一元一次方程的應(yīng)用題(含解析)

一元一次方程的應(yīng)用題(一)考試要求：內(nèi)容基本要求略高要求較高要求一元一次方程了解一元一次方程的有關(guān)概念會根據(jù)具體問題列出一元一次方程能運(yùn)用整式的加減運(yùn)算對多項(xiàng)式進(jìn)行變形，進(jìn)一步解決有關(guān)問題一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各個(gè)步驟能熟練掌握一元一次方程的解法；會求含有字母系數(shù)(無需討論)的一元一次方程的解會運(yùn)用一元一次方程解決簡單的實(shí)際問題例題精講：應(yīng)用題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一類重要問題，一般通過對問題中量的關(guān)系進(jìn)行分析，適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，找出等量關(guān)系列出方程加以解決.很多同學(xué)見到應(yīng)用題就發(fā)怵，覺得題目長，文字多，關(guān)系復(fù)雜，難以把握.其實(shí)應(yīng)用題關(guān)鍵在于讀題，弄懂題意.一些常見的問題，比如行程問題、工程問題、利率問題、濃度問題等等，其中的基本關(guān)系一定要深刻理解.設(shè)未知數(shù)的方法一般來講，有以下幾種：直接設(shè)未知數(shù)解應(yīng)用題：直接設(shè)未知數(shù)指題目問什么就設(shè)什么，它多適用于要求的未知數(shù)只有一個(gè)的情況；間接設(shè)未知數(shù)解應(yīng)用題：設(shè)間接未知數(shù)，是指所設(shè)的不是所求的，而解得的間接未知數(shù)對確定所求的量起中介作用；引入輔助未知數(shù)解應(yīng)用題：設(shè)輔助未知數(shù)，就是為了使題目中的數(shù)量關(guān)系更加明確，可以引進(jìn)輔助未知數(shù)幫助建立方程.輔助未知數(shù)往往不需要求出，可以在解題時(shí)消去.解應(yīng)用題的方法多種多樣，除此之外，還有運(yùn)用逆推法解應(yīng)用題、運(yùn)用整體思想解應(yīng)用題、運(yùn)用圖形圖表法解應(yīng)用題等等，單純的背這些方法是沒有意義的，關(guān)鍵還在于提高理解能力，大量練習(xí)，從而學(xué)會快速讀懂題意，綜合運(yùn)用各種方法去求解問題.列方程解應(yīng)用題的步驟：①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x） ③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）模塊一和差倍分問題玻璃缸里養(yǎng)了三個(gè)品種的金魚，分別是“水泡”“朝天龍”“珍珠”．“水泡”的條數(shù)是“珍珠”的3倍；“朝天龍”的條數(shù)是“珍珠”的2倍，且“朝天龍”比“水泡”少1條，這三種金魚各有幾條呢?【解析】設(shè)“珍珠”的條數(shù)為條，則“水泡”“朝天龍”的條數(shù)分別為條、條．依題意得：，，從而，.【答案】【鞏固】甲隊(duì)有32人，乙隊(duì)有28人，現(xiàn)從乙隊(duì)抽人到甲隊(duì)，使甲隊(duì)是乙隊(duì)人數(shù)的2倍，依題意，列出方程為.【解析】略【答案】【鞏固】汽車若干輛裝運(yùn)貨物一批，若每輛汽車裝噸貨物，這批貨物就有2噸運(yùn)不走；若每輛汽車裝4噸貨物，那么裝完這批貨物后，還可以裝其他貨物1噸，問汽車有多少輛?這批貨物有多少噸？【解析】設(shè)有汽車輛．依題意得：，解之得：，，故汽車有6輛，貨物有23噸．【答案】；⑴甲倉庫有糧噸．乙倉庫有糧噸．從甲倉庫調(diào)運(yùn)噸到乙倉庫，調(diào)劑后甲倉庫存糧是乙倉庫的一半．⑵甲乙兩個(gè)圓柱體容器，底面積比為，甲容器水深，乙容器水深，再往兩個(gè)容器注入同樣多的水，使兩個(gè)容器的水深相等，這時(shí)水深多少厘米?【解析】⑴從甲倉庫調(diào)運(yùn)噸到乙倉庫，依題意得，解得．