第九章　必刷大題18　統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析-2025高中數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版VIP

必刷大題18統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析1．某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(滿分100分)，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．一般學(xué)校認(rèn)為成績大于等于80分的學(xué)生為優(yōu)秀．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)；(2)依據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計(jì)總體成績的眾數(shù)和平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．解(1)由樣本的頻率分布直方圖可知，在該次數(shù)學(xué)考試中成績優(yōu)秀的頻率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，則估計(jì)3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績優(yōu)秀的學(xué)生有3000×0.28＝840(名)．(2)由樣本的頻率分布直方圖可知，估計(jì)總體成績的眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75，平均數(shù)為0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.所以估計(jì)總體成績的眾數(shù)為75，平均數(shù)為71.2.2．(2024·海南模擬)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，猴痘病毒與天花病毒有共同抗原，兩者之間有很強(qiáng)的血清交叉反應(yīng)和交叉免疫，故猴痘流行的時(shí)候可接種牛痘疫苗預(yù)防．某醫(yī)學(xué)研究機(jī)構(gòu)對(duì)120個(gè)接種與未接種牛痘疫苗的密切接觸者進(jìn)行醫(yī)學(xué)觀察后，統(tǒng)計(jì)了感染病毒情況，得到下面的2×2列聯(lián)表：感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種牛痘疫苗2030已接種牛痘疫苗1060(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)在未接種牛痘疫苗和已接種牛痘疫苗的情況下，感染猴痘病毒的概率；(2)是否能依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗有關(guān)？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解(1)由題意可知，估計(jì)未接種牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率為P1＝eq\f(20,20＋30)＝eq\f(2,5)，已接種牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率為P2＝eq\f(10,10＋60)＝eq\f(1,7).(2)列聯(lián)表如表所示：感染猴痘病毒未感染猴痘病毒合計(jì)未接種牛痘疫苗203050已接種牛痘疫苗106070合計(jì)3090120零假設(shè)為H0：密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗無關(guān)．則χ2＝eq\f(120×20×60－10×302,30×90×50×70)≈10.286>6.635＝x0.01，所以根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為密切接觸者未感染猴痘病毒與接種牛痘疫苗有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.3．(2024·滄州模擬)“綠水青山就是金山銀山”的口號(hào)已經(jīng)深入民心，人們對(duì)環(huán)境的保護(hù)意識(shí)日益增強(qiáng)，質(zhì)檢部門也會(huì)不時(shí)地對(duì)一些企業(yè)的生產(chǎn)污染情況進(jìn)行排查，并作出相應(yīng)的處理，本次排查了30個(gè)企業(yè)，共查出510個(gè)污染點(diǎn)，其中造成污染點(diǎn)前10名的企業(yè)分別造成的污染點(diǎn)數(shù)為58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.(1)求這30個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的第80百分位數(shù)；(2)已知造成污染點(diǎn)前10名的企業(yè)的方差為92.4，其他20個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的方差為44.7，求這30個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的總體方差．解(1)根據(jù)定義可得，此30個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，且30×80%＝24，所以這30個(gè)企業(yè)造成污染的第80百分位數(shù)是第24個(gè)數(shù)據(jù)與第25個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即前10名中第六名與第七名數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即eq\f(28＋32,2)＝30.(2)按照企業(yè)造成的污染點(diǎn)數(shù)從小到大排列，記為x1，x2，…，x20，其平均數(shù)記為eq\x\to(x)，方差記為seq\o\al(2,x)；把剩下10個(gè)數(shù)據(jù)記為y1，y2，…，y10，其平均數(shù)記為eq\x\to(y)，方差記為seq\o\al(2,y)；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\x\to(z)，方差記為s2.由題意可知，eq\x\to(z)＝eq\f(510,30)＝17，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝eq\f(1,10)×330＝33，則eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)×(510－330)＝9，由題知seq\o\al(2,x)＝44.7，seq\o\al(2,y)＝92.4，s2＝eq\f(1,30)×{20[seq\o\al(2,x)＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(z))2]＋10[seq\o\al(2,y)＋(eq\x\to(y)－eq\x\to(z))2]}代入數(shù)據(jù)可得s2＝eq\f(1,30)×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，所以這30個(gè)企業(yè)造成污染點(diǎn)的總體方差為188.6.4．(2023·淄博模擬)某電商平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了近七年小家電的年度廣告費(fèi)支出xi(萬元)與年度銷售量yi(萬臺(tái))的數(shù)據(jù)，如表所示：年份2016201720182019202020212022廣告費(fèi)支出x1246111319銷售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝279.4，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝708.(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)若用y＝c＋deq\r(x)模型擬合得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)，經(jīng)計(jì)算(1)中的回歸模型及該模型的R2分別為0.75和0.88，請(qǐng)根據(jù)R2的數(shù)值選擇更好的回歸模型擬合y與x的關(guān)系，進(jìn)而計(jì)算出年度廣告費(fèi)x為何值時(shí)，利潤eq\o(z,\s\up6(^))＝200y－x的預(yù)報(bào)值最大？參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)由題意可得eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋4＋6＋11＋13＋19,7)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1.9＋3.2＋4.0＋4.4＋5.2＋5.3＋5.4,7)＝4.2，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)＝eq\f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋2.84.