初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）第27講 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（教師版）

第27講正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象1．了解正切函數(shù)圖象的畫法，理解并掌握正切函數(shù)的性質(zhì)；2．能利用正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決有關(guān)問題。一、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、定義域：，2、值域：R3、周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增二、正切函數(shù)型的性質(zhì)1、定義域：將“”視為一個(gè)“整體”．令解得．2、值域：3、單調(diào)區(qū)間：（1）把“”視為一個(gè)“整體”；（2）時(shí)，函數(shù)單調(diào)性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：三、求正切函數(shù)的定義域的方法及求值域的注意點(diǎn)1、求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)有意義，即。而對(duì)于構(gòu)建的三角不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解，解形如的不等式的步驟如下：（1）作圖象：作在上的正切函數(shù)圖象；（2）求界點(diǎn)：求在上使成立的值；（3）求范圍：求上使成立的范圍；（4）定義域：根據(jù)正切函數(shù)的周期性，寫出定義域。四、求函數(shù)（都是常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間的方法（1）若，由于在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令，解得的范圍即可；（2）若，可利用誘導(dǎo)公式先把轉(zhuǎn)化為，即先把的系數(shù)化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可?？键c(diǎn)一：正切函數(shù)的定義域例1．定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所?則定義域?yàn)楣蔬x：A.【變式訓(xùn)練1】函數(shù)的定義域是___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，解得，因?yàn)?，所以故答案為：【變式?xùn)練2】函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正切函數(shù)的定義域，令，，即，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選:D．考點(diǎn)二：正切函數(shù)的值域例2．函數(shù),的值域?yàn)開_____．【答案】【解析】由題知,根據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,因?yàn)?所以該函數(shù)的值域?yàn)?故答案為:【變式訓(xùn)練1】函數(shù)的值域?yàn)開_____.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，可得，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上的值域?yàn)?，即函?shù)在的值域?yàn)?故答案為：.【變式訓(xùn)練2】函數(shù)，的值域?yàn)開_____．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.考點(diǎn)三：正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3．已知函數(shù)，則（）A．增區(qū)間為，B．增區(qū)間為，C．減區(qū)間為，D．減區(qū)間為，【答案】C【解析】由，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故選：C.【變式訓(xùn)練1】求函數(shù)y＝3tan的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(k∈Z)【解析】y＝3tan可化為y＝－3tan，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．【變式訓(xùn)練2】若函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，且函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得，即.故答案為：.考點(diǎn)四：比較正切函數(shù)值的大小例4．下列各式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對(duì)于A中，由，且，由正切函數(shù)性質(zhì)，可得，且，所以，所以，所以A不正確；對(duì)于B中，由，由正切函數(shù)單調(diào)性可得，即，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由正切函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，由正切函數(shù)的單調(diào)性，可得，即，所以D錯(cuò)誤.故選：C.【變式訓(xùn)練】（多選）下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以．故A正確；對(duì)于B,．故B不正確；對(duì)于C，，．又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故C不正確；對(duì)于D，，．又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故D正確.故選：AD.考點(diǎn)五：正切函數(shù)的奇偶性例5．判斷函數(shù)的奇偶性．【答案】是奇函數(shù)【解析】由，得或，則或，；∴函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又，∴，∴是奇函數(shù)．【變式訓(xùn)練】判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）；（2）.【答案】（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)【解析】（1）的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則函數(shù)為奇函數(shù).（2）的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則函數(shù)為偶函數(shù).考點(diǎn)六：正切函數(shù)的對(duì)稱性例6．下列是函數(shù)的對(duì)稱中心的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，，所以，函數(shù)的對(duì)稱中心的是，.對(duì)于A項(xiàng)，由，可得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由，可得，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由，可得，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由，可得，故D項(xiàng)正確.故選：D.【變式訓(xùn)練1】函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，所以的對(duì)稱中心為，取時(shí)，得.故選：A【變式訓(xùn)練2】已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，因?yàn)榭梢酝瞥?，但推不出，所以“函?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”是“”的必要不充分條件.故選：B.【變式訓(xùn)練3】函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)，則________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像的對(duì)稱中心為點(diǎn)，，所以對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為，.代入得，，所以，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以或.故答案為：.考點(diǎn)七：正切函數(shù)的周期性例7．若的最小正周期為1，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的周期為，，即，則，故選：D．