⑵設(shè)這時(shí)水深，依題意得，解得．若學(xué)生不好理解，不妨多設(shè)一個(gè)底面積比為．方程為即可．【答案】；【鞏固】某公司有甲乙兩個(gè)工程隊(duì)，甲隊(duì)人數(shù)比乙隊(duì)人數(shù)的多人．現(xiàn)因任務(wù)需要，從乙隊(duì)調(diào)走20人到甲隊(duì)，這時(shí)甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的2倍，則甲乙兩隊(duì)原來的人數(shù)分別是多少人？【解析】設(shè)乙隊(duì)原來有人，則甲隊(duì)有人．依題意可列：，解得：【答案】【鞏固】甲、乙、丙三條鐵路共長千米，甲鐵路長比乙鐵路的倍少千米，乙鐵路長比丙鐵路少千米，求甲鐵路的長．【解析】設(shè)丙鐵路長為千米，則乙鐵路長千米，甲鐵路長千米．依題意可列：【答案】【鞏固】如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的長度是它的，另一根露出水面的長度是它的．兩根鐵棒長度之和為，此時(shí)木桶中水的深度是．【解析】設(shè)此時(shí)木桶中水的深度為，依題意得，兩根鐵棒的長度為和，故，解得．【答案】牧羊人趕著一群羊?qū)ふ乙粋€(gè)草長得茂盛的地方，一個(gè)過路人牽著一只肥羊從后面跟了上來，他對牧羊人說：“你趕的這群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果這群羊增加一倍，再加上原來這群羊的一半，又加上原來這群羊一半的一半，連你這只羊也算進(jìn)去，才剛好湊滿100只．”問牧羊人的這群羊共有多少只?【解析】設(shè)這群羊共有只，依題意，有，解之得.【答案】模塊二行程問題?追擊問題解決追擊問題的一個(gè)最基本的公式：追擊時(shí)間速度差追擊的路程．于此相關(guān)的問題都可以應(yīng)用這一公式進(jìn)行解答．?dāng)澄覂绍娤嗑?2千米，敵軍以每小時(shí)6千米的速度逃竄，我軍同時(shí)以每小時(shí)16千米的速度追擊在相距2千米的地方發(fā)生戰(zhàn)斗，問戰(zhàn)斗是從開始追擊后幾小時(shí)發(fā)生的？【解析】根據(jù)追擊問題的基本公式：追擊時(shí)間速度差追擊的路程．設(shè)戰(zhàn)斗是從開始追擊后小時(shí)發(fā)生的．則依題意可列：，解得：．【答案】【鞏固】環(huán)城自行車賽，最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的倍，環(huán)城一周是20千米，求兩個(gè)人的速度?！窘馕觥吭O(shè)最慢的人的速度為，則最快的人的速度為，依題意可列：．解得：【答案】慢人的速度為，快人的速度為．【鞏固】一個(gè)通迅員騎摩托車追趕前面部隊(duì)乘坐的汽車，汽車的速度是每小時(shí)28千米，摩托車的速度是每小時(shí)42千米，通訊員出發(fā)4小時(shí)后追上汽車，求部隊(duì)比通訊員早出發(fā)幾小時(shí)？【解析】設(shè)部隊(duì)比通訊員早出發(fā)小時(shí)．則依題可列：，解得：．【答案】某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開車時(shí)間早到15分鐘，若每小時(shí)行18千米，則比火車開車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前10分鐘到達(dá)火車站，則此人此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)為多少？【解析】設(shè)此人從家里出發(fā)到火車開車的時(shí)間為小時(shí)，則，解得，此人打算在火車開車前10分鐘到達(dá)，騎摩托車的速度應(yīng)為（千米/時(shí)）【答案】【鞏固】甲乙兩列火車，甲車長160，乙車長120，甲車速度為20，乙車速度為；若乙車從后面追趕甲車，問從乙車追上甲車到乙車超過甲車的時(shí)間是多少？【解析】本題解題的關(guān)鍵是要注意“乙車追上甲車到乙車超過甲車”所以，追擊路程為兩車的車長之和．