(2)因?yàn)?.75<0.88，R2越大擬合效果越好，所以選用回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99eq\r(x)更好，eq\o(z,\s\up6(^))＝200(1.63＋0.99eq\r(x))－x＝－x＋198eq\r(x)＋326＝－(eq\r(x)－99)2＋10127，即當(dāng)eq\r(x)＝99，即x＝9801時(shí)，利潤的預(yù)報(bào)值最大．5．(2023·福州模擬)國內(nèi)某大學(xué)想了解本校學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取2000人，調(diào)查他們平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位：小時(shí))，統(tǒng)計(jì)表明該校學(xué)生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是[0,3]，記平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，少于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”．整理分析數(shù)據(jù)得到的列聯(lián)表如表所示(單位：人)：性別運(yùn)動(dòng)時(shí)間合計(jì)“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”男生11003001400女生400200600合假設(shè)為H0：運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別之間無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，算得χ2≈31.746，根據(jù)小概率值α＝0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，則認(rèn)為運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.(1)如果將表中所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的eq\f(1,10)，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)語言解釋其中的原因；(2)采用按樣本性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為男生運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)為2.5，方差為1；女生運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)為1.5，方差為0.5，求這20名同學(xué)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的均值與方差．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)方法一改變數(shù)據(jù)之后的列聯(lián)表為性別運(yùn)動(dòng)時(shí)間合計(jì)“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”男生11030140女生402060合計(jì)15050200則調(diào)整后的χ2＝eq\f(200×110×20－30×402,150×50×140×60)＝eq\f(200,63)≈3.175<10.828＝x0.001.則根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)．與之前結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都縮小為原來的eq\f(1,10)，相當(dāng)于樣本容量縮小為原來的eq\f(1,10)，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化，當(dāng)樣本容量越大，用樣本估計(jì)總體的準(zhǔn)確性會(huì)越高．方法二調(diào)整后的χ2＝eq\f(\f(n,10)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,10)·\f(d,10)－\f(b,10)·\f(c,10)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,10)＋\f(b,10)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,10)＋\f(d,10)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,10)＋\f(c,10)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,10)＋\f(d,10))))＝eq\f(1,10)eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(χ2,10)≈3.175<10.828＝x0.001，根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)．與之前結(jié)論不一樣，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都縮小為原來的eq\f(1,10)，相當(dāng)于樣本容量縮小為原來的eq\f(1,10)，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化，當(dāng)樣本容量越大，用樣本估計(jì)總體的準(zhǔn)確性會(huì)越高．(2)男生抽取eq\f(1400,2000)×20＝14(人)，女生抽取eq\f(600,2000)×20＝6(人)，由已知男生運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝2.5，樣本方差為seq\o\al(2,1)＝1；女生運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)為eq\x\to(y)＝1.5，樣本方差為seq\o\al(2,2)＝0.5.記樣本均值為eq\x\to(w)，則eq\x\to(w)＝eq\f(14×2.5＋6×1.5,20)＝2.2，記樣本方差為s2，則s2＝eq\f(14×[1＋2.5－2.22]＋6×[0.5＋1.5－2.22],20)＝1.06，所以這20名同學(xué)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的均值為2.2，方差為1.06.6．(2023·泰安模擬)近年來，我國新能源汽車發(fā)展進(jìn)入新階段．某品牌2018年到2022年新能源汽車年銷量w(萬輛)如表所示，其中2018年～2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼t為1～5.年份代碼t12345銷量w(萬輛)49141825(1)判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，并計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.001)；(2)①假設(shè)變量x與變量Y的n對(duì)觀測數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2))(隨機(jī)誤差ei＝y(tǒng)i－bxi)，請(qǐng)寫出參數(shù)b的最小二乘估計(jì)；②令變量x＝t－eq\x\to(t)，y＝w－eq\x\to(w)，則變量x與變量Y滿足一元線性回歸模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2，))利用①中結(jié)論求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2025年該品牌新能源汽車的銷售量．附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)wi－\x\to(w),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)\r(\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)2))，eq\i\su(i＝1,5,)(ti－eq\x\to(t))(wi－eq\x\to(w))＝51，eq\i\su(i＝1,5,)(wi－eq\x\to(w))2＝262，eq\i\su(i＝1,5,)(ti－eq\x\to(t))2＝10，eq\r(655)≈25.6.解(1)通過作散點(diǎn)圖如圖所示，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此是線性相關(guān)．r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)wi－\x\to(w),\r(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)2)\r(\i\su(i＝1,5,)wi－\x\to(w)2))＝eq\f(51,\r(262)×\r(10))≈eq\f(51,51.2)≈0.996，∴兩變量有較強(qiáng)的正相關(guān)．(2)①Q(mào)＝eq\i\su(i＝1,n,