【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)的最小正周期為，則的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由題意，.故選：B【變式訓(xùn)練2】若，則等于（）A．-B．C．0D．-2【答案】C【解析】，；，，，，，，；故選：．考點(diǎn)八：利用正切函數(shù)解不等式例8．解不等式.【答案】.【解析】作出函數(shù)，的圖像，如圖所示．觀察圖像可得：在內(nèi)，滿足條件的x為，由正切函數(shù)的周期性可知，滿足不等式的x的解集為.【變式訓(xùn)練】寫出下列不等式的解集．（1）;（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題知,根據(jù)函數(shù)在上圖象可知,只需,根據(jù)的最小正周期,可得的解集為:;（2）根據(jù)函數(shù)在上圖象可知,只需,根據(jù)的最小正周期,可得的解集為:.1．函數(shù)的最小正周期是，則（）A．4B．2C．D．2或【答案】D【解析】的最小正周期是，所以，解得.故選：D2．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，函數(shù)在上單調(diào)遞增且，在上單調(diào)遞增且，因?yàn)?，所以，所?故選：A.3．函數(shù)（且）的值域?yàn)锳．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：且，且，由于正切函數(shù)的圖象及單調(diào)性，得：或，即故選B．4．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增.所以所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí):區(qū)間為：.故選：A.5．已知函數(shù)，的部分圖象如圖，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖象可知，，所以.由可得，，所以.又，所以，所以，所以.因?yàn)椋裕?又，所以，所以，所以，所以.故選：C.6．（多選）下列選項(xiàng)中結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增B．函數(shù)的周期為C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BC【解析】對(duì)于A，函數(shù)在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于正切函數(shù)的最小正周期為，故函數(shù)的周期為，正確；對(duì)于C，函數(shù)滿足，故為偶函數(shù)，正確；對(duì)于D,對(duì)于函數(shù)，令，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，D錯(cuò)誤，故選：BC7．（多選）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．最小正周期是C．圖像關(guān)于成中心對(duì)稱D．圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱【答案】BC【解析】因?yàn)?，所以，又正切函?shù)在和上單調(diào)遞增，但在上不是單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；函數(shù)的周期為，故B正確；由可知，當(dāng)時(shí)，，即其圖像關(guān)于成中心對(duì)稱，故C正確；因?yàn)檎泻瘮?shù)無對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤；故選：BC8．函數(shù)的最小正周期為___________．【答案】【解析】由題意函數(shù)的最小正周期為，故答案為：9．函數(shù)的值域是________【答案】【解析】，，故答案為：10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則__________.【答案】/【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：．11．不等式的解集是______.【答案】【解析】，則，則，故答案為：.12．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】由題得，所以.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：1．下列函數(shù)最小正周期為的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對(duì)于A，的最小正周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的最小正周期，故B正確；對(duì)于C：的最小正周期，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：的最小正周期，故D錯(cuò)誤；故選：B2．函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)的最小正周期，∵選項(xiàng)D的最小正周期，D錯(cuò)誤；令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，取，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，故A正確，B、C錯(cuò)誤；故選：A.3．已知函數(shù)，，其函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是，則該函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的對(duì)稱中心，所以，解得因?yàn)?，所以，，令，解得，?dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：D4．函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以．因?yàn)檎泻瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以．故選：A．5．下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A．最小正周期為B．圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱【答案】B【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，選項(xiàng)B正確；函數(shù)的最小正周期為，所以A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C錯(cuò)誤；正切函數(shù)不是軸對(duì)稱函數(shù)，所以D錯(cuò)誤．故選：B．6．已知函數(shù)（，為常實(shí)數(shù)），且，則______．【答案】【解析】因?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，則是奇函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以．故答案為?7．函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】函數(shù)要使函數(shù)有意義，則，即，，，即原函數(shù)的定義域?yàn)椋?故答案為：8．函數(shù)的值域?yàn)開___________【答案】【解析】因?yàn)榱?，則所以，所以，故函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?．已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】∵已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù),∴函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.∴的取值范圍是．故答案為：.10．利用函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。海?），；（2），．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，而，所以（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，因?yàn)?，而，所以，?11．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求不等式的解集．【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為；（2）【解析】（1）令，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，不存在單調(diào)減區(qū)間.（2），所以，所以不等式的解集為，12．設(shè)函數(shù)，已知函數(shù)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（