2023-2024學(xué)年廣西南寧三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣西南寧三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=(3?4i)i，則z的虛部為(

)A.3i B.3 C.4i D.42.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從乙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件數(shù)為(

)A.24 B.9 C.36 D.183.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是(

)A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.84.已知在平行四邊形ABCD中，E為AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，設(shè)BA=a,BC=A.23a?+13b? 5.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為(

)A.63π B.2636.已知向量m=(2,λ)，n=(2?λ,?4)，若m與n共線且反向，則實(shí)數(shù)λ的值為(

)A.4 B.2 C.?2 D.?2或47.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=2BC=2，AC=3，則此四面體的外接球表面積為(

)A.3π B.8π C.9π D.88.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是5”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A.甲與乙互斥 B.丙發(fā)生的概率為16 C.甲與丁相互獨(dú)立 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是(

)A.若bcosC+ccosB=b，則△ABC是等腰三角形

B.若B=30°,b=2,c=22，則C=45°

C.若a=2,b=4,cosC=14，則c=4

D.若△ABC10.某市2023年經(jīng)過招商引資后，經(jīng)濟(jì)收入較前一年增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經(jīng)濟(jì)收入的變化情況，統(tǒng)計(jì)了該市招商引資前后的年經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖扇形圖，則下列結(jié)論中正確的是(

)

A.招商引資后，工資凈收入較前一年減少

B.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入是前一年的2.5倍

C.招商引資后，轉(zhuǎn)移凈收入與財(cái)產(chǎn)凈收入的總和超過了該年經(jīng)濟(jì)收入的13

D.11.如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面是AB=8，BC=4的矩形，直四棱柱的高為4，E，F(xiàn)A.直線A1B與CF相交B.異面直線DB1與CE所成角為90°

C.二面角D1?CE?D的平面角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知z1=2+3i，z2=?4+i，則|13.已知互不相等的4個(gè)正整數(shù)從小到大排序?yàn)閍1，a2，a3，a4，若它們的和為12，且這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2倍，則這4個(gè)數(shù)據(jù)的第14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).若2a+b=2ccosB，且AC=1,CD=32，則AB=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a與b的夾角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23．

(1)求16.(本小題15分)

某社區(qū)為了解志愿者每周志愿服務(wù)的時(shí)長，在全社區(qū)300名志愿者中隨機(jī)抽取20名志愿者在某個(gè)星期的志愿服務(wù)記錄，統(tǒng)計(jì)他們當(dāng)周在社區(qū)的志愿服務(wù)時(shí)長，按時(shí)長分組，得到頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求a的值；社區(qū)對(duì)志愿服務(wù)時(shí)長大于或等于11小時(shí)的志愿者認(rèn)定為優(yōu)秀志愿者，如果以當(dāng)周志愿服務(wù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為依據(jù)，請(qǐng)估計(jì)該社區(qū)每周獲得優(yōu)秀的志愿者的人數(shù)；

(2)求出這20名志愿者當(dāng)周志愿服務(wù)時(shí)長的樣本眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(結(jié)果保留一位小數(shù))．17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，AC⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，且PA=AC=2,AB=1,EF=52．

(1)證明：AB⊥PC；

(2)求二面角F?AE?C18.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=3，CD=1，∠ACD=60°，∠ABC=30°．

(1)證明：AD⊥CD；

(2)求△ABC面積的最大值；

(3)設(shè)E為線段AB的中點(diǎn)，求DE19.(本小題17分)

在某抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，初始時(shí)的袋子中有3個(gè)除顏色外其余都相同的小球，顏色為2白1紅.每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球后放回.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：設(shè)定抽中紅球?yàn)橹歇?jiǎng)，抽中白球?yàn)槲粗歇?jiǎng)；若抽到白球，放回后把袋中的一個(gè)白色小球替換為紅色；若抽到紅球，放回后把三個(gè)球的顏色重新變?yōu)?白1紅的初始狀態(tài).記第n次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為Pn．

(1)求P2，P3；

(2)若存在實(shí)數(shù)a，b，c，對(duì)任意的不小于4的正整數(shù)n，都有Pn=aPn?1+bPn?2+cPn?3，試確定a，參考答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.BD

11.AD

12.213.9214.715.解：因?yàn)閍與b的夾角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23，

所以a?16.解：(1)根據(jù)題意可得(a+0.075+0.175+0.15+a)×2=1，

∴a=0.05；

∵服務(wù)時(shí)長大于或等于11小時(shí)的頻率為0.05×2=0.1，

∴估計(jì)該社區(qū)每周獲得優(yōu)秀的志愿者的人數(shù)為300×0.1=30；

(2)這20名志愿者當(dāng)周志愿服務(wù)時(shí)長的樣本眾數(shù)為8小時(shí)；

中位數(shù)為7+0.5?0.1?0.150.175=8.428≈8.4小時(shí)；

平均數(shù)為17.解：(1)證明：∵E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，

∴PB=2EF=5，

∵AB2+PA2=PB2，∴AB⊥PA，∵AC⊥平面PAB，

∴AB⊥AC，

∵AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，

∴AB⊥PC；

(2)根據(jù)題意，取AC的中點(diǎn)M，過M作MN⊥AE交AE于N，

連接FM，F(xiàn)N，ME，

因?yàn)镕為PC中點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，

則FM////PA，且FM=12PA=1，

又PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，

∴PA⊥平面ABC，

∴FM⊥平面ABC，而AE?平面ABC，

∴AE⊥FM，又MN⊥AE，F(xiàn)M∩MN=M，F(xiàn)M，MN?平面FMN，

∴AE⊥平面FMN，

∵FN?平面FMN，∴AE⊥FN，

即∠FNM為二面角F?AE?C的平面角，

在Rt△AME中，AM=1，ME=12，則AE=1+118.解：(1)由題知，在△ACD中，

由正弦定理得sin∠CADCD=sin∠ACDAD，∴sin∠ACD=12，

∵AD>CD，∴∠ACD>∠CAD，∴∠CAD=π6，

∴∠D=π?∠ACD?∠CAD=π2，∴AD⊥CD；

(2)在△ABC中，根據(jù)勾股定理可得AC=2，

由余弦定理知：cos∠ABC=AB2+BC2?AC22AB?BC=32

∴AB2+BC2=4+3AB?BC，∵AB2+BC2≥2AB?BC，∴2AB?BC≤4+3AB?BC

解得：19.解：(1)P2=13×13+23×23=59，

P3=P2×13+23×13×1+13×23×23=59；

(2)因?yàn)槊看沃歇?jiǎng)后袋中的球會(huì)回到初始狀態(tài)，

從初始狀態(tài)