人教版高中數(shù)學全冊教案-08-圓錐曲線方程-10

拋物線及其標準方程

一、教學目標

（一）知識教育點

使學生掌握拋物線的定義、拋物線的標準方程及其推導過程.

（二）能力訓練點

要求學生進一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉化等

方面的能力.

（三）學科滲透點

通過一個簡單實驗引入拋物線的定義，可以對學生進行理論來源于實踐的辯證唯物主

義思想教育.

二、教材分析

1.重點：拋物線的定義和標準方程.

（解決辦法：通過…個簡單實驗與橢圓、雙曲線的定義相比較引入拋物線的

定義；通過一些例題加深對標準方程的認識.）

2.難點：拋物線的標準方程的推導.

（解決辦法：由三種建立坐標系的方法中選出一種最佳方法，避免了硬性規(guī)

定坐標系.）

3.疑點：拋物線的定義中需要加上“定點F不在定直線1上”的限制.

（解決辦法：向學生加以說明.）

三、活動設計

提問、回顧、實驗、講解、演板、歸納表格.

四、教學過程

（一）導出課題

我們已學習了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線.今天我們將學習第四種圓錐曲線——

拋物線，以及它的定義和標準方程.課題是“拋物線及其標準方程”.

請大家思考兩個問題：

問題1:同學們對拋物線已有了哪些認識？

在物理中，拋物線被認為是拋射物體的運行軌道；在數(shù)學中，拋物線是二次函數(shù)的圖

象？

問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？

在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩

種情形.

引導學生進一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函

數(shù)的圖象來研究了.今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研

究拋物線.

（二）拋物線的定義

1.回顧

平面內與一個定點F的距離和一條定直線1的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當0

VeVl時是橢圓，當e>l時是雙曲線，那么當e=l時，它又是什么曲線？

2.簡單實驗

如圖2-29,把?根直尺固定在畫圖板內直線1的位置上，一塊三角板的--條

直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點

A,截取繩子的長等于A到直線1的距離AC,并且把繩子另一端固定在圖板上的

-點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使

三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線.反

復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結.

3.定義

這樣，可以把拋物線的定義概括成:

平面內與一定點F和一條定直線1的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F

不在定直線1上）.定點F叫做拋物線的焦點，定直線1叫做拋物線的準線.

（三）拋物線的標準方程

設定點F到定直線1的距離為p（p為已知數(shù)且大于0）.下面，我們來求拋物

線的方程.怎樣選擇直角坐標系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？

讓學生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導，最后簡單小結建立直角坐標系的幾種方案：

方案1：（由第一組同學完成，請一優(yōu)等生演板.）

以1為y軸，過點F與直線1垂直的直線為x軸建立直角坐標系（圖2-

30）.設定點F（p,0）,動點M的坐標為（x,y）,過M作MD_Ly軸于D,拋物

線的集合為:p={M||MF|=|MD|）.

由坐標我刷■可,4

化簡后得：y2=2px-p2（p>0）.

方案2：（由第二組同學完成，請一優(yōu)等生演板）

以定點F為原點，平行1的直線為y軸建立直角坐標系（圖2-31）.設動點M

的坐標為（x,y）,且設直線1的方程為x=-p,定點F（0,0）,過M作MDL1于D,

拋物線的集合為：

p={M||MF|=|MD|}.

由坐標環(huán)福+司++耳.

化簡得：y2=2px+p2（p>0）.

方案3：(由第三、四組同學完成，請一-優(yōu)等生演板.)

取過焦點F且垂直于準線1的直線為x軸，x軸與1交于K,以線段KF的垂

直平分線為y軸，建立直角坐標系(圖2-32).

謝KF]=p,a儂球挫標為號，嘰幽的方程為x=W，設

拋物線上的點M(x,y)到1的距離為d,拋物線是集合p={M||MF|=d}.

獷e,d*qi，

?小學+/4號.

化簡后得：y2=2px(p>0).

比較所得的各個方程，應該選擇哪些方程作為拋物線的標準方程呢？

引導學生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標準方程.這是因為這個

方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項系數(shù)是焦

點到準線距離的2倍.

由于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形（列表如

下）：

Si

y

4

L

1T

y

一

^PJKP>09呻

T0>x

---------1

y

1---------

3r今r=0

>0)5/

將上表畫在小黑板上，講解時出示小黑板，并講清為什么會出現(xiàn)四種不同的情形，四

種情形中P>0；并指出圖形的位置特征和方程的形式應結合起來記憶.即：當對

稱軸為x軸時，方程等號右端為±2px,相應地左端為y2；當對稱軸為y軸時，

方程等號的右端為±2py,相應地左端為x2.同時注意：當焦點在正半軸上時，

取正號；當焦點在負半軸上時，取負號.

（四）四種標準方程的應用

例題：（1）已知拋物線的標準方程是y2=6x,求它的焦點坐標和準線方程；

⑵已知拋物線的焦點坐標是F（0,-2）,求它的標準方程.

解，(i)a*p=3,所吸儂坐標是埠，嘰宸魴程匕=—.

⑵因為儂在用的黃半軸上，并且畀2,p=4,所以它的標捷

方程是x2=-8y.

練習：根據下列所給條件，寫出拋物線的標準方程：

⑴焦點是F(3,0)；

⑵》助人=?；；

⑶焦點到準線的距離是2.

由三名學生演板，教師予以訂正.答案是：(l)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x,y2=-4x,

x2=4y,x2=-4y.

這時，教師小結一下：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一

個系數(shù)P，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程.當

拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線

的焦點坐標或準線方程沒有給定，則所求的標準方程就會有多解.

(五)小結

本次課主要介紹了拋物線的定義，推導出拋物線的四種標準方程形式，并加以運用.

五、布置作業(yè)

I.It物線y'=2p?p>S上一點辿憔點的距離是哈>鄉(xiāng)，點M

到準線的距離是多少？點M的橫坐標是多少？

2.求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：

(l)x2=2y；(2)4x2+3y=0；

⑶2y2+5x=0；(4)y2-6x=0.

3.根據下列條件，求拋物線的方程，并描點畫出圖形：

⑴頂點在原點，對