設(shè)從乙車追上甲車到乙車超過甲車的時(shí)間為，則依題意可列：解得：【答案】?相遇問題解決相遇問題的基本公式為：速度和相遇時(shí)間路程．乙兩站的路程為360千米，一列快車從乙站開出，每小時(shí)行駛72千米；一列慢車從甲站開出，每小時(shí)行駛48千米．兩列火車同時(shí)開出，相向而行，經(jīng)過多少小時(shí)相遇？【解析】設(shè)經(jīng)過小時(shí)相遇，則依題意可列：，解得：．【答案】【鞏固】甲、乙兩人從相距75的、兩地相向而行，甲每小時(shí)行,乙每小時(shí)行，問：（1）兩人同時(shí)出發(fā)，多少小時(shí)相遇？（2）甲先走2小時(shí)后乙出發(fā)，問乙出發(fā)幾小時(shí)后兩人相遇【解析】（1）設(shè)小時(shí)相遇．依題意可列：，解得：（2）設(shè)乙出發(fā)小時(shí)后兩人相遇．則依題意可列：，解得：．【答案】；【鞏固】甲、乙兩人從相距73的、兩地相向而行，甲每小時(shí)行7,乙每小時(shí)行2，問：兩人同時(shí)出發(fā)，多少小時(shí)相距1？【解析】設(shè)小時(shí)后相距．依題意可列：，解得：．【答案】?變速問題一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行525米，預(yù)計(jì)40分鐘到達(dá)，但行到一半路程時(shí)，機(jī)器發(fā)生故障，用5分鐘修理完畢，如果仍在預(yù)計(jì)的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，行駛余下的路程，每分鐘比原來速度快多少米？【解析】設(shè)比原來的速度快米．則依題意可列：，解得：．【答案】【鞏固】某人以每小時(shí)8千米的速度上山，以每小時(shí)12千米的速度下山，共用5小時(shí)。問上山需要用多少時(shí)間？【解析】設(shè)上山需要用小時(shí)，下山需要小時(shí)．則依題可列：，解得：．【答案】【鞏固】Cenrrie帶著寵物狗“旺財(cái)”去玩接“飛盤”的游戲，Cenrrie站一個(gè)小山坡的腳下，當(dāng)Cenrrie扔出“飛盤”，“旺財(cái)”從Cenrrie身邊同時(shí)跑出去速度為6，接到“飛盤”后以9的速度跑回Cenrrie身邊，問整個(gè)過程中“旺財(cái)”的平均速度是多少？【解析】設(shè)“旺財(cái)”從身邊跑出去接到飛盤所用的時(shí)間為，，則整個(gè)過程中的平均速度為：【答案】【點(diǎn)評】這題切記利用兩個(gè)速度和的一半來求平均速度，這樣做是錯(cuò)誤的．某人有急事，預(yù)定搭乘一輛小貨車從A地趕往B地．實(shí)際上，他乘小貨車行了三分之一路程后改乘一輛小轎車，車速提高了一倍，結(jié)果提前一個(gè)半小時(shí)到達(dá)．已知小貨車的車速是36千米／小時(shí)，求兩地間路程.【解析】列方程解應(yīng)用題的基本思想是通過對實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的分析，列出相關(guān)的代數(shù)式，進(jìn)而建立方程，轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題來解決．這一過程的關(guān)鍵是要透過紛繁多變問題的表象，住數(shù)量關(guān)系的實(shí)質(zhì)；不能機(jī)械的記憶、套用某些題型而忽略了問題的本質(zhì)．常有貌似相像，實(shí)質(zhì)不同的問題；也有面目迥異而實(shí)質(zhì)相同的問題．本題與上題具有相同的數(shù)量關(guān)系：后程中時(shí)間節(jié)約了小時(shí)．所以設(shè)行駛了全程的還余千米．根據(jù)題意，同樣可列出方程，，解得．這時(shí)兩地間路程是(千米)．【答案】【鞏固】一只小船從甲港到乙港逆流航行需2小時(shí)，水流速度增加一倍后，再從甲港到乙港航行需3小時(shí)，水流速度增加后，從乙港返回甲港需航行多少小時(shí)？【解析】設(shè)小船在靜水中的速度為，原來的水速為，則，解得，故所求時(shí)間為（小時(shí)）.【答案】?流水問題流水問題的常用公式：一小船由A港到B港順流需行6小時(shí)，由B港到A港逆流需行8小時(shí)，一天，小船從早晨6點(diǎn)由A港出發(fā)順流行至B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立即返回，1小時(shí)后找到救生圈.問：⑴若小船按水流速度由A港漂流到B港需多少小時(shí)？⑵救生圈是何時(shí)掉入水中的？【解析】⑴設(shè)小船在靜水中的速度為，水流速度為，則，解得，故小船按水流速度由A港漂流到B港所需時(shí)間為（小時(shí)）；⑵設(shè)小船行駛小時(shí)后，救生圈掉入水中，則，將代入上式，得到，故救生圈是上午11點(diǎn)掉入水中的.【答案】；【鞏固】甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時(shí)，逆流航行比順流航行多花了5小時(shí)，現(xiàn)有一機(jī)帆船，靜水中速度是每小時(shí)12千米，問這機(jī)帆船往返兩港要多少小時(shí)？【解析】解答本題需要兩大步驟：首先求出水流的速度，其次，利用已求的水流速度求出帆船往返所需要的時(shí)間．設(shè)輪船順流航行需要小時(shí)，依題意可列：，解得：．可求得水速為：（千米∕時(shí)）則帆船往返兩港所需要的時(shí)間為：（小時(shí)）【答案】模塊三工程問題某車間原計(jì)劃每周裝配臺機(jī)床，預(yù)計(jì)若干周完成任務(wù)．在裝配了三分之一以后，改進(jìn)操作技術(shù)，工效提高了一倍，結(jié)果提前一周半完成任務(wù)．求這次任務(wù)需裝配機(jī)床總臺數(shù)．【解析】設(shè)裝配了機(jī)床總量的還余臺．根據(jù)題意可列方程，解得．這時(shí)總?cè)蝿?wù)是(臺)．【答案】【鞏固】某工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)做天完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)做需要天完成，若乙工程隊(duì)單獨(dú)做天后，甲、乙兩工程隊(duì)再合作天完成．列方程為．【解析】．【答案】一水池，裝有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)出水管丙，如果單獨(dú)開發(fā)甲管4小時(shí)注滿水池；單獨(dú)開放乙管3小時(shí)可注滿水池；單獨(dú)開放丙管8小時(shí)可以把滿池水放完。問三管一齊開放，幾小時(shí)注滿水池？【解析】設(shè)三管一齊開放，小時(shí)可以注滿水池．則由題意可列：，解得：（小時(shí)）【答案】【鞏固】有一個(gè)水池，用甲抽水機(jī)抽水小時(shí)可以把全池水的抽完，用乙抽水機(jī)小時(shí)可以把全池水的抽完，若兩臺抽水機(jī)同時(shí)工作，幾小時(shí)可將全池的水抽完？【解析】根據(jù)題意可知甲抽水機(jī)每小時(shí)可以完成總量的，乙抽水機(jī)每小時(shí)可以完成總量的，則依題意可列：，解得：（小時(shí)）【答案】課堂檢測：1.甲乙兩人從相距米的兩地同時(shí)相對而行，甲每分鐘行米，乙每分鐘行米．幾分鐘后，甲乙二人相遇？如果甲帶了一只狗和甲同時(shí)出發(fā)，狗以每分鐘米的速度向乙跑去，遇到乙后立刻回頭向甲跑去。這樣，狗在甲乙二人之間來回奔跑，直到兩人相遇時(shí)為止。求這只狗跑了多少路？【解析】設(shè)兩人的相遇時(shí)間為，則根據(jù)相遇問題的基本公式可列：，解得：，第二問讀起來學(xué)生可能覺得很難，但仔細(xì)想想這個(gè)題很簡單，只要能夠想到，這只狗一共跑了多長時(shí)間就可以，這只狗不管跑了多少趟，所跑的時(shí)間都是兩個(gè)人的相遇時(shí)間也就是十分鐘，所以這只狗所跑的路程為：（米）．【答案】；課后作業(yè)：1.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的倍，如果把十位數(shù)字與各位數(shù)字交換，所成的新數(shù)比原數(shù)少，求原數(